Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)
-
Upload
agus-muhiban -
Category
Documents
-
view
98 -
download
2
description
Transcript of Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)
![Page 1: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/1.jpg)
KALKULUS LANJUT Pertemuan ke-1
Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.
![Page 2: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/2.jpg)
Point Penilaian Nilai akhir akan ditentukan dengan komponen sebagai berikut:
• Terstruktur (TST): 20%
• Mandiri (MDR): 20%
• Ujian Tengah Semester (UTS): 20%
• Ujian Akhir Semester (UAS): 40%
Konversi Huruf Mutu :
A >=80
B 70-79,99
C 55-69.99
D 45-54,99
E <45
![Page 3: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/3.jpg)
Aturan Nilai Akhir
1. Tidak ada ujian susulan untuk kuis. 2. Ujian Susulan untuk UTS dan UAS dapat
dilakukan dengan alasan sakit dan menunjukkan surat keterangan sakit dari dokter.
3. Keterlambatan pengumpulan Tugas atau Latihan Soal maksimal satu minggu dengan konsekuensi nilai yang diberikan hanya 80% dari nilai maksimal.
4. Jika terbukti melakukan kecurangan akademik berupa mencontek atau bekerja sama pada saat kuis, UTS dan UAS, maka akan mendapatkan sanksi nilai 0.
![Page 4: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/4.jpg)
Aturan Perkuliahan
1. Toleransi Keterlambatan 15 Menit dari jadwal Perkuliahan
2. Handphone/Smartphone, Tablet dan alat Elektronik pribadi lainnya WAJIB di Silent
3. Tidak berbincang-bincang selama proses belajar mengajar
4. Tidak meninggalkan sampah di ruangan kelas
5. Membawa Kalkulator
![Page 5: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/5.jpg)
Aturan Pengumpulan Tugas
1. Pada setiap jawaban tugas WAJIB mencantumkan Tanggal Penugasan
2. Nama lengkap
3. NIM
4. Kelas
5. Program Studi
![Page 6: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/6.jpg)
Referensi
• Purcell, E. J. et all., Kalkulus Jilid 1 Edisi ke-8, Jakarta, Erlangga, 2003.
• Leithold, Louis. The Calculus with Analytic Geometry, 3rd edition, Happer & Row Publishers, New York. 1976.
• Apostol, Tom M. Calculus Volume 1, 2nd Edition. John Wileu & Sons, Inc. 1967.
• Paul A. Foerster, Calculus, Concepts and Applications, Key Curriculum Press, 2005.
• Robert Oman & Daniel Oman, Calculus for the Utterly Confused, Mc Graw Hill, 1999
![Page 7: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/7.jpg)
Materi
1. Integral Tak tentu
-integral fungi Rasional
-integral fungsi logaritma
-integral fungsi Eksponensial
-integral fungsi Trigonometri
-integral substitusi
-integral parsial
2. Integral Tentu
3. Penggunaan Integral
4. Deret Tak Berhingga
![Page 8: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/8.jpg)
Definisi Integral Tak Tentu
Purcell et all. (2003) : Kita menyebut F suatu antiturunan f pada selang I jika Dx F(x)=f(x) pada I, yakni, jika F’(x)=f(x) untuk semua x dalam I.
Paul A. Foerster (2005) :
![Page 9: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh
Mencari suatu fungsi F yang memenuhi F’(x)=4x3 untuk semua x real.
Berdasarkan differensiasi, diketahui bahwa F(x)=x4 pastilah antiturunan.
