INTEGRAL TERTENTU DAN PENERAPANNYA

KALKULUS 2

REVIEW - INTEGRAL TAK TENTU

• Pengertian Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu (undefinite integral) adalah bentukintegral yang variabel integrasinya tidak memiliki batassehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkanbanyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagaipenyelesaian umum. Istilah tak tentu berarti bentuk fungsiF(x) memuat konstanta real sembarang.

• Rumus Integral Tak Tentu

න𝑥 𝑛𝑑𝑥 =1

𝑛 +1𝑥 𝑛+1 +𝑐 , 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑛 ≠1

න𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑥 +𝑐

INTEGRAL TERTENTU

• Pengertian Integral Tentu (Tertentu)Integral tentu (definite integral) adalah bentuk integral yang variabel integrasinya memiliki batasan (batas atas dan batasbawah) yang ditulis di bagian atas dan bawah notasi integral.

• Notasi Integral Tentu

න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Di mana a = batas bawah, dan b = batas atas

Penyelesaian dari integrasi tersebut adalah:

න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑏 −𝐹( 𝑎)

CONTOH

• Diberikan fungsi f(x) = x2. Tentukanlah integral darif(x) untuk batas atas 3 dan batas bawah 2.

• Penyelesaian:

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න2

3

𝑥 2 𝑑𝑥 =1

2 +1𝑥 2+1|

3

2

= 1

3𝑥 3| 3

2=

1

333 −

1

323 =9 −

8

3=

19

3

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU

1. 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑥 | 𝑏

𝑎=𝐹 𝑎 −𝐹 𝑏 , jika a> b.

2. 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −=

𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥

3. 𝑎𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =0

4. 𝑎𝑏𝑐 𝑑𝑥 =𝑐 ( 𝑏 −𝑎)

5. 𝑎𝑏𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑐 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , jika c bilangan riil

6. 𝑎𝑏𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎=

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎+

𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥

7. 𝑎𝑏𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎=

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎−

𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥

LATIHAN SOAL

LATIHAN SOAL

PENERAPAN INTEGRAL TENTULuas Bidang DatarMisalkan daerah R dibatasi oleh kurvay=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti padagambar

R

y=f(x)

f(xi)

xix=a x=b

Ai=f(xi) xi, a xi b

Luas empat persegi panjang

b

adx)x(f)R(A

Contoh 1Hitunglah luas daerah R, yang terletak dibawahkurva f(x) = 4x2 – x3, sumbu x, garis x = 1 dangaris x = 3.

Jawab

x=1 x=3

f(xi)

x

y

f(x) = 4x2 – x3

Ai=(4xi2 – xi3)xi, 1 xi 3

3

44dx)xx4()R(A

3

1

32

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

f(x)=x3 – 2x2 – 8x

Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x dan fungsi

A(R1)

A(R2)

–2 0 4

f(x)=x3 – 2x2 – 8x

LUAS ANTARA DUA KURVA

Misalkan daerah R dibatasi oleh duakurva y=f(x), y=g(x) pada [a,b] sepertipada gambar

f(x)-g(x)

xiR

y=f(x)

y=g(x)

x

y

x=a x=b

Luas empat persegi panjang :

Ai=[f(xi) – g(xi)] xi, a xi b

b

adx)]x(g)x(f[)R(A

Prosedur Menghitung Luas Daerah

Langkah-langkah untuk menghitungluas daerah dengan integral tertentu

(1) Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, beserta batas-batasnya.

(2) Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu.

(3) Hampiri luas suatu jalur tertentulangkah 2 dengan luas empat persegipanjang.

(4) Jumlahkan luas aproksimasi dari langkah 3.

(5) Ambil limitnya sehingga diperolehsuatu integral tertentu.

