Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)

8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)

1/32

Pertemuan ke-5

Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.


2/32

Kalkulus

Turunan

Integral Tentu

limn

f x h f x f x

h

1

lim

b n

i i

P ia

f x dx f x x


3/32

Teorema A (Purcell, et all. page 249,2003):

Teorema Dasar Kalkulus Pertama

Anggaplah f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan anggaplah x sebagai sebuah titik peubah pada (a,b), maka :

x

a

d f t dt f x

dx


4/32

Proof :

lim

1lim

1lim

1lim

x

a

n

x h x

na a

x h

n

x

n

d f t dt G x

dx

G x h G x

h

f t dt f t dt h

f t dt

h

hf xh

f x


5/32

Teorema B (Purcell, et all. page 250,2003):

Sifat Perbandingan

Jika f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan jika f (x)≤ g(x) untuk semua x dalam [a,b], maka:

Dalam bahasa informal tetapi cukup deskriptif, kita mengatakan

bahwa integral tentu mempertahankan ketaksamaan.

b b

a a

f x dx g x dx


6/32

Proof :

Misalkan

Sebagai partisi sebarang dari [a,b] dan untuk tiap-tiap i anggaplah

sebagai titik sampel pada selang ke-i [xi-1 , xi], dapat disimpulkanbahwa :

1 1

1 1

lim lim

i i

i i i i

n n

i i i i

i i

n n

i i i i P P

i i

b b

a a

f x g x

f x x g x x

f x x g x x

f x x g x x

f x dx g x dx

0 1 2 3 4 1: n P a x x x x x x b

i x


7/32

Teorema C (Purcell, et all. page 250,2003):

Sifat Keterbatasan

Jika f terintegrasikan pada selang [a,b] dan jika m≤ f (x)≤ M untuksemua x dalam [a,b], maka:

b

a

m b a f x dx M b a


8/32

Proof :Perhatikan grafik berikut :

i x

b

a

m b a f x dx M b a


9/32

Teorema D (Purcell, et all. page 251,2003):Kelinearan Integral Tentu

Jika f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan k konstanta. Maka kf dam f + g terintegrasikan dan

b b

a a

b b b

a a a

b b b

a a a

i k f x dx k f x dx

ii f x g x dx f x dx g x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx


10/32

Contoh :Anggaplah :

a. Jika y= A(x) , carilah dy/dx.

b. Carilah penyelesaian persamaan diferensial yang memenuhi y=0ketika x=1

c. Carilah

3

1

x

A x t dt

4

3

1

t dt


11/32

a. Berdasarkan teorema dasar kalkulus pertama

b. Persamaan diferensian dy/dx terpisah, sehingga

3dy

A x xdx

3

3

3

41

4

dy x

dx

dy x dx

y x dx

y x C


12/32

b. Ketika x=1, kita harus mempunyai :

sehingga :

dengan demikian, penyelesaian terhadap persamaan diferensial

menjadi :

1

3

1

1 0 y A t dt

4

4

1

4

10 1

4

1

4

y x C

C

C

41 1

4 4 y x


13/32

c. Berdasarkan jawaban (b) diperoleh bahwa :

maka :

41 1

4 4 y A x x

4

43

1

1 1 2554

4 4 4t dt A a


14/32

Teorema A (Purcell, et all. page 256,2003):Teorema Dasar Kalkulus Kedua

Anggaplah f kontinu (dan terintegrasikan) pada selang tertutup [a,b]dan anggaplah F sebarang antiturunan f pada [a,b], jadi

b

a

f x dx F b F a


15/32

Contoh 1:Perlihatkan bahwa

Penyelesaian :

Antiturunan F (x) adalah sebagai berikut :

Dengan demikian

b

a

k dx k b a

F x k dx kx

b

a

k dx F b F a kb ka k b a


16/32

Contoh 2:Perlihatkan bahwa

Penyelesaian :

Antiturunan F (x) adalah sebagai berikut :

Dengan demikian

2 2

2 2

b

a

b a x dx

21

2 F x x dx x

2 21 12 2

b

a

x dx F b F a b a


17/32

Purcell, et all. (page 259,2003):