Lebih lanjut lagi, F(x)=x4 +6 juga memiliki turunan F’(x)=4x3
Dengan demikian :
F(x)=x4 +C adalah antiturunan dari F’(x)=4x3 pada ,
![Page 10: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/10.jpg)
Aturan Pangkat
Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka :
Proof :
Untuk menunjukkan bahwa suatu hasil berbentuk
Cukup menunjukkan :
Dalam kasus ini :
11
1
r rx dx x Cr
f x dx F x C
xD F x C f x
1 111 11 0
1 1
rr r
xD x C r x xr r
![Page 11: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh
Carilah antiturunan (integral) dari :
Penyelesaian :
4
3f x x
4
3
4 13
73
1
4 13
3
7
f x dx x dx
x C
x C
![Page 12: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/12.jpg)
Aturan Sin dan Cos
sin cos
cos sin
x dx x C
x dx x C
![Page 13: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/13.jpg)
Aturan Operator Linear
Purcell et all. (2003) :
Integral tak tentu adalah operator linear
Andaikan f dan g mempunyai antiturunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta maka :
i k f x dx k f x dx
ii f x g x dx f x dx g x dx
iii f x g x dx f x dx g x dx
![Page 14: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/14.jpg)
Aturan Operator Linear
Paul A. Foerster (2005) :
![Page 15: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh
Dengan menggunakan kelinearan hitunglah :
2
32
2
3 4
3 14
1
a x x dx
b u u du
c t dtt
![Page 16: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh
2 2
3 2
1 2
3 2
1 2
3 2
3 4 3 4
3 4
3 2
2
2
a x x dx x dx xdx
x c x c
x x c c
x x C
3 32 2
3 1 221 2 3
522
1 2 3
522
3 14 3 14 1
1 314
3 212
2 314
5 2
2 314
5 2
b u u du u du u du du
u c u c u c
u u u c c c
u u u C
1
22 2
32
1 1
1 2
3
c t dt dt t dtt t
t Ct
![Page 17: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/17.jpg)
Aturan Pangkat yang Digeneralisir
Purcell et all. (2003) :
Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka :
Paul A. Foerster (2005) :
11
1
r r
g x g x dx g x Cr
![Page 18: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh (1)
Hitunglah :
Misalkan :
Maka :
30
4 33 4 3x x x dx
4
3
3
4 3
g x x x
g x x
30 304 3
31
314
3 4 3
1
31
3
31
x x x dx g x g x dx
g x C
x xC
![Page 19: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh (2)
Hitunglah :
Misalkan :
Sehingga :
Maka :
5
3 26 6 12x x x dx
3
2
2
6
3 6
3 6
u x x
dux
dx
du x dx
2 26 12 2 3 6 2x dx x dx du
53 2 5 5 6
63
16 6 12 2 2 2
3
16
3
x x x dx u du u du u C
x x K
![Page 20: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/20.jpg)
Persamaan Diferensial
Purcell et all. (2003) :
Sebarang persamaan dengan yang tidak diketahui berupa suatu fungsi yang melibatkan turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui ini disebut sebagai persamaan diferensial.
Firdanza, dkk. (2005) :
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan dari fungsi satu peubah yang tidak diketahui.
Orde :
turunan tertinggi dari fungsi yang terlibat dalam persamaan
Derajat/pangkat :
pangkat tertinggi dari turunan (tertinggi) fungsi yang terlibat dalam persamaan
![Page 21: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/21.jpg)
Persamaan Diferensial
Contoh :
Persamaan diferensial orde 1, Derajat 1
Persamaan diferensial orde 2, Derajat 1
Persamaan diferensial orde 2, Derajat 5
4dy
ydx
2 sin 0y x
5 4 63 1y y y
![Page 22: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/22.jpg)
Persamaan Diferensial
Definisi 1 :
Fungsi y=g(x) disebut sebagai solusi persamaan diferensial biasa jika y=g(x) disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial menghasilkan kesamaan yang berlaku untuk semua x (kesamaan identitas)
Definisi 2 :
Jika y=g(x) memuat konstanta sembarang, maka solusinya disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
Contoh :
• y=sin x + c solusi umum dari PDB y’-cos x = 0 , karena
(sin x + c)’- cos x = cos x – cos x =0
• y=cos x + 5 solusi khusus dari PDB y’+ sin x =0 karena
(cos x +5)’+ sin x = -sin x +sin x = 0
![Page 23: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/23.jpg)
Persamaan Diferensial
Pemisahan peubah :
Perhatikan persamaan diferensial
Jika kedua ruas dikalikan dengan y2 dx , akan diperoleh :
Dalam bentuk ini, persamaan diferensial mempunyai peubah-peubah terpisah yakni, suku-suku y berada pada suatu ruas dari persamaan dan suku-suku x pada ruas lainnya.
Dalam bentuk terpisah, kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial dengan menggunakan metode integral.
