I. Pokok Pembahasan

Integral tentu

Integral tak tentu

Sigma

II. Tujuan:

1. Mengetahui dan memahami bentuk-bentuk integral tentu dan integral tak tentu

2. Mengetahui dan memahami bentuk sigma

3. Menyelesaikan bentuk integral dan sigma dengan maple

4. menentukan hasil penyelesaian integral dan sigma dengan maplle

III. Landasan Teori

1. Integral Tentu dan Tak Tentu

Setelah kita memahami tentang integral tentu dan integral taktentu, baik pada

materi Calculus yang dipelajari di ruang kelas maupun yang dipelajari pada bab lain dari

perkuliahan matematika komputasi ini, maka pada kesempatan ini pengetahuan itu akan

kita perluas pada penerapannya. Materi integral ini memang mendapat porsi yang besar

karena adalah inti dari Calculus di samping turunan dan diferensial serta limit dan deret.

Program Maple dalam hal ini kita gunakan sebagai perangkat pendukung untuk

memperdalam pengetahuan kita tentang integral dan melebih-nyatakan integral sehingga

kita dengan mudah membangun suatu konstruksi pemahaman di dalam pikiran yang pada

akhirnya dapat diingat lebih lama. Beberapa contoh akan kita uraikan sebagai kajian, dan

untuk pengembangan diri, anda diharapkan menerapkannya pada contoh-contoh lain yang

dapat anda jumpai pada textbook-texbook Calculus. Kita awali dengan pendalaman pada

polynomial berpangkat 3.

Contoh 1 :

Carilah nilai-nilai a, b, c, dan d dari fungsi polynomial pangkat tiga di mana fungsi ini

memiliki titik maksimum relative pada (1,7) dan titik minimum relative pada (8,-2).

Perkenalkan fungsinya :

> f:=a*x^3+b*x^2+c*x+d;

:= f a x3 b x2 c x d

> el:=subs(x=1,f)=7;

:= el a b c d 7

> e2:=subs(x=8,f)=-2;

:= e2 512 a 64 b 8 c d -2

Suatu kurva yang memiliki titik maksimum dan minimum, pada titik-titik tersebut nilai

turunannya sama dengan nol. Sehingga fungsi tersebut dapat kita turunkan dan

mensubstitusikan nilai titik-titik tersebut kemudian menyamakannya dengan 0.

Turunkan fungsi f(x) terhadap x :

> fdiff:=diff(f,x);

:= fdiff 3 a x2 2 b x c

> e3:=subs(x=1,fdiff)=0;

:= e3 3 a 2 b c 0

> e4:=subs(x=8,fdiff)=0;

:= e4 192 a 16 b c 0

Kita telah mendapatkan 4 persamaan dengan empat variable yang tidak diketahui, yaitu

variable a, b, c, dan d. Kita selesaikan ke-4 persamaan tersebut :

> q:=solve({e1,e2,e3,e4},{a,b,c,d});

:= q

Kemudian substitusikan nilai-nilai a, b, c dan d ke dalam persamaan awal untuk

mendapatkan bentuk sempurna persamaan itu :

> f1:=subs(q,f);

:= f1 a x3 b x2 c x d

Cara lain untuk menyelesaikan persoalan tersebut :

Dengean mengetahui titik-titik maksimum dan minimum kita dapat membangun suatu

persamaan dan mengintegralkan persamaan ini untuk mendapatkan persamaan awal

dengan beberapa konstanta yang belum dikatahui :

> fp:=c*(x-1)*(X-8);

:= fp c ( )x 1 ( )X 8

> F:=int(fp,x)+d;

:= F c ( )X 8

12

x2 x d

Substitusikan titik-titik maksimum dan minimum ke persamaan hasil integral :

> E1:=subs(x=1,F)=7;

:= E1 c ( )X 8

2d 7

> E2:=subs(x=8,f)=-2;

:= E2 512 a 64 b 8 c d -2

Kita mendapatkan dua persamaan dengan dua variable yang tidak diketahui, selesaikan

kedua persamaan ini untuk mendapatkan nilai dua variable yang tidak diketahui tersebut :

> Q:=solve({E1,E2},{c,d});

Q { :=

,c 2 ( ) 9 512 a 64 b

8 Xd

2 ( ) 2048 a 256 a X 256 b 32 b X 64 X8 X

}

Substitusikan hasilnya ke persamaan hasil integral :

> F1:=subs(Q,F);

F12 ( ) 9 512 a 64 b ( )X 8

12

x2 x

8 X :=

2 ( ) 2048 a 256 a X 256 b 32 b X 64 X8 X

Contoh 2 :

Carilah nilai-nilai a, b, c, dan d dari fungsi polynomial pangkat tiga di mana fungsi ini

memiliki titik maksimum relative pada (8,4) dan titik minimum relative pada (5,1).

