1

INTEGRAL TAK TENTU

2

Rumus umum integral

f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan)a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah

b = batas atasdx = faktor pengintegralF = hasil integral dari f(x)

=lambang integral

b

a

F(x)f (x) dx

3

Integral tentu

b

adx f(x) bilangan

Perbedaan integral tentu dan tak tentu

Integral tak tentu

fungsib

adx f(x)

4

Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke dalam waduk pada waktu t.

)V(t)V(t dt (t)V' 122t

1t

perubahan banyaknya air dalam waduk diantara t1 dan t2

Penerapan Integral dalam Ilmu Sains

5

2t

1t dt

dtd[C]

[C](t2)-[C](t1)

Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan d[C]/dt

perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2Jika massa sebuah batang, diukur dari

ujung kiri ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier adalah (x)=m’(x)

b

am(a)m(b)dx ρ(x)

massa dari ruas batang yg terletak

diantara x=a dan x=b

6

Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka

)n(t)n(t dt dtdn

122t

1t

pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2

Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga

)v(t)v(t dt a(t) 122t

1t

perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2

7

RUMUS DASAR & SIFAT

n 1n n 1 n

x x x x

kxkx kx kx

d x1. x n x x dx n 1

dx n 1d 1 1

2. lnx dx lnx Cdx x xd

3. e e e dx e Cdx

d e4. e ke e dx C

dx k

x

x a a dx C

ln a

(kf )(x)dx k f (x)dx

f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx

8

x4 dx = ????

r 1 r g(x)

g(x) dx Cr 1

g(x) = xr = 4

r 1

r

5

r

xC

4 1 5

4+1

g(x)g(x) dx C

1

x C =

Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional bukan -1, maka

Contoh :

9

INTEGRAL SUBSTITUSI

Integral substitusi yaitu menggantikan suatu variabel dg variabel baru dalam operasi pengintegralan

Aturan substitusiJika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu pada I, maka

f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx

Teknik pengintegralan

u du

10

1. Hitunglah

dx 12x

11

1. Hitunglah

dx 12x

u=2x+1du=2 dxdx=1/2 du

C1)(2x31

Cu31

C3/2u

21

duu21

2du

udx 12x

3/2

3/23/2

1/2

12

INTEGRAL PARSIAL

Bila integral substitusi GAGAL integral parsialIntegral parsial : suatu metode yg

didasarkan pd pengintegralan rumus turunan hasilkali dari dua fungsiAndaikan u=u(x) dan v=v(x), maka

Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x)

dengan mengintegralkan dua ruas, diperolehu(x) v(x) = u(x) v’(x) dx + v(x) u’(x)

dx

13

atau u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u’(x) dxkrn dv=v’(x) dx dan du=u’(x)dx, persamaan

menjadi: Pengintegralan Parsial Tak Tentu

b

a

b

a

b

adx (x)u'v(x)v(x) u(x)dx (x)v' u(x)

Pengintegralan Parsial Tentu

b

a

b

a

b

adu vv udv u

u dv = u v - v du

14

Gambar diagram u dv=uv-vdu

15

1. Tentukan

lnx dx

16

1. Tentukan

lnx dx

u = ln xdu = 1/x dx

dv = dxv = x

x

x ln x x C

1ln x dx x lnx x dx

x

ln x dx

17

INTEGRAL TRIGONOMETRI

2

2

sin x dx = - cos x + C

cos x dx = sin x + C

sec x dx = tan x + C

co sec x dx = -cotan x + C

tan x sec x dx = sec x + C

cotan x cosec x dx = -cosec x + C

18

INTEGRAL TRIGONOMETRI

Strategi untuk menghitung sinmx cosnx dx

1.Jika pangkat kosinus bil.ganjil (n=2k+1),simpan satu faktor kosinus dan gunakan cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sinusòsinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos

x dx

= sinmx (1-sin2x )k cos x dxkemudian substitusikan u=sinx

du=cosx dx

19

2. Jika pangkat sinus bil.ganjil (m=2k+1),simpan satu faktor sinus dan gunakan sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam kosinusòsin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin

x dx

= (1-cos2x)k cosnx sin x dxkemudian substitusikan u =

cosx

du= -sin x dxNB : Jika pangkat sinus maupun kosinus

adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2)

20

3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah bilangan genap, gunakan persamaan sudut-paruh

sin2x = ½ (1-cos 2x)cos2x = ½ (1+cos2x)sinx cosx = ½ sin 2x

21

1. Tentukan cos3x dx

22

1. Tentukan cos3x dx

untuk mempermudah dijabarkan menjadi:cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos xcos3x = cos2x . cos x dx = (1-sin2x) cos x dx

misal : u = sin xdu= cos x dx

cos3x = (1-u2) du = u - 1/3 u3 + C = sin x – 1/3 sin3x + C

23

Strategi untuk menghitung tanmx secnx dx

1.Jika pangkat secan bil.genap (n=2k),simpan satu faktor sec2x dan gunakan sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam tan x

òtanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx

= tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dxkemudian substitusikan u = tan

x

du=sec2 x dx

24

2. Jika pangkat tangen bil.ganjil (m=2k+1),simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sec x

ò tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx

= (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dxkemudian substitusikan u = sec x

du=tan x sec x dx

25

dxx secx tan Hitunglah 46

26

dxx secx tan Hitunglah 46

dxx sec x)tan(1x tan

dxx secx secx tandxx secx tan226

22646

ingat, sec2x = 1 + tan2x

misal u=tan x du = sec2x dx

Cxtanxtan

duuu

du u u

du )u(1 udxx secx tan

9917

71

9917

71

86

2646