Koko Martono – FMIPA - ITB

001

Jenis Bentuk tak Tentu Limit Fungsi Bentuk tak Tentu 0 / 0 Akan dihitung

( )( )lim ; dengan lim ( ) 0 lim ( )

x c x c x c

f xg x f x g x

Æ Æ Æ= = .

Ilustrasi: 0

sinlimx

xxÆ

, 4

24lim

x

x xxÆ

- -- ,

4

sin( 2)4lim

x

x xxÆ

- -- , dan sebagainya.

Bentuk tak Tentu • / • Akan dihitung ( )( )lim ; dengan lim| ( )| lim| ( )|

x x x

f xg x f x g x

Æ Æ Æ• • •= =• .

Ilustrasi: 3 2

3 3limx

x xx xƕ

--

, 4limx

x xxƕ

-- ,

2

2 4limx

x xxƕ

+- ,

2

2 4limx

x xxÆ-•

+- , dan sebagainya.

Bentuk tak Tentu 0◊ • Akan dihitung lim ( ) ( ); dengan lim ( ) 0 dan lim | ( )|x c x c x c

f x g x f x g xÆ Æ Æ

= =• .

Limit ini dapat diubah ke bentuk 0/0 karena ( )

1/ ( )( ) ( ) f xg xf x g x = dengan

( ) 0f x Æ dan 1( ) 0g x Æ dan ke bentuk •/• karena

( )1/ ( )( ) ( ) g x

f xf x g x =

dengan ( )g x Æ• dan 1| ( )|f x Æ• .

Ilustrasi: 1lim sinx xxƕ

, /4

14lim sec2( )

xx x

pp

Æ- , dan sebagainya.

BtT & ItW 002

Bentuk tak Tentu • - • Akan dihitung lim ( ( ) ( )); dengan lim ( ) lim ( )danx x x

f x g x f x g xÆ Æ Æ• • •

- = =•• .

Limit ini dapat diubah ke bentuk •/• dengan berbagai cara.

Ilustrasi: ( )lim 1x

x xƕ

- - , ( )2lim 2x

x x xƕ

+ - , ( )2lim 2x

x x xÆ-•

+ + ,

3 2lim ( )x

x xƕ

- , 3 2lim ( )x

x xÆ-•

+ , dan sebagainya.

Bentuk tak Tentu 00 Dengan logaritma natural akan dihitung ( )lim ( ) ; dengan lim ( ) 0 lim ( )( ) g x

x c x c x cf x f x g x

Æ Æ Æ= = .

Ilustrasi: 0

lim ,x

xx

+Æ sin

0lim ,x

xx

+Æ 3/(4 2ln )

0lim ,x

xx

+

+

Æ dan sebagainya.

Bentuk tak Tentu 0• Dengan logaritma natural akan dihitung ( )lim ( ) ; dengan lim ( ) dan lim ( ) 0( ) g x

x c x c x cf x f x g x

Æ Æ Æ= =• .

Ilustrasi: 1/lim ,x

xx

Æ• 1/lnlim (1 ) ,x

xx

Æ•+ 1/ln

0lim (cot ) ,x

xx

+Æ dan sebagainya.

Bentuk tak Tentu 1• Dengan logaritma natural akan dihitung ( )lim ( ) ; dengan lim ( ) 1 dan lim | ( )|( ) g x

x c x c x cf x f x g x

Æ Æ Æ= = • .

Ilustrasi: 1/sin

0lim (1 ) ,x

xx

+Æ-

21/

0lim (cos2 ) ,x

xx

Æ ( )1lim ,x

x

xxƕ

+ dan sebagainya.

Berbagai Teknik Pemecahan Bentuk tak Tentu Limit Fungsi Untuk bentuk 0/0, buatlah manipulasi aljabar sehingga bentuknya bukan 0/0. Cobalah teorema L¢ Hôpital ¢s atau prinsip apit (jika mungkin) Untuk bentuk •/•, munculkan 1/x

n( )nŒ yang limitnya 0 pada pembi-lang dan penyebutnya, atau cobalah teorema L ¢ Hôpital ¢s jika mungkin. Untuk bentuk • - •, ubahlah menjadi •/• dengan merasionalkan, atau munculkan bentuk 1/x

n ( )nΠyang limitnya 0.

Untuk bentuk 00, •0, dan 0•, ambil limit dari ln fungsinya kemudian gu-nakan teorema L ¢ Hôpital ¢s dan sifat kekontinuan ln.

BtT & ItW 003

Teorema L ¢Hôpital ¢s

Aturan L¢Hôpital¢s untuk Bentuk 0/0 Jika lim ( ) 0 lim ( )

x c x cf x g x

Æ Æ= = dan ( )

( )limx c

f xg xÆ

¢¢ ada, •, atau -•, maka

( ) ( )( ) ( )lim lim

x c x c

f x f xg x g xÆ Æ

¢¢= .

Catatan x Æ c dapat diganti x Æ c+, x Æ c-, x Æ •, atau x Æ -•. Secara intuitif, jika ( )f x dan ( )g x balapan menuju 0, maka hasilnya ber-gantung pada perbandingan kecepatan ( )f x dan ( )g x , yaitu ( )f x¢ / ( )g x¢ .