> restart:

> gp:=c*(x-5)*(x-8);

:= gp c ( )x 5 ( )x 8

> g:=int(gp,x)+d;

:= g c

40 x

13

x3 132

x2 d

> e1:=subs(x=5,g)=1;

:= e1 475 c

6d 1

> e2:=subs(x=8,g)=4;

:= e2 224 c

3d 4

> q1:=solve({e1,e2},{c,d});

:= q1 { },c-23

d484

9

> g1:=subs(q1,g);

:= g1 803

x29

x3 133

x2 4849

Contoh 3 :

Carilah luas yang dibatasi oleh persamaan f(x) dan g(x) pada contoh 1 dan 2 .

Pertama-tama kira gambar dahulu kedua grafik dari persamaan tersebut untuk melihat

luasan yang dimaksud. Hasilnya adalah :

> restart:

> f1:=(18/343)*x^3-(243/343)*x^2+(432/343)*x+(2194/343);

:= f1 18

343x3 243

343x2 432

343x

2194343

> g1:=(-2/9)*x^3+(13/3)*x^2-(80/3)*x+(484/9);

:= g1 29

x3 133

x2 803

x484

9

> plot({f1,g1},x=3..10);

Dengan memperhatikan gambar di atas, maka luasan yang akan dicari tersebut adalah

luasan yang dibatasi dari kira-kira pada harga x = 3 sampai x = kira-kira 10. Untuk lebih

jelasnya mari kita lihat titik potong kedua grafik tersebut.

> r:=fsolve(f1=g1,x);

:= r , ,3.374774810 5.257242355 9.721756420

Pada proses penghitungan luas yang dibatasi oleh dua kurfa mempersyaratkan agar kita

membedakan antara kurva “bagian atas” dan kurva “bagian bawah” :

Dan hasil luas yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut adalah :

> value(q2);

18.41475281

Contoh 4 :

Carilah panjang kurfa grafik sinus x pada batas x = 0 sampai x = Pi.

> restart:

> with(student);

> f:=sin(x);

:= f ( )sin x

> fint:=Int(sqrt(1+diff(f,x)^2),x=0..Pi);

:= fint d

0

1 ( )cos x 2 x

> evalf(fint);

3.820197789

Contoh 5 :

Suatu benda berosilasi pada suatu pegas dengan kecepatan. Pada saat t=0, benda tersebut

berada 2 cm di bawah titik keseimbangannya yang ditentukan sebagai titik acuan. Carilah

posisi sebagai fungsi waktu x(t) dari benda tersebut dan gambar grafik pola gerakannya

pada batas t = 0 sampai t = 3Pi.

Karena kecepatan adalah turunan terhadap waktu dari posisi, maka kita dapat

mencari posisi dengan mengintegralkan fungsi kecepatan. Akan tetapi kita membutuhkan

suatu konstanta integrasi.

> restart:

Perkenalkan persamaan :

> v:=10*exp(-t)*sin(3*t);

:= v 10 e( ) t

( )sin 3 t

Cari posisi benda dengan mengintegralkan kecepatan :

> x1:=int(v,t)+c;

:= x1 3 e( ) t

( )cos 3 t e( ) t

( )sin 3 t c

Masukkan syarat batas untuk menentukan nilai c :

> x2:=subs(t=0,x1)=-2;

:= x2 3 e0 ( )cos 0 e0 ( )sin 0 c -2

> solve(x2,c);

1

Substitusikan harga c ke dalam persamaan posisi :

> xt:=subs(c=1,x1);

:= xt 3 e( ) t

( )cos 3 t e( ) t

( )sin 3 t 1

Gambar grafik posisi :

> plot(xt,t=0..3*Pi);

2. Integral Tentu

Luasan Di Bawah Suatu Kurva

Bila digambarkan suatu persegi panjang pada suatu koordinat cartesius,luas persegi

panjang tersebut dengan mudah dapat dicari. Perhatikan gambar 5.1 Luas persegi panjang

adalah A=f(x)∆x.

