INTEGRAL Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu. 1.2 Menghitung integral tak tentu...

of 28 /28
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 1 INTEGRAL Kelas XII IIS Semester Genap Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018

Embed Size (px)

Transcript of INTEGRAL Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu. 1.2 Menghitung integral tak tentu...

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 1

    INTEGRAL

    Kelas XII IIS

    Semester Genap

    Oleh :

    Markus Yuniarto, S.Si.

    SMA Santa Angela

    Tahun Pelajaran 2017/2018

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 2

    INTEGRAL

    Standar Kompetensi:

    1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.

    Kompetensi Dasar

    1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

    1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar

    sederhana.

    1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.

    TUJUAN PEMBELAJARAN

    1. Peserta didik mampu memahami konsep integral tak tentu dan

    integral tentu.

    2. Peserta didik mampu menghitung integral tak tentu dan integral

    tentu dari fungsi aljabar.

    3. Peserta didik mampu menggunakan integral untuk menghitung

    luas daerah di bawah kurva.

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 3

    INTEGRAL Integral adalah antidiferensial atau anti turunan yang merupakan operasi invers (balikan) dari pendiferensialan. Jika f(x) adalah

    turunan dari F(x) terhadap x maka cxFdxxf )()( dengan c konstanta sembarang dan f(x) disebut integran. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.

    A. Integral Tak Tentu

    Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses penemuan

    suatu fungsi asal (F(x)) apabila fungsi turunan atau derivative F(x) =

    f(x) diketahui.

    Berikut ini rumus-rumus umum dan sifat-sifat integral tak tentu.

    Rumus:

    a. caxdxa

    b.

    cn

    xdxx

    nn

    1

    1

    dengan n1

    c. cx

    n

    adxax nn 1

    1, dengan n1

    Sifat-sifat:

    a. dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 4

    b. dxxfadxxfa )()(

    c. cxdx Ex. 1

    Tentukan :

    dxxxd

    dxx

    c

    dxxxxxb

    dxxa

    2.

    3

    8.

    27635.

    2.

    4

    234

    3

    Penyelesaian :

    cxcxdxxdxxxd

    cx

    cxdxxdxx

    c

    cxxxxxdxxxxxb

    cxcxdxxa

    2

    5

    2

    5

    2

    3

    3

    34

    4

    2345234

    443

    5

    4

    2

    5

    222.

    9

    8

    )3(3

    8

    3

    8

    3

    8.

    22

    72

    4

    327635.

    2

    1

    4

    22.

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 5

    Ex. 2

    Diketahui xf = 5x 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

    Penyelesaian :

    182.3)2(2

    518)2(

    32

    5)35()(

    2

    2

    cf

    cxxdxxxf

    18610 c

    1816 c

    2 c

    Jadi 232

    5)( 2 xxxf

    Ex. 3

    Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang

    melalui titik (3,4) ditentukan 583 2 xxdx

    dy, maka tentukan

    persamaan kurva tersebut !

    Penyelesaian :

    43.53.434)3(

    54)583()(

    23

    232

    cf

    cxxxdxxxxf

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 6

    4153627 c

    2 c

    Jadi f(x) = 254 23 xxx

    LATIHAN SOAL 1. Integralkan !

    dxxx

    xxj

    dxx

    xxi

    dxxxh

    dxxxg

    dxxf

    dxxxxe

    dxxxxxd

    dxx

    c

    dxxb

    dxxa

    2

    2

    23

    2

    2

    32

    234

    4

    5

    1.

    45.

    1.

    6.

    32.

    8326.

    75243.

    1.

    5.

    2.

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 7

    2. Tentukan rumus f(x) jika diketahui : a. f (x) = 2x dan f(4) = 10 b. f (x) = 8x 3 dan f(-1) = 10

    c. f (x) = 2

    2 1

    xx dan f(1) =

    3

    1

    d. f (x) = x - x dan f(4) = -3

    e. f (x) = 1 - 2

    1

    x dan f(4) = 1

    3. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva tersebut didefinisikan 2x 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !

    4. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh

    xxdx

    dy23 2 dan kurva itu melalui titik (-3,2). Tentukan

    persamaan kurva itu ! 5. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh

    1612)( 2 tttv . Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak

    yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !

    6. Diketahui rumus percepatan a(t)= 12 t dan kecepatan v(0)=6.

    Tentukanlah rumus kecepatan v(t) jika a(t)=dt

    dv

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 8

    B. Integeral Tentu

    Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses perhitungan

    luas suatu daerah di bawah kurva yang batas-batas dari daerah

    tersebut diketahui. Jika fungsi f terdefinisi pada interval tertutup

    [a,b] dan f(x) anti derivative dari f(x) maka b

    a

    dxxf )( disebut integral

    tentu fungsi f dari a ke b yang dirumuskan sebagai berikut.

    )()()()( aFbFxFdxxf bab

    a

    Berikut ini sifat-sifat integral tentu.

    Jika diketahui fungsi-fungsi f dan g terdefinisi pada interval [a,b]

    maka berlaku sifat-sifat berikut.

    1. dxxfdxxf

    a

    b

    b

    a

    )()(

    2. 0)( a

    a

    dxxf

    3. b

    a

    b

    a

    dxxfkdxxfk )()( degan k suatu konstanta

    4. b

    a

    b

    a

    b

    a

    dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

    5. b

    a

    c

    b

    c

    a

    dxxfdxxfdxxf )()()(

    6. )( abkdxk

    b

    a

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 9

    Ada beberapa fungsi yang sulit dicarai integralnya

    dengan cara biasa. Untuk mempermudah penghitungan integral

    fungsi tersebut dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun

    parsial.

    1. Integral Substitusi

    Kadang-kadang persoalan pokok dalam pengintegralan

    adalah fungsi integrannya perlu diubah terlebih dahulu agar

    sesuai dengan salah satu bentuk rumus umum di depan.

    Salah satu cara mengubahnya dengan substitusi.

    a. Integral fungsi yang dapat diubah menjadi bentuk

    )()( xfdxfn .

    Integral substitusi dipakai apabila integran dapat dibuat

    ke bentuk f(u). u tanpa ada variable x yang tersisa.

    cu

    nduu nn 1

    1

    1, dengan u = f(x), n - 1

    cuduu

    ln1

    b. Jika g(x) turunan pertama dari f(x) maka berlaku

    cxf

    nxfdxfdxxgxf nnn 1))((

    1

    1))(()())()((

    2. Integral Parsial

    Integral ini dipakai apabila integran dapat dipisah menjadi dua

    fungsi. Fungsi pertama (u) dipilih fungsi yang mempunyai

    turunan ke-n adalah nol, sedangkan fungsi kedua (dv) dipilih

    fungsi yang dapat diintegralkan. Seperti telah kita ketahui

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 10

    pada turunan jika y = uv maka y =u v + uv . Jika kita

    integralkan kedua rua, maka akan didapat :

    dxvuuvdxvuydxuvdxuvdxvudxy ''''''

    Rumus integral parsial: duvvudvu .

    Ex. 4.

    Tentukan

    a. dx10

    b. dxxx )2(2

    c. dxx6

    Penyelesaian :

    a. dx10 = dxx010

    = 10 . cx

    10

    10

    1

    = 10x + c

    b. dxxx )2(2 = dxxx )42(2

    = 2. cxx

    1112

    11

    1.4

    12

    1

    = cxx 23 23

    2

    c. dxx6

    = dxx1

    6 = 6 ln x + c

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 11

    Ex. 5.

    Tentukan persamaan kurva yang memilliki gradient garis singgung

    kurva 25 xdx

    dydan melalui titik (2,9).

    Penyelesaian :

    25 xdx

    dy

    dy = (5x 2) dx

    dxxdy )25(

    y = cxx 22

    5 2

    Kurva melalui titik (2,9)

    y = cxx 22

    5 2

    9 = c )2(2)2(2

    5 2

    c = 3

    Jadi persamaan kurva y = 322

    5 2 xx

    Ex. 6.

    Selesaikan integral berikut.

    a. dx

    x

    x

    43

    62

    c. dxxx 122

    b. dxx9)32(

    Penyelesaian :

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 12

    Ketiga integral diatas diselesaikan menggunakan

    integral subtitusi.

    a. dx

    x

    x

    43

    62

    Misal : u = 3x2+4

    du = 6x dx

    Subtitusikan u = 3x2+4 dan du = 6x dxpada bentuk

    integralnya.

    du

    uu

    dudx

    x

    x

    1

    43

    62

    = cxcu 43lnln 2

    b. dxx9)32(

    Misal u = 2x-3

    du = 2dx dx = 2

    1du

    Subtitusikan u = 2x-3 dan dx = 2

    1du pada bentuk

    integralnya.

    cuduuduu

    1099

    10

    1.

    2

    1

    2

    1

    2

    1.

    cxcu 1010 )32(

    20

    1

    20

    1

    c. dxxx 122

    Misal : u = x2+1 du = 2x dx.