Aturan L¢Hôpital¢s untuk Bentuk • / • Jika lim| ( )| lim| ( )|

x xf x g x

Æ Æ• •= =• dan

( )( )lim

x

f xg xÆ•¢¢ ada, •, atau -•, maka

( ) ( )( ) ( )lim lim

x x

f x f xg x g xÆ Æ• •

¢¢= .

Catatan x Æ c dapat diganti x Æ c+, x Æ c-, x Æ •, atau x Æ -•. Secara intuitif, andaikan ( )f t dan ( )g t menyatakan posisi dua mobil yang bergerak di sumbu-t dan pada saat t kecepatannya adalah ( )f t¢ dan ( )g t¢ . Jika perbandingan kecepatan kedua mobil adalah L, maka untuk jangka panjang perbandingan jarak kedua mobil juga sama dengan L.

Arti Geometri Teorema L¢Hôpital¢s untuk Bentuk 0/0

y f (x) = px g(x) = qx 0 x

0 0 0

( ) ( )( ) ( )lim lim lim

x x x

f x px p f xg x qx q g xÆ Æ Æ

¢¢= = =

y y = f (x) ( )f c¢ ( )g c¢

y = g(x) 0 c x f ¢, g¢ kontinu di c

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )lim lim

x c x c

f x f x f cg x g x g cÆ Æ

¢ ¢¢ ¢= =

BtT & ItW 004

Aneka Ragam Contoh Bentuk tak Tentu Limit Fungsi

Bentuk tak Tentu 0/0

0 0 0 0

sin cos1lim lim limcos cos lim cos0 1( )

x x x x

Lx xx x x

Æ Æ Æ Æ= = = = = .

4 4 4

( 2)( 1)2 1 2 1 34 2 2 4( 2)( 2) 2lim lim lim

x x x

x xx x xx x x xÆ Æ Æ

- +- - + +- +- + += = = = .

Cara lain 1 1

2 44 4

1 12 34 1 1 4lim lim x

x

L

x

x xxÆ Æ

- -- -- = = = .

2

2

4 4 4

4 4 4

( 2) ( 2)2 4 44 4 ( 2) ( 4) ( 2)

( 4)( 1)5 4 1 34( 4) ( 2) ( 4) ( 2) 2

( )

( ) ( )

lim lim lim

lim lim lim .

x x x

x x x

x x x xx x x x xx x x x x x x

x xx x xx x x x x x x x

Æ Æ Æ

Æ Æ Æ

- - - +- - - + -- - - + - - +

- +- + +- - + - - + - +

= ◊ =

= = = =

4 4

sin( 2) sin( 2) 24 42lim lim

x x

x x x x x xx xx xÆ Æ

- - - - - -- -- -= ◊

4 4

sin ( 2) 2 3 34 4 42lim lim 1

x x

x x x xxx xÆ Æ

- - - --- -= ◊ = ◊ = .

0 0 0

11lim lim lim 1

x x x

x x x

Le ex e

Æ Æ Æ

- = = = .

2

2

1

1 1

ln 12 21

(2ln ) 0lim lim 0xx x

Lxxx

xÆ Æ - --

◊ ◊= = = .

2

2 22 2 2

tan sec 12 2 2 1 44 2 cos

lim lim limx x x

Lx xxx x x

p p p p pp

pÆ Æ Æ ◊ ◊-

= = = = .

0 0 0

1 cos sin cos 1 1sin cos sin sin cos cos 0 1 1 2lim lim lim

L L

x x x

x x xx x x x x x x x xÆ Æ Æ

-+ - + + + += = = = .

3 20 0 0 0

sin 1 cos sin cos 16 6 63lim lim lim lim

L L L

x x x x

x x x x xxx xÆ Æ Æ Æ

- -= = = = .

2 2 (2cos2 ) sin 2 sin 2sin sin 2 sin 2

cos cos2 sin 2sin 2 cos 4cos2 3lim lim limL

x x x

L x x x xx x x x xx x x x x xp p p

pÆ Æ Æ

+ +++ - - - -= = = - .

BtT & ItW 005

Bentuk tak Tentu • / •

( )

22

33 2

3 3

1 1

33

1 1 1 01 03 11

lim lim lim 1x xx x x

xx

xx xx x x Ê ˆÆ Æ ÆÁ ˜Ë ¯

• • •

- -- --- --

= = = = .

Cara lain 3 2 2

3 23 2 6 2 6

6 63 3 3lim lim lim lim 1L L

x x x x

Lx x x x xxx x xÆ Æ Æ Æ• • • •

- - -- -

= = = = .

( ) 44

1 11 1 1 04 1 011

lim lim lim 1xx

x xx x x

xx xx x

Ê ˆÁ ˜Ë ¯

Æ Æ Æ• • •

- -- -- ---

= = = = .

Cara lain 1

21 1 0

4 1 1lim lim 1xx x

x xxÆ Æ• •

-- -- = = = .

( )

( ) ( )2

21 1 1

44 4

1 1 1 12 4 222 2

lim lim lim limx x x

xx xx x x x

x xx xx x xÆ Æ Æ Æ• • • •

+ ◊ + ++- -- -

= = = = .

( )

( ) ( )2

21 1 1

44 4

1 1 1 12 4 222 2

lim lim lim limx x x

xx xx x x x

x xx xx x xÆ- Æ- Æ- Æ-• • • •

+ - ◊ + ++- -- -

= = = - = - .