Gambar 5.1

Bila jumlah persegi panjang kita perbanyak menjadi 4 dengan lebar yang sama namun

tinggi f(x)-nya berbeda-beda maka keadaannya akan terlihat seperti gambar 5.2.

Gambar 5.2

Luas keseluruhan persegi panjang adalah :

A=A1+A2+A3+A4=f1(X) Δx + f2(x) Δx +f3(x) Δx +f4(x) Δx

Δx

Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 10 dengan tinggi f(x)-nya

yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil. Hasilnya akan menjadi seperti

ditunjukkan pada gambar 5.3.

Gambar 5.3

Luas totalnya dirumuskan sebagai :

Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 100 dengan tinggi f(x)-nya

yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil lagi. Hasilnya akan menjadi seperti

ditunjukkan pada gambar 5.4.

Gambar 5.4

Pada gambar 5.1 sampai gambar 5.4 secara tidak disadari kita telah membuat tinggi

persegi panjang berubah memenuhi keteraturan mendekati pola persamaan :

. Bila jumlah persegi panjang kita tambah lagi menjadi , dan seiring

dengan itu membuat , maka tinggi f(x) untuk setiap Δx berubah secara kontinu

mengikuti persamaan : . Sehingga luas keseluruhan persegi panjangnya

dinyatakan sebagai :

Jika kita membuat Δx mendekati 0, maka penulisan berubah menjadi ∫dan Δx

berubah menjadi dx. Sehingga selengkapnya ditulis menjadi :

Karena batas-batas pembuatan persegi panjang tadi kita sebar dari 0 sampai 1, maka

batas-batas tersebut kita letakkan pada tanda ∫dan ditulis seperti : . Tanda ∫ disebut

sebagai integral atau lambang integral. Bila integralnya tidak dibatasi, maka integral itu

disebut integral taktenu. Bila kita memberikan batasannya, seperti contoh di ∫10∫

atas di mana batas-batas integralnya adalah dari 0 sampai 1, maka tanda integralnya

ditulis sebagai ∫dan disebut sebagai integral tentu. 10

Fungsi f(x) pada contoh di atas adalah fungsi satu variable bebas, yaitu : variable x. Jika

fungsi yang diintegralkan adalah fungsi satu variable bebas maka hasilnya adalah

merupakan luasan (A) yang dibatasi oleh fungsi tersebut dengan sumbu-x. Maka untuk

mencari suatu luasan yang berada di bawah kurva suatu fungsi dapat dilakukan dengan

cara integral.

Penggunaan MAPLE Untuk Menyelesaikan Integral

Untuk menghantarkan teori integral ke bentuk yang lebih nyata secara visual, agar

mudah difahami, MAPLE digunakan sebagai perangkat lunak yang tepat. Teori integral

yang terlihat seolah-olah semu dapat diperjelas dengan uraian gambar-gambar.

Defenisikan suatu fungsi persamaan yang dikehendaki :

> restart;

> with(student);

> f:=x^2+1;

:= f =x2 + 1

Menggambar persegi panjang – persegi panjang yang tingginya memenuhi persamaan

f=x2 + 1 dan lebarnya sebesar Δx.

> leftbox(f,x=0..1);

> q:=leftsum(f,x=0..1);

q:=

> A:=value(q);

:A:=

> evalf(A);

1.218750000

Jumlah persegi panjang yang digambarkan adalah 4 yang tersebar dari batas-batas

0 sampai 1 pada sumbu-x, sehingga besar Δx = 0,25. Luas yang dihasilkan oleh

penjumlahan luas seluruh persegi panjang tersebut tentulah belum sama dengan luas di

bawah kurva f(x)=x2 + 1 sampai ke sumbu-x, karena masih tersisa ada empat seperti

berbentuk segita yang berada di bagian atas persegi panjang yang luasnya belum

termasuk ke dalam perhitungan. Agar luasan yang tidak terhitung ini menjadi kecil, maka

cara yang dilakukan adalah memperkecil lebar Δx. Kita coba lakukan dengan menambah

jumlah persegi panjang menjadi 10. Hasilnya ditunjukkan pada gambar 5.6

> leftbox(f,x=0..1,10);

