Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

download Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

of 53

Transcript of Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    1/53

    KALKULUS LANJUT

    Pertemuan ke-2

    Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    2/53

    Fungsi Balikan

    Purcell et all. (2003) :Suatu fungsi f  mengambil suatu nilai x daridaerah asalnya D dan memadankannya dengannilai tunggal y dari daerah hasilnya R.

     Jika beruntung, kita dapat membalikkan f , yakniuntuk semua nilai y dalam R, kita dapat secarapasti kembali dan mendapatkan nilai x tempatdia berasal.

    Fungsi baru ini, yang mengambil y danmemadankannya dengan x, dinyatakan dengan

     f -1. Fungsi ini dinamakan balikan (invers).

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    3/53

    Fungsi Balikan Jika f  adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka inversfungsi f  adalah fungsi dari himpunan ke B ke himpunan A

    Ingat :

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    4/53

    Grafik Fungsi Balikan

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    5/53

    Fungsi BalikanFungsi f (x)=x+4 dengan domain A={1,2,3,4} dengan daerah hasilB={5,6,7,8) dapat dituliskan sebagai berikut :

    Fungsi invers dari f (x) atau f -1(x) yang merupakan sebuah fungsidari daerah hasil B ke daerah asal (domain) A dapat dituliskansebagai :

    4; 1, 5 , 2, 6 , 3, 7 , 4, 8  f x x

    1 4; 5,1 , 6, 2 , 7, 3 , 8, 4  f x x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    6/53

    Keberadaan Fungsi BalikanTidak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, jikay= f (x)=x2 tidak mempunyai balikan, kecuali kalau daerah definisinyadibatasi.

    Contoh :

    Perlihatkan bahwa f (x)=x5 +2x+1 memiliki balikan.

    Penyelesaian :

     f’(x)=5x4 +2 > 0 untuk semua x 

     Jadi  f  naik pada seluruh garis real, sehingga f  memiliki balikan.

    Teorema A (Purcell, et all, page 333, 2003) : Jika f  monoton murni pada daerah asalnya, maka f  memiliki

    balikan.   1 1  f f x y f f y x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    7/53

    Cara Menentukan Fungsi Invers

    Contoh :

    Perlihatkan bahwa :

    Memiliki fungsi balikan dan carilah f -1(x)

    Langkah mencari fungsi invers (Purcell, et all, page 335, 2003) :1. Selesaikan persamaan y= f (x) untuk x dalam bentuk y.2. Gunakan f -1(y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.3. Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus untul f -1(x)

    1

     x y f x

     x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    8/53

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    9/53

    Cara Menentukan Fungsi Invers

    Langkah 2 :

    Langkah 3 :

    1

    1

     y  f y

     y

    1

    1

     x  f x

     x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    10/53

    Turunan Fungsi Invers

    Teorema B (Purcell, et all, page 336, 2003) : Jika f  terdiferensiasikan dan monoton murni pada selang I . Jika f’(x)≠0 di suatu x tertentu dalam I , maka f -1 terdiferensiasikan di

    titik yang berpadanan y= f (x) dalam daerah hasil f  dan

     

    1   1

    1

      f y  f x

    dx

    dydy

    dx

     

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    11/53

    Turunan Fungsi InversContoh :Andaikan y= f (x)=x5 +2x+1, carilah ( f -1)’(4)! 

    Penyelesaian :

    Walaupun kita dapat mencari f -1

    ,pada kasus ini perhatikan bahwa jika y=4, maka 4=x5 +2x+1 yang diperoleh bahwa x=1.

    Kemudian :

    y'= f’(x)=5x4 +2

    Maka :

       

    1

    4

    1 1 14

    1 75 1 2  f y

      f  

       

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    12/53

    Fungsi Eksponen Asli

    Purcell, et all, (page 339, 2003):

    Louis Leithol, (page 405, 1976):

    Definisi :Balikan (invers) ln disebut eksponen asli dan dinyatakan olehexp , jadi :

    exp ln x y y x

    Definisi :

    The exponential function is the inverse of the natural logarithmic function and it is defines by :

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    13/53

    Fungsi Eksponen Asli

    Berdasarkan definisi maka :i. Exp (ln x) = x, untuk x>0

    ii. ln (exp y) = y, untuk semua y 

    Oleh karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi balikan maka grafik

    y=exp x adalah grafik y=ln x yang dicerminkan terhadap garis y=x 

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    14/53

    Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli

    Purcell, et all, (page 339, 2003):

    Louis Leithol, (page 407, 1976):

    Definisi :Huruf e menyatakan bilangan real positif unik sedemikianrupa sehingga ln e = 1

    Definisi :The number e is defined by the formula :

    e=exp 1

    The number e is a trancendental number, that is, it cannot beexpressed as the root of any polynomial with integer coeffisients.