Kedua contoh ini tak dapat diselesaikan dengan teorema L ¢ Hôpital ¢s.

2/2 /2 /2 /21 2sec 2sec tan tan

tan secseclim lim 2 lim 2 lim sin 2

x x x

L

x

x x x xx xx

xp p p pÆ Æ Æ Æ

+ = = = = .

Bentuk tak Tentu 0◊ •

14

/4 /4 /4

14

1 1 1lim sec2 lim limcos2 2sin 2 2 1 2

( )x

L

x x

xx xx xp p p

ppÆ Æ Æ

-- = = = =

◊.

1

1 0

sin1 sinlim sin lim lim 1x

xx x t

tx tx

+Æ Æ Æ• •= = = .

22 21

tan seclim ( )cot lim lim lim cos ( 1) 1x x

L

x x

xx x

x x xp p p p

ppÆ Æ Æ Æ

-- = = = = - = .

2

1

1 10 0 0 0

lnlim ln lim lim lim ( ) 0x

x xx x x x

Lxx x x+ + + +Æ Æ Æ Æ-

= = = - = .

BtT & ItW 006

Bentuk tak Tentu • - •

( ) 1 1 11 1

( )( )lim 1 lim lim 0x x x

x x x x x xx x x x

x xÆ Æ Æ• • •

- - - + - -- + - +

- - = = = .

( ) 2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2( )( )lim 2 lim lim

x x x

x x x x x x x x xx x x x x x

x x xÆ Æ Æ• • •

+ - + + + -- + - +

+ - = =

( )2 222 2 2

1 0 11 11lim lim 1( )xxx x

x x

xx xÆ Æ• • + ++ ++ += = = = .

( ) 2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2( )( )lim 2 lim lim

x x x

x x x x x x x x xx x x x x x

x x xÆ- Æ- Æ-• • •

+ + + - + -- - - -

+ + = =

( )2 222 2 2

1 0 11 11lim lim 1( )xx

x x

x x

xx xÆ- Æ-• •

-+ +- + ++ -

= = = = - .

( )3 2 3 1lim lim 1( )x x xx x xÆ Æ• •

- - == • ; ( )3 2 3 1lim lim 1( )x x xx x xÆ- Æ-• •

- - = -= • .

( ) ( )0 0 0 01 1 sin 1 sin cos cos sin sin

tan cos cos sin coslim lim lim limx x x

L

x

x x x x x x x xx x x x x x x x xÆ Æ Æ Æ

- + +- +- = - = =

0cos 2sin 0 1 2 0 0

sin cos 0 0 1 1lim 0x

x x xx x xÆ

+ ◊ + ◊- + - ◊ += = = = .

( )0 0

1 1 ln 1ln lnlim lim

x x

xx x x x x+ +Æ Æ

++ = = • karena untuk x Æ 0+, ln 1( )x+ Æ -•

dan ln 0x xÆ dari bawah.

Bentuk tak Tentu 00 Untuk menghitung

0lim ,x

xx

+Æ misalkan

xy x= dan hitunglah0

limx

y+Æ

. Dari

xy x= diperoleh ln lny x x= , sehingga

2

1

1 10 0 0 0 0

lnlim ln lim ln lim lim lim ( ) 0x

x x

L

x x x x x

xy x x x+ + + + +Æ Æ Æ Æ Æ-

= = = = - = .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,•), maka 0

ln lim ln1x

y+Æ

= , akibatnya

0 0lim lim 1x

x xy x

+ +Æ Æ= = .

BtT & ItW 007

Untuk menghitung sin

0lim ,x

xx

+Æ misalkan

sin xy x= dan hitunglah0

limx

y+Æ

.

Dari sin xy x= diperoleh ln (sin ) lny x x= , sehingga

2

1

0 0 0 0

0 0

lncsc csc cot

sin sin sincos cos

lim ln lim (sin )ln lim lim

lim lim 1 0 0.

x

x x x x

x x

Lxx x x

x x xx x x x

y x x+ + + +

+ +

Æ Æ Æ Æ

Æ Æ

-= = =

= - = - ◊ = - ◊ =

Karena fungsi ln kontinu pada (0,•), maka 0

ln lim ln1x

y+Æ

= , akibatnya

sin

0 0lim lim 1x

x xy x

+ +Æ Æ= = .

Untuk menghitung 3/(4 2ln )

0lim ,x

xx

++

Æ misalkan

3/(4 2ln )xy x += dan hitunglah

0lim

xy

+Æ. Dari 3/(4 2ln )xy x += diperoleh

3 3ln4 2ln 4 2lnln ln x

x xy x+ += ◊ = , sehingga

3

20 0 0 0

3ln 3 34 2ln 2 2lim ln lim lim limx

x

L

x x x x

xxy

+ + + +Æ Æ Æ Æ+= = = = .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,•), maka 3/2

0ln lim ln ,

xy e

+Æ= akibatnya

3/(4 2ln ) 3/2

0 0lim lim x

x xy x e e e

+ ++

Æ Æ= = = .

