INTEGRAL Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu. 1.2 Menghitung integral tak tentu...

Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 1

INTEGRAL

Kelas XII IIS

Semester Genap

Oleh :

Markus Yuniarto, S.Si.

SMA Santa Angela

Tahun Pelajaran 2017/2018



INTEGRAL

Standar Kompetensi:

1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.

Kompetensi Dasar

1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar

sederhana.

1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Peserta didik mampu memahami konsep integral tak tentu dan

integral tentu.

2. Peserta didik mampu menghitung integral tak tentu dan integral

tentu dari fungsi aljabar.

3. Peserta didik mampu menggunakan integral untuk menghitung

luas daerah di bawah kurva.



INTEGRAL Integral adalah antidiferensial atau anti turunan yang merupakan operasi invers (balikan) dari pendiferensialan. Jika f(x) adalah

turunan dari F(x) terhadap x maka cxFdxxf )()( dengan c

konstanta sembarang dan f(x) disebut integran. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.

A. Integral Tak Tentu

Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses penemuan

suatu fungsi asal (F(x)) apabila fungsi turunan atau derivative F’(x) =

f(x) diketahui.

Berikut ini rumus-rumus umum dan sifat-sifat integral tak tentu.

Rumus:

a. caxdxa

b.

cn

xdxx

nn

1

1

dengan n≠1

c.

cxn

adxax nn 1

1, dengan n≠1

Sifat-sifat:

a. dxxgdxxfdxxgxf )()())()((



b. dxxfadxxfa )()(

c. cxdx

Ex. 1

Tentukan :

dxxxd

dxx

c

dxxxxxb

dxxa

2.

3

8.

27635.

2.

4

234

3

Penyelesaian :

cxcxdxxdxxxd

cx

cxdxxdxx

c

cxxxxxdxxxxxb

cxcxdxxa

2

5

2

5

2

3

3

34

4

2345234

443

5

4

2

5

222.

9

8

)3(3

8

3

8

3

8.

22

72

4

327635.

2

1

4

22.



Ex. 2

Diketahui xf = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

Penyelesaian :

182.3)2(2

518)2(

32

5)35()(

2

2

cf

cxxdxxxf

18610 c

1816 c

2 c

Jadi 232

5)( 2 xxxf

Ex. 3

Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang

melalui titik (3,4) ditentukan 583 2 xxdx

dy, maka tentukan

persamaan kurva tersebut !

Penyelesaian :

43.53.434)3(

54)583()(

23

232

cf

cxxxdxxxxf



4153627 c

2 c

Jadi f(x) = 254 23 xxx

LATIHAN SOAL 1. Integralkan !

dxxx

xxj

dxx

xxi

dxxxh

dxxxg

dxxf

dxxxxe

dxxxxxd

dxx

c

dxxb

dxxa

2

2

23

2

2

32

234

4

5

1.

45.

1.

6.

32.

8326.

75243.

1.

5.

2.



2. Tentukan rumus f(x) jika diketahui : a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10 b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10

c. f ‘(x) = 2

2 1

xx dan f(1) =

3

1

d. f ‘(x) = x - x dan f(4) = -3

e. f ‘(x) = 1 - 2

1

x dan f(4) = 1

3. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !

4. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh

xxdx

dy23 2 dan kurva itu melalui titik (-3,2). Tentukan

persamaan kurva itu ! 5. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh

1612)( 2 tttv . Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak

yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !

6. Diketahui rumus percepatan a(t)= 12 t dan kecepatan v(0)=6.

Tentukanlah rumus kecepatan v(t) jika a(t)=dt

dv



B. Integeral Tentu

Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses perhitungan

luas suatu daerah di bawah kurva yang batas-batas dari daerah

tersebut diketahui. Jika fungsi f terdefinisi pada interval tertutup

[a,b] dan f(x) anti derivative dari f(x) maka b

a

dxxf )( disebut integral

tentu fungsi f dari a ke b yang dirumuskan sebagai berikut.

