PP-15(Integral Tak Tentu)

INTEGRAL Tak Tentu INTEGRAL Tak Tentu Dan Dan

Integral Tak wajarIntegral Tak wajar

http://images.google.co.id/imgres?imgurl=http://streams.gandhiserve.org/images/einstein.jpg&imgrefurl=http://streams.gandhiserve.org/einstein.html&h=488&w=381&sz=37&tbnid=bPVjN0hsm4TdKM:&tbnh=130&tbnw=101&prev=/images%3Fq%3Dfoto%2Beinstein%26um%3D1&start=2&sa=X&oi=images&ct=image&cd=2

Slide - Slide - 22IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR

Bentuk Tak Tentu Jenis 0/0Bentuk Tak Tentu Jenis 0/0

Ada 3 masalah limit yang dikenal, yaitu

, ,

Limit tersebut tidak dapat ditentukan dgn aturan hasil bagi limit, yaitu hasil bagi pembilang dan penyebut berlimit nol, sehingga dgn menggunakan aturan penarikan limit untuk hasil bagi, diperoleh jawaban yg tak ada artinya, yaitu 0/0.

Aturan yg lazim dipakai untuk menghitung limit-limit demikian dinamakan Aturan l’Hopital.

x

xsinlim

0x 6xx

9xlim

2

2

3x

ax

f(a)f(x)lim

ax


Aturan Aturan l’Hopital l’Hopital untuk bentuk 0/0untuk bentuk 0/0

Mis : Mis :

Apabila : Apabila : ada, baik ia terhingga atau tak terhingga

(bilangan terhingga L, , atau -), maka :

0g(x) limf(x) limuxux

(x)](x)/g[f lim ''

(x)g

(x)flim

'

'

ux



Contoh : Contoh : Gunakan aturan l’Hopital untuk membuktikan bahwa :

Jawab :

xD

xsin Dlim

x

xsinlim

x

x

0x0x

x

xsinlima)

0x

11

xcoslim

0x

Jawab :

6xx

9xlimb)

2

2

3x

5

6

12x

2xlim

6xx

9xlim

3x2

2

3x



Contoh : Contoh : Gunakan aturan l’Hopital untuk membuktikan bahwa :

Jawab :

Jawab :

x

xcos1limc)

0x

xD

cosx)(1Dlim

x

cosx1lim

x

x

0x0x

01

sinxlim

0x

44xx

103xxlimd)

2

2

2x

42x

32xlim

44xx

103xxlim

2x2

2

2x


Teorena Nilai Rata-rata CauchyTeorena Nilai Rata-rata Cauchy

Andaikan f dan g fungsi yg terdiferensialkan pada selang (a, b) & kontinu pd selang [a, b]. Apabila g (x) 0 untuk semua x di (a, b), maka ada bilangan c dalam selang (a, b) sehingga :

Bukti aturan l’Hopital : adanya mengandung pula sifat adanya f (x) & g (x)

paling sedikit dalam lingkungan (a, b) dari a & bahwa :

dan

c)g

(c)f

g(a)g(b)

f(a)f(b)'

'

(x)](x)/g[f lim ''

ax

0 f(x) limax

0g(x) limax


Teorena Nilai Rata-rata CauchyTeorena Nilai Rata-rata Cauchy

Bukti aturan l’Hopital : (lanjutan) Dapat didefinisikan bahwa f(a)=0 dan g(a) = 0. Dengan demikian f dan g kontinu (kanan) di a, agar f dan g memenuhi syarat-syarat dalam teorema nilai rata-rata Cauchy pd selang [a, b]. Maka ada c dalam (a, b) sehingga :

Oleh karena f(a) = 0 = g(a), maka :

Apabila b a+ jadi juga c a+, maka diperoleh :

Bukti yang serupa berlaku untuk limit kiri.

c)g

(c)f

g(a)g(b)

f(a)f(b)'

'

c)g

(c)f

g(b)

f(b)'

'

(c)g

(c)flim

g(b)

f(b)lim

'

'

acab


Integral Tak WajarIntegral Tak Wajar

Integral tertentu disebut integral tak wajar, jika :

a) integral f(x) memp. satu atau lebih titik diskontinu pd selang a x b, atau b) paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga Integran yg Diskontinu, jika f(x) pada selang a x < b, tetapi diskontinu pada x = b, maka didefinisikan :

Jika f(x) kontinu pd selang a<x b, tetapi diskontinu di x = a, didefinisikan

b

a

f(x)dx

b

a

εb

a0ε

ada limit asalkan f(x)dx,limf(x)dx

ada limit asalkan ,f(x)dxlimf(x)dxb

a

b

εa0ε



Jika f(x) kontinu u/ semua nilai x pd selang a x b, kecuali x = c, di mana a < c < b, didefinisikan : :

asalkan kedua limit itu ada.

b

εc0ε

b

a

εc

a0ε

f(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dx



Contoh :

Penyelesaian : Integran diskontinu pada x = 3.