2
2
3dy x x
dx y
2 23y dy x x dx
![Page 24: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/24.jpg)
Persamaan Diferensial Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial
Kemudian carilah penyelesaian yang memenuhi y=6 bilamana x=0
Penyelesaian :
y=6 bilamana x=0
2
2
3dy x x
dx y
2 2
2 2
3 2 3
1 2
3 2 3
2 1
3 2 3
2 33
3
3
1 1
3 2
13
2
33
2
33
2
y dy x x dx
y dy x x dx
y c x x c
y x x c c
y x x C
y x x C
2 33
3
36 0 3 0
2
6
216
C
C
C
2 333
3 2162
y x x
![Page 25: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/25.jpg)
Persamaan Diferensial Contoh :
Dekat permukaan bumi, percepatan benda jatuh karena gravitasi adalah 32 kaki per detik kuadrat, asalkan kita menganggap bahwa hambatan udara dapat diabaikan. Jika suatu benda dilempar ke atas dari suatu ketinggian 1000 kaki dengan kecepatan 50 kaki per detik, carilah kecepetan dan tingginya 4 detik kemudian.
Penyelesaian :
Ingat kembali mengenai s(t) yaitu posisi, v(t) yaitu kecepatan dan a(t) yaitu percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis ordinat, maka :
2
2
dsv t s t
dt
dv d sa t v t
dt dt
![Page 26: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/26.jpg)
Persamaan Diferensial
Berdasarkan soal, anggap bahwa tinggi s diukur secara positif ke atas, sehingga v adalah positif dan a adalah negatif (tarikan gravitasi cenderung memperkecil v).
Titik awal persamaan diferensial :
Dengan syarat v=50 , s =1000 pada saat t=0, dengan demikian :
Karena v=50, s=1000 dan t=0, maka
32dv
dt
32
32
32
dv dt
v dt
t C
32
50 32 0
50
v t C
C
C
32 50v t
![Page 27: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/27.jpg)
Persamaan Diferensial
Oleh karena maka :
Karena s=1000 dan t=0, sehingga :
dsv
dt
2
2
32 50
32 50
32 50
3250
2
16 50
dst
dt
ds t dt
s t dt
s t t C
s t t C
1000 16 0 50 0
1000
C
C
216 50 1000s t t
![Page 28: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/28.jpg)
Persamaan Diferensial
Akhirnya untuk t=4 :
Dapat disimpulkan bahwa :
22
32 50 32 4 50 78det
16 50 1000 16 4 50 4 1000 944
kakiv t
s t t kaki
0
2
0
32
32
16 50
a
v t v
s t t s
![Page 29: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/29.jpg)
Fungsi Transenden
Fungsi transenden adalah fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y=k dan fungsi kesatuan y=x.
![Page 30: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/30.jpg)
Integral Fungsi Transenden
Fungsi Tansenden
Logaritma Asli
Eksponensial
Trigonometri
![Page 31: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/31.jpg)
Fungsi Logaritma Asli
Fungsi logaritma asli dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai :
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.
1
1ln 0
x
x dt xt
![Page 32: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/32.jpg)
Fungsi Logaritma Asli
![Page 33: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/33.jpg)
Fungsi Logaritma Asli
![Page 34: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/34.jpg)
Fungsi Logaritma Asli
![Page 35: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/35.jpg)
Turunan Fungsi Logaritma Asli
Jika dan jika f terdiferensiasikan, maka :
1
1 1ln ; 0
x
x xD dt D x xt x
0u f x
1lnx xD u D u
u
![Page 36: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/36.jpg)
Contoh 1
Tentukan
Misalkan maka :
lnxD x
12u x x
1
21
2
12
12
1ln
1 1
2
1
2
x xD x D xx
xx
x
![Page 37: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/37.jpg)
Contoh 2
Tentukan
Misalkan maka
adalah positif jika x<-1 atau x>2, maka daerah asal yaitu
2ln 2xD x x
2 2u x x 0u
2 2 2 1x x x x
2ln ln 2u x x
, 1 2,
2 2
2 2
2 11ln 2 2
2 2x x
xD x x D x x
x x x x