Bentuk tak Tentu •0

Untuk menghitung 1/lim ,x

xx

Æ• misalkan

1/xy x= dan hitunglah limx

yƕ

. Dari

1/xy x= diperoleh 1 lnln ln xx xy x= ◊ = , sehingga

1ln 11lim ln lim lim lim 0x

L

x x x x

xx xy

Æ Æ Æ Æ• • • •= = = = .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,•), maka ln lim ln1x

yƕ

= , akibatnya

1/lim lim 1x

x xy x

Æ Æ• •= = .

BtT & ItW 008

Untuk menghitung

1/ ln

0lim (cot ) ,x

xx

+Æ misalkan

1/ln(cot ) xy x= dan hitung-

lah0

limx

y+Æ

. Dari

1/ln(cot ) xy x= diperoleh 1 lncotln lnln ln cot x

x xy x= ◊ = , se-

hingga 2

sin 1cos sin

10 0 0 0

lncot 1ln sin coslim ln lim lim lim 1

xx x

xx x

L

x x

x xx x xy

+ + + +

-◊

Æ Æ Æ Æ

-= = = ◊ = - .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,•), maka 1

0ln lim ln

xy e

+

-

Æ= , akibatnya

1/ ln 1

0 0

1lim lim (cot ) x

x x ey x e+ +

-

Æ Æ= = = .

Bentuk tak Tentu 1• Untuk menghitung 1/sin

0lim (1 ) ,x

xx

+Æ- misalkan

1/sin(1 ) ,xy x= - dan hitung-

lah0

limx

y+Æ

. Dari 1/sin(1 ) ,xy x= - diperoleh ln(1 )1sin sinln ln (1 ) x

x xy x -= ◊ - = ,

sehingga 1

1

0 0 0 0

ln(1 ) 1sin cos 1lim ln lim lim lim 1x

L

x x x x

xx xy

+ + + +

--

Æ Æ Æ Æ

- -= = = = - .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,•), maka 1

0ln lim ln

xy e

+

-

Æ= , akibatnya

1/sin 1

0 0

1lim lim (1 ) x

x x ey x e+ +

-

Æ Æ= - = = .

Untuk menghitung ( )1lim ,x

x

xxƕ

+ misalkan ( )1 ,xx

xy += dan hitunglah

limx

yƕ

. Dari ( )1 ,xx

xy += diperoleh 1ln ln xxy x += , sehingga

2

2

11

1

1

1ln1lim ln lim ln lim lim 1

xx xx

x

xx

L

x x xx

xxy x

++ Ê ˆ◊ Á ˜Ë ¯

Æ Æ Æ Æ• • • •

-+

-= = = = .

Karena fungsi ln kontinu pada (0,•), maka ln lim lnx

y eƕ

= , akibatnya

( )1lim limx

x x

xxy e

Æ Æ• •

+= = .

BtT & ItW 009

Jenis Integral tak Wajar Integral tak wajar pada selang tak hingga

y y = f (x) y 0 a x y = f (x) y y = f (x) 0 a b x 0 b x y y = f (x) Integral tak wajar pada kasus ini tidak tergantung pada pemilihan c. 0 c x

Integral tak wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang tak

terbatas [a,•) didefinisikan sebagai ( ) lim ( )b

a abf x dx f x dx

Æ

•

•=Ú Ú .

Integral tak wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang tak

terbatas (-•,b] didefinisikan sebagai ( ) lim ( )b

aa

bf x dx f x dx

- Æ• -•=Ú Ú .

Integral tak wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang tak terbatas (-•,•) didefinisikan sebagai

( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )c b

c a ca b

cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

Æ Æ

• •

-• -• -• •= + = +Ú Ú Ú Ú Ú .

Kekonvergenan integral tak wajar Jika semua limit di atas ada dan bernilai hingga, integral tak wajarnya dikatakan konvergen dan jika ti-dak demikan dikatakan divergen (limitnya ±• atau kurva beroskilasi).

( )a

f x dx•Ú

( )b

af x dxÚ ( )

bf x dx

-•Ú

( )f x dx-

•

•Ú

BtT & ItW 010

Integral tak wajar pada selang tak hingga y y = f (x)

y y y y = f (x) 0 a b x y = f (x) y = f (x) y = f (x) 0 a c b x 0 a c b x 0 a q p r b x Df = (a,b] Df = [a,b) Df = [a,b] - {p}

Integral tak wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang ter-

batas (a,b] didefinisikan sebagai ( ) lim ( )b b

a cc af x dx f x dx

+Æ=Ú Ú . Dengan

penggantian c ae = - diperoleh c a e= + dan 0c a e+ +Æ ¤ Æ , se-

hingga 0

( ) lim ( )b b

a af x dx f x dx

ee + +Æ=Ú Ú .

Integral tak wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang ter-

batas [a,b) didefinisikan sebagai ( ) lim ( )b c

a ac bf x dx f x dx

-Æ=Ú Ú . Dengan

penggantian b ce = - diperoleh c b e= - dan 0c b e- +Æ ¤ Æ , se-

hingga 0

( ) lim ( )b b

a af x dx f x dx

e

e +

-

Æ=Ú Ú .

Integral tak wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang ter-batas [a,b] - { p} didefinisikan sebagai

( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )b p b c b

a a p a dq p r pf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

- +Æ Æ= + = +Ú Ú Ú Ú Ú .