Contoh 2Hitunglah luas daerah R, terletaky = 4x2 – x3, dan x+y = 4.Jawab :Sketsa grafik R lihat gambar berikut

R2

R1

g(x)=4-x

f(x) = 4x2 – x3

x=-1 x=1 x=4

x

y

A2

A1

Titik potong kedua kurva diperoleh :4-x = 4x2 -x3

X3-4x2 – x + 4 = 0, x1=-1,x2=1,x3=4

Menghitung A(R)

A1 = [g(xi)-f(xi)]xi

= [(4-xi)-(4xi2 – xi

3)]xi, -1xi 1

1

1

321 dx)]xx4()x4[()R(A

3

16

4

x

3

x4

2

xx4

1

1

432

A2 = [f(xi)-g(xi)]xi

= [(4xi2 – xi

3)-(4-xi)]xi, 1xi 4

4

1

322 dx)]x4()xx4[()R(A

4

63

4

x

3

x4

2

xx4

4

1

432

12

253

4

63

3

16)R(A

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

f(x)=x3 – 2x2 – 8x

g(x)=3x – 12

–3 –2 0 1 4

A(R1) A(R2)

Contoh :

FUNGSI DENSITAS

Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi densitas (probabilitas), jika hanya jika f(x) memenuhi sifat-sifat berikut ini :

(1) f(x) 0

dx)x(f)bxa(P)3(

1dx)x(f)2(

b

a

Mean dan variannya diberikan oleh :

2222 )]x(E[)x(E)x(E

dx)x(xf)x(E

Soal 1.Suatu fungsi densitas (kepadatan) didefinisikan oleh

• f(x) = k x (2 – x)4, 0 x 2• f(x) = kxa (8 – x3) 0 x 2• f(x) = kxb (4 – x2), 0 x 2

(a) Hitunglah nilai k(b) Berapa, P(x>1)(c) Hitunglah E(x) dan varian

Soal 2.Hitunglah luas daerah yang dibatasi olehkurva, berikut dengan sumbu x (a) f(x)=(x+a)(x – 1)(x – a – 1)(b) f(x) = (x2 – 1 )(x – a – 1)

SOAL-SOAL LATIHAN

Soal 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurvaberikut ini:(a). y = a – (x – 4)2, dan x + y = (a + 2), (b). y = x2, x + y = 2, dan x=y3.(c). y = x2, y = 8 – x2, dan 4x–y+12 = 0.

Soal 4.Hitunglah luas segitiga di mana titik-titiksudutnya adalah:(a). (1,2), (7,4), dan (-1,8)(b). (2,1), (6,5), dan (0,8)

Soal 5. Hitunglah luas segiempat dimana koordinattitiktitik sudutnya adalah: (a). (1,1), (4,2), (–2, 6) dan (2,7)(b). (2,1), (5,3), (–2,7) dan (1,9)

VOLUME BENDA PEJAL, METODE SILINDERPerhatikanlah sketsa silinderberikut ini

r

h V=r2h

r1r2

h

hrrV 21

22

Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x),sumbu x, garis x = a dan garis x = b.

y=f(x)

y

f(xi)

xi

x=a x=bx

R

r=f(xi)

h=xi

Jika R diputar terhadap sumbu x dihasilkanbenda pejal. Elemen volume

V = r2h =[f(xi)]2xi, axib

Jadi :

b

a

2dx)]x(f[V

Contoh 3:Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, jika diputar tehadap sb xJawab

h=xi

r=f(xi)x

y

x=3

x=1

y=1+(x-1)2

V = r2h =[1+(x-1)2]2xi, 1xi3

15

206])1(1[

3

1

22 dxxV

Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, garis y=5, dari x=1 sd x=3, jika diputar terhadap garis y=5Jawab

x

y=5

r=5-f(xi)

y=1+(x-1)2

x=1x=3

R

R

V = r2h =[4-(x-1)2]2xi, 1xi3

15

256])1(4[

3

1

22 dxxV

METODE CINCIN, SILINDERMisalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garisx = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu x, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, dimana bagian tengahnya lubang. Metodedemikian disebut metode cincin

xi y=f(x)

y=g(x)

x=a x=b

Rf(x)-g(x)

x

y

r1=g(x)

r2=f(x)

y

h=xi

Dengan metode silinder :

V=[r22 – r1

2]h

= [f(xi)2–g(xi)

2]xi,axibdx])x(g)x(f[V 2

b

a

2

Contoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu x, garis y=6, y=1Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu x

y=f(x)=6-x

y=g(x)=(x-3)2+1

r1=g(x)

r2=f(x)

h=xi

x

Karena, A SP . dengan metode silinder :

V=[r22 – r1

2]h

= [f(x)2–g(x)2]x,1x4

= [(6-x)2–(1+(x-3)2)2]x,1x4

Jadi,

dx }])3x(1[)x6{(V4

1

222

R

a=1 b=4

4

1

533

4

1

422

5

)3x(

3

)3x(2x

3

)x6(

dx})3x()3x(21)x6{(

5

117V

Kasus 2 : Sumbu putar garis y = 6

r1=6-f(x)

r2=6-g(x)

y=6

y=f(x)=6-x

y=g(x)=(x-3)2+1

R

a=1 b=4x

y

h=xi

Karena, A SP, Dengan metode silinder :