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    15/53

    Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli

    Paul A. Foerster (page 288, 2005) :

    Robert Oman & Daniel Oman (page 134, 1999) :

    the number e is defined to be this limit. The equivalent definition

    the first definition of e involves a limit. The number e is defined as :

    1

    1lim

     x

    n   x

    11lim

     x

    n

    e

     x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    16/53

    Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli

    Robert Oman & Daniel Oman (page 134, 1999) :

    Berdasarkan hasil perhitungan limit di atas, maka sama halnyaseperti yang disebutkan oleh Purcell, et all, Louis Leithol, Paul A.

    Foerster dan Robert Oman & Daniel Oman : 

    2, 718281828459045 2, 72e

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    17/53

    Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli

    Purcell, et all, (page 339, 2003): Jika r  adalah sebarang bilangan rasional :

    Dengan demikian untuk semua nilai x (rasional & irasional) :

      exp ln exp ln expr r e e r e r  

    exp

     x

    e x

    Teorema A (Purcell, et all, page 340, 2003):Andaikan a dan b sebarang bilangan real, maka :

    a b a b

    aa b

    b

    e e e

    ee

    e

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    18/53

    Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli

    Proof : 

    exp ln

    exp ln ln

    exp ln ln

    exp

    a b a b

    a b

    a b

    e e e e

    e e

    a e b e

    a b

    e  

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    19/53

    Turunan Fungsi Eksponen Asli

    Purcell, et all (page 340, 2003):

    Apabila u= f (x) terdiferensiasikan, maka menurut aturan rantai :

     x x

     x D e e

    u u x x D e e D u

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    20/53

    Turunan Fungsi Eksponen Asli

    Contoh :Tentukan :

    Penyelesaian :Dengan menggunakan u=√x diperoleh bahwa

     x

     x D e

    1

    2

    1

    2

    2

     x x

     x x

     x

     x

     D e e D x

    e x

    e

     x

     

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    21/53

    Turunan Fungsi Eksponen Asli

    Contoh :Tentukan :

    Penyelesaian :

    Dengan menggunakan u=x2

    ln x diperoleh bahwa

    2ln x x

     x D e

    2 2

    2

    2

    2

    2

    ln ln 2

    ln 2

    ln

    ln

    ln 2

    ln

    12 ln

    2 ln

    1 2 ln

    1 ln

     x x x x

     x x

     x x

     x x

     x x

     x x

     D e e D x x

    e x x x x

    e x x x

     xe x

     xe x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    22/53

    Integral Fungsi Eksponen AsliPurcell, et all (page 341, 2003):

    Contoh :

    Tentukan

     x x

    u u

    e dx e C  

    e du e C  

    4 xe dx

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    23/53

    Integral Fungsi Eksponen Asli

    Andaikan u=-4x maka du=-4dx maka :

    4

    4

    1

    4

    14

    1

    4

    1

    4

     x u

    u

    u

     x

    e dx e du

    e du

    e C 

    e C 

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    24/53

    Integral Fungsi Eksponen Asli

    Contoh :Tentukan

    Misalkan u=-3x2 maka du=-6x dx sehingga : 

    23 x xe dx

    2

    2

    3

    3

    1

    6

    1

    6

    1

    61

    6

     x u

    u

    u

     x

     xe dx e du

    e du

    e C 

    e C 

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    25/53

    Fungsi Eksponen dan Logaritma

    Umum

    Purcell, et all (page 343, 2003):

    Louis Leithol, (page 414, 1976):

    Untuk a>0 dan sebarang bilangan real x

    We have that if a is any positive number and x is anyreal number, then the function f defined by :

    Is called the exponential function to the base a

    ln x r xa e

    ln x r xa e

      x

      f x a

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    26/53

    Sifat-sifat a x  

    Teorema A (Purcell, et all, page 344, 2003):

     Jika a>0, b>0 dan x dan y adalah bilangan-bilangan real maka :

     

     x y x y

     y x xy

     x  x

     x

     x x y

     y

     x  x x

    i a a a

    ii a a

    a aiii

    b b

    aiv aa

    v ab a b

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    27/53

    Sifat-sifat a x  

    Teorema B (Purcell, et all, page 344, 2003):

