BENTUK TAK-TENTU & INTEGRAL TAK-WAJAR · Aturan L’Hospital untuk bentuk tak-tentu jenis ∞ / ∞...
24
BENTUK TAK-TENTU & INTEGRAL TAK-WAJAR Muhammad Hajarul Aswad A MK: Kalkulus 2 Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK) Tadris Matematika
Transcript of BENTUK TAK-TENTU & INTEGRAL TAK-WAJAR · Aturan L’Hospital untuk bentuk tak-tentu jenis ∞ / ∞...
BENTUK TAK-TENTU & INTEGRAL TAK-WAJAR
Muhammad Hajarul Aswad A MK: Kalkulus 2
Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK)
Tadris Matematika
Bentuk Tak-Tentu Jenis 0/0
21/05/2017 email: [email protected] 2
Aturan L’Hospital untuk bentuk tak-tentu jenis 0/0
Misalkan lim𝑥→𝑢
𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑢
𝑔 𝑥 = 0. Jika lim𝑥→𝑢
𝑓′ 𝑥 𝑔′ 𝑥
ada (terhingga atau tak-terhingga), maka
lim𝑥→𝑢
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑥→𝑢
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥
21/05/2017 email: [email protected] 3
Contoh 1.
Gunakan atural L’Hospital untuk membuktikan
bahwa:
dan
21/05/2017 email: [email protected] 4
Penyelesaian.
Perhatikan bahwa, apabila nilai x disubtitusi kedalam
masing-masing fungsi, diperoleh 0/0. Sehingga akan
diterapkan aturan L’Hospital sebagai berikut:
∎
21/05/2017 email: [email protected] 5
Contoh 2.
Gunakan atural L’Hospital untuk menentukan
nilai limit berikut:
21/05/2017 email: [email protected] 6
Penyelesaian.
Pada kasus ini.
Aturan L’Hospital
akan diterapkan 3
kali.
∎
Bentuk Tak-Tentu Jenis ∞/∞
21/05/2017 email: [email protected] 9
Aturan L’Hospital untuk bentuk tak-tentu jenis ∞ / ∞
Misalkan lim𝑥→𝑢
𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑢
𝑔 𝑥 = ∞. Jika lim𝑥→𝑢
𝑓′ 𝑥 𝑔′ 𝑥
ada (terhingga atau tak-terhingga), maka
lim𝑥→𝑢
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑥→𝑢
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥
dengan u adalah salah satu dari bilangan a, a─, a+, -∞,
atau ∞.
Integral tak-Wajar
21/05/2017 email: [email protected] 12
Perhatikan bahwa integral tentu 𝑓 𝑥𝑏
𝑎𝑑𝑥 berarti bahwa
fungsi f terdefinisi pada interval [a, b] yang terbatas dan
diasumsikan bahwa f kontinu di titik tersebut.
Pada kasus integral tentu tak-wajar (improper integral),
intervalnya tidak terbatas dan juga f bersifat diskontinu
di [a, b].
21/05/2017 email: [email protected] 13
Tipe 1: Integral tidak terbatas (infinite intervals)
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 1/x2 terhadap
sumbu-x dan garis x = 1. luas daerah kurva A(t) untuk t > 1
adalah sbb:
Perhatikan bahwa
berapapun nilai t
yang diambil,
maka nilai A(t) < 1.
Gbr.1
21/05/2017 email: [email protected] 14
Luas daerah A(t) akan
mendekati 1 untuk t → ∞.
a
b
c
d
Gbr. 2
21/05/2017 email: [email protected] 17
Penyelesaian.
Berdasarkan Definisi 1(a), maka:
Karena nilai limitnya tidak ada, maka integral
divergent.
∎
21/05/2017 email: [email protected] 19
Ilustrasi dari Definisi 2 bagian b dan c, dengan f(x) ≥ 0
dan f memiliki asimptot vertikal di a dan c.
Gbr. 3
21/05/2017 email: [email protected] 21
Penyelesaian.
Perhatikan bahwa fungsi memiliki
vertikal asimptote di x = 2. dengan kata lain, fungsi f(x)
akan diskontinu di sebelah kiri interval [2, 5]. Sehingga,
berdasarkan Definisi 2 bagian b diperoleh:
∎
21/05/2017 email: [email protected] 22
Karena , maka integral tak-wajar
tersebut adalah konvergen.
Gbr. 4
Latihan
Tentukan apakah integral tak-wajar berikut
konvergen atau divergen.
1. 3.
2. 4.
5. Tentukan syarat nilai p agar integral
konvergen.
21/05/2017 email: [email protected] 23