)()()()( aFbFxFdxxf b

a

b

a

Berikut ini sifat-sifat integral tentu.

Jika diketahui fungsi-fungsi f dan g terdefinisi pada interval [a,b]

maka berlaku sifat-sifat berikut.

1. dxxfdxxf

a

b

b

a

)()(

2. 0)( a

a

dxxf

3.

b

a

b

a

dxxfkdxxfk )()( degan k suatu konstanta

4.

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

5.

b

a

c

b

c

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

6. )( abkdxk

b

a



Ada beberapa fungsi yang sulit dicarai integralnya

dengan cara biasa. Untuk mempermudah penghitungan integral

fungsi tersebut dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun

parsial.

1. Integral Substitusi

Kadang-kadang persoalan pokok dalam pengintegralan

adalah fungsi integrannya perlu diubah terlebih dahulu agar

sesuai dengan salah satu bentuk rumus umum di depan.

Salah satu cara mengubahnya dengan substitusi.

a. Integral fungsi yang dapat diubah menjadi bentuk

)()( xfdxf n .

Integral substitusi dipakai apabila integran dapat dibuat

ke bentuk f(u). u’ tanpa ada variable x yang tersisa.

cun

duu nn 1

1

1, dengan u = f(x), n ≠ - 1

cuduu

ln1

b. Jika g(x) turunan pertama dari f(x) maka berlaku

cxfn

xfdxfdxxgxf nnn 1))((1

1))(()())()((

2. Integral Parsial

Integral ini dipakai apabila integran dapat dipisah menjadi dua

fungsi. Fungsi pertama (u) dipilih fungsi yang mempunyai

turunan ke-n adalah nol, sedangkan fungsi kedua (dv) dipilih

fungsi yang dapat diintegralkan. Seperti telah kita ketahui



pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita

integralkan kedua rua, maka akan didapat :

dxvuuvdxvuydxuvdxuvdxvudxy ''''''

Rumus integral parsial: duvvudvu .

Ex. 4.

Tentukan

a. dx10

b. dxxx )2(2

c. dxx

6

Penyelesaian :

a. dx10 = dxx 010

= 10 . cx

10

10

1

= 10x + c

b. dxxx )2(2 = dxxx )42( 2

= 2. cxx

1112

11

1.4

12

1

= cxx 23 23

2

c. dxx

6 = dx

x

16 = 6 ln x + c



Ex. 5.

Tentukan persamaan kurva yang memilliki gradient garis singgung

kurva 25 xdx

dydan melalui titik (2,9).

Penyelesaian :

25 xdx

dy

dy = (5x – 2) dx

dxxdy )25(

y = cxx 22

5 2

Kurva melalui titik (2,9)

y = cxx 22

5 2

9 = c )2(2)2(2

5 2

c = 3

Jadi persamaan kurva y = 322

5 2 xx

Ex. 6.

Selesaikan integral berikut.

a. dx

x

x

43

62

c. dxxx 12 2

b. dxx 9)32(

Penyelesaian :



Ketiga integral diatas diselesaikan menggunakan

integral subtitusi.

a. dx

x

x

43

62

Misal : u = 3x2+4

du = 6x dx

Subtitusikan u = 3x2+4 dan du = 6x dxpada bentuk

integralnya.

du

uu

dudx

x

x

1

43

62

= cxcu 43lnln 2

b. dxx 9)32(

Misal u = 2x-3

du = 2dx dx = 2

1du

Subtitusikan u = 2x-3 dan dx = 2

1du pada bentuk

integralnya.

cuduuduu 1099

10

1.

2

1

2

1

2

1.

cxcu 1010 )32(

20

1

20

1

c. dxxx 12 2

Misal : u = x2+1 du = 2x dx.

