Bab4 IntegralTentu Tujuan Instiuksional Khusus. Nahasiswa mampu: 1.mencaiiantituiunanfungsiuanmenggunakanantituiunanuntukmenyelesaikan peisamaan uifeiensial oiue satu peubah teipisah, 2.menggunakan uefinisi untuk menghitung integial tentu sebagai limit penjumlahan, S.menghitungjumlahRiemannuenganmenggunakantitikevaluasikiii,kanan,uan tengahuenganbantuanTeknologiInfoimasiuanKomputei(TIK)uan menggunakannya untuk menjelaskan pengeitian intuitif uaii integial tentu, 4.menghitung integial uengan menggunakan sifat integial tentu, atuian pangkat, uan substitusi umum, S.membangunuanmengevaluasiintegialuntukmenghitungluasbiuanguatai, volumebenuaputai,luaspeimukaanbenuaputai,keijayanguilakukanoleh peiubahangaya,momenuanpusatmassalaminauataiuansentioituaiiuaeiah biuang uatai. Waktu pembelajaian : 2 minggu. PauaBab2kitatelahmempelajaiikonsepuifeiensiasi(differentiation),yaitupencaiian tuiunan (derivative) uaii fungsi. Paua bab ini kita akan mempelajaii kebalikan uaii konsep uifeiensiasi,yaitupencaiianantituiunan(antiderivative)uaiifungsi.Konsepiniuikenal sebagai antiuifeiensiasi (antidifferentation) atau integiasi (integration). Selain itu, kita juga akan mempelajaii bebeiapa aplikasi konsep ini. 4.1 Antiturunan(integraltaktentu) Piosespencaiianantituiunanfungsimeiupakanpioseskebalikanuaiipioses pencaiiantuiunanfungsi.Namunuemikianauapeibeuaanhasiluaiikeuuapioses teisebut.Balampiosesuifeiensiasi,tuiunansuatufungsimeiupakansuatufungsipula, seuangkanualampiosesantiuifeiensiasi,antituiunansuatufungsimeiupakansuatu keluaiga fungsi satupaiametei (1parameterfunctionfamily), bukan suatu fungsi. Definisi 4.1 Fungsi F disebut suatu antiturunan fungsi pada interval I jikaxF(x) = (x) pada I,yaitu: F'(x) = (x) untuksetiap x di I. Contoh 4.1 Fungsi F1(x) = x3 +x , F2(x) = x3 +x +2 , dan F3(x) = x3 +x -2merupakan beberapa antiturunan fungsi (x) = S x2 +1 pada (-, ) . Hal inidisebabkan F1i(x) = J(x3 +x)Jx= S x2 +1 = (x), F2i(x) = J(x3 +x +2)Jx= S x2 +1 = (x), uan F3i(x) = J(x3 +x -2)Jx= S x2 +1 = (x), untuk setiapxui(-, ). Secaiaumum,F(x) = x3 +x +C,uenganCaualahsembaiangbilanganiiil,meiupakan antiturunanumum uaii(x) = S x2 +1. Napleuapatuigunakanuntukmencaiisuatuantituiunanumumfungsi.Peiintah yanguigunakanaualahint(fungsi,peubah).0ntukContoh4.1,masukannyaaualah int(S*x 2+1,x);, seuangkan keluaiannya aualah x S+x. Perhatian. Basil yang uibeiikan Napple tidak memuat konstantaC. uambai 4.1: uiafik fungsiy = x3 + x(kuiva sambung),y = x3 +x + 2(kuiva putusputus) uany = x3 + x - 2(kuiva titiktitik). Auakahpeibeuaanantaianggotakeluaigafungsisatupaiametei.uambai4.1 memuat giafik bebeiapa anggota teisebut untuk Contoh 4.1. uiafik anggota keluaiga fungsi uapat uipeioleh uengan caia menggesei secaia veitikal suatu giafik anggota fungsi. Perhatian.0ntukselanjutnya,yanguimaksuuuenganantituiunanaualahantituiunan umum. Notasi untuk menyatakan antituiunan fungsi(x)aualah _ (x) Jx. Notasi ini uicetuskan peitama kali oleh matematikawan }eiman u.W. Leibniz (16461716). Simbol]uisebuttandaintegral1(integralsign).Simbolinimeiupakan"pemanjangan" huiufSuaiikataLatinsummayangbeiaitijumlah.Suku(x)ualamnotasiteisebut uisebutintegran(integrand),seuangkanJxmenyatakanbahwaintegialnyateihauap vaiiabelx .Leibnizmenyebutantituiunansebagaiintegral taktentu(indefiniteintegral). Sepeitinya ia menggunakan kata "taktentu" kaiena auanya konstanta sembaiang Cpaua antituiunan fungsi.

1Kata integral dalam Kalkulus diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Swiss Jakob Bernoulli (1654-1705). Peihatikan bahwa x _ (x)Jx = (x), (4.1) _ x (x)Jx = (x) +C. (4.2) Contoh4.2Carilah ]''(x) Jx jika (x) = x x2 +1. Penyelesaian. _ '(x) Jx = _ x|x((x))] Jx = x((x)) +C|Peis.(4.2)] = 2 x2 +1x2 +1 +C. Teoiema beiikut membeiikan antituiunan fungsi pangkat. Teorema4.1(Aturanpangkat) Jika r adalahbilanganrasionaldan r = -1,maka _ x Jx =1r +1x+1 +C. Bukti. Nisalkanraualah bilangan iasional uanr = -1. Peihatikan x_x+1r +1+C_ =1r +1(r +1) x|teiuefinisi kaiena r = -1] = x. }aui] x Jx =1+1x+1 +Cuntuk bilangan iasionalruanr = 1. 0ntukr = u, Atuian pangkat membeiikan] 1 Jx = x +C. Contoh4.3Carilah ]x Jx dan ]1x Jx. Penyelesaian. Bengan menggunakan Atuian pangkat kita uapatkan _ x Jx = _ x12 Jx = 2Sx32 +C = 2S x x +C, _ 1x Jx = _ x-12 Jx = 2 x12 +C = 2 x +C. Antituiunanuntukfungsitiigonometiiuasaiuibeiikanolehteoiemabeiikut.Cobalah untuk membuktikannya! Teorema4.2_ sinx Jx = -cosx +C _ cosx Jx = sinx +C. Perhatian.0ntukmembuktikanpeinyataan] (x) Jx = F(x) +C,yangpeilu uitunjukkan aualahx(F(x)) = (x). BalamBab2,kitatahubahwatuiunanmeiupakanopeiatoilineai.Teoiemabeiikut menyatakan hal yang sama untuk integial taktentu. Teorema4.3(Kelinearanintegraltaktentu) Misalkanfungsi dan g mempunyaiantiturunan(integraltaktentu)dan k adalahkonstanta,maka (i) _ k (x) Jx = k _ (x) Jx, (ii) _ (x) _g(x) Jx = _ (x) Jx __ g(x) Jx. Bukti. Kita akan membuktikan butii (i). x _k _ (x) Jx] = k x __ (x) Jx] |x(k u(x)) = k x(u(x))] = k (x). Contoh4.4 Carilah ]|x| Jx. Penyelesaian. Kita tahu |x| = ]x x u-x x < u. Kita tuliskan|x| = k x, uengank = _1. Selanjutnya, _ |x|Jx = _ k x Jx = k _ x Jx|Kelineaian integial tak -tentu] = k x22+C = x |x|2+ C. Contoh4.5Carilah ]t3 +2sint Jt. Penyelesaian. _ t3 +2sint Jt = _ t3 Jt +_ 2sint Jt|Kelineaian integial tak -tentu] =14t4 +C1 +2 ] sint Jt|Kelineaian integial tak -tentu] =14t4 +C1 -2 cost +C2 =14t4 -2cost +C. Teorema4.4(Aturanpangkatyangdiperumum) Misalkan g adalahfungsiyangterdiferensialkandan r adalahbilanganrasionaldan r = -1.Maka _ |g(x)] g'(x) Jx = |g(x)]+1r +1+C.(4.S) KunciutamauntukmemakaiAtuianpangkatyanguigeneialisasiaualahkitahaiusuapat menentukan fungsi yang menjauig(x). Contoh4.6Carilah ]sin3xcosx Jx. Penyelesaian.KitaakanmenggunakanAtuianpangkatyanguigeneialisasi.Nisalkan g(x) = sinx, sehinggag'(x) = cosx, maka _ sin3xcosx Jx = _ (g(x))3 g'(x) Jx = (g(x))44+C = sin4x4+C. AtuianpangkatyanguigeneialisasimeiupakangeneialisasiAtuianpangkat.0ntuklebih memuuahkanmelihatkebenaianpeinyatanteisebut,kitamisalkanu = g(x),sehingga Ju = g'(x) Jx. Selanjutnya, peisamaan (4.S) uapat uitulis menjaui _ u Ju =u+1r +1+C, yang meiupakan Atuian pangkat uenganusebagai peubah. Contoh4.7Carilah ]cosx (1 +sinx)4 Jx. Penyelesaian. Nisalkanu = 1 +sinx, makaJu = cosx Jx. Selanjutnya, _ cosx (1 +sinx)4 Jx = _ u4 Ju = u5S+C = (1 +sinx)5S+C. Peisamaanuifeiensialaualahpeisamaanyangtiuakuiketahuinya(the unknown) aualahfungsiuanmelibatkantuiunanuaiifungsiyangtiuakuiketahuiteisebut.Suatu fungsiuisebutsolusiuaiipeisamaanuifeiensialjikafungsiiniuisubstitusikeualam peisamaan uifeiensialnya, maka peisamaan teisebut menjaui benai. Auabanyakjenispeisamaanuifeiensial.Bisini,kitaakanmeninjaupeisamaan uifeiensialoiuesatuyanguapatuipisah,maksuunyapeisamaaninimelibatkanhanya tuiunan peitama uaii fungsi yang tiuakuiketahui uan peubahnya uapat uipisahkan. Secaia umum peisamaan uifeiensial ini mempunyai bentuk JyJx = (x)g(y). (4.4) Peisamaan uifeiensial uengan bentuk sepeiti peisamaan (4.4) uapat uitulis sebagai g(y)Jy = (x)Jx.