V=[r22 – r1

2]h

= {[6-g(x)]2–[6-f(x)]2}x,1xi4

= {[6–(1+(x-3)2)]2-[6-(6-x)]2}x,

= {[5–(x-3)2]2- x2}x, 1x4

Jadi,

5

153

3

x

5

)3x(

3

)3x(10x25

dx}x)3x()3x(1025{

dx}x])3x(5{[V

4

1

353

4

1

242

4

1

222

Kasus 3 : Sumbu putar garis y = 1

y=1

x

y

y=g(x)=(x-3)2+1

y=f(x)=6-x

r1=g(x)-1

r2=f(x)-1

R

h=xi

a=1 b=4

Karena, A SP, maka dengan metode silinder :

V=[r22 – r1

2]h

= {[f(x)-1]2– [g(x)-1]2}x,1x4

= {[(6–x)-1]2 – [(1+(x-3)2)-1]2}x,

= {[5–x]2 – (x-3)4}x, 1x4

Jadi,

5

72

5

)3x(

3

)x5(

dx})3x()x5{(V

4

1

53

4

1

42

METODE SEL SILINDER

Perhatikanlah sel silinder berikut ini

r2

r

r1

r1 : jari-jari dalamr2 : jari-jari luarr : jari-jari rata-ratah : tinggi silinder

hh)rr(

2

rr2 12

12

Volume sel silinder adalah :

V = r22h – r1

2 h

= [r22 – r1

2 ] h

= (r2 + r1)(r2 – r1)h

Jika diambil 2

rrr 12

r = r2 – r1

Dihasilkan rumus

V = 2 r h r

VOLUME BENDA PEJAL, METODE SEL SILINDER

Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x,garis x = a dan garis x = b.

x=bx=a

R y=f(x)

r=xi

r=xh=f(x)

Jika R diputar terhadap sumbu y dihasilkanbenda pejal. Elemen volume

V = 2rhr= 2x f(x)x, axb

Jadi :

b

adx)x(xf2V

Contoh 5 :Hitung volume benda pejal jika R dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, diputar terhadap yJawab

r=x

h=f(x)

r=xi

R

x=1 x=3

V = 2rhr = 2 x f(x) x =2 x[1+(x-1)2]x, 1x3

Jadi,

3

64dx))1x(1(x2V

3

1

2

METODE SEL SILINDER LANJUTAN

Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, berbentuk sel silinder. Metode demikian disebut metode sel silinder

xi y=f(x)

y=g(x)

x=a x=b

Rh=f(x)-g(x)

x

y

h=f(x)-g(x)r=x

y

r=x

Dengan metode sel silinder :

V= 2 r h r

= 2 x[f(x)–g(x)]x, axbdx)]x(g)x(f[x2V

b

a

x

Contoh 4Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu y, garis x=1, dan x=4Jawab :Kasus 1. Sumbu putar sumbu y

Karena A // SP, maka dengan metode selsilinder :

V= 2 r h r

= 2 x [f(x)–g(x)]x,1x4

= 2 x [(6-x)–(1+(x-3)2)]x,1x4

Jadi,

dx })3x()x5{(x2V4

1

2

4

1

4332

4

1

322

4

)3x(

3

)3x(3

3

x

2

x52

dx})3x()3x(3xx5{2

2

45V

r=x

y=6-x

y=(x-3)2+1

R

x=1 x=4

x

y

h=f(x)-g(x)

r=xi

Kasus 2 : Sumbu putar garis x=1

y=6-x

1

x

r=x-1

h=f(x)-g(x)

y=(x-3)2+1

r=xi

Dengan metode sel silinderV = 2 r hr

= 2 (x-1)[(6-x) – (1+(x-3)2]x, Jadi,

)2/27(

dx })3x(x5){1x(2V4

1

2

x=1 x=4

Kasus 3 : Sumbu putar garis x=4

h=f(x)-g(x)

r=4-xx

Rr=xi

y=6-x

y=(x-3)2+1

x=1 x=4

Dengan metode sel silinderV = 2 r hr

= 2 (4 - x)[(6-x) – (1+(x-3)2] x Jadi,

)2/27(

dx })3x(x5){x4(2V4

1

2

PROSEDUR MENGHITUNG VOLUME BENDA PEJALLangkah-langkah untuk menghitung volume benda pejal dengan integraltertentu adalah sebagai berikut :

(1) Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, tentukan fungsi f(x) dan g(x) beserta batas-batasnya (batas integral).