Subtitusikan u = x2+1dan du = 2x dx pada bentuk

integralnya.



dxxxdxxx 2.112 22

duuduu 2

1

cu

1

2

1

12

1

1

cxcu 2

3

22

3

)1(3

2

3

2



LATIHAN

1. Tentukan nilai integral berikut ini!

a. .....5dx

b. .....1

2 dx

x

c. .....5 dxx

d. .....3dxx

2. Tentukan F(x), jika:

a. F’(x) = x3 dan F(3) = 9

b. F’(x) = x + 1 dan F(-1) = 2 ½

3. Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan

menggunakan metode substitusi!

dx5xx12.f

dx4xx4.e

dx4x2.d

dx1x5

2.c

dx4x6.b

dx3x2.a

432

62

5 3

4

5

5



C. Penerapan Integral

1) Penggunaan Integral Tak Tentu

Turunan atau derivative dari y = f(x) ditulis dx

dyatau y’.

Secara geometris, dx

dy merupakan gradient garis singgung

kurva y = f(x) dititik yang berabsis x. Jadi, kita dapat

menentukan persamaan kurva y = f(x) bila diketahui

gradient (dx

dy) garis singgung dan sebuah titik pada kurva

itu.

Ex. 7.

a. Pada tiap titik (x,y) sebuah kurva, berlaku hubungan

dx

dy= 2x + 3. Jika kurva melalui titik (1, -3) carilah

persamaan kurva tersebut!

Penyelesaian:



2) Penggunaan Integral Tentu

a) Luas daerah di bawah suatu kurva.

Luas daerah yang

dibatasi oleh y = f(x), x =

a, x = b, dan sb. X

dinyatakan sebagai:

L = b

a

dxxf )(

)()()( aFbFxFb

a

bila

)()( xFdxxf

.

Ex. 8

(1)

Carilah luas daerah yang diarsir!

Penyelesaian:

luassatuan2

17

2

181

2

14

2

1]x

2

1dxxL 224

12

4

1

y = f(x)

x = a x = b x

y

y = x

1 4 x

y



(2)

Hitunglah luas daerah yang diarsir!

Penyelesaian:

L = slxdx 12315)1(3)5(3]33 5

1

5

1

(3)

Hitunglah luas daerah yang diarsir!

Penyelesaian:

Mencari batas-batas integrasi:

x = 0 dan x = 2

L = slxdxx3

80

3

12

3

1]

3

1 332

0

3

2

0

2

y = 3

(1,0) (5,0) x

y

y y = x2

(2,4)

x



b) Luas Kurva di Bawah Sumbu X

Luas = b

a

dxxf )(

Luas = A1 + A2 + A3

Catatan: Luas kurva dicari satu per satu.

Ex. 9.

(1) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh

parabola y = x2 – 6x dan sumbu X.

y = f(x)

x = a x = b x

y

A1

A2

x

y

A3

y = x2 – 6x

(6,0) x

y



Penyelesaian:

Mencari batas-batas integrasi:

0

62

y

xxy x2 – 6x = 0

x(x – 6) = 0

x = 0 atau x = 6

slxxdxxxL 36)10872()6(363

1()0(]3

3

1)6( 230

6

23

6

0

2

(2) Carilah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 9x

pada sumbu X, x = – 2 dan x = 4.

Penyelesaian:

14)184(0]2

9

4

1)9( 0

2

0

2

243

1

xxdxxxA

4

81)

2

81

4

81(]

2

9

4

1)9( 3

0

3

0

243

2 xxdxxxA

A1

A2 x

y

A3

y = x3 – 9x

3 4 - 2 0



4

49

4

81

4

32)

2

81

4

81()72

4

256(

]x2

9x

4

1dx)x9x(A 4

3

4

3

2433

Jadi, luas = A1 + A2 + A3 = 14 + 4

81+

4

49=

2

93satuan luas

c) Luas Daerah Antara Dua Kurva

Luas =

c

a

dxxfxg ))()((

Ex. 10.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x, y = x, x =

1, dan x = 2.