    Subtitusikan u = x2+1dan du = 2x dx pada bentuk

    integralnya.

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 13

    dxxxdxxx 2.11222

    duuduu2

    1

    cu

    1

    2

    1

    12

    1

    1

    cxcu 2

    3

    22

    3

    )1(3

    2

    3

    2

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 14

    LATIHAN

    1. Tentukan nilai integral berikut ini!

    a. .....5dx

    b. .....1

    2 dxx

    c. .....5 dxx

    d. .....3dxx

    2. Tentukan F(x), jika:

    a. F(x) = x3 dan F(3) = 9

    b. F(x) = x + 1 dan F(-1) = 2

    3. Tentukan integral dari fungsi fungsi berikut dengan

    menggunakan metode substitusi!

    dx5xx12.f

    dx4xx4.e

    dx4x2.d

    dx1x5

    2.c

    dx4x6.b

    dx3x2.a

    432

    62

    5 3

    4

    5

    5

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 15

    C. Penerapan Integral

    1) Penggunaan Integral Tak Tentu

    Turunan atau derivative dari y = f(x) ditulis dx

    dyatau y.

    Secara geometris, dx

    dy merupakan gradient garis singgung

    kurva y = f(x) dititik yang berabsis x. Jadi, kita dapat

    menentukan persamaan kurva y = f(x) bila diketahui

    gradient (dx

    dy) garis singgung dan sebuah titik pada kurva

    itu.

    Ex. 7.

    a. Pada tiap titik (x,y) sebuah kurva, berlaku hubungan

    dx

    dy= 2x + 3. Jika kurva melalui titik (1, -3) carilah

    persamaan kurva tersebut!

    Penyelesaian:

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 16

    2) Penggunaan Integral Tentu

    a) Luas daerah di bawah suatu kurva.

    Luas daerah yang

    dibatasi oleh y = f(x), x =

    a, x = b, dan sb. X

    dinyatakan sebagai:

    L = b

    a

    dxxf )(

    )()()( aFbFxF ba

    bila

    )()( xFdxxf.

    Ex. 8

    (1)

    Carilah luas daerah yang diarsir!

    Penyelesaian:

    luassatuan2

    17

    2

    181

    2

    14

    2

    1]x

    2

    1dxxL 2241

    24

    1

    y = f(x)

    x = a x = b x

    y

    y = x

    1 4 x

    y

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 17

    (2)

    Hitunglah luas daerah yang diarsir!

    Penyelesaian:

    L = slxdx 12315)1(3)5(3]33 51

    5

    1

    (3)

    Hitunglah luas daerah yang diarsir!

    Penyelesaian:

    Mencari batas-batas integrasi:

    x = 0 dan x = 2

    L = slxdxx3

    80

    3

    12

    3

    1]

    3

    1 3320

    3

    2

    0

    2

    y = 3

    (1,0) (5,0) x

    y

    y y = x2

    (2,4)

    x

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 18

    b) Luas Kurva di Bawah Sumbu X

    Luas = b

    a

    dxxf )(

    Luas = A1 + A2 + A3

    Catatan: Luas kurva dicari satu per satu.

    Ex. 9.

    (1) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh

    parabola y = x2 6x dan sumbu X.

    y = f(x)

    x = a x = b x

    y

    A1

    A2 x

    y

    A3

    y = x2 6x

    (6,0) x

    y

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 19

    Penyelesaian:

    Mencari batas-batas integrasi:

    0

    62

    y

    xxy x2 6x = 0

    x(x 6) = 0

    x = 0 atau x = 6

    slxxdxxxL 36)10872()6(363

    1()0(]3

    3

    1)6( 2306

    23

    6

    0

    2

    (2) Carilah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 9x

    pada sumbu X, x = 2 dan x = 4.

    Penyelesaian:

    14)184(0]2

    9

    4

    1)9( 02

    0

    2

    243

    1

    xxdxxxA

    4

    81)

    2

    81

    4

    81(]

    2

    9

    4

    1)9( 30

    3

    0

    243

    2 xxdxxxA

    A1 A2

    x

    y

    A3

    y = x3 9x

    3 4 - 2 0

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 20

    4

    49

    4

    81

    4

    32)

    2

    81

    4

    81()72

    4

    256(

    ]x2

    9x

    4

    1dx)x9x(A 43

    4

    3

    2433

    Jadi, luas = A1 + A2 + A3 = 14 + 4

    81+

    4

    49=

    2

    93satuan luas

    c) Luas Daerah Antara Dua Kurva

    Luas = c

    a

    dxxfxg ))()((

    Ex. 10.

    Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x, y = x, x =

    1, dan x = 2.

    Penyelesaian:

    Daerah yang diarsir

    merupakan daerah

    yang dibatasi oleh garis

    y = 3x, y= x, x = 1 dan x

    = 2.

    y = f(x)

    x = a x = c x

    y

    y = g(x)

    (a,b) (c,d)

    y = 3x

    1 2 x

    y

    y = x

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 21

    L = slxdxxdxxx 312]2)3( 22212

    2

    1

    2

    1

    LATIHAN SOAL

    1. Tentukan nilai integral di bawah ini :

    2

    1

    2

    1

    1

    2

    4

    0

    1

    2

    2

    3

    0

    1.

    625.

    12.

    6.

    4.

    dxx

    xe

    dxxxd

    dxxxc

    dxxb

    dxxa

    2. Tentukan nilai a jika diketahui :

    2

    11.

    18.

    2

    1

    2

    0

    a

    a

    dxx

    b

    dxxa

    3. Tentukan a jika

    2

    1

    62 dxax

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 22

    4. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :

    2

    2

    3

    3

    3

    2

    3

    2

    2

    4

    0

    .

    4.

    .

    3.

    dxxd

    dxxc

    dxxb

    dxxa

    5. Tentukan nilai integral dari :

    dxxd

    dxx

    c

    dxxb

    dxxa

    3

    2

    5 3

    1

    0

    4

    2

    2

    5

    5

    3

    1

    42.

    1

    2.

    46.

    32.

    6. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:

    a. y = x pada x = 2 dan x = 6

    b. y = 4x x2 dangan sumbu X

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 23

    7. Hitungh luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x, x= 3 dan x =

    8!

    8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x x2 dan

    garis y = x!

    9. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :

    0134.

    .

    6,.

    02.

    2.

    039.

    2.

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    2

    yxdanxxyg

    xydanxyf

    Ysumbudanxyxye

    yxdanxyd

    xxydanxyc

    yxdanxyb

    xydanxya

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 24

    d). Volume Benda putar antara Kurva dan Sumbu

    Koordinat

    Y

    y = f(x

    0 X

    a b

    Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x

    = b dan sumbu X yang diputar sejauh 360 mengelilingi

    sumbu X adalah : b

    a

    dxyV 2

    Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi

    sumbu Y sejauh 360 dan dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y

    dan kurva itu sendiri maka volumenya : b

    adyxV 2

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 25

    Ex. 11.

    Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

    dibatasi oleh kurva 2xy , sumbu X dan garis x = 2 diputar

    mengelilingi sumbu X sejauh 360 !

    Penyelesaian : Y

    0 2 X

    2

    0

    4

    0

    2

    0

    5422

    5

    320

    5

    32

    5

    1 xdxxdxxV

    satuan volume.

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 26

    e). Volume benda putar antara Dua

    y y = f(x)

    y = g(x)

    0 a b X

    Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X

    sejauh 360 yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a

    dan x = b adalah :

    b

    adxyyV )(

    2

    2

    2

    1 dimana

    2121 )(),( yydanxgyxfy

    Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi

    sumbu Y.

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 27

    Ex.12.

    Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

    oleh kurva 2xy dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh

    360 !

    Penyelesaian :

    2

    0

    2

    0

    53422

    0

    222

    15

    64

    5

    1

    3

    44)()2( xxdxxxdxxxV

    Latihan Soal

    1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi

    sumbu X sejauh 360 ! a. y = x, x = 1 dan x = 10

    b. y = 2x , sumbu X, sumbu Y dan x = 6

    c. y = x , sumbu X, sumbu Y dan x = 9

    d. y = 12 x , x = 0 dan x = 1

    e. y = 3x , sumbu X, x = -3 dan x = 3

    2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi

    sumbu Y sejauh 360 ! a. y = x dan y = 6

    b. y = x dan y = 1

    c. y = 12 x , y = 0 dan y = 1

  • Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG

    Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 28

    3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

    dibatasi oleh dua kurva diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu koordinat yang disebutkan !

    a. y = x dan y = 2x mengelilingi sumbu X

    b. y = 2x dan xy 2 mengelilingi sumbu Y

    c. y = 2x , y = x , mengelilingi sumbu Y

    d. y = 2x dan y = 4x mengelilingi sumbu X

    e. y = 2x dan y = 26 xx mengelilingi sumbu X

    f. y = 21 x dan y = 29 x mengelilingi sumbu X