(4.S) Fungsiy(x)yangmemenuhinyauapatuicaiiuengancaiamengintegialkankeuuaiuas peisamaan (4.S). Contoh 4.8 Buktikanlah bahwa y = sinx +C , y = 1 , dan y = -1 adalah solusipersamaandiferensial [ddx2+y2 = 1. Penyelesaian.0ntuky = sinx +C,kitatahubahway'(x) = -cosx .Selanjutnya, [ddx2+y2 = cos2x +sin2x = 1.Seuangkanuntuky = _1,kitauapatkany'(x) = u, sehingga[ddx2+y2 = 1. Contoh 4.9 Tentukanlah persamaan kurva di bidang x -y yang melalui titik (1,1) dankemiringannyaditiaptitikadalahsepertigaakarordinatnya! Penyelesaian.Nisalkany(x)aualahpeisamaankuivayanguicaii.Biketahuiy(1) = 1 uan ddx =3 . Selanjutnya, _ Jyy = _ JxS 2 y +C1 = xS +C2 y = x6 +C3 y = (x +C)2S6 Kaienay(1) = 1,makakitauapatkanC = S.}auipeisamaankuivayanguicaiiaualah y = (x+56)2. Contoh 4.10 Dari ketinggian berapa dari permukaan bumi suatu bola harus dilepas agarmencapai permukaan bumi dengan kecepatan 50 m/s? Percepatan gravitasi bumidimisalkan10m/s2. Penyelesaian.Nisalkanb(t)aualahketinggianbolauaiipeimukaanbumipauasaatt, uengant = uaualahwaktuketikabolauilepas.Peicepatanjatuhnyabolamengikuti peicepatangiavitasibumi,sehinggab'(t) = -1u,uankecepatanbolapauasaatt uitentukanolehb'(t) = ] -1u Jx = -1u t +C1.Kaienabolauilepas(bukanuilempai), makakecepatanawalbolaaualahums(b'(u) = u).Akibatnya,C1 = u.Baiib'(t) =-1u t,kitatahubolateisebutmenyentuhtanahpauasaatt = S.Selanjutnya,b(t) =] b'(t) Jt = ] -1u t Jt = -S t2 +C2.Kaienab(S) = u,makaC2 = 12S.}auiketinggian awal bola aualah 12S m. Contoh 4.11 Populasi badak di suatu cagar alam bertumbuh dengan laju sebanding akarkubik besar populasinya. Jika pada tahun 1980 terdapat 100 badak di cagar alam tersebutdanmenjadi120badakpadatahun1990,padatahunberapapopulasibadakdi cagaralamtersebutmencapai140ekor?Diasumsikantidakadakematianbadaksejaktahun1980. Penyelesaian. Peitamatama kita buat acuan waktut = utahun beikoiesponuensi uengan tahun 198u uan kita misalkanB(t)aualah besai populasi bauak paua saatttahun. Baii soal, kita tahu dBdt= oB3,B(u) = 1uu, uanB(1u) = 12u. Paiameteiomenyatakan laju peitumbuhan populasi bauak pei kapita. Selanjutnya, _ 1B3 JB = _ o Jt S2 B23+C1 = o t +C2 B = 2 2S S(o t +C)32. BaiiB(u) = 1uu,kitauapatkanC = 1S1u3.LaluuaiiB(1u) = 12u,kitauapatkan o =6 2253-15 10310.SelanjutnyakitacaiityangmemenuhiB(t) = 14u.Iniuipenuhiuntuk t = 19,4S7. }aui paua tahun 2uuu, populasi bauak ui cagai alam teisebut menjaui 14u ekoi. Latihan4.1BukuLatihansubbab4.1. Bahanpendalaman. 1.SubbabS.1uanS.2uaiiKalkulus,}iliu1,E.}.Puicell,B.vaibeig,S.E.Riguon,Eu.8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.Subbab S.8 uan S.9 uaii Calculus, B. vaibeig, E.}., Puicell, S.E. Riguon, 9 eu., Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.2.LuasdanjumlahRiemann BalambagianinikitaakanmempelajaiijumlahRiemann.}umlahRiemannini beikaitanuenganluasapioksimasiuaiiuaeiahantaiakuivauansumbuxuanmenjaui konsep uasai untuk integial tentu paua subbab 4.S. 0ntukmemuuahkanpenulisanjumlahRiemann,akanuipeikenalkannotasisigma ().}umlahnsukuiiilo1 +o2 +o3 ++onuapatuitulissecaiaiingkassebagai n=1 o.}umlah(x1) Ax +(x2) Ax ++(xn) Ax uapatuitulissecaiaiingkas menjauin=1(x) Ax. Perhatian. Inueks ualam jumlah meiupakan indeksboneka (dummyindex), sehingga n=1 o = n]=1 o] = nk=1 ok. Teorema4.5(Kelinearanjumlah) Jika c adalahkonstanta,maka (i)n=1 c o = cn=1 o (ii)n=1 (o _b) =n=1 o _ n=1 b. Rumus4.1 Beberaparumusjumlahyangpenting: (i)n=1 k = k n (ii)n=1 i = 1 +2 +S ++n = n(n +1)2 (iii)n=1 i2 = 1 +4 +9 ++n2 = n(n +1)(2n +1)6 (iv)n=1 i3 = 1 +8 +27 ++n3 = _n (n +1)2]2. Contoh4.12Tentukanlah 10=1 o -b +i +1,jika 10=1 o = 4u dan 10=1 b = Su. Penyelesaian. 10=1 o -b +i +1 =10=1 o - 10=1 b + 10=1 i + 10=1 1|Teoiema 4.S. ] = 4u -Su +1u.112+1u.1 = SS.|Rumus 4.1] Contoh4.13Hitunglah 10k=1 2k -2k-1. Penyelesaian. 10k=1 2k -2k-1 = (21 -20) +(22 -21) +(23 -22) ++(210 -29) = 210 -20 = 1u2S. Napleuapatuipakaiuntukmenyeueihanakanjumlah.0ntukmenuefinisikansuatu jumlah ualam Naple, kita menggunakan peiintah sum(pola,iteiasi). Contoh 4.14 Kita tinjau jumlah n=1 i2 = 1 +4 +9 ++n2. Dengan masukan sebagaiberikut t1 := sum(i 2, i=1..n); simplify(t1); factoi(t1); kita uapatkann=1 i2 = 1 +4 +9 ++n2 =n (n+1) (2n+1)6. NisalkankitainginmencaiiluasuaeiahAyanguibatasikuivay = x2 +2, sumbux,sumbuy,uangaiisx = 1(lihatuambai4.2(A)).Luasuaeiahteisebutuapat uiapioksimasi uengan bantuan peisegi panjang. uambai 4.2: A : BaeiahAyang uibatasi kuivay = x2 +2, sumbux, sumbuy, uan gaiisx = 1. B, C, uan B : BaeiahAuiapioksimasi beituiuttuiut uengan peisegi panjang kanan, kiii uan tengah. Nulamula kita bentuk paitisiPuaii inteival|u,1]menjauinsubinteival (lebai tiapsubinteivaltiuakhaiussama,namununtukmemuuahkanpeihitunganlebai,tiap subinteivaluipilihsama).Lalukitakonstiuksinpeisegipanjangtegak.Nakinbanyak peisegi panjang yang uigunakan (nmakin besai), tentulah hasilyang uiuapat akan makin menuekati luas yang sebenainya. Beiuasaikanjenispeipotonganpeisegipanjangteisebutuengankuivayang uibeiikan, aua S penuekatan peisegi panjang, yaitu: 1.peisegipanjangkiii,yaitutitiksuuutkiiiatasmasingmasingpeisegipanjang menyinggung kuiva, lihat uambai 4.2 (C) 2.peisegi panjang kanan, yaitu titik suuut kanan atas masingmasing peisegi panjang menyinggung kuiva, lihat uambai 4.2 (B) 3.peisegipanjangtengah,yaitutitiktengahsisiatasmasingmasingpeisegipanjang memotong kuiva, lihat uambai 4.2 (B). 0ntuksuatuuaeiahyangsama,umumnyaketigapenuekatanteisebut menghasilkan tinggi peisegi panjang yang beibeua walaupun subinteivalnya sama. Contoh 4.15 Aproksimasikanlah luas daerah A yang dibatasi kurva y = x2 +2, sumbux,sumbuy, dan garis x = 1 dengan menggunakan 5 persegi panjang kiri. Kemudian denganmenggunakan n persegipanjangkiri,hitunglahluasdaerah A sesungguhnya. Penyelesaian. Nulamula bagilah inteival|u,1]menjaui S subinteival sama panjang, yaitu Ax =1-05= u,2. Peihatikan uambai 4.S beiikut ini. uambai 4.S: BaeiahAuiapioksimasi uengan S peisegi panjang kiii. iu12S4 xuu,2u,4u,6u,8 (x)22,u42,162,S62,64 I(P) = (x) Axu,4u,4u8u,4S2u,472u,S28 Tabel 4.1 : Tabel luas S peisegi panjang kiiiP Bengan menggunakan piogiam spreadsheet Excell kita uapat mempeioleh Tabel 4.1. BesaianI(P)menyatakanluaspeisegipanjangPyangmeiupakanhasilkalipanjang ((x))uanlebai(Ax).BaiitabelteisebutkitauapatkanluasapioksimasiuaeiahA uengan menggunakan S peisegi panjang aualahI(A) = 4=0 I(P) = 2,24. (Cobalah untuk n = 1u,1S, apa yang uapat uisimpulkan.) uambaiuanhasiluiatasuapatuipeiolehuenganmenggunakanNapple. Peiintahnya aualah sebagai beiikut. with(stuuent); f := x 2+2; leftbox(f, x=u..1, S); kiii := leftsum(f, x=u..1, S); value(kiii); }ikakitamenggunakannpeisegipanjangkiiiualammengapioksimasiuaeiahA, makaAx =1n. Panjang masingmasing peisegi panjang kiii(x)uapat uilihat paua Tabel 4.2. iu12n -1 xu1n2n(n -1)n(x)22 +(1n)22 +(2n)22 +((n -1)n)2 Tabel 4.2 : Tabel luasnpeisegi panjang kiiiP LuasuaeiahAyanguiapioksimasiuengannpeisegipanjangkiiiaualah sebagai beiikut. I(A) =n-1=0I(P) =n-1=0_2 + i2n2_1n =n-1=0_2n + i2n3_ = 2n n-1=01 +1n3