    Contoh :

    Cari

    ln

    1, 1

    ln

     x x

     x

     x x

     D a a a

    a dx a C a

    a

    3   x x D

        1

    21 3 ln 3

    3 3 ln 3 3 ln 32   2

     x x x x

     x x D D x x x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    28/53

    Sifat-sifat a x  

    Contoh :Carilah

    Misalkan u=x3 maka du = 3x2 dx, sehingga :

    322 x  x dx

    3

    3

    2   12 2

    3

    12

    3

    1 12

    3 ln 2

    2

    3 ln 2

     x u

    u

    u

     x

     x dx du

    du

     

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    29/53

    Fungsi loga 

    Purcell, et all. (page 345, 2003): Jika 0

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    30/53

    Fungsi loga 

    Ingat kembali bahwa logaritma natural (asli) memiliki basis e,kemudian perhatikan bahwa log, adalah fungsi invers dari f (x)=ex

    sehingga lambang lain untuk ln adalah :

     Jika y=loga x sehingga x=ay maka :

    Dengan demikian

    log lne  x x

    ln ln x y a 

    lnlogln

    1log

    ln

    a

     x a

     x xa

     D x x a

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    31/53

    Fungsi loga 

    Contoh : Jika carilah dy/dx

    Andaikan u=x4 +13 maka berdasarkan aturan rantai :

    410log 13 y x

    3

    3

    4

    14

    ln10

    4

    13 ln 10

    dy dy du

    dx du dx

     xu

     x

     x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    32/53

    Fungsi ax,xadan xx 

    Bedakan bahwa :

    Fungsi Eksponen :

    Fungsi pangkat :

      x  f x a

      a  f x x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    33/53

    Fungsi ax,xadan xx 

    Turunan dari masing-masing fungsi adalah :

    Fungsi Eksponen :

    Fungsi pangkat :

        ln x x

     x x D f x D a a a

        1a a x x D f x D x ax  

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    34/53

    Fungsi ax,xadan xx 

    Integral dari masing-masing fungsi adalah :

    Fungsi Eksponen :

    Fungsi pangkat :

    1, 1ln

     x x

    a dx a C aa

      11

    , 1

    1

    a a  f x dx x dx x C a

    a

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    35/53

    Fungsi xx 

     Jika y=xx dan x>0 , maka

    ln ln

    ln ln

    1 1ln

    1 ln

    1 ln

     x

     x

     x

     x

     x

     x

     y x

     y x

     y x x

     D y x x y x

     D y y x

     D y x x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    36/53

    Contoh

    Carilah :

    Misalkan u=1/x maka du=(-1/x2)dx maka :

    1

    2

    5   xdx

     x

    1

    2

    1

    55

    5

    5

    ln 5

    5

    ln 5

     xu

    u

    u

     x

    dx du x

    du

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    37/53

    Fungsi Trigonometri

    Trigonometri

    Sinus

    Kosinus

    Tangen

    Kotangen

    Sekan

    Kosekan

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    38/53

    Fungsi Balikan Trigonometri

    Purcell, et all. (page 360, 2003):

    Note :

    arcsin=sin-1

    arccos=cos-1 

    Definisi :Untuk memperoleh balikan dari sinus dan cosinus, kita membatasi daerahasal mereke masing-masing pada selang [-π/2,π/2] dan [0,π]. Sehingga

    1

    1

    sin sin2 2

    cos cos 0

     x y y x dan x

     x y y x dan x

     

     

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    39/53

    Grafik Fungsi Balikan Sin x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    40/53

    Grafik Fungsi Balikan Cos x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    41/53

    Fungsi Balikan Trigonometri

    Contoh :Hitunglah

     

    1

    1

    1

    2

    sin 2

    1cos

    2

    cos cos 0, 6

    a

    b

    c

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    42/53

    Fungsi Balikan Trigonometri

    Ingat kembali bahwa :sin cos

    0 0 1

    1 3

    6 2 2

    2 2

    4 2 2

    3 1

    3 2 2

    1 02

    2 3 1

    3 2 2

    3 2 2

    4 2 2

    5 1 3

    6 2 2

    0 1

     x x x

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1

    1

    1

    2sin

    2 4

    1 2cos

    2 3

    cos cos 0, 6 0, 6

    a

    b

    c

     

     