Kekonvergenan integral tak wajar Jika semua limit di atas ada dan bernilai hingga, integral tak wajarnya dikatakan konvergen dan jika ti-dak demikan dikatakan divergen (limitnya ±• atau kurva beroskilasi).

( )b

af x dxÚ

( )b

af x dxÚ ( )

b

af x dxÚ ( )

b

af x dxÚ

BtT & ItW 011

Aneka Ragam Contoh Integral tak Wajar pada Selang tak Hingga

Integral tak wajar dari fungsi kontinu 21( ) xf x = pada [1,•) adalah

( ) ( )2 21 1 1

1 1 (kolim lim lim 1 1 nvergen)bb

b b b

dx dxx bx xÆ Æ Æ

•

• • •= = - = - + =Ú Ú .

Integral tak wajar dari fungsi kontinu 1( ) xf x = pada [1,•) adalah

( ) ( )1 1 1lim lim 2 lim 2 1

bb

b b b

dx dxx x x b

Æ Æ Æ

•

• • •= = = - = •Ú Ú (divergen)

Integral tak wajar dari fungsi kontinu ( ) sinf x x= pada [0,•) adalah

( ) ( )00 0sin lim sin lim cos lim cos 1

tidak ada (divergen .)

b b

b b bx dx x dx x b

Æ Æ Æ

•

• • •= = - = - +

=

Ú Ú

Integral tak wajar dari fungsi kontinu 31( ) xf x = pada [-•,-1) adalah

( ) ( )3 3

11 1 2 /3 2 /33 32 2lim lim lim 1

aa a aa

dx dxx x x a

-- -

Æ Æ Æ-• -• -• -•= = = - = -•Ú Ú (divergen)

Integral tak wajar dari fungsi kontinu 21

1( ) xf x += pada (-•,•) adalah

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2

0 0

0 0

01 1 1 10

1 1 1 1 1

1 12 2

lim lim

lim tan lim tan lim tan lim tan

(konvergen).

b

aa b

b

aa b a b

dx dx dx dx dxx x x x x

x x a b

p p p

Æ Æ

- - - -

Æ Æ Æ Æ

• •

-• -• -• •

-• • -• •

+ + + + += + = +

= + = - +

= - - + =

Ú Ú Ú Ú Ú

Integral tak wajar dari fungsi kontinu ( ) coshf x x= pada (-•,•) adalah

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 0

0 0

00

cosh cosh cosh lim cosh lim cosh

lim sinh lim sinh lim sinh lim si

(diverg )

h

n

n

e .

b

aa b

baa b a b

xdx xdx xdx xdx xdx

x x a a

Æ Æ

Æ Æ Æ Æ

• •

-• -• -• •

-• • -• •

= + = +

= + = - +

= - - + =• • •

Ú Ú Ú Ú Ú

BtT & ItW 012

Aneka Ragam Contoh Integral tak Wajar pada Selang Hingga

Fungsi 1

1( )

xf x

-= kontinu pada (1,5] dengan

1

11

limx x+Æ -

= • . Integral

tak wajar dari fungsi f pada selang tutup [1,5] adalah

( ) ( )55 5

1 1 1 11 1(konvergenlim lim 2 1 lim 4 2 .4 )1

c cc c c

dx dxx x

x c+ + +Æ Æ Æ- -

= = - = - - =Ú Ú Fungsi ( ) lnf x x= kontinu pada (0,1) dengan

0lim ln

xx

+Æ= -• . Integral tak

wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,1] adalah

( ) ( )1 1

0 0 0(konvergen).ln lim ln lim 1 ln 1cc c

x dx x x x c c c+ +Æ Æ

= - = - - + = -Ú

Fungsi 1

1( ) xf x -= kontinu pada [-1,1) dengan1

11lim

x x-Æ - = -• . Integral

tak wajar dari fungsi f pada selang tutup [-1,1] adalah

( )

( )

1

11 1 11 1 1

1

( 1)1 1 1lim lim lim ln| 1|

lim ln| 1| ln 2 (divergen).

c c c

c c c

c

d xdx dxx x x x

c

- - -

-

-- - -Æ Æ Æ

Æ

-- - -= = = -

= - - = -•

Ú Ú Ú

Fungsi2

19

( )x

f x-

= kontinu pada [0,3) dengan23

19

limx x-Æ -

= • . Integral

tak wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,3] adalah

( ) ( )2 2

3 1 10 0 03 3 3

1

3 39 912

lim lim s

(konverg

in lim sin 0

s enn 1 )i .

cc

c c c

dx dx x cx x

p

- - -- -

Æ Æ Æ

-

- -= = = -

= =

Ú Ú

Fungsi 21( ) xf x = kontinu pada [-1,0) » (0,1] dengan 2

0

1limx xÆ

= • . Inte-

gral tak wajar dari fungsi f pada selang tutup [-1,1] adalah

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2

11 0 1 1

1 1 0 1 10 0 0 0

0 0

1 1

1 1

lim lim lim lim

lim 1 lim 1 (divergen).

qq

r rq r q r

q r

dx dx dx dx dxx xx x x x x

q r

- + - +

- +

- - - -Æ Æ Æ Æ

Æ Æ

= + = + = - + -

= - - + - + = + =• • •

Ú Ú Ú Ú Ú

BtT & ItW 013

Fungsi 31

1( )

xf x

-= kontinu pada [0,1) » (1,2] dengan 31

11

limx xÆ -

= ±• .