n-1=0i2|Teoiema] = 2n n +1n3 (n -1) n (2n -1)6 |Rumus] = 2 +(n -1)(2n -1)6 n2= 14 n2 -S n +16 n2. LuasuaeiahAyangsesungguhnyauiuapatjikabanyaknyapeisegipanjangyang uigunakan tak hingga (n - ), yaitu I(A) =limn- n-1=0I(P) =limn-14 n2 -S n +16 n2= 21S. Basil ini uapat uipeiiksa uengan menggunakan peiintah Naple sebagai beiikut. kiii := leftsum(f, x=u..1, n); value(kiii); limit(value(kiii), n=infinity); }aui luas uaeiahAsesungguhnya aualah213satuan luas. Contoh 4.16 Aproksimasilah luas daerah A yang dibatasi kurva y = x2 +2, sumbux,sumbuy, dan garis x = 1 dengan menggunakan 5 persegi panjang kanan. Kemudiandenganmenggunakan n persegipanjangkanan,hitunglahluasdaerah A sesungguhnya. Penyelesaian.Benganmembagiinteival|u,1]menjauiSsubinteivalyangsamapanjang, kita uapatkanAx = u,2. Peihatikan uambai 4.4 beiikut ini. uambai 4.4 : BaeiahAuiapioksimasi uengan S peisegi panjang kanan. i12S4S xu,2u,4u,6u,81 (x)2,u42,162,S62,64S I(P) = (x) Axu,4u8u,4S2u,472u,S28u,6 Tabel 4.S: Tabel luas S peisegi panjang kananP Tabel 4.S beiisi luas S peisegi panjang yang uigunakan. Baii tabel ini kita uapatkan luasapioksimasiuaeiahAuenganmenggunakanSpeisegipanjangkananaualah I(A) = 5=1 I(P) = 2,44. uambaiuanhasiluiatasuapatuipeiolehuenganmenggunakanpeiintahNapple sebagai beiikut. with(stuuent); f := x 2+2; iightbox(f, x=u..1, S); kanan := iightsum(f, x=u..1, S); value(kanan); }ikakitamenggunakannpeisegipanjangkananualammengapioksimasiluas uaeiahA, makaAx =1n. Panjang masingmasing peisegi panjang uapat uilihat paua Tabel 4.4. i12n -1n x1n2n(n -1)n 1 (x)2 +(1n)22 +(2n)22 +((n -1)n)2S Tabel 4.4: Tabel panjangnpeisegi panjang kananP Luas uaeiahAuapat uiapioksimasi uengannpeisegi panjang sebagai beiikut. I(A) =n=1I(P) =n=1_2 + i2n2_1n =n=1_2n + i2n3_ = 2n n=11 +1n3 n=1i2|Teoiema 4.S] = 2n n +1n3 n (n +1) (2n +1)6 |Rumus 4.1] = 2 +(n +1)(2n +1)6 n2= 14 n2 +S n +16 n2. Selanjutnya, luas uaeiahAsesungguhnya aualah I(A) =limn- n=1I(P) =limn-14 n2 +S n +16 n2= 21S. Basil ui atas uapat uipeiiksa uengan menggunakan peiintah Napple sebagai beiikut. kanan := iightsum(f, x=u..1, n); value(kanan); limit(value(kanan), n=infinity). }aui luas uaeiahAsesungguhnya aualah213satuan luas. Perhatian.Peihatikanpeibeuaanmulainyainueksualamnotasisigmayanguipakaipaua uua contoh ui atas. Nisalkanaualahfungsiyangteiuefinisipauainteivaltutup|o, b].Fungsi teisebut tiuak haius kontinu paua|o, b]uan uapat beinilai positif, nol ataupun negatif. KonstiuksilahpaitisiPpauainteival|o, b]menjauinsubinteival(tiuakpeilu samapanjang,namununtukmemuuahkanpeihitunganbiasanyauipilihsamapanjang), yaituo = x0 < x1 < x2 < < xn-1 < xn = b.Nisalkanpanjangsubinteivalnyaaualah Ax = x -x-1 .Ambilsembaiangtitiksampelx uaiitiapsubinteivaluengan x-1 x x(lihat uambai 4.S). uambai 4.S : PaitisiPpaua inteival tutup|o, b]. }umlah Rp =n=1(x) Ax uisebutjumlah Riemann2(Riemann sum)untukbeisesuaianuenganpaitisiP. }umlahinimempunyaiinteipietasigeometiisepeitipauauambai4.6,yaitujumlahluasbertandapeisegipanjanguiantaiakuivauengansumbux.Peisegipanjangyang beiauauiatassumbuxbeitanuapositif(kaiena(x) > u),seuangkanyangbeiauaui bawah sumbuxbeitanua negatif (kaiena(x) < u). }ika uikaitkan uengan notasi ualam mateii tentang luas, kita uapatkan Rp =n=1(+-) I(P). uambai 4.6 : }umlah Riemann untuksesuai paitisiPpaua inteival tutup|o, b]. Beiuasaikan letak titik sampelx, aua S jenis jumlah Riemann, yaitu: 1.}umlahRiemannkiiijikaxyanguigunakanaualahbataskiiisubinteivalnya.Bi sinikitauapatkanluasapioksimasibeitanuauenganpenuekatanpeisegipanjang kiii.

2Georg Riemann (1826-1866) adalah matematikawan Jerman yang meletakkan pengembangan dasar konsep keintegralan fungsi. 2.}umlah Riemann kanan jikaxyang uigunakan aualah batas kanan subinteivalnya. Bi sini uigunakan penuekatan peisegi panjang kanan. 3.}umlah Riemann tengah jikaxyang uigunakan aualah titik tengah subinteivalnya. Contoh 4.17 Carilah jumlah Riemann tengah untuk (x) = 2x pada interval |-2,S]denganmenggunakantitiktitikpartisiyangberjaraksama -2 < -1 < u < 1 < 2 < S. Penyelesaian. Kaiena titiktitik paitisi yang uigunakan beijaiak sama, makaAx = 1. i12S4S x1,Su,Su,S1,S2,S (x)S11SS (x) AxS11SS Tabel 4.S: Tabel Riemann tengah Baii tabel beiikut kita uapatkanRp = (-S) +(-1) +1 +S +S = S. Latihan4.2BukuLatihansubbab4.2. Bahanpendalaman. 1.SubbabS.SuanS.4uaiiKalkulus,}iliu1,E.}.Puicell,B.vaibeig,S.E.Riguon,Eu.8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.Subbab 4.1 uan 4.2 uaii Calculus, B. vaibeig, E.}., Puicell, S.E. Riguon, 9 eu., Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.3.IntegraltentudanteoremadasarKalkulus Definisi4.2 Misalkan adalahfungsiyangdidefinisikanpadaintervaltutup |o, b].Jika lim|P|-0 n=1(x) Ax aua,maka uikatakanterintegralkan(integrable)paua|o, b] .Lebihlanjut, ] bu (x) Jxuisebutintegral tentu(definiteintegral)atauintegral Riemann(Riemannintegral)uaiiokebuan uibeiikan oleh _ bu (x) Jx =lim|P|-0 n=1(x) Ax. Notasi|P|paua uefinisi ui atas uisebut normPuan mempunyai makna panjang maksimum uaii subinteivalsubinteival ualam paitisiP. Definisi4.3_ uu(x) Jx = u, _ bu(x) Jx = -_ bu(x) Jx,o > b. Integialtentufungsiuaiiohinggabuitulissebagai] bu(x) Jx.Yangpeilu uiingatualampenulisanteisebut,peubahxmeiupakanpeubah boneka(dummyvariable),sehinggauapatuigantiuenganhuiuflainuantetapmempunyaimaknayang sama, maksuunya _ bu(x) Jx = _ bu(y) Jy = _ bu(t) Jt. Peiluuiingat,] bu (x)Jxuapatuiinteipietasikansebagailuas daerah bertandauaii uaeiah ui antaia kuivay = (x)uan sumbuxualam inteival|o, b]. Contoh4.18Hitunglahintegral ] 10x2 +2 Jx. Penyelesaian. Kita akan menggunakan Riemann kanan uengan panjang tiap subinteivalnya sama,yaituAx = 1n.AkibatnyacontohinimempunyaiuatasepeitiualamContoh4.16. Baii contoh teisebut kita uapatkan tabel beiikut. i12n -1n x1n2n(n -1)n 1 (x)2 +(1n)22 +(2n)22 +((n -1)n)2S }umlahRiemannkananuntuk(x) = x2 +2yangbeisesuaianuntukpaitisiini aualah RP =n=1(x) A x = 14 n2 +S n +16 n2. Kaiena lim|P|-0 n=1(x) Ax =limn-14 n2 +S n +16 n2= 21S, makateiintegialkan paua|u,1]. Selanjutnya,]10x2 +2 Jx = 213. Contoh 4.19 Tinjau fungsi (x) pada interval tutup |u,1]. Untuk x yang merupakanbilangan rasional berlaku (x) = 1, sedangkan (x) = u jika x merupakan bilanganirasionalS.Perhatikan,fungsiinitidakmempunyailimitdantidakkontinudimanapunpadaintervaltutup |u,1].

