MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit...

28
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 1 Februari 2017

Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit...

Page 1: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

1 Februari 2017

Page 2: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Kuliah yang Lalu

8.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0

Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopital

8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya

Menghitung bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, dan 1∞

2/7/2014 2(c) Hendra Gunawan

Page 3: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Sasaran Kuliah Hari Ini

8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga

Mengenali dan menghitung integral tak wajardengan batas tak terhingga

8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran Tak Terbatas

Mengenali dan menghitung integral tak wajardengan integran tak terbatas

2/7/2014 3(c) Hendra Gunawan

Page 4: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

8.3 INTEGRAL TAK WAJAR DENGANBATAS TAK TERHINGGA

MA1201 MATEMATIKA 2A

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Mengenali dan menghitung integral takwajar dengan batas tak terhingga

Page 5: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Integral Tak Wajar

Dalam definisi integral tentu terdapatdua asumsi:

(i) selang pengintegralannya, yaitu [a,b], merupakan selang terhingga;

(ii) fungsi integrannya (yang diintegralkan) merupakan fungsi terbatas.

Namun, dalam aplikasinya, ada kalanya salahsatu atau kedua asumsi ini tidak dipenuhi. Dalam hal demikian kita berhadapan denganintegral tak wajar.

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 5

b

a

dxxf )(

Page 6: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Integral Tak Wajar denganBatas Tak Terhingga

Pada sub-bab ini kita akan membahas terlebihdahulu integral tak wajar dengan batas takterhingga, misalnya integral berikut ini:

Kita akan mulai dengan bentuk yang pertamaterlebih dahulu.

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 6

0

3

20

2.

1,,

1

1 2

dxx

xdxxedx

x

x

Page 7: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Bagaimana Menghitung

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 7

.)(b

a

dxxf

Untuk setiap b > a, kita dapat meng-hitung integral tentu

Integral tak wajar

dapat didefinisikan sebagai limit dariintegral tentu di atas, untuk b∞.

a

dxxf )(

a

dxxf )( a b

Page 8: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Definisi Integral Tak Wajar

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 8

a

dxxf )(

b

ab

a

dxxfdxxf ,)(lim:)(

a b

bila limit ini ada.

Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen.

Page 9: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Contoh/Latihan

1. Hitung bila konvergen.

Jawab:

Untuk setiap b > 0, kita hitung

Jadi

2/7/2014 9(c) Hendra Gunawan

0

2,

1

1dx

x

.tan0tantantan1

1 111

0

1

0

2bbxdx

x

bb

.2

tanlim1

1lim

1

1 1

0

2

0

2

bdxx

dxx

b

bb

Page 10: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

2. Hitung

Jawab:

2/7/2014 10(c) Hendra Gunawan

0

.dxe x

Page 11: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Definisi Integral Tak Wajar

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 11

c

dxxf )(

c

aa

c

dxxfdxxf ,)(lim:)(

a c

bila limit ini ada.

Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen.

Page 12: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

3. Hitung

Jawab:

2/7/2014 12(c) Hendra Gunawan

02

dxxe x

Page 13: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Definisi Integral Tak Wajar

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 13

dxxf )(

0

0

,)()(:)( dxxfdxxfdxxf

bila kedua integral di ruas kanan konvergen.

Page 14: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

4. Hitung bila konvergen.

Jawab:

2/7/2014 14(c) Hendra Gunawan

,1

12

dxx

Page 15: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

5. Hitung bila konvergen.

Jawab:

2/7/2014 15(c) Hendra Gunawan

,1 2

dxx

x

Page 16: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Meluncurkan Roket ke Angkasa

Menurut Hukum Newton, gaya gravitasi yang dialami oleh roket berbanding terbalik dgn jarakkuadrat, yakni -k/x2, dengan x = jarak dari pusatBumi. Karena itu, gaya yang diperlukan utkmengangkat roket tsb adalah F(x) = k/x2. Berapakah kerja yang diperlukan untukmeluncurkan roket dgn berat 500 N ke luarangkasa?

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 16

Page 17: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Meluncurkan Roket ke Angkasa

Menurut Hukum Newton, gaya gravitasi yang dialami oleh roket berbanding terbalik dgn jarakkuadrat, yakni -k/x2, dengan x = jarak dari pusatBumi. Karena itu, gaya yang diperlukan utkmengangkat roket tsb adalah F(x) = k/x2. Berapakah kerja yang diperlukan untukmeluncurkan roket dgn berat 500 N ke luarangkasa?

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 17

Page 18: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Bahan Diskusi

Untuk nilai p berapakah integral tak wajar ini

konvergen?

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 18

1

1dx

x p

Page 19: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

8.4 INTEGRAL TAK WAJAR DENGANINTEGRAN TAK TERBATAS

MA1201 MATEMATIKA 2A

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 19

Mengenali dan menghitung integral takwajar dengan integran tak terbatas

Page 20: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Integral Tak Wajar denganIntegran Tak Terbatas

Sekarang kita akan membahas integral tak wajardengan integran tak terbatas, misalnya integral berikut ini:

Pada integral pertama, integran tak terbatas diujung kiri; sedangkan pada integral kedua, integran tak terbatas di ujung kanan. Apa yang membuat integral ketiga tak wajar?2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 20

2

0

3/2

1

0

2/

0

.)1(

1,.tan,

1dx

xdxxdx

x

Page 21: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Definisi Integral Tak Wajardengan f tak terbatas di a

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 21

c

a

dxxf )(

c

bab

c

a

dxxfdxxf ,)(lim:)( bila limit ini ada.

a b c

Page 22: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Contoh/Latihan

1. Hitung bila konvergen.

Jawab:

Untuk setiap b > 0, dengan b < 1, kita hitung

Jadi

2/7/2014 22(c) Hendra Gunawan

1

0

,1

dxx

11

.2221

bb

bxdxx

1

00

1

0.2)22(lim

1lim

1bdx

xdx

x bb

b

Page 23: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

2. Hitung bila konvergen.

Jawab:

2/7/2014 23(c) Hendra Gunawan

3

1

3/1,

)1(x

dx

Page 24: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

3. Hitung bila konvergen.

Jawab:

2/7/2014 24(c) Hendra Gunawan

1

21

,ln xx

dx

Page 25: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Definisi Integral Tak Wajar dgnf tak terbatas di c є (a,b)

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 25

b

a

dxxf )(

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf ,)()(:)(

bila kedua integral di ruas kanan konvergen.

a bc

Page 26: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Contoh/Latihan

4. Hitung bila konvergen.

Jawab:

Integran tak terbatas di x = 1. Kita hitung dahulu:

Jadi:

2/7/2014 26(c) Hendra Gunawan

2

0

3/2,

)1(x

dx

1

0 00

3/1

13/2

13/2

.3)1(3lim)1(

lim)1(

cc

ccx

x

dx

x

dx

2

1

22

3/1

13/2

13/2

.3)1(3lim)1(

lim)1(

cccc

xx

dx

x

dx

.633)1(

2

0

3/2

x

dx

Page 27: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

5. Hitung

Jawab:

2/7/2014 27(c) Hendra Gunawan

3

1

2.

1dx

x

Page 28: MA1201 MATEMATIKA 2A · hitung integral tentu Integral tak wajar dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞.

Bahan Diskusi

Untuk nilai p berapakah integral tak wajar ini

konvergen?

Apakah ada bilangan p yang membuat integral

konvergen? [Integral tak wajar jenis apa ini?]

2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 28

1

0

1dx

x p

0

1dx

x p