Gambar 5.6

> q:=leftsum(f,x=0..1,10);

q:=

> A:=value(q);

A:=

> evalf(A);

1.285000000

Bila kita perhatikan gambar 5.6 dengan tiliti, maka masih didapatkan luasan di bawah

kurfa yang belum terhitung, namun besarnya sudah semakin kecil dari yang sebelumnya.

Untuk mempersingkat waktu, maka kita buat jumlah persegi panjangnya langsung 100.

Hasilnya ditunjukkan pada gambar 5.7.

> leftbox(f,x=0..1,100);

> q:=leftsum(f,x=0..1,100);

q:=

> A:=value(q);

A:=

> evalf(A);

1.328350000

Tentu saja hasil pada gambar 5.7 lebih mendekati ke hasil yang sebenarnya bila

dibandingkan dengan hasil-hasil sebelumnya. Dengan demikian, semakin kecil harga Δx

dibuat, semakin dekat hasil luas yang diperoleh ke luas yang sebenarnya. Untuk tujuan

tersebut, kita buat saja jumlah persegi panjangnya sebanyak “n” di mana “n” menuju

takhingga.

> restart:

> with(student);

> f:=x^2+1;

> q:=leftsum(f,x=0..1,n);

> A:=value(q);

> limit(A,n=infinity);

> evalf(limit(A,n=infinity));

1.333333333

Dengan membuat jumlah persegi panjang sebanyak takhingga pada batas x = 0 sampai x

= 1 sebagaimana dinyatakan oleh program terakhir ini kita dapat memanfaatkan konsep

limit untuk menghitung hasilnya dan memberikan hasil yang sebenarnya. Pembuatan

persegi panjang sebanyak takhingga pada selang x = 0 sampai x = 1 seperti di atas

memaksa harga Δx mendekati 0 sehingga Δx berubah bentuk menjadi dx. Dengan

demikian konsep integral dapat kita gunakan untuk mendapatkan hasil di atas dan kita

mendapatkan hasil yang sebenarnya :

> restart:

> with(student);

> f:=x^2+1;

> A1:=Int(f,x=0..1);

> evalf(value(A1));

1.3333333

Setelah kita dihantarkan pada pemahaman tentang konsep integral tentu oleh

uraian di atas, dalam ruang kuliah kita sering disuguhi fungsi-fungsi persamaan untuk

diintegralkan. Batas-batas integral sering tidak dilibatkan untuk tujuan yang lebih umum.

Persoalan seperti ini tentu lebih menantang untuk diselesaikan. Bila batas-batas

integralnya tidak diketahui, maka integral semacam itu disebut integral taktentu. Berikut

ini urusan semacam itu diuraikan dengan menggunakan program MAPLE.

Suatu fungsi persamaan tertentu disuguhi untuk diintegralkan, Contoh :

> restart:

> with(student);

> f1:=x^2-2;

> f1gral:=Int(f1,x);

> f1lai:=value(f1gral);

Hasil terakhir ini adalah hasil integral dari persamaan fI=X2-2 . Tentu anda yang

sudah mendapatkan materi kuliah Calculus sudah familiar dengan cara analitik

integralnya. Sebagaimana kita ketahui bahwa integral adalah suatu antiturunan, itu berarti

kita dapat mendapatkan ulang fungsi persamaan awal f1 dari hasil integralnya dengan

proses turunan, yaitu :

> diff(f1lai,x);

Contoh terkahir ini adalah contoh yang relative mudah difahami. Kita telusuri contoh

yang sedikit lebih rumit :

> f2:=(x^3+4)^6*x^2;

> f2gral:=Int(f2,x);

> f2lai:=value(f2gral);

Kita ingin mencoba mengembalikan persamaan f2lai ke bentuk f2 dengan cara

menurunkannya :

> f2run:= diff(f2lai,x);

Anda lihat, ternyata hasil yang didapatkan tidak persis sama dengan persamaan f2

(walaupun sebenarnya adalah sama bila factor pada f2 diuraikan). Agar

hasilnya persis sama, maka harus kita lakukan :

> factor(f2run);

Hasil terakhir ini terlihat sudah persis sama dengan persamaan f2.