Maka :

3

02x9

dx : Hitung 1)

3

ε3arcsinlim

3

xarcsinlim

x9

dxlim

0ε

ε3

00ε

ε3

020ε

2

11arcsinlim

0

2

1

9

3

02

x

dx


Bentuk Tak WajarBentuk Tak Wajar yang lain yang lain

Untuk limit sebagai berikut :

Bentuk limit ini tergolong bentuk yg memiliki sifat bahwa pembilang & penyebut menuju tak terhingga. Bentuk tsb dinamakan bentuk tak-tentu dari jenis /. Bentuk l’Hopital juga berlaku dalam hal ini. Jadi,

xx e

xlim

g(x)

f(x)limx

(x)g

(x)flim

g(x)

f(x)lim

'

'

xx

Contoh :

Penye. : Tampak bahwa x & ex menuju apabila x .

xx e

xlim : Tentukan 1)

Dgn menggunakan Aturan l’Hopital diperoleh :

0e

1lim

eD

xDlim

e

xlim

xxxx

x

xxx


Pemakaian Integral Tak Tentu Pemakaian Integral Tak Tentu

Bila persamaan y = f(x) st kurva diketahui kemiringan m di tiap titik P(x,y) pd kurva tsb diberikan oleh m = f(x). Sebaliknya, bila kemiringan suatu kurva di titik P(x,y) padanya diberikan oleh m = dy/dx = f(x), kumpulan kurva y = f(x) + C dapat ditemukan lewat integrasi. U/ mengambil salah satu kurva tertentu dari kumpulan itu, ditetap- kan a/ ditentukan suatu nilai C. Dilakukan dgn menyatakan bahwa karna melalui suatu titik tertentu.

Suatu persamaan s = f(t), dimana s adl. jarak suatu benda pada t terhadap suatu titik tetap pd lintasannya (garis lurus), dgn lengkap mendefinisikan gerakan benda. Kecepatan dan percepatan pada saat t diberikan oleh :

(t)fdt

dsv ' (t)f

dt

sd

dt

dva ''

2

2

dandan



Contoh :

1) Carilah pers. kumpulan kurva yg kemiringannya di titik P(x,y) adalah

m= 3x2y dan persamaan kumpulan kurva yg melalui titik (0,8). Penyelesaian :

, maka :

dan : , Jika x = 0 dan y = 8,

8 = ce0 = c

Persamaan kurva yang ditanyakan adalah :

dx3xy

dyatauy 3x

dx

dym 22 c lnxCx yln 33

3xec y

3x8ey



2) Suatu besaran tertentu q bertambah dgn kelajuan yg sebanding dgn besarnya sendiri. Jika q = 25 bila t = 0 dan q = 75 bila t = 2, cari q bila t =

6.

Penyelesaian :

Karena :

Maka : ln q = kt + ln c atau

Bila t = 0, q = 25 = ce0 = c ; jadi q = 25ekt

Bila t = 2, q = 25e2k = 75 ; maka e2k = 3 = e1.10 dan k= 55

Bila t = 6, q = 25e55t = 22e3.3 = 25(e1.1)3 = 25(27) = 675

dt kq

dqdiperolehkq,

dt

dq

ktec q


Contoh tambahan : Contoh tambahan :

1) Tentukan limit dari soal-soal dibawah ini. Periksa dgn seksama apakah syarat l’Hopital benar-benar telah terpenuhi sebelum digunakan :

x

2x xsinlim a)

0x

2/1

coslim)

)2/1( x

xb

x

54xx

45xxlimc)

2

2

1x

1x

xlnlim d)

21x

lnt

ttlim e)

1t



2) Tentukan limit dari soal-soal dibawah ini. Telitilah dengan seksama sebelum menggunakan Aturan l’Hopital.

x

10

x e

xlim a)

xln

x)ln(lnlim b)x

1/x

xxlim c)

x

0x x)(sinlim d)

2x

0x(2x) lim e)



3) Hitunglah :

1

0 x

dx a)

4

0 x4

dx b)

4

0 x4

dx c)

PP-15(Integral Tak Tentu)

Documents

Transcript of PP-15(Integral Tak Tentu)