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    43/53

    Fungsi Balikan Trigonometri

    Purcell, et all. (page 361, 2003):

    Definisi :Untuk memperoleh balikan dari tangen dan sekan, kita membatasi daerahasal mereka masing-masing pada selang [- π /2, π /2] danSehingga :

    1

    1

    1 1

    tan tan2 2

    sec sec 0 ,2

    1 1sec sec coscos

     x y y x dan x

     x y y x dan x x

     x y x y

     

      

     

      0, ,2 2      

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    44/53

    Fungsi Balikan Trigonometri

    Contoh :Hitunglah

     

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    tan 1

    tan 3

    tan tan 5, 236

    sec 1

    sec 2

    sec 1, 32

    a

    b

    c

    e

     f  

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    45/53

    Fungsi Balikan Trigonometri

    Ingat kembali

     

    1

    1

    1

    1 1

    1 1

    1 1

    tan 14

    tan 3 3

    tan tan 5, 236 1, 0471853

    1sec 1 cos

    1

    1sec 2 cos 2 3

    1sec 1, 32 cos 2, 4303875

    1, 32

    a

    b

    c

    e

      f  

     

     

     

     

    sin

    tan cos

     x

     x  x

    sin cos

    0 0 1

    1 3

    6 2 2

    2 2

    4 2 2

    3 1

    3 2 2

    1 02

    2 3 1

    3 2 2

    3 2 2

    4 2 2

    5 1 3

    6 2 2

    0 1

     x x x

     

     

     

     

     

     

     

     

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    46/53

    Fungsi Balikan Trigonometri

    Purcell, et all. (page 362, 2003):

    Teorema A

     

     

     

     

    1 2

    1 2

    1 2

    2

    1

    2

    sin cos 1

    cos sin 1

    sec tan 1

    1 , 1tan sec1 , 1

    i x x

    ii x x

    iii x x

     x xiv x x x

       

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    47/53

    Fungsi Balikan Trigonometri

    Contoh :Hitunglah

    Ingat bahwa : sin 2θ=2 sin θ cos θ, maka :

    1   2sin 2 cos3

    1 1 1

    2

    2 2 2sin 2 cos 2 sin cos cos cos

    3 3 3

    2 22 1

    3 3

    4 5

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    48/53

    Turunan Fungsi Trigonometri

    Purcell, et all. (page 363, 2003):

    2

    2

    sin cos

    cos sin

    tan sec

    cot csc

    sec sec tancsc csc tan

     x

     x

     x

     x

     x

     x

     D x x

     D x x

     D x x

     D x x

     D x x x D x x x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    49/53

    Turunan Fungsi BalikanTrigonometri

    Purcell, et all. (page 363, 2003):

    Teorema B

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1sin , 1 1

    1

    1cos , 1 1

    1

    1tan

    1

    1sec , 11

     x

     x

     x

     x

    i D x x x

    ii D x x x

    iii D x x

    iv D x x x x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    50/53

    Turunan Fungsi Balikan Trigonometri

    Contoh :Carilah

    Gunakan teorema B dan aturan rantai

    1sin 3 1 x D x

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    1sin 3 1 3 1

    1 3 13

    1 3 1

    3

    1 9 6 1

    3

    1 9 6 1

    3

    9 6

     x x D x D x

     x

     x

     x x

     x x

     x x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    51/53

    Turunan Fungsi Balikan Trigonometri

    Contoh :Seorang berdiri di puncak sebuah bukit tegak kira-kira 200 kaki diatas sebuah danau. Dia mengamati perahu bermotor yangbergerak lurus menjauhi kaki bukit dengan laju 25 kaki tiap detik.Berapa laju perubahan sudut penglihatan θ apabila perahu berada

    pada jarak 150 kaki dari kaki bukit itu

    θ 

    200 

    1

    2   2

    200tan

    1 200 200

    40.0002001

     x

    d d dx dx dx

    dt dx dt x dt x dt  

     x

     

     

     

     

    x=150 dan dx/dt=25, maka 0, 08d 

    dt 

     

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    52/53

    Integral Fungsi BalikanTrigonometri

    Purcell, et all. (page 364, 2003):

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1sin

    1

    1tan

    1

    1sec

    1

    i dx x C   x

    ii dx x C   x

    iii dx x C  

     x x

  • 8/17/2019 Pertemuan Ke-2 (Integral Tak Tentu, Eksponensial & Trigonometri)

    53/53

    TERIMA KASIH