Penyelesaian:

Daerah yang diarsir

merupakan daerah

yang dibatasi oleh garis

y = 3x, y= x, x = 1 dan x

= 2.

y = f(x)

x = a x = c x

y

y = g(x)

(a,b) (c,d)

y = 3x

1 2 x

y

y = x



L = slxdxxdxxx 312]2)3( 222

1

2

2

1

2

1

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai integral di bawah ini :

2

1

2

1

1

2

4

0

1

2

2

3

0

1.

625.

12.

6.

4.

dxx

xe

dxxxd

dxxxc

dxxb

dxxa

2. Tentukan nilai a jika diketahui :

2

11.

18.

2

1

2

0

a

a

dxx

b

dxxa

3. Tentukan a jika

2

1

62 dxax



4. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :

2

2

3

3

3

2

3

2

2

4

0

.

4.

.

3.

dxxd

dxxc

dxxb

dxxa

5. Tentukan nilai integral dari :

dxxd

dxx

c

dxxb

dxxa

3

2

5 3

1

0

4

2

2

5

5

3

1

42.

1

2.

46.

32.

6. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:

a. y = x pada x = 2 dan x = 6

b. y = 4x – x2 dangan sumbu X



7. Hitungh luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x, x= 3 dan x =

8!

8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – x2 dan

garis y = x!

9. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :

0134.

.

6,.

02.

2.

039.

2.

2

2

2

2

22

2

2

yxdanxxyg

xydanxyf

Ysumbudanxyxye

yxdanxyd

xxydanxyc

yxdanxyb

xydanxya



d). Volume Benda putar antara Kurva dan Sumbu

Koordinat

Y

y = f(x

0 X

a b

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x

= b dan sumbu X yang diputar sejauh 360 mengelilingi

sumbu X adalah :

b

a

dxyV 2

Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi

sumbu Y sejauh 360 dan dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y

dan kurva itu sendiri maka volumenya : b

adyxV 2



Ex. 11.

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi oleh kurva 2xy , sumbu X dan garis x = 2 diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360 !

Penyelesaian : Y

0 2 X

2

0

4

0

2

0

5422

5

320

5

32

5

1 xdxxdxxV

satuan volume.



e). Volume benda putar antara Dua

y y = f(x)

y = g(x)

0 a b X

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X

sejauh 360 yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a

dan x = b adalah :

b

adxyyV )(

2

2

2

1 dimana

2121 )(),( yydanxgyxfy

Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi

sumbu Y.



Ex.12.

Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

oleh kurva 2xy dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh

360 !

Penyelesaian :

2

0

2

0

53422

0

222

15

64

5

1

3

44)()2( xxdxxxdxxxV

Latihan Soal

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi

sumbu X sejauh 360 ! a. y = x, x = 1 dan x = 10

b. y = 2x , sumbu X, sumbu Y dan x = 6

c. y = x , sumbu X, sumbu Y dan x = 9

d. y = 12 x , x = 0 dan x = 1

e. y = 3x , sumbu X, x = -3 dan x = 3

2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi

sumbu Y sejauh 360 ! a. y = x dan y = 6

b. y = x dan y = 1

c. y = 12 x , y = 0 dan y = 1



3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi oleh dua kurva diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu koordinat yang disebutkan !

a. y = x dan y = 2x mengelilingi sumbu X

b. y = 2x dan xy 2 mengelilingi sumbu Y

c. y = 2x , y = x , mengelilingi sumbu Y

d. y = 2x dan y = 4x mengelilingi sumbu X

e. y = 2x dan y = 26 xx mengelilingi sumbu X

f. y = 21 x dan y = 29 x mengelilingi sumbu X

INTEGRAL Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu. 1.2 Menghitung integral tak tentu...

Documents

Transcript of INTEGRAL Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu. 1.2 Menghitung integral tak tentu...