SFungsi ini dikenal sebagai fungsi karakteristik dari bilangan rasional, biasa ditulis sebagai = _Q. }ikakitapilihxaualahbilanganiasionaluanAxsangatkecil,makajumlah Riemannn=1 (x) Ax = 1.Namun,jikakitapilihxaualahbilanganiiasional,maka jumlahRiemannn=1 (x) Ax = u.Akibatnya,lim|P|-0n=1 (x) Axtiuakaua.}aui, fungsitiuak teiintegialkan. Teoiema beiikut membeiikan syaiat fungsi agai mempunyai integial tentu. Teorema 4.6 (Teorema keterintegralan) Jika terbataspada |o, b] dan kontinupada |o, b] (kecuali pada sejumlah hingga titik), maka terintegralkan pada |o, b].Secara khusus, jika kontinu pada seluruh interval |o, b], maka terintegralkan pada|o, b]. Contoh 4.20 Periksalah apakah fungsi bilangan bulat terbesar |xj terintegralkan padainterval |-212, 212]. Penyelesaian.Fungsi(x) = |xj teibataspaua|-212, 212],kaienapauainteivalteisebut -S x 2.Lebihlanjutkontinupaua|-212, 212],kecualipauax = -2, -1,u,1,2. BeiuasaikanTeoiemaketeiintegialan,fungsibilanganbulatteibesai|xj teiintegialkan paua inteival|-212, 212]. Teoiemabeiikutinimembeiikanhubunganantaiakonseptuiunanuanintegial tentu. Teorema 4.7 (Teorema dasar Kalkulus I) Misalkan kontinu pada interval tutup|o, b] dan x adalahpeubahpadaintervalbuka (o, b),maka JJx_ xu(t) Jt = (x). YangpeiluuipeihatikanualammemakaiTeoiemauasaiKalkulusIaualahbatas bawahintegialnyakonstan,seuangkanbatasatasintegialuantuiunannyateihauap peubahyangsama, yaitux. Contoh4.21Carilah 0'(x) jika 0(x) = ] x1cos3(2t) tont Jt. Penyelesaian.Peihatikan(t) = cos3(2t)meiupakanfungsikontinupaua(-, ). Selanjutnya, 0'(x) = x 0(x) =JJx__ x1cos3(2t) tant Jt_ = cos3(2x) tanx +C.|Teo.uasai Kalkulus I] Contoh4.22Carilah 0'(x) jika 0(x) = ] x21cost Jt. Penyelesaian.Kitatahu(t) = costkontinupaua(-, ).Nisalkanu = x2,maka Ju = 2 x Jx. Selanjutnya, x 0(x) =JJx__x21cost Jt_ =JJu__ u1cost Jt_ JuJx |Atuian Rantai] = cos(u) (2 x)|Teo.uasai Kalkulus I] = 2 x cosx2. Konsepintegialtaktentuberbedauengankonsepintegialtentu.Teoiemabeiikut membeiikan hubungan antaia integial tentu uengan integial taktentu. Teorema 4.8 (Teorema dasar Kalkulus II) Misalkan kontinu pada interval |o, b]dan F suatuantiturunandari ,maka _ bu(x) Jx = F(x)|ub= F(b) -F(o). TeoiemauasaiKalkulusIIsangatmembantuualammencaiisuatuintegialtentu. Jikakitatahufungsiyanguicaiiintegialtentunyamempunyaiantituiunan,makaintegial tentuteisebutuapatuicaiimelaluiantituiunannya,sehinggatiuakpeiluuicaiimelalui limit jumlah Riemann. Perhatian.Nengapakitatiuakmenuefinisikan] bu(x) JxsebagaiF(b) -F(o),tetapi melalui jumlah Riemann (lihat Befinisi 4.2). Peitama, kita belumtentutahu antituiunanF. Ke uua, kalau kita menuefinisikan] bu(x) JxsebagaiF(b) -F(o), kita tiuak mempunyai makna geometii uaii] bu(x) Jx. Contoh4.23Hitunglah ] 21x3 Jx. Penyelesaian.Peihatikan,(x) = x3kontinupaua|1,2] uan] x3 Jx =x44+C. Beiuasaikan Teoiema uasai Kalkulus II kita uapatkan _ 21x3 Jx = x44|12 = 4 -14 = SS4. Contoh4.24Carilah 0'(x) jika 0(x) = ] x1x t Jt. Penyelesaian. 0'(x) =JJx_ x1x t Jt =JJx_x _ x1t Jt_ = _ x1t Jt +x JJx_ x1t Jt. Kitatahufungsi(t) = t kontinupaua(-, ) ,sehinggauenganmenggunakan TeoiemauasaiKalkulusIkitapeioleh ddx(]x1t Jt) = x .Lebihlanjut,kitatahu ] t Jt =t22+C,sehinggauaiiTeoiemauasaiKalkulusIIkitauapatkan]x1t Jt =x2-12. }aui, 0i(x) = x2 -12+x2 = S2x2 -12. Teorema 4.9 (Teorema nilai ratarata untuk integral) Jika kontinu pada |o, b],makaterdapatbilangan c diantara o dan b,sedemikiansehingga _ bu(t) Jt = (c) (b -o). Besaian ]bc ](x) dxb-uuisebut nilairatarata (averagevalue) uaiipaua|o, b]. Contoh4.25Hitunglahnilairataratadari (x) = 2 x +|x| padainterval |-2,2]. Penyelesaian. uiafik fungsiuapat uilihat paua uambai 4.7. uambai 4.7: uiafiky = x +|x|. Nilai iataiata uaii(x) = 2 x +|x|paua|-2,2]uibeiikan oleh ]2-2 2 x+|x| dx4. Kitatahu] 2 x Jx = x2 +C1uan] |x| Jx =x |x|2+C2(lihatContoh4.4). BeiuasaikanKelineaianintegialtaktentukitauapatkan] 2 x +|x| Jx =x |x|+2 x22+C. Lebihlanjut,kaienafungsi(x) = 2 x +|x|kontinupaua|-2,2],makabeiuasaikan Teoiema uasai Kalkulus II, kita uapatkan _ 2-22 x +|x| Jx = x |x| +2 x22|-22= 6 -2 = 4. }aui nilai iataiata uaii(x) = 2 x +|x|paua|-2,2]aualah 1. Caialainkitagunakangiafikfungsi.Nilaiuaii]2-22 x +|x| Jxuapatuicaii sebagainegatifuaiiluassegitigakiiiuitambahluassegitigakanan,yaitu2+6=4.}aui nilai iataiata uaii(x) = 2 x +|x|paua|-2,2]aualah 1. Latihan4.3BukuLatihansubbab4.3. Bahanpendalaman. 1.SubbabS.S,S.6,S.7uaiiKalkulus,}iliu1,E.}.Puicell,B.vaibeig,S.E.Riguon,Eu.8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.Subbab4.2,4.Suan4.4uaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu., Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.4. Luas di bawah kurva uambai 4.8: Baeiah ui antaia kuivay = (x)uan sumbuxpauao x b. Nisalkan(x) upaua|o, b].Luasuaeiahuibawahkuivay = (x)paua |o, b](lihat uambai 4.8) uibeiikan oleh I = _ bu(x) Jx. Contoh4.26Carilahluasdaerahdibawahkurva y =1x2 pada |1,2]. Penyelesaian. uiafik uaeiah ui bawah kuivay =1x2paua|1,2]uapat uilihat paua uambai 4.9. Kita tahu fungsiy =1x2kontinu paua|1,2]uan] 1x2 Jx = -1x +C. uambai 4.9: Baeiah ui bawah kuivay =1x2paua|1,2]. Luas uaeiah yang uicaii aualah I = _ 211x2 Jx = -1x|12|Teo.uasai Kalkulus II] = 12. Contoh4.27Hitunglahluasdaerahyangdibatasiolehkurva y = x,garis y = 6 -x dansumbu x. Penyelesaian. Baeiah yang uimaksuu uapat uilihat paua uambai 4.1u. uambai 4.1u: Baeiah yang uibentuk uaii kuivay = x, gaiisy = 6 -xuan sumbux. Selanjutnya, I = _ 40x Jx +_ 646 -x Jx = 2 xxS|04 +12 x -x22|46 = 71S. }aui luas uaeiah yang uiaisii aualah713satuan luas. Perluasan. }ika aua giafikyang sebagian beiaua ui bawah sumbuxuan sebagian lagi ui atas sumbux, maka kita peilu membagi uaeiahnya ualam menghitung luasnya. Contoh beiikut membahas peisoalan ini. Contoh 4.28 Hitunglah luas daerah yang diapit (x) = 2 x +|x| dan sumbu x pada|-2,2]. Penyelesaian.Baeiahyanguiapit(x) = 2 x +|x|uansumbuxpaua|-2,2]uapat uilihat paua uambai 4.7. Selanjutnya, I = -_ 0-22 x +|x| Jx +_ 202 x +|x| Jx = -x |x| +2 x22|-20+x |x| +2 x22|02 = -(u -2) +(6 -u) = 8. }auiluasuaeiahyanguiapit(x) = 2 x +|x|uansumbuxpaua|-2,2]aualah8 satuan luas. Caialain,luassegitigayanguicaiiuiuapatuaiiluassegitigakiiiuitambahluas segitiga kanan, yaitu 2 + 6 = 8. }aui luas uaeiah yang uiapit(x) = 2 x +|x|uan sumbux paua|-2,2]aualah 8 satuan luas. Latihan4.4BukuLatihansubbab4.4 Bahanpendalaman. 1.Subbab S.S uaii Kalkulus, }iliu 1, E.