Integral tak wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,1] adalah

( ) ( )( ) ( )

3 3 3 3 3

2 1 2 2

0 0 1 01 1

22/3 2/3

01 1

2/3 2/3

1 1

1 1 1 1 1

3 32 2

3 3 3 32 2 2 2

3 32 2

lim lim

lim ( 1) lim ( 1)

lim ( 1) lim ( 1)

(konvergen)0 .

q

rq r

q

rq r

q r

dx dx dx dx dxx x x x x

x x

q r

- +

- +

- +

Æ Æ

Æ Æ

Æ Æ

- - - - -= + = +

= - + -

= - - + - -

= - + =

Ú Ú Ú Ú Ú

Aneka Ragam Variasi Contoh Integral tak Wajar

Selidiki kekonvergenan integral tak wajar sech x dx•

-•Ú .

Integral tak tentu dari ( ) sechf x x= adalah

2

21

2 2cosh 1

( )1 ( )

sech

2 2 tan

x

x x x

x

xx

dx dx e dxx e e e

d ee

xdx

e C

-+ +

-+

= = =

= = +

Ú Ú Ú Ú

Ú

Integral tak wajar dari ( ) sechf x x= yang kontinu pada (-•,•) adalah

( ) ( )( ) ( )

0

01 10

1 1

0

00

1 12 2

1 1 12 2 2

sech sech sech

lim sech lim sech

lim 2tan lim 2tan

lim

(konvergen

2 tan lim 2tan

2 .2 )0

aa b

bx xaa b

a b

a b

b

xdx xdx xdx

xdx xdx

e e

e ep p

p p p p

Æ Æ

- -

Æ Æ

- -

Æ Æ

• •

-• -•

-• •

-• •

-• •

= +

= +

= +

= - + -

= - ◊ + ◊ - =

Ú Ú ÚÚ Ú

BtT & ItW 014

Selidiki kekonvergenan integral tak wajar 0 (1 )

dxx x

•

+Ú .

Integral tak tentu dari (1 )( ) dxx xf x += pada (0,•) adalah

212 ( )

(1 ) 1 ( )2 tand xdx

x x xx C-

+ += = +Ú Ú

Jenis integral tak wajar ini pada selang hingga dan selang tak hingga ka-rena (1 )( ) dx

x xf x += kontinu pada (0,•) dengan0

1(1 )lim

x x x+Æ + = • . Integal

tak wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,•) adalah

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

0

11 110

1 1

0

1 1

0 0 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

1 14 4

1 1 14 2 4

lim lim

lim 2tan lim 2tan

2 lim tan 2 lim tan

2 0 2 (konver gen).

bc

b

c bc

bc

b

cdx dx dx dx dx

x x x x x x x x x x

x x

c bp p

p p p p

+

+

+

ÆÆ

- -

ÆÆ

- -

ÆÆ

• •

•

•

•

+ + + + += + = +

= +

= - + -

= - + - =

Ú Ú Ú Ú Ú

Tunjukkan 1

rx dx•Ú konvergen jika r < -1 dan divergen jika r ≥ -1, .rŒ

Untuk kasus 1,r rπ - Œ integral tak wajarnya adalah

) )1 1

11 11

1 1

1 11 1

lim lim lim

, jika 1 0 , jika 1

, jika 1 0 , jika 1

r rbbr r

b b b

x br r

r r

x dx x dx

r r

r r

+ +

Æ Æ Æ

•

• • •

-+ +

- -+ +

Ê Ê= = =Ë Ë

Ï Ï+ < < -Ô Ô= =Ì Ì• + > • > -Ô ÔÓ Ó

Ú Ú

Untuk kasus 1,r r= - Πintegral tak wajarnya adalah

( )111 1 1

lim lim ln lim ln .b

b b b

bdx dxx xx dx x b-

Æ Æ Æ

• •

• • •= = = = = •Ú Ú Ú

Jadi 1

rx dx•Ú konvergen jika r < -1 dan divergen jika r ≥ -1, .rŒ

BtT & ItW 015

Aplikasi Integral tak Wajar untuk Fungsi Padat Peluang Percobaan acak Suatu hasil percobaan dikatakan acak jika bervariasi untuk beberapa percobaan tetapi untuk jangka panjang setelah sejumlah besar pengulangan hasilnya mempunyai distribusi yang teratur. Peluang Perbandingan munculnya kejadian dalam rangkaian percoba-an jangka panjang dinamakan peluang. Himpunan hasil percobaan yang mungkin untuk kejadian A ditulis P(A). Peluang dari kejadian A meme-nuhi sifat berikut. 1. Untuk setiap kejadian A berlaku 0 £ P(A) £ 1 2. Himpunan S dari semua hasil percobaan yang mungkin dinamakan

ruang sampel, dan untuk S berlaku P(S) = 1. 3. Jika kejadian A dan B saling terasing (tanpa hasil percobaan sama),

maka P(A atau B) = P(A) + P(B). Akibatnya, jika AC adalah himpunan semua hasil percobaan di ruang sampel S yang bukan kejadian A, ma-ka P(AC

) = 1 - P(A). Peubah acak Suatu aturan yang mengaitkan nilai numerik dengan hasil percobaan dinamakan peubah acak. Sebagai ilustrasi, pelantunan sebuah koin menghasilkan munculnya muka (M) atau belakang (B). Jika sebuah koin dilantunkan tiga kali, ruang sampelnya adalah himpunan

{MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB}. Peubah acak X dapat didefinisikan sebagai banyaknya muka dalam tiga kali pelantunan koin ini. Distribusi peluang dari X adalah daftar semua nilai yang mungkin dari X beserta peluang yang terkait.