![Page 38: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/38.jpg)
Contoh 3
Buktikan bahwa 1
ln 0xD x xx
10 ln
1 10 ln
x
x x
x x x D xx
x
x x x D x D xx x
![Page 39: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/39.jpg)
Berdasarkan contoh 3 :
Atau
1ln , 0dx x C x
x
1ln , 0du u C u
u
![Page 40: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/40.jpg)
Contoh 4
Carilah integral
Misalkan :
5
2 7dx
x
2 7
2
1
2
u x
du dx
du dx
5 5 1
2 7 2
5 1
2
5ln
2
5ln 2 7
2
dx dux u
duu
u C
x C
![Page 41: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/41.jpg)
Sifat-Sifat Logaritma Asli
Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebarang bilangan rasional, maka :
ln1 0
ln ln ln
ln ln ln
ln lnr
i
aii a b
b
iii ab a b
iv a r a
![Page 42: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/42.jpg)
Proof
Sifat (i) :
Sifat (ii) :
Karena untuk x>0
Dan
1
1
1ln1 0dt
t
1 1
lnxD ax aax x
1lnxD x
x
![Page 43: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/43.jpg)
Proof
Sifat (ii) :
Berdasarkan Teorema tentang dua fungsi dengan turunan sama bahwa :
Jika untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikiran rupa sehingga :
Untuk semua x dalam (a,b)
F x G x
F x G x C
![Page 44: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/44.jpg)
Proof
Sifat (ii) :
Untuk menghitung C, ambillah x=1 maka ln a = C, sehingga :
ln
ln
ln ln
F x ax
G x x
ax x C
ln ln lnax x a
![Page 45: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/45.jpg)
Proof
Sifat (iii) : Gunakan a sebagai 1/b dalam sifat (ii) untuk memperoleh :
Jadi :
Dengan menerapkan sifat (ii), diperoleh :
1 1ln ln ln ln1 0b b
b b
1ln ln b
b
1 1ln ln ln ln ln ln
aa a a b
b b b
![Page 46: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/46.jpg)
Proof
Sifat (iv) : Karena untuk x>0,
Dan
juga, berdasarkan teorema yang digunakan pada sifat (ii), diperoleh bahwa :
Andaikan x =1, yang memberikan C=0 maka
11ln r r
x r
rD x rx
x x
1
lnx
rD r x r
x x
ln lnrx r x C
ln lnrx r x
![Page 47: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/47.jpg)
Contoh 1
Carilah dy/dx jika
Penyelesaian :
3
2
1ln , 1
xy x
x
13
2
2
2
1ln
11ln
3
1ln 1 ln
3
1ln 1 2 ln
3
xy
x
x
x
x x
x x
1 1 2
3 1
2
3 1
dy
dx x x
x
x x
![Page 48: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/48.jpg)
Contoh 2
Carilah dy/dx jika
Penyelesaian :
2
23
1
1
xy
x
2
23
1 22 2 3
2
1ln ln
1
ln 1 ln 1
1 2ln 1 ln 1
2 3
xy
x
x x
x x
2
2
2
1 1 1 2 12
2 3 11
2
3 11
2
3 1
dyx
y dx xx
x
xx
x
x
![Page 49: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/49.jpg)
Contoh 2
2
2
2
2 23
12 2
223
122 23
21
3 1
2
3 1
21
3 11
1 2
3 1 1
2
3 1 1
xdy
y dx x
xdyy
dx x
xx
xx
x x
x x
x
x x
![Page 50: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/50.jpg)
Grafik Logaritma Asli
Daerah asal ln x adalah himpunan bilangan real, sehingga grafik y=ln x terletak di setengah bagian bidang kanan.
Untuk x>0 :
2
2
11 ln 0
12 ln 0
x
xD xx
D xx
![Page 51: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/51.jpg)
Grafik Logaritma Asli
• Rumus (1) menunjukkan bahwa fungsi logaritma natural (asli) kontinu dan naik dengan x bertambah besar.
• Rumus (2) menunjukkan bahwa grafik cekung ke bawah di mana-mana
![Page 52: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/52.jpg)
TUGAS 1
2
3
62 3
2 3
2
2
1. 1
2.
3. 5 1 5 3 8
4. Carilah penyelesaian umum dan khusus dari
; 4 pada 0
5. 2 8
16.
2 4 3
x dx
x x dx
x x x dx
duu t t u t
dt
zdz
z
tdt
t t
![Page 53: Pertemuan Ke-1 (Integral Tak Tentu & Logaritma)](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022082208/577c78371a28abe0548f1e7a/html5/thumbnails/53.jpg)
TERIMA KASIH