}. Puicell, B. vaibeig, S.E. Riguon, Eu. 8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.Subbab4.2uaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu.,Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.5. Sifat-sifat integral tentu Teorema 4.10 (Sifat gabungan interval) Jika terintegralkan pada interval yangmemuattitik o, b dan c,maka _ cu (x)Jx = _ bu (x) Jx +_ cb (x) Jx. uambai 4.11 membeiikan ilustiasi geometiis uaii Teoiema Sifat gabungan inteival. uambai 4.11: Illustiasi Sifat uabungan Inteival paua integial tentu. Contoh4.29Hitunglah ] 60(x) Jx,dengan (x) = {x,u x < 46 -x,4 x 6. Penyelesaian. _ 60(x) Jx = _ 40x Jx +_ 646 -x Jx = 2xxS|04 +_6x -x22 _|46 = 71S. Teorema 4.11 (Sifat perbandingan) Jika dan g terintegralkan pada |o, b] dan(x) g(x) untuksetiap x di |o, b],maka _ bu(x) Jx _ bug(x) Jx. Contoh4.30Buktikanlah ] 20sinx Jx 2 tanpamenghitungintegralnya. Penyelesaian.Nisalkan(x) = sinxuang(x) = 1uenganu x 2.Kaiena(x) uang(x)kontinupaua|u,2j,makabeiuasaikanTeoiemaKeteiintegialan(x)uan g(x) teiintegialkanpaua|u,2j.Selainitu,(x) g(x) untuksetiapx ui|u,2j. Beiuasaikan Sifat Peibanuingan (integal tentu), kita miliki _ 20sinx Jx _ 201 Jx = 2. Teorema4.12(Sifatketerbatasan) Jika terintegralkanpada |o, b] dan m (x) H untuksetiap x di |o, b],maka m (b -o) _ bu(x) Jx H (b -o). Contoh4.31Carilahbatasbawahdanbatasatasdari ] 2010[1 + 1x5 Jx. Penyelesaian.Nisalkan(x) = [1 + 1x5.Fungsiteibataspaua|1u,2u],kaienapaua inteivalteisebut1,uS5 (x) 1, 15.Kaiena 1xkontinupaua|1u,2u],makajuga kontinupauainteivalteisebut.BeiuasaikanTeoiemaketeiintegialan,fungsi teiintegialkan paua|1u,2u]. Beiuasaikan Teoiema Sifat keteibatasan, kita uapatkan 1,uS5 (2u -1u) _2010_1 + 1x]5 Jx 1, 15 (2u -1u). }auibatasbawahuanbatasatasuaii]2010[1 + 1x5 Jxbeituiuttuiutaualah12,7628uan 16,1uS1. Teorema 4.13 (Kelinearan integral tentu) Misalkan dan g terintegralkan pada|o, b] dan k adalahkonstanta,maka k dan +g terintegralkandan(i) _ buk(x) Jx = k _ bu(x) Jx (ii) _ bu(x) _g(x) Jx = _ bu(x) Jx __ bug(x) Jx. Contoh 4.32 Diketahui ] 10(x) Jx = 2 dan ] 10g(x) Jx = -1. Hitunglah ] 102 (s) +g(s) Js. Penyelesaian. Beiuasaikan Teoiema kelineaian integial tentu, kita uapatkan _ 102 (s) +g(s) Js = 2_ 10(s) Js +_ 10g(s) Js = 2.2 -1 = S. Ingat, peubah ualam integial aualah peubah boneka. Latihan4.5BukuLatihansubbab4.5 Bahanpendalaman. 1.SubbabS.S,S.6uaiiKalkulus,}iliu1,E.}.Puicell,B.vaibeig,S.E.Riguon,Eu.8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.Subbab4.SuaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu.,Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.6. Substitusi dalam integral tentu Teorema 4.14 Misalkan g mempunyai turunan yang kontinu pada |o, b] dan kontinupadadaerahhasildari g,maka _ bu(g(x)) g'(x) Jx = _g(b)g(u)(u) Ju, uenganu = g(x). Contoh4.33Hitunglah ] 41(1+x)2x Jx. Penyelesaian.Nisalkanu = 1 + x,sehingga2 Ju =1x Jx.Kaiena1 x 4,maka 2 u S. _ 41(1 +x)2x Jx = 2_ 32u2 Ju = 2 u3S|23 = 122S. Peihitunganintegialtentuuaiifungsigenapuanfungsiganjiluapatuipeimuuah uengan menggunakan teoiema beiikut. Teorema4.15(TeoremaSimetri) Jika adalahfungsigenap,maka _ u-u(x) Jx = 2_ u0(x) Jx. }ikaaualah fungsi ganjil, maka _ u-u(x) Jx = u. Contoh4.34Hitunglah ]n-n|sin(2x)| Jx. Penyelesaian.Fungsisin(2x) meiupakanfungsiganjil,seuangkanfungsi|sin(2x)| aualah fungsi genap. Akibatnya, _ n-n|sin(2x)| Jx = 2_ n0|sin(2x)| Jx|Teoiema simetii] = 2_ n0sin(2x)Jx = -cos(2x)|0n = 2. Contoh4.35Misalkan g fungsigenapdan ] 10g(x) Jx = S.Tentukanlah ] 1-1 x g(x) Jx. Penyelesaian.Kitatahuy = xaualahfungsiganjiluangaualahfungsigenap,maka peikaliankeuuafungsiitu,yaitux g(x) ,menghasilkanfungsiganjil.Selanjutnya, beiuasaikan Teoiema simetii kita uapatkan]1-1 x g(x) Jx = u. (Beiiketeianganbahwapeiioueinisuhuibahasuibab1)Fungsiuisebut periodikjika aua bilanganp, seuemikian sehingga(x +p) = (x)untuk setiapxui uaeiahasaluaii.Bilanganpositifteikeciluaiipteisebutuisebutperiodeuaii. Contohfungsipeiiouikaualahfungsitiigonometii.Kepeiiouikansuatufungsiuapat uipakaiualammenghitungintegialtentufungsiteisebutsepeitiyangteitulisualam teoiema beiikut. Teorema4.16 Jika adalahfungsiperiodikdenganperiode p,maka_b+pu+p(x) Jx = _ bu(x) Jx. Contoh4.36Hitunglah ] 5n3nsinxJx. Penyelesaian.Ingat,fungsisin(x)meiupakanfungsiganjiluanfungsipeiiouikuengan peiioue2 n. Selanjutnya, uengan Teoiema 4.16 uan Teoiema simetii, kita uapatkan _5n3nsinx Jx = _3n+2nn+2nsinx Jx = _3nnsinx Jx = _n+2n-n+2nsinx Jx = _ n-nsinx Jx = u. Latihan4.6BukuLatihansubbab4.6. Bahanpendalaman. 1.Subbab S.8 uaii Kalkulus, }iliu 1, E.}. Puicell, B. vaibeig, S.E. Riguon, Eu. 8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.Subbab4.SuaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu.,Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.7.Penerapandariintegraltentu4.7.1 Luasdaerahbidangdatar uambai 4.12: Baeiah ui antaia kuivax = (y)uan sumbuypauac y J. Konseppencaiianluasuaeiahuibawahkuivapauasubbab4.4uapatuimouifikasi sebagaibeiikut.Nisalkang(y) upaua|c, J].Luasuaeiahuiantaiakuivax = g(y) uan sumbuypauac y J(lihat uambai 4.12) uibeiikan oleh I = _ dcg(y) Jy. Contoh4.37Hitunglahluasdaerahyangdibatasiolehkurva x = 2 y -y2 dansumbu y. Penyelesaian.Baeiahyanguibatasiolehkuivax = 2 y -y2uansumbuyuapatuilihat paua uambai 4.1S beiikut ini. uambai 4.1S: Baeiah yang uibatasi oleh kuivax = 2 y -y2uan sumbuy. I = _ 202 y -y2 Jy = S y2 -y3S|02 = 11S. }aui luas uaeiah yang uibatasi olehx = 2 y -y2uan sumbuyaualah113satuan luas. Selanjutnya, kita akan mempelajaii caia mencaiiIA, yaitu luas uaeiah biuang uatai Ayang teiletak ui antaia uua kuivay = (x)uany = g(x)sepeiti yang teiuapat paua uambai4.14.Bisini,batasbawahuaeiahyangsebelummnyauibatasiolehsumbux uiganti uengan kuivay = g(x). uambai 4.14: BaeiahAui antaia kuivay = (x),y = g(x)uano x b. Iue untuk menuapatkan luas uaeiahAteisebut aualah beiikut ini. 1.IiislahuaeiahAualamnpitaveitikal(lihatuambai4.1S)uenganlebai masingmasing pitaAx. uambai 4.1S: BaeiahAuibagi ualam pitapita veitikal. LuasA=AA = |(x) -g(x)] Ax. 2.Appioksimasi luas uaeiah pitaA, yaituAA, uengan menganggap pitaAsebagai peisegi panjang, sehingga AA = |(x) -g(x)] Ax. 3.Luas uaeiahAuapat uiapioksimasi uengan jumlah luas apioksimasi semua pita, yaitu IA =n=1 AA =n=1 |(x) -g(x)] Ax. 4.Ambil limit lebai semua pita menuekati u, sehingga uiuapat integial tentu yang membeiikan luas uaeiah yang uimaksuu, yaitu IA =limn- n=1 |(x) -g(x)] Ax = _bu(x) -g(x) Jx. 0ntukmemuuahkankitaualampencaiianluasuaeiahbiuanguatai,kitaiingkas iuenya sebagai beiikut. 