Peubah acak X dikatakan diskrit jika himpunan nilai yang mungkin dari X adalah {x1, x2, ◊◊◊} dan dikatakan kontinu jika nilai X terletak pada su-atu selang dari bilangan real. PDF, fungsi padat peluang (probability density function) PDF y = f (x) dari peubah acak kontinu X didefinisikan 0 di luar himpunan hasil perco-

baan yang mungkin dan bersifat (1) f (x) ≥ 0, (2) ( ) 1f x dx•

-•=Ú .

x

P(X = x)

0 18

1 38

2 38

3 18

BtT & ItW 016

y PDF dari X y = f (x) 0 c d x

f (x) ≥ 0 dan ( ) 1f x dx•

-•=Ú

( ) ( )d

cP c x d f x dx£ £ = Ú

Rata-rata dan variansi dari suatu peubah acak di-

definisikan sebagai ( ) ( )E X x f x dxm•

-•= = Ú dan

2 2( ) ( ) ( )V X x f x dxs m•

-•= = -Ú .

Kaitan antara rata-rata dan variansi adalah 2 2 2( ) .E Xs m= -

PDF dari masa pakai sebuah komponen listrik adalah , 0( )

0 , 0

xe xf xx

ll -Ï ≥= Ì <Ó,

l konstanta. (1) Tunjukkan f memenuhi syarat PDF, (2) Tentukan rata-rata dan variansinya, (3) Tentukan fungsi distribusi kumulatif F(x) = P(X £ x), (4) Jika l = 0,01 dan t dalam jam, hitunglah P(X > 20).

(1) Fungsi f memenuhi syarat PDF karena f (x) ≥ 0 dan

( )0 0 0

0( ) 0 lim lim 1

bx x x

b b

bf x dx dx e dx e dx el l ll l- - -

Æ Æ

• •

-• -• • •= + = = - =Ú Ú Ú Ú .

(2) Rata-rata dari peubah acaknya adalah

( ) ( )

0

0 0

0

1 1 1 1

( ) ( ) 0 lim

lim lim .

x x

b

bx x b b

b b

bE X x f x dx dx xe dx xe dx

xe e be e

l l

l l l ll l l l

m l l- -

Æ

- - - -

Æ Æ

• •

-• -• •

• •

= = = + =

= - - = - - + =

Ú Ú Ú Ú

Variansi dari peubah acaknya adalah

( ) 2

2 2

2 02 2 2 2 20

20

1 1

1 1 (kerjakan perhitungan tekn

( )

isnya

( ) 0

lim !)

x

x

b

b

E X x f x dx dx x e dx

x e dx

l

l

l l

l l

s m l

l

-

-

Æ

• •

-• -•

•

= - = - = + -

= - =

Ú Ú Ú

Ú

(3) Fungsi distribusi kumulatifnya adalah

( )0

0 0( ) ( ) ( ) 0 1 .

xx x t t xF x P X x f t dt dt e dt e el l ll - - --• -•

= £ = = + = - = -Ú Ú Ú

(4) Untuk l = 0,01, 0,01 0,0120 20

( 20) 0,01 lim 0,01 0,82t t

b

bP X e dt e dt- -

Æ

•

•> = = ªÚ Ú .

Tafsirannya: peluang masa pakai komponen di atas 20 jam adalah 0,82.

SOAL LATIHAN MA 1201 – KALKULUS 2A – 2010/2011 Pokok Bahasan: Bentuk tak Tentu dan Integral tak Wajar

Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.

No. Pernyataan Jawab

1. Untuk sebarang bilangan asli n berlaku lim 0nx

x

xeƕ

= . B − S

2. Jika lim ( )x

f xƕ

= • dan lim ( ) ,x

g xƕ

= -• maka ( )( )lim 1

x

f xg xƕ

= - . B − S

3. Jika ( )( )lim 3

x

f xg xƕ

= , maka ( )lim ( ) 3 ( ) 0.x

f x g xƕ

- = B − S

4. Jika lim ln ( ) 2,x

f xƕ

= maka 2lim ( ) .x

f x eƕ

= B − S

5. Jika f dan g terdiferensialkan dan 0

( )( )lim

x

f xg x L

Æ

¢¢ = , maka

0

( )( )lim

x

f xg x L

Æ= . B − S

6. Jika f adalah fungsi genap dan 0

( )f x dx•Ú konvergen, maka ( )f x dx

-

•

•Ú konvergen. B − S

7. Jika lim ( )b

bbf x dx

-Æ• Ú ada dan hingga, maka ( )f x dx-

•

•Ú konvergen. B − S

8. Jika f ¢ kontinu pada [0,•) dan lim ( ) 0,x

f xƕ

= maka 0

( )f x dx•

¢Ú konvergen. B − S

9. Jika 0 ( ) [0, )xf x e x-£ £ " Œ • , maka 0

( )f x dx•Ú konvergen. B − S

10. Jika f kontinu pada (a,b) dan lim ( ) lim ( )x a x b

f x f x+ -Æ Æ

=•= , maka ( )b

af x dxÚ divergen. B − S

Hitunglah setiap limit berikut.