(2) Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu (luas empat persegi panjang), dan buatlah sumbu putarnya yang tidak memotong daerah R.

(3) Hampiri volume benda pejalnya dengan pendekatan :

(a) Volume silinder, V = r2h jika A tegak lurus dengan sumbu putar

(b) Volume sel slilinder, V = 2rh r, jika A sejajar dengan sumbu putar.

(4) Jumlahkan volume silinder aproksimasi dari langkah 3.

(5) Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu, atau hitunglahvolume benda pejalnya dengan integral tentu.

MOMEN DAN PUSAT MASSA

Misalkan sepotong lamina homogen dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) denganf(x) g(x) garis x = a, dan garis x = b. Andaikan bahwa kerapatan lamina adalah ,

y=f(x)

y=g(x)

x=a x=b

R

y

x

2

)xi(g)xi(f

xi

xi

Andaikanlah, )y,x( pusat masaa lamina

m

My dan ,

m

Mx xy

dimana,

My : moment terhadap sumbu yMx : moment terhadap sumbu xm : massa lamina

b

adx)]x(g)x(f[m

b

a

22x

b

ay

dx])x(g)x(f[2

M

dx)]x(g)x(f[xM

Contoh 5Hitung pusat massa daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Jika kerapatannya adalah konstan k Jawab :

y=f(x)

y=g(x)

y=6-x

xi

y=(x-3)2+1

xi

x=1 x=4

k2

9

3

)3x(

2

)x5(k

dx)])3x(1()x6[(km

4

1

32

4

1

2

k4

45

dx)])3x(1()x6[(xkM4

1

2y

k

dxxxk

Mx

10

117

]))3(1()6[(2

4

1

222

Jadi,2

5

k)2/9(

k)4/45(

m

Mx

y

5

13

)2/9(

)10/117(

k

k

m

My x

TEOREMA PAPPUS

Jika sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar terhadapsebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, makavolume benda putar yang dibentuk oleh R sama dengan luas daerah Rdikalikan dengan keliling yang ditempuh oleh titik pusat R itu

Bilamana daerah diputar terhadap sebuah sumbu putar yang tidak terletakpada daerah R, maka volume benda putarnya diberikan oleh,

V = 2 r A

dimana r adalah jari-jari lingkaran yakni panjang jarak tegak lurus dari titikpusat massa ke sumbu putar, dan A adalah luas daerah R, lamina.

LATIHAN SOAL VOLUME BENDA PUTAR

Soal 1. Perhatikanlah daerah R dibatasi oleh, y = (b – 5) + (x – a + 4)2 dan garis lurusyang menghubungkan titik (a–5, b–4) dan (a–2,b –1). Hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :(a). Garis y = b – 6, y=b+5 (b). Garis x = a +1 , x=a – 6

Soal 2. Suatu daerah R dibatasi oleh kurva, y = a – (x – b)2, dan x + y = (a + b – 2), hitunglah volume benda putarnya, jika daerah R diputar terhadap :a. garis y = a+1, y=a - 5 b. garis x = b + 3, x=b – 3

Soal 3. Daerah R adalah sebuah segitiga dimana titik-titik ujungnya adalah (a,b), (2a,2b), dan (a,2a+2b). Dengan integral tentu hitunglah,a. Volume benda putarnya jika R diputar terhadap garis y = bb. Volume benda putarnya jika R diputar terdadap garis x = a

Soal 5.Massa dan Pusat Massaa. Untuk soal nomor 1,2 dan 4 hitunglah

pusat massa dengan asumsi kerapatankonstan

b. Hitunglah volume yang ditanyakandengan metode teorema pappus.

Soal 4Perhatikanlah gambar daerah berikut iniHitunglah volume benda putarnya jikadaerah R diputar terhadap :(a). Garis, y=b-5, (b). Garis, y= b+1(c). Garis, x=a – 3(d). Garis, x = a + 2

Gambar Soal No. 4