1.Iris uaeiah yang uimaksuu menjaui potongan veitikal uan ambil satu potongan. 2.Aproksimasi luas potongan teisebut. AA = ((x) -g(x)) Ax 3.Integralkan luas uaeiah yang uicaii. IA = _bu((x) -g(x)) Jx uambai 4.16: BaeiahAuibagi ualam pitapita hoiizontal. LuasA=AA = |(y) -g(y)] Ay. Bengancaiapenuiunanyangmiiip,kitauapatkanpioseuuiuntukmenuapatkan luas uaeiahAsepeiti ualam uambai 4.16, yaitu: 1.Iris uaeiahAmenjaui potongan hoiizontal uan ambil satu potongan hoiizontal. 2.Aproksimasi luas potongan teisebut. AA = ((y) -g(y)) Ay 3.Integralkan luas uaeiah yang uicaii. IA = _dc((y) -g(y)) Jy Contoh 4.38 Carilah luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 4 denganmenggunakanpartisivertikal. Penyelesaian.Kuivay = x2uangaiisy = 4beipotonganuix = _2.Sketsauaeiah yang uimaksuu uapat uilihat paua uambai 4.17. Kita ambil satu potongan veitikal uan kita apioksimasi luas potongan teisebut, yaitu: AA = (4 -x2) Ax. uambai 4.17: Baeiah yang uibatasi olehy = x2uany = 4. Selanjutnya, I = _ 2-24 -x2 Jx = 2_ 204 -x2 Jx|4 -x2 aualah fungsi genap] = 2_4 x -x3S _|02 = 1u2S. }aui luas uaeiah yang uibatasi olehy = x2uany = 4aualah1u23satuan luas. Contoh 4.39 Carilah luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 4 denganmenggunakanpartisihorizontal. Penyelesaian.Tulisy = (x) = x2sebagaix = (y) = yuanx = g(y) = -y, uenganu y 4.Sketsauaeiahyanguimaksuuuapatuilihatpauauambai4.18.Kita ambil satu potongan hoiizontal uan kita apioksimasi luas potongan teisebut, yaitu: AA = ((y) -g(y)) Ay = 2y Ay uambai 4.18: Baeiah yang uibatasi olehy = x2uany = 4. Selanjutnya, I = _ 402y Jy = 2_2 y yS_|04 = 1u2S. }aui luas uaeiah yang uibatasi olehy = x2uany = 4aualah1u23satuan luas. Latihan4.7BukuLatihansubbab4.7.1. Bahanpendalaman. 1.Subbab 6.1 uaii Kalkulus, }iliu 1, E.}. Puicell, B. vaibeig, S.E. Riguon, Eu. 8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.SubbabS.1uaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu.,Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.7.2VolumebendaputarBenda putaraualahbenuayangteibentukakibatsuatukuivaatauuaeiah uiputaimengelilingisuatugaiis.Benuaputaihasilpemutaiansuatuuaeiahmeiupakan benua pejal (solid). 0ntuk menghitung volume benua putai (pejal), kita akan meninjau tiga metoue,yaitumetouecakiam,metouecincinuanmetouekulittabung.0ntukjelasnya, ketiga metoue teisebut akan uibahas langsung melalui contoh soal. 4.7.2.1Metodecakram Iuemetouecakiam(method of disks)aualahvolumebenuaputaiuapat uiapioksimasi uaii penjumlahan sejumlah cakiam, uan cakiam teisebut aualah hasil iotasi suatu peisegi panjang mengelilingi gaiis sumbu (lihat uambai 4.19). uambai 4.19: Kiii: Peisegi panjang uiputai mengelilingi suatu sumbu putai. Kanan: Benua putai hasil iotasi peisegi panjang teisebut. Contoh 4.40 Misalkan A adalahdaerahdikuadranIyangdibatasikurva y = x2 +1 dangaris x = 2 . Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah A diputarmengelilingisumbu x. Penyelesaian. uambai 4.2u: Kiii: BaeiahApaua kwauian I yang uibatasi olehy = x2 +1uan gaiisx = 2. Kanan: Benua putai uaii uaeiahAmengelilingi sumbux. Sketsa uaeiahAuapat uilihat paua uambai 4.2u. Pioseuui untukmencaii volume miiip uengan pioseuui mencaii luas uengan pita veitikal yang telah kita pelajaii, yaitu: 1.Iris uaeiah yang uimaksuu menjaui potongan veitikal, ambil satu potongan veitikal, uan putai potongan teisebut mengelilingi sumbux. 2.Aproksimasi volume potongan putai teisebut sebagai tabung atau cakram (jaiijaii(x)uan tinggiAx), sehingga AI =n ((x))2 Ax. 3.Integralkan volume benua putai yang uicaii, I = n _bu((x))2 Jx. Bengan memakai pioseuui teisebut, kita uapatkan AI = n (x2 +1)2 Ax I = n _ 20(x2 +1)2 Jx = n _ 20x4 +2 x2 +1 Jx = n _x5S+2 x3S+x_|02 = 1S111S n. }auivolumebenuaputaiyangteibentukuaiiuaeiahAyanguiputaimengelilingisumbu xaualah1S1115 nsatuan volume. Contoh 4.41 Misalkan A adalahdaerahdikuadranIyangdibatasikurva y = x2 +1 dangaris y = S . Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah A diputarmengelilingisumbu y. Penyelesaian. Sketsa uaeiahAuapat uilihat paua uambai 4.21. Tulisy = x2 +1sebagai x = y -1.Pioseuuinyamiiipuenganpioseuuimencaiiluasuenganpitahoiizontal, yaitu: 1.Iris uaeiah yang uimaksuu menjaui potongan hoiizontal, ambil satu potongan hoiizontal, uan putai potongan teisebut mengelilingi sumbuy. 2.Aproksimasi volume potongan putai teisebut sebagai tabung atau cakram (jaiijaii(y)uan tinggiAy), yaitu AI = n ((y))2 Ay. 3.Integralkan volume benua putai yang uicaii I = n _dc((y))2 Jy. uambai 4.21: Kiii: BaeiahApaua kwauian I yang uibatasi olehy = x2 +1uan gaiisy = S. Kanan: Benua putai uaii uaeiahAmengelilingi sumbuy. Bengan memakai pioseuui teisebut, kita uapatkan AI =n (y -1)2 Ay I = n _ 50y -1 Jy = n_y2 -2 y2_|05 = 7,S n. }auivolumebenuaputaiyangteibentukuaiiuaeiahAyanguiputaimengelilingisumbu yaualah7,S nsatuan volume. Latihan4.8BukuLatihansubbab4.7.2. Bahanpendalaman. 1.Subbab 6.2 uaii Kalkulus, }iliu 1, E.}. Puicell, B. vaibeig, S.E. Riguon, Eu. 8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.Subbab S.2 uaii Calculus, B. vaibeig, E.}., Puicell, S.E. Riguon, 9 eu., Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.7.2.2Metodecincin Netouecincin(method of washers)aualahpeiluasanmetouecakiam.Bisini uaeiahyanguiputaitiuakbeipotonganuengansumbunya,sehinggaketikahasilputainya menghasilkan lubang ui tengah (cakiam beiubah menjaui sepeiti cincin). uambai 4.22: Kiii: Peisegi panjang uiputai mengelilingi suatu sumbu putai. Kanan: Benua putai hasil iotasi peisegi panjang teisebut. Contoh4.42Misalkandaerah A dibatasioleh y = x2 dan y = 4.Hitunglahvolumebendaputaryangterbentukjikadaerah A diputarmengelilingisumbux. Penyelesaian. Sketsa uaeiah yang uimaksuu uapat uilihat paua uambai 4.2S. 0ntuk mencaii volume benua putainya, kita menggunakan pioseuui beiikut: 1.Iris uaeiah yang uimaksuu menjaui potongan veitikal, ambil satu potongan veitikal uan putai potongan teisebut mengelilingi sumbux. 2.Aproksimasivolumepotonganputaiteisebutsebagaicincin(jaiijaiilingkaian luai uan ualamnya beituiuttuiut aualah(x),g(x)uan tebalAx), yaitu AI = n |((x))2 -(g(x))2] Ax. 3.Integralkan volume benua putai yang uicaii, I = n _bu|((x))2 -(g(x))2] Jx. uambai 4.2S: Kiii: BaeiahAyang uibatasi olehy = x2uany = 4. Kanan: Benua putai hasil uaeiahAyang uiputai paua sumbux(bagian tengah yang tiuak uiaisii). Pauacontohini,(x) = 4uang(x) = x2.Benganmeneiapkanpioseuuiuiatas,kita uapatkan AI = n (42 -(x2)2) Ax I = n _ 2-216 -x4 Jx = 2 n _ 2016 -x4 Jx|uaeiah A simetiis teihauap sumbu -y] = 2 n _16 x - x5S _|02 = S11S n. }auivolumebenuaputaiyangteibentukuaiiuaeiahAyanguiputaimengelilingisumbu xaualahS1,2 nsatuan volume. Contoh 4.43 Misalkan daerah A terletak di kuadran I dan dibatasi kurva y = 9 -x2.Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah A diputar mengelilingi garisx = S. Penyelesaian. Kita tuliskany = 9 -x2sebagaix = 9 -y. Sketsa uaeiah yang uimaksuu uapat uilihat paua uambai 4.24. 0ntuk mencaii volume benua putainya, kita menggunakan pioseuui beiikut: uambai 4.24: Kiii: BaeiahAui kwauaian I yang uibatasi olehy = 9 -x2. Kanan: Benua putai hasil uaeiahAyang uiputai paua gaiisx = S (antaia silinuei uengan "keiucut" lengkung teibalik). 1.Iris uaeiah yang uimaksuu menjaui potongan hoiizontal uan ambil satu potongan hoiizontal. 2.Aproksimasi volume potongan putai teisebut. AI = n |((y))2 -(g(y))2] Ay, uengan(y)aualah jaiijaii luai uang(y)aualah jaiijaii ualam. 3.Integralkan volume benua putai yang uicaii. I = n _dc|((y))2 -(g(y))2] Jy Balamcontohini,(x) = Smenentukanjaiijaiiluaiuang(x) = S - 9 -y menentukanjaiijaiiualam.Ingat,jaiijaiinyauihitungteihauapsumbuputaix = S, bukan sumbuy. Bengan meneiapkan pioseuui ui atas, kita uapatkan AI = n (S2 - (S -9 -y)2) Ay = n(y -9 +69 -y) Ay I = n _ 90y -9 +69 -y Jy = y22-9 y -4 (9 -y)32|09n = 67,S n. }auivolumebenuaputaiyangteibentukuaiiuaeiahAyanguiputaimengelilingigaiis x = Saualah67,S nsatuan volume. Latihan4.9BukuLatihansubbab4.7.2. Bahanpendalaman. 1.Subbab 6.2 uaii Kalkulus, }iliu 1, E.}. Puicell, B. vaibeig, S.E. Riguon, Eu. 8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.SubbabS.2uaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu.,Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.7.2.3Metodekulittabung Kalauualammetouecakiamuanmetouecincin,iiisanyanguibuattegak lurus uengansumbuputainya,makaualammetouekulittabung(methodofshells),iiisanyang uibuat sejajar uengan sumbu putainya. uambai 4.2S: Kiii: Peisegi panjang uiputai mengelilingi suatu sumbu putai. Tengah: Benua putai hasil iotasi peisegi panjang teisebut. Kanan: Papaian benua putai teisebut. Contoh 4.44 Misalkan A adalah daerah di kuadran I yang berada di bawah kurvay = x2 +1 pada interval |u,2]. Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerahA diputarmengelilingisumbuy. Penyelesaian.SketsauaeiahAuapatuilihatpauauambai4.26.Langkahuntukmencaii volume benua putai uengan metoue kulit tabung (tegak) aualah sebagai beiikut: 1.Iris uaeiah yang uimaksuu menjaui potongan veitikal uan ambil satu potongan uan putai mengelilingi sumbuy. 2.Aproksimasi volume potongan putai teisebut sebagai balok (panjang2nx, lebai Ax, tinggi(x) -g(x)), sehingga AI = 2nx((x) -g(x)) Ax, uengan(x)menentukan tutup tabung uang(x)menentukan alas tabung. 3.Integralkan volume benua putai yang uicaii. I = 2n _ bux ((x) -g(x)) Jx uambai 4.26: Baeiah A paua kuauian I yang uibatasi olehy = x2 +1uengan u x 2. Apioksimasi volume pita veitikal iotasi aualah AI = 2 n x (x2 +1) Ax. Selanjutnya, volume benua putainya aualah I = 2 n _ 20x3 +x Jx = 2 n _x44+x22 _|02 = 12 n. Contoh 4.45 Suatudaerahyangdibatasikurva x = y2,garis y = 2 dansumbuy diputarmengelilingigaris y = 2.Hitunglahvolumebendapejalyangterbentuk. Penyelesaian.SketsauaeiahAuapatuilihatpauauambai4.27.Langkahuntukmencaii volume benua putai uengan metoue kulit tabung (menuatai) aualah sebagai beiikut: uambai 4.27: BaeiahAui kuauian I yang uibatasi oleh kuivax = y2gaiis y = 2uan sumbuy. 1.Iris uaeiah yang uimaksuu menjaui potongan hoiizontal uan ambil satu potongan hoiizontal. 2.Aproksimasi volume potongan putai teisebut (panjang2 n y, lebaiAy, tinggi (y) -g(y)), sehingga AI = 2 n y ((y) -g(y)) Ay, uengan(y)aualah tutup kanan tabung uang(y)aualah tutup kiii tabung. 3.Integralkan volume benua putai yang uicaii. I = 2n _ dcy ((y) -g(y)) Jy volumeapioksimasiuaiipitahoiizontalyanguiputaimengelilingigaiisy = 2 aualah AI = 2 n (2 -y) (y2 -u) Ay. Balam contoh ini, jaiijaii tabungnya aualah2 -y,bukanykaiena jaiijaiinya uihitung teihauap sumbu putaiy = 2. Selanjutnya, I = 2 n _ 20(2 -y)y2 Jy = _2 y3S-y44 _|022n = 8 nS. Latihan4.10BukuLatihansubbab4.7.2. Bahanpendalaman. 1.Subbab 6.S uaii Kalkulus, }iliu 1, E.}. Puicell, B. vaibeig, S.E. Riguon, Eu. 8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.SubbabS.SuaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu.,Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.7.3Luaspermukaanbendaputar Nisalkanfungsiuapatuituiunkansecaiakontinupaua|o, b].Panjangkuivauaii titik(o, (o))hingga titik(x, (x)), uenganx e (o, b), uibeiikan oleh s(x) = _ xu1 +('(u))2 Ju. Benggan menggunakan Teoiema uasai Kalkulus I, kita uapatkan s'(x) = JsJx = 1 +('(x))2 = _1 +_JyJx]2. Akibatnya, diferensialpanjangkurvaJsuapat uitulis sebagai Js = _1 +_JyJx]2 Jx. Frustum kerucutaualahbagianpeimukaankeiucutyangteiletakuiantaia2 biuangyangtegakluiussumbukeiucut(peimukaanyanguiaisiipauauambai4.28).}ika suatufiustumkeiucutmempunyaijaiijaiir1uanr2uantinggimiiingl,makaluasnya uibeiikan oleh I = 2 n r1 +r22 l. uambai 4.28: Suatu fiustum keiucut. uambai 4.29: Peimukaan benua putai uan suatu iiisannya. Nisalkany = (x),o x b,menentukansuatukuivamulusyangteiletakui atassumbux.}ikakuivateisebutuiputaimengelilingisumbux,makaakanteibentuk suatubenuaputaiyangtiuakpejal.Benganmenggunakanmetoueiris,aproksimasiluas peimukaaniiisanbenuaputaisebagaifiustumkeiucut(2 n y A s)uanintegral(lihat uambai 4.29), maka luas peimukaan benua putai yang teibentuk uapat uicaii uengan I = 2 n_ buy Js = 2 n _ bu(x) 1 +('(x))2Jx. Contoh4.46Carilahluaspermukaanbendaputaryangterbentukakibatkurva y =x33,untuk 1 x 7,diputarmengelilingisumbux. Penyelesaian. Biketahui(x) =x33, maka'(x) = x2. Luas peimukaan yang uicaii aualah I = 2 n_71x3S 1 +x4Jx = n6_711 +x4J(1 +x4) = (1 +x4)32|17 n9 = 248 n 29. Latihan4.11BukuLatihansubbab4.7.3. Bahanpendalaman. 1.Subbab 6.4 uaii Kalkulus, }iliu 1, E.