Teorema Dasar Kalkulus Kedua dapat dituliskan dengan lambangsebagai berikut :

b

b

aa

f x dx f x dx


18/32

Contoh 3:Hitunglah

Penyelesaian :

Anggaplah u=x2

+x maka du=(2x+1) dx, jadi :

Dengan demikian

4

2

0

2 1 x x x dx

331

2 2 22 22 2

2 13 3

x x x dx u du u C x x C

443

2 2 2

00

3 32 22 2

2

2 1 3

2 24 4 0 0

3 3

59, 63

x x x dx x x C

C C


19/32

Contoh 4:Hitunglah

Penyelesaian :

Anggaplah u=sin 2x maka du=2 cos 2x dx, jadi :

Dengan demikian

43

0

sin 2 cos 2 x x dx

3 3 3

4 4

1 1sin 2 cos 2 sin 2 2 cos 2

2 2

1 1 1sin 2

2 4 8

x x dx x x dx u du

u C x C

4 43 4

00

4 4

1sin 2 cos 2 sin 2

8

1 1sin 2 sin 2 0

8 4 8

1

8

x x dx x C

C C


20/32

Teorema B (Purcell, et all. page 261,2003):Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral

Anggaplah f kontinu pada [a,b] maka terdapat suatu bilangan c antaraa dan b sedemikian rupa sehingga :

b

a

f t dt f c b a


21/32

Purcell, et all. (page 266,2003):Aturan substitusi untuk Integral Tentu

Andaikan g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan andaikan f kontinu pada daerah hasil dari g. Maka:

g bb

a g a

f g x g x dx f u du


22/32

Contoh 1Hitunglah

Penyelesaian :

Misalkan

Dengan demikian jika x=0, maka u=6 dan jika x=1 maka u=9, jadi

1

22

0

1

2 6

xdx

x x

2

2 6

2 2

2 1

11

2

u x xdu x dx

du x dx

du x dx


23/32

1 9

2 22

0 6

9

2

6

9

6

1 1 1

22 6

1 1

2

1 1

2

1 1 1

2 9 6

1 2 3

2 18

1

36

xdx du

u x x

duu

u


24/32


25/32

2

2

4 2

39

2

3

2

3

coscos 2

2 cos

2 sin

2 sin sin2 3

32 1

2

2 3

xdx u du

x

u du

u

sin cos

0 0 1

1 3

6 2 2

2 2

4 2 2

3 1

3 2 2

1 02

2 3 1

3 2 2

3 2 2

4 2 2

5 1 3

6 2 2

0 1

x x x


26/32

Purcell, et all. (page 267,2003):Teori Simetri

Jika f fungsi genap, maka :

Jika f fungsi ganjil, maka :

0

2

a a

a

f x dx f x dx

0

a

a

f x dx


27/32

Contoh 1Hitunglah

Penyelesaian :

Karena

Maka

MisalkanDengan demikian jika x=0, maka u= 0 dan jika x= π maka u= π /4, jadi

cos4

xdx

cos cos

4 4

x x

cos4

x f x fungsi genap

14

4 4

xu du dx du dx


28/32

0

4

0

4

0

4

0

cos 2 cos4 4

2 cos 4

8 cos

8 sin

8 sin sin 04

4 2

x xdx dx

u du

u du

u

sin cos

0 0 1

1 3

6 2 2

2 2

4 2 2

3 1

3 2 2

1 02

2 3 1

3 2 2

3 2 2

4 2 2

5 1 3

6 2 2

0 1

x x x


29/32

Contoh 2Hitunglah

Penyelesaian :

Karena

Maka

5 5

2

5 4

xdx

x

5

24

x f x fungsi ganjil

x

5 5

2

5

04

x dx x


30/32

Purcell, et all. (page 268,2003):Teori D

Jika f periodeik dengan periode p, maka :

b p b

a p a

f x dx f x dx


31/32

ContohHitunglah

Penyelesaian :

Karena

Maka

2

0

sin x dx

sin f x x periodik

2 2

0 0 0

0

0

sin sin sin sin sin

2 sin 2 cos

2 cos cos 0 4

x dx x dx x dx x dx x dx

x dx x


32/32

Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)

Documents

Transcript of Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)