2. Modul Integral Tak Tentu ATA 11-12

Modul Praktikum Integral Tak Tentu

Matek 2 Hal. 16 Periode ATA 2011/2012

INTEGRAL TAK TENTU

I. KONSEP DASAR INTEGRAL

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui ( kebalikan dari derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ). A. INTEGRAL TAK TENTU

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilai konstantanya. Bentuk umum :

Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu. Contoh : ∫ f(x) dx = F(x) + c ∫ f(x) dx = F(x) + c ∫ 8x

3 + 6x

2 + 2x + 7 dx = 8x

3+1 + 6x

2+1 + 2x

1+1 + 7x +c

3+1 2+1 1+1 = 2x

4 + 2x

3 + x

2 + 7x + c

Bila c = 20, maka F(x) = 2x

4 + 2x

3 + x

2 + 7x + 20

II. PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI

Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total).

Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi : A. Fungsi Biaya

Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :

∫ f(x) dx = F(x) + c

∫ un. du = Un+1

+ c, n ≠ -1

n +1

F(Q) = ∫ f (Q) dQ

TC = ∫ MC dQ



Dan Biaya rata-rata (AC) :

Contoh: Diketahui suatu penjualan elektroik fungsi biaya marginalnya MC = 10 - 30Q, maka carilah fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 2 ? Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut TC = ∫ MC dQ = ∫ 10 - 30Q dQ = 10Q – 15Q

2 + c

Jika c = 2

TC = 10Q – 15Q2 + 2

AC = TC / Q = 10 – 15Q + 2/Q Analisa : Dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total

adalah TC = 10Q – 15Q2 + 2 dan fungsi biaya rata-rata adalah AC = TC /

Q = 10 – 15Q + 2/Q. Dengan menggunakan software EC-Match adalah sebagai berikut Pada tampilan awal EC-Match, pilih materi integral tak tentu seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini

Akan tampil pilihan dari menu integral tak tentu kemudian pilih fungsi biaya

AC = TC / Q



Isikan datanya seperti contoh soal diatas, untuk banyaknya variabel dapat diketahui dengan melihat banyaknya variable (q) pada soal, setelah itu calculate.

Di Output Fungsi Biaya akan terlihat fungsi biaya total dan fungsi biaya rata – rata, jika kita ingin mengetahui total biaya dan rata – rata biaya maka masukkan nilai Q setelah itu klik calculate



B. Fungsi Penerimaan Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).

Contoh : Diketahui MR suatu penjualan elektronik adalah 4Q

3 - 12Q

2 + 4Q. Tentukan

penerimaan totalnya (TR), jika c = 4 ? Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut TR = ∫ MR dQ = ∫ 4Q

3 - 12Q

2 + 4Q dQ

= Q4 - 4Q

3 + 2Q

2 + c

jika c = 4 TR = Q

4 - 4Q

3 + 2Q

2 + 4

Dengan menggunakan software EC-Match adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi penerimaan seperti gambar di bawah ini

F(Q) = ∫ f(Q) dQ

TR = ∫ MR dQ



Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate.

Di Output Fungsi Penerimaan akan terlihat fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata – rata, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.



C. Fungsi Produksi a. Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q = masukan b. Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’(Q) c. Produk Total adalah integral dari produk marginal.

Contoh : Diketahui produk marginalnya 4Q

2 + 20, maka produk totalnya jika c = 1 ?

Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut P = ∫ MP dQ = ∫ 4Q

2 + 20

= 4/3 Q3 + 20Q + c

jika c = 1,

P = 4/3 Q3 + 20Q + 1

Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi

adalah P = 4/3 Q3 + 20Q + 1

P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ



Dengan menggunakan software EC-Match adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi produksi seperti gambar di bawah ini

Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate

Di Output Fungsi Produksi akan terlihat fungsi produksi total dan fungsi produksi rata – rata, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.



D. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.

C = f(Y) = a + bY

MPC = C’ = dC/dY = f’(Y) = b = turunan dari C

S = g(Y) = -a + (1-b)Y

MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1-b) = turunan dari S

Y = C + S

Y = [ a + bY ] + [ -a + (1-b)Y ]

MPC + MPS = 1



a. k = a = Autonomous Consumption : konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol

b. k = a = Autonomous Saving : Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).

c. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

d. MPS (Marginal Propensity to Saving) : Perbandingan antara besarnya perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

Keterangan :

MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.

MPC > ½, menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi.

MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.

Contoh : Dimana C = ∫ MPC dY = 0.6 dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah 65, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah… Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut

C = ∫ MPC dY = ∫0.6 dY + c = 0.6Y + 65

S = Y – ( 0.6 Y + 65 ) = Y – 0.6Y - 65 S = 0.4 Y – 65

Atau S = Y – C S = ∫ MPS dY = ∫ 0.4 dY – c = 0.4Y – 65 Y = C + S Y = ( 0.6 Y + 65 ) + ( 0.4 Y – 65 )

Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = 0.6Y + 65, fungsi tabungan adalah S = 0.4 Y – 65, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.6 Y + 65 ) + ( 0.4 Y – 65 ).

Dengan menggunakan software EC-Match adalah sebagai berikut

C = ∫ MPC dY = F(Y) + c

S = ∫ MPS dY = G(Y) + c

½ < MPC < 1



Pada tampilan menu pilih fungsi konsumsi seperti gambar dibawah ini


Di Output Fungsi konsumsi akan terlihat fungsi konsumsi dan fungsi tabungan, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.



Contoh : Dimana S = ∫ MPS dY = 0.4 dY – c, bila pendapatan = 0 dan tabungan autonomosnya adalah 65, maka fungsi tabungan, konsumsi dan Pendapatan Nasionalnya adalah… Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut

S = ∫ MPS dY = ∫0.4 dY = 0.4Y – 65

Mencari fungsi konsumsi C= Y – S = Y – (0.4Y – 65) = Y – 0.4Y + 65 = 0.6Y + 65

Jadi pendapatan nasional adalah Y = C + S Y = ( 0.6 Y + 65 ) + ( 0.4 Y – 65 )

Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = 0.6Y + 65, fungsi tabungan adalah S = 0.4 Y – 65, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.6 Y + 65 ) + ( 0.4 Y – 65 ).

Dengan menggunakan software EC-Match adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi tabungan seperti gambar dibawah ini




Di Output Fungsi Tabungan akan terlihat fungsi tabungan dan fungsi konsumsi, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.

2. Modul Integral Tak Tentu ATA 11-12

Documents

Transcript of 2. Modul Integral Tak Tentu ATA 11-12