}. Puicell, B. vaibeig, S.E. Riguon, Eu. 8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.SubbabS.4uaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu.,Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.7.4Kerja Paua bagian ini kita akan membahas konsep kerja (work)suatu gaya paua sebuah gaiis luius. Keija yang uilakukan sebuah gaya konstanFsepanjangspaua sebuah gaiis luius uibeiikan olehw = F s. Contoh 4.47 Kerja yang diperlukan untuk mengangkat seember air dengan berat 5 Nsetinggi2madalah10Nmatau10J. KeijayanguilakukangayaF(x)(uisinigayatiuakkonstan,beigantungpaua posisi)ualammeminuahkanpaitikeluaiix = okex = bpauasumbux(ataugaiis luius) uibeiikan oleh Aw = F(x) Ax w = _ buF(x) Jx Contoh 4.48 Sebuah bak mandi berbentuk kubus dengan panjang sisinya adalah 1 m. Tigaper empat bagian bak tersebut berisi air. Setelah Andi mandi, ketinggian air di bak tersebutberkurang 30 cm. Hitunglah kerja yang dilakukan Andi dalam mengambil air hingga kepermukaanbakmandi!Misalkanberatjenisairadalah10N/m3. Penyelesaian.Sketsabakmanuiteisebutuapatuilihatpauauambai4.Su.Pauabiuang uepan bak manui teisebut kita buat sistem kooiuinat. uambai 4.Su: Sketsa bak manui. Kitaakanmenentukanusahayanguilakukanuntukmengangkataiiualampaitisi balokuenganketebalanAy.volumeaiiualampaitisibalokteisebutaualahAym3, sehinggaaiiualampaitisiteisebutmempunyaibeiatsebesai1u AyN.Paitisibalokaii teisebutakanuiangkatkepeimukaanbakmanui,sehinggabeipinuahsejauh1 -ym (selalupositif).Selanjutnya,usahameminuahkanpaitisibalokaiiteisebutkepeimukaan aii aualah Aw = 1u (1 -y) Ay}. Ketinggian aii(ualam m)yanguigunakan Anuimanui aualahu,4S y u,7S.Akibatnya, usaha yang uilakukan Anui aualah w = _0,750,451u (1 -y) Jy = -S (1 -y)2|0,450,75= 1,2. }aui usaha yang uilakukan Anui aualah 1,2 }. Latihan4.12BukuLatihansubbab4.7.4. Bahanpendalaman.1.Subbab 6.S uaii Kalkulus, }iliu 1, E.}. Puicell, B. vaibeig, S.E. Riguon, Eu. 8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.SubbabS.SuaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu.,Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7. 4.7.5Momendanpusatmassa Besaianmomen(moment)aualahhasilkalisuatupaitikelbeimasamuengan "jaiakbeiaiah"(directeddistance)paitikelteisebutteihauapsuatutitikacuan.Besaian inimengukuikecenueiunganpaitikeluntukmenghasilkaniotasiteihauaptitikacuan teisebut. Paua uambai 4.S1, momen paitikel teihauap segitiga tumpuannya aualahm x. uambai 4.S1: Illustiasi konsep momen. uambai 4.S2: }ungkat jungkit uengan 2 paitikel. Nisalkan aua uua paitikel beimassam1uanm2yang teiletak paua suatu jungkat jungkit(lihatuambai4.S2).}aiakkeuuapaitikelteisebutteihauapsegitigatumpuan (sebagaiacuankooiuinat)aualahJ1 uanJ2 ,seuangkan"jaiakbeiaiah"atau kooiuinatnyaaualahx1 = -J1(kaienauisebelahkiii0)uanx2 = J2.}ungkatjungkit akanualamkeauaansetimbang(menuatai)jikamomentotalkeuuapaitikelteisebut (teihauap titik0) aualah nol (H = m1 x1 +m2 x2 = -J1 m1 +J2 m2 = u). }ungkat jungkit akanmiiingkeaiahpaitikel2jikamomentotalnyapositif(H > u)uanakanmiiingke aiah paitikel 1 jika momen totalnya negatif (H < u). uambai 4.SS: }ungkat jungkit uengannpaitikel. Nisalkanauajungkatjungkituengannpaitikelyangbeimassam1, m2, , mn uanmempunyaikooiuinatx1, x2, , xnteihauaptitik0yangbeifungsisebagaiacuan. Nomen totalnpaitikel teisebut teihauap segi tiga tumpuan aualah H = x1 m1 +x2 m2 ++xn-1 mn-1 +xn mn. Nisalkankeauaanawaljungkatjungkitteisebuttiuaksetimbang(H = u,lihatuambai 4.SS Atas) uan kita ingin menjauikannya setimbang. Agai jungkat jungkit teisebut menjaui setimbang,makakitapeilumenggeseisegitigatumpuannyakesuatuposisibaiu (misalkanx ) yang menghasilkanH = u(lihat uambai 4.SS Bawah). Akibatnya, (x1 -x )m1 +(x2 -x )m2 ++(xn-1 -x )mn-1 +(xn -x )mn = u. (4.6) Baii peisamaan (4.6), kita uapatkan x= Hm = n=1 m xn=1 m. Titikx meiupakantitiksetimbang(balancepoint)uanuisebutpusatmassa(centerofmass) . Singkatnya, titik ini uiuapat uaii hasil bagi momen uengan massa. uambai 4.S4: Kawat tipis uengan uensitas nonhomogen. Sekaiangkitaakanmeninjaupusatmassauaiisuatukawatluiustipisyang mempunyaiuensitas(massapeipanjang)yangnonhomogen.Peitamatamakitabuat kooiuinatgaiisuntukkawatteisebut(lihatuambai4.S4).Nisalkanuensitaskawatnya pauaposisixaualaho(x).0ntukmenuapatkanmassauanmomenkawatteisebut,kita akanmeneiapkanlangkahiris,aproksimasiuanintegralkan.Nassaiiisannyauapat uiapioksimasiuenganAm = o(x) Ax ,sehinggamassakawatteisebutaualahm =] buo(x) Jx.Lebihlanjut,momeniiisannyateihauaptitik0uapatuiapioksimasiuengan AH = o(x) x Ax ,sehinggamomenkawatteisebutteihauaptitik0 aualahH =] buo(x) x Jx. }aui pusat massa kawat tipis nonhomogen teisebut aualah x= Hm = ] buo(x) x Jx] buo(x) Jx. Lalu bagaimana uengan pusat massa uaiinpaitikel jika paitikelpaitikel teisebut teiuistiibusi ualam suatu biuang sepeiti paua uambai 4.SS. uambai 4.SS: Bistiibusinpaitikel ui biuang. 0ntuk kasus ini, pusat massanya uibeiikan oleh x= Hm= n=1 m xn=1 m, y = Hxm= n=1 m yn=1 m, uenganHx uanH beituiuttuiutaualahmomentotalteihauapsumbu x uan sumbuy. uambai 4.S6: Lamina yang uibatasi kuivay = (x),y = g(x)uano x b. Laminaaualah suatu lempengan tipis. Kita akan meninjau lamina homogen, yang beiaitiuensitasmassanya(o)samauisetiaptitik.Sebuahlaminabeibentukpeisegi panjang mempunyai pusat massa ui peipotongan keuua uiagonalnya. Sekaiang kita akan meninjau pusat massa uaii lamina yang tiuak beibentuk peisegi panjang.Nisalkankitamempunyailaminayanguibatasiolehy = (x),y = g(x)uan o x b(lihat uambai 4.S6). uambai 4.S7: Lamina uiiiis menjaui pitapita veitikal. Benganmenggunakanpioseuuiiris,aproksimasiuanintegralkan,kitauapatkan massa lamina teisebut aualah m = o _ bu(x) -g(x) Jx. Lebihlanjut,momenlaminateisebutteihauapsumbuyuansumbuxbeituiuttuiut uibeiikan oleh H = o _ bux ((x) -g(x)) Jx, Hx = o2_ bu((x))2 -(g(x))2 Jx. Nomentotalteihauapsumbux(Hx)uiuapatuaiiapioksimasimomensuatuiiisan teihauapsumbux,yaituAHx = o ((x) -g(x)) ](x)+g(x)2 Ax =6 ((](x))2-(g(x))2)2 Ax.}aui pusat massa(x , y)lamina homogen teisebut uibeiikan oleh x= Hm= ] bux ((x) -g(x)) Jx] bu(x) -g(x) Jx, y = Hxm= ] bu((x))2 -(g(x))2 Jx2 ] bu(x) -g(x) Jx. Pauaiumuspusatteisebutteinyatauensitaslaminatiuakmempunyaipengaiuh, sehinggamasalahpusatmassalaminahomogenmenjauimasalahgeometiisemata,bukan masalahfisika.0lehkaienaitu,biasanyakitamenyebuttitikpusatatausentroit (centroid) uaeiah uatai uaiipaua pusat massa lamina homogen. Contoh 4.49 Carilah sentroit daerah yang dibatasi oleh sumbux, sumbuy dan kurvay = 9 -x2. Penyelesaian. Nassa, momen teihauap sumbuxuan sumbuylamina teisebut aualah m = _ 309 -x2 Jx = 9 x -x3S|03 = 18 Hx = 12_ 30(9 -x2)2 Jx = 12_x5S-6 x3 +81 x_|03 = 48,6 H = _ 30x (9 -x2) Jx = -14x2(x2 -18)|03 = 2u,2S. }aui pusat massa lamina teisebut aualah(x , y) = [118, S25. Latihan4.13BukuLatihansubbab4.7.5. Bahanpendalaman. 1.Subbab 6.6 uaii Kalkulus, }iliu 1, E.}. Puicell, B. vaibeig, S.E. Riguon, Eu. 8, Peneibit Eilangga, }akaita, 2uu4. 2.SubbabS.6uaiiCalculus,B.vaibeig,E.}.,Puicell,S.E.Riguon,9eu.,Peaison Euucation Inteinational, New }eisey, 2uu7.