11. 3

0 sinlimx

xx xÆ - 12.

0

tansin2 2lim

x

x xx xÆ

-- 13.

0lim ln | |x

x xÆ

14. 1

30

tanlimx

x xx

-

Æ

- 15. 20

cosh 1limx

xxÆ

- 16. 20

2 2 1limx

x xxÆ

+ - +

17. ( )0

1lim cscx xxÆ

- 18. 0

(1 cos )sinlim

x

x xx xÆ

-- 19.

/2

1 sin1 cos2lim

x

xxpÆ

-+

20. 2/2

ln (sin )( 2 )

limx

xxp pÆ -

21. 0

2 3limx x

x xÆ

- 22. )ln (23lim

x

x

exƕ+

23. ( )2 20

1 1sec

limx x x xÆ

- 24. ( )lim ln 2 ln ( 1)x

x xƕ

- + 25. ( )1

1 11 lnlim

x x x+Æ - -

26. 1/(1 )

1lim x

xx

+-

Æ 27. 1/lim (ln ) x

xx

Æ• 28. 1/(2ln )lim (1 2 ) x

xx

Æ•+

29. / 3 3/

0lim ( )x x

xx e

Æ+ 30.

00

1lim 1 sinx

x x t dtÆ

+Ú 31. 1

1lim 1x t

x x e dt-

Æ•+Ú

Selidiki kekonvergenan setiap integral tak wajar berikut.

32. 2

1xxe dx-•

Ú 33. 221

x xdx

•

-Ú 34. 27 1x

xdx

•

+Ú

35. 1lne x x dx

•Ú 36. 22

ln xx

dx•Ú 37. 3

1 1(2 3)x

dx-• -Ú

38. 22 2

1xdx

-

-• -Ú 39. 21

2 10x xdx

•

-• + +Ú 40. | |xe dx-•

-•Ú

41. 2

1

01

1 xdx

-Ú 42. 2

2

11

1x xdx

-Ú 43. /2

0sin

1 cosx

x dxp

-Ú

44. ln 3

0 1

x

xe

edx

-Ú 45. 2

2

2 4x

xdx

- -Ú 46. 22

21

4 xdx

- -Ú

47. 0

1(1 )x x dx

•+Ú 48.

2 2

4

21

4, 0

c

c x cdx c

->Ú 49. 2

/2

/3tan

(lncos )xx

dxp

pÚ

Soal Aneka Ragam

50. Hitunglah luas daerah di bawah kurva 22 4 1/( )y x= - dan di sebelah kanan garis x = 1.

51. Jelaskan mengapa pernyataan ( ) lim ( )c

ccf x dx f x dx

-Æ

•

-• •=Ú Ú tidak benar.

52. Jika f kontinu, ( ) 0f x ≥ pada [0,•),0

( ) ,f x dx•

< •Ú dan lim ( )x

f xƕ

ada, buktikan lim ( ) 0.x

f xƕ

=

53. Daerah D terletak di kuadran pertama, di bawah kurva 2/3,y x-= dan di sebelah kiri garis x = 1. Tunjukkan luas daerah D hingga tetapi jika D diputar terhadap sumbu x volumnya tak hingga.

54. Tentukan semua nilai p sehingga integral tak wajar 1

01px dxÚ (a) konvergen dan (b) divergen.

55. Uji banding: untuk 0 ( ) ( ) pada [ , )f x g x a£ £ • , 0

( )g x dx•Ú konvergen fi

0( )f x dx

•Ú konvergen

dan 0

( )f x dx•Ú divergen fi

0( )g x dx

•Ú divergen. Dengan menggunakan uji ini tunjukkan semua

integral tak wajar berikut konvergen. (a) 4 411

1( )x xdx

•

+Ú (b) 2

1xe dx-•

Ú (c) 211

ln ( 1)x xdx

•

+Ú .

Kunci Jawaban

1. B 2. S 3. S 4. B 5. S 6. B 7. S 8. B 9. B 10. S 11. 6 12. 14

- 13. 0 14. 13

- 15. 12

16. 14

17. 0 18. 3 19. 14

20. 18

- 21. 23

ln 22. 13

23. 12

24. ln 2 25. 12

- 26. 1e 27. 1 28. e 29. e4

30. 1 31. 1 32. 12e 33. ln 2 34. divergen 35. divergen 36. 1

2(ln 2 1)+ 37. 1

4- 38. ln 3 39. 1

3p

40. 1 41. 12p 42. 1

3p 43. divergen 44. 2 2 45. 0 46. divergen 47. p 48. ln 2 3( )+ 49. 1

ln 2-

50. 12

ln3 51. Contoh penyangkal: ( )f x x= , ( ) sinf x x= 53. luas D = 3 (hingga) 54. (a) p £ 1, (b) p > 1

55. Tunjukkan pada [1,•) berlaku (a) 4 4 41 1

1( )x x x+£ , (b)

2x xe e- -£ , (c) 2 21 1

ln ( 1)x x x+£