Kita perluas pemahaman kita untuk contoh yang melibatkan fungsi trigonometri.

> restart:

> with(student);

> f3:=sin(x)^2*cos(x)^2;

> f3gral:=Int(f3,x);

> f3lai:= value(f3gral);

> f3run:=diff(f3gral,x);

Integral Tentu

Beberapa contoh di atas telah mengajari kita bagaimana menyelesaikan integral taktentu

dengan MAPLE. Berikut adalah cara bagaimana menyelesaikan integral tentu. Kita ambil

contoh persamaan ()()xxcossin yang akan kita integralkan pada batas x = 0 sampai x =

π/2.

> restart:

> with(student);

> f4:=sin(x)*cos(x);

> f4gral1:=Int(f4,x=0..Pi/2);

> f4gral2:=int(f4,x);

> f4lai:=value(f4gral1);

Perhatikan perintah f4gral2:=int(f4,x); perintah ini kita berikan untuk menunjukkan hasil

integralnya dalam bentuk variable. Artinya, .

Demikian uraian materi integral ini disajikan untuk menghantarkan anda ke pemahaman

yang lebih baik sehingga dapat mengerti konsep integral dan juga dapat mengajarkannya

dengan enak dan persuasive kepada khalayak ramai.

3. Notasi Sigma

Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.

Dibaca “jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k =1 sampai

dengan k = n”

Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.

1. ak = a1 + a2 + a3 + … + an

2. (ak + bk) = ak + bk

3. cak = c ak

4. ak = ak – p

5. c = (n – m + 1)c

6. ak + ak = ak

7. ak = 0

8. (ak + bk)2 = ak2 + 2 ak bk + bk

2

Barisan Aritmetika

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un.

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-

n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan

beda (b).

Misalkan suku pertama = a, beda b, maka

U1, U2, U3, ..., Un

a, a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b

Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah :

Suku Tengah ( Ut)

Jika bilangan berurutan a, b, c membemtuk barisan aritmatika, maka

terdapat hubungan.

2b = a + c atau

2 ( suku tengah ) = jumlah suku tepi

Contoh :

-4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. merupakan barisan aritmatika karena

2.14 = 8 + 20 = 2 + 26 = -4 + 32

b. Jika empat bilangan berurutan a, b, c, d, membemtuk barisan aritmatik maka

terdapat hubungan.

b + c = a + d atau

jumlah suku tengah = jumlah suku tepi

Contoh :

3, 7, 11, 15, 19, 23 merupakan barisan aritmatika karena

11 + 15 = 7 + 19 = 3 + 23

Contoh :

Deret Aritmatika ( Deret Hitung )

Un = a+ (n -1)b

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2,

U3, …,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupaka deret

aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn.

Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk

setiap suku ke – n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Nilai perbandingan

itu disebut rasio ( r ), ditulis :

R =

Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1

Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka :

U1, U2, U3, ..., Un

a, ar, ar2 , … ,arn – 1

Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :

Deret Geometri

Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri.

Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + …,Un

merupaka deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (Sn)

Sn =

Sn =

Un = arn-1

Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Deret Geometri Takhingga

Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n

mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret

geometri tak hingga dan di tulis dengan

S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + …

Jika

Jika

Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk

IV. Teladan

Contoh integral tak tentu 1

> Int(3*x^10-2*x^4+16*x-12,x);

> value(%);

>

Contoh integral tak tentu 2

> Int((12*x^3/5-x+3),x);

> value(%);

Contoh integral tentu 1

Int(x^2-x-6,x=0..2);

value(%);

contoh integral tentu 2

> Int(x^2-4*x+5,x=1..4);

value(%);

Contoh sigma 1

> with(student):

> Sum(1/n^3,n=1..100);

> evalf(%);

Contoh sigma 2

> with(student):

> Sum(sqrt(3*x^2/4*x-4),x=1..10);

> evalf(%);

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htm

Anonim. Matriks. http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)

Anonim. Invers dan Matriks. http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.html

Anonim. Mencari Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple. http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdf

Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.