MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit...
Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit...
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
1 Februari 2017
Kuliah yang Lalu
8.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0
Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopital
8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya
Menghitung bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, dan 1∞
2/7/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari Ini
8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga
Mengenali dan menghitung integral tak wajardengan batas tak terhingga
8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran Tak Terbatas
Mengenali dan menghitung integral tak wajardengan integran tak terbatas
2/7/2014 3(c) Hendra Gunawan
8.3 INTEGRAL TAK WAJAR DENGANBATAS TAK TERHINGGA
MA1201 MATEMATIKA 2A
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Mengenali dan menghitung integral takwajar dengan batas tak terhingga
Integral Tak Wajar
Dalam definisi integral tentu terdapatdua asumsi:
(i) selang pengintegralannya, yaitu [a,b], merupakan selang terhingga;
(ii) fungsi integrannya (yang diintegralkan) merupakan fungsi terbatas.
Namun, dalam aplikasinya, ada kalanya salahsatu atau kedua asumsi ini tidak dipenuhi. Dalam hal demikian kita berhadapan denganintegral tak wajar.
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 5
b
a
dxxf )(
Integral Tak Wajar denganBatas Tak Terhingga
Pada sub-bab ini kita akan membahas terlebihdahulu integral tak wajar dengan batas takterhingga, misalnya integral berikut ini:
Kita akan mulai dengan bentuk yang pertamaterlebih dahulu.
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 6
0
3
20
2.
1,,
1
1 2
dxx
xdxxedx
x
x
Bagaimana Menghitung
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 7
.)(b
a
dxxf
Untuk setiap b > a, kita dapat meng-hitung integral tentu
Integral tak wajar
dapat didefinisikan sebagai limit dariintegral tentu di atas, untuk b∞.
a
dxxf )(
a
dxxf )( a b
Definisi Integral Tak Wajar
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 8
a
dxxf )(
b
ab
a
dxxfdxxf ,)(lim:)(
a b
bila limit ini ada.
Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen.
Contoh/Latihan
1. Hitung bila konvergen.
Jawab:
Untuk setiap b > 0, kita hitung
Jadi
2/7/2014 9(c) Hendra Gunawan
0
2,
1
1dx
x
.tan0tantantan1
1 111
0
1
0
2bbxdx
x
bb
.2
tanlim1
1lim
1
1 1
0
2
0
2
bdxx
dxx
b
bb
2. Hitung
Jawab:
2/7/2014 10(c) Hendra Gunawan
0
.dxe x
Definisi Integral Tak Wajar
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 11
c
dxxf )(
c
aa
c
dxxfdxxf ,)(lim:)(
a c
bila limit ini ada.
Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen.
3. Hitung
Jawab:
2/7/2014 12(c) Hendra Gunawan
02
dxxe x
Definisi Integral Tak Wajar
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 13
dxxf )(
0
0
,)()(:)( dxxfdxxfdxxf
bila kedua integral di ruas kanan konvergen.
4. Hitung bila konvergen.
Jawab:
2/7/2014 14(c) Hendra Gunawan
,1
12
dxx
5. Hitung bila konvergen.
Jawab:
2/7/2014 15(c) Hendra Gunawan
,1 2
dxx
x
Meluncurkan Roket ke Angkasa
Menurut Hukum Newton, gaya gravitasi yang dialami oleh roket berbanding terbalik dgn jarakkuadrat, yakni -k/x2, dengan x = jarak dari pusatBumi. Karena itu, gaya yang diperlukan utkmengangkat roket tsb adalah F(x) = k/x2. Berapakah kerja yang diperlukan untukmeluncurkan roket dgn berat 500 N ke luarangkasa?
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Meluncurkan Roket ke Angkasa
Menurut Hukum Newton, gaya gravitasi yang dialami oleh roket berbanding terbalik dgn jarakkuadrat, yakni -k/x2, dengan x = jarak dari pusatBumi. Karena itu, gaya yang diperlukan utkmengangkat roket tsb adalah F(x) = k/x2. Berapakah kerja yang diperlukan untukmeluncurkan roket dgn berat 500 N ke luarangkasa?
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Bahan Diskusi
Untuk nilai p berapakah integral tak wajar ini
konvergen?
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 18
1
1dx
x p
8.4 INTEGRAL TAK WAJAR DENGANINTEGRAN TAK TERBATAS
MA1201 MATEMATIKA 2A
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Mengenali dan menghitung integral takwajar dengan integran tak terbatas
Integral Tak Wajar denganIntegran Tak Terbatas
Sekarang kita akan membahas integral tak wajardengan integran tak terbatas, misalnya integral berikut ini:
Pada integral pertama, integran tak terbatas diujung kiri; sedangkan pada integral kedua, integran tak terbatas di ujung kanan. Apa yang membuat integral ketiga tak wajar?2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 20
2
0
3/2
1
0
2/
0
.)1(
1,.tan,
1dx
xdxxdx
x
Definisi Integral Tak Wajardengan f tak terbatas di a
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 21
c
a
dxxf )(
c
bab
c
a
dxxfdxxf ,)(lim:)( bila limit ini ada.
a b c
Contoh/Latihan
1. Hitung bila konvergen.
Jawab:
Untuk setiap b > 0, dengan b < 1, kita hitung
Jadi
2/7/2014 22(c) Hendra Gunawan
1
0
,1
dxx
11
.2221
bb
bxdxx
1
00
1
0.2)22(lim
1lim
1bdx
xdx
x bb
b
2. Hitung bila konvergen.
Jawab:
2/7/2014 23(c) Hendra Gunawan
3
1
3/1,
)1(x
dx
3. Hitung bila konvergen.
Jawab:
2/7/2014 24(c) Hendra Gunawan
1
21
,ln xx
dx
Definisi Integral Tak Wajar dgnf tak terbatas di c є (a,b)
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 25
b
a
dxxf )(
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf ,)()(:)(
bila kedua integral di ruas kanan konvergen.
a bc
Contoh/Latihan
4. Hitung bila konvergen.
Jawab:
Integran tak terbatas di x = 1. Kita hitung dahulu:
Jadi:
2/7/2014 26(c) Hendra Gunawan
2
0
3/2,
)1(x
dx
1
0 00
3/1
13/2
13/2
.3)1(3lim)1(
lim)1(
cc
ccx
x
dx
x
dx
2
1
22
3/1
13/2
13/2
.3)1(3lim)1(
lim)1(
cccc
xx
dx
x
dx
.633)1(
2
0
3/2
x
dx
5. Hitung
Jawab:
2/7/2014 27(c) Hendra Gunawan
3
1
2.
1dx
x
Bahan Diskusi
Untuk nilai p berapakah integral tak wajar ini
konvergen?
Apakah ada bilangan p yang membuat integral
konvergen? [Integral tak wajar jenis apa ini?]
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 28
1
0
1dx
x p
0
1dx
x p