Integral tak tentu dan integral tentu

12
INTEGRAL Matematika Wajib SMA

Transcript of Integral tak tentu dan integral tentu

Page 1: Integral tak tentu dan integral tentu

INTEGRALMatematika Wajib SMA

Page 2: Integral tak tentu dan integral tentu

Definisi Integral

Integral disebut juga sebagai anti turunan.

Jika fungsi 𝑓 merupakan anti turunan dari fungsi 𝐹, maka integral tak tentu dari fungsi 𝑓 adalah

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 𝐹 π‘₯ + 𝐢

Page 3: Integral tak tentu dan integral tentu

Integral Tak Tentu

Rumus-rumus dasar integral tak tentu adalah sbb :

𝑑π‘₯ = π‘₯ + 𝐢

π‘˜π‘“ π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘˜ 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ , π‘˜ π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘™π‘Žβ„Ž π‘˜π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘Ž

𝑓 π‘₯ Β± 𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘₯ + 𝐢

π‘₯𝑛𝑑π‘₯ =1

𝑛 + 1π‘₯𝑛+1 + 𝐢, 𝑛 β‰  βˆ’1

π‘Ž

π‘₯𝑑π‘₯ =

1

π‘Žln π‘₯ + 𝐢

Page 4: Integral tak tentu dan integral tentu

Contoh

Tentukan integral tentu berikut :

1.

2.

3.

4.

3 𝑑π‘₯

4π‘₯2 𝑑π‘₯

4

3π‘₯𝑑π‘₯

2π‘₯ π‘₯ + 7 π‘₯ 𝑑π‘₯

Page 5: Integral tak tentu dan integral tentu

Jawab

1.

2.

3.

3 𝑑π‘₯ = 3π‘₯ + 𝐢

4π‘₯2 𝑑π‘₯ =4

2 + 1π‘₯2+1 + 𝐢 =

4

3π‘₯3 + 𝐢

4

3π‘₯𝑑π‘₯ =

4

3ln 3π‘₯ + 𝐢

Page 6: Integral tak tentu dan integral tentu

Jawab

4. 2π‘₯ π‘₯ + 7 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 2π‘₯1+12 + 7π‘₯

12 𝑑π‘₯

= 2π‘₯32 + 7π‘₯

12 𝑑π‘₯

= 2π‘₯32𝑑π‘₯ + 7π‘₯

12𝑑π‘₯

= 2 βˆ™2

3 + 2βˆ™ π‘₯3+22 + 7 βˆ™

2

1 + 2βˆ™ π‘₯1+22 + 𝐢

=4

5π‘₯52 +

14

3π‘₯32 + 𝐢

=4

5π‘₯2 π‘₯ +

14

3π‘₯ π‘₯ + 𝐢

Page 7: Integral tak tentu dan integral tentu

Integral Substitusi

Metode substitusi merupakan metode penyelesaian integraldengan mengubah bentuk fungsi menjadi lebih sederhanadalam bentuk variabel tertentu yang saling berhubungandengan cara pemisalan.

Langkah-langkah :

Dimisalkan, salah satu fungsi sebagai 𝑒.

Turunkan fungsi 𝑒 terhadap π‘₯𝑑𝑒

𝑑π‘₯.

Substitusikan fungsi pemisalan ke bentuk integral awal.

Setelah diintegralkan, kembalikan fungsi pemisalan ke bentuk awalnya.

Page 8: Integral tak tentu dan integral tentu

Contoh

Carilah 2π‘₯ βˆ’ 3

π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 1𝑑π‘₯

Page 9: Integral tak tentu dan integral tentu

Jawab

Misalkan 𝑒 = π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 1, maka𝑑𝑒

𝑑π‘₯= 2π‘₯ βˆ’ 3

𝑑𝑒 = 2π‘₯ βˆ’ 3 𝑑π‘₯

2π‘₯ βˆ’ 3

π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 1𝑑π‘₯ =

𝑑𝑒

𝑒= π‘’βˆ’

12𝑑𝑒 =

2

βˆ’1 + 2π‘’βˆ’1+22 + 𝐢

= 2𝑒12 + 𝐢 = 2 π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 1 + 𝐢

Page 10: Integral tak tentu dan integral tentu

Integral Tentu

Misalkan 𝑓 kontinu pada [π‘Ž, 𝑏], maka

π‘Ž

𝑏

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 𝐹(π‘₯) π‘Žπ‘ = 𝐹 𝑏 βˆ’ 𝐹(π‘Ž)

dengan F adalah antiturunan dari 𝑓, yaitu 𝐹′ π‘₯ = 𝑓(π‘₯).

Page 11: Integral tak tentu dan integral tentu

Sifat-sifat Integral Tentu

1.

2.

3.

4.

5.

π‘Ž

π‘Ž

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 0

π‘Ž

𝑏

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = βˆ’

𝑏

π‘Ž

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯

π‘Ž

𝑏

π‘˜π‘“ π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘˜

π‘Ž

𝑏

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯

π‘Ž

𝑏

𝑓 π‘₯ Β± 𝑔(π‘₯) 𝑑π‘₯ =

π‘Ž

𝑏

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ Β±

π‘Ž

𝑏

𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯

π‘Ž

𝑏

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ =

π‘Ž

𝑐

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ +

𝑐

𝑏

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯

Page 12: Integral tak tentu dan integral tentu

Contoh

1

3

2π‘₯2 + 1 𝑑π‘₯ =2

3π‘₯3 + π‘₯

1

3

=2

3βˆ™ 33 + 3 βˆ’

2

3βˆ™ 13 + 1

= 18 + 3 βˆ’2

3+ 1

= 21 βˆ’2

3βˆ’ 1

= 20 βˆ’2

3= 19

1

3