Tugas Mata kuliah Komputer

PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL

Disusun Oleh :

Nama : Muh. Miftah

NIM : S 850208016

Pengampu : Drs. Sarngadi Palgunadi Yohanes, MSc.

Aspek Skor Max Nilai

Originalitas 3

Kedalaman Materi 3

Peranan Maple 2

Kebenaran Konsep 2

Total 10

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PASCA SARJANA

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR

A. Tujuan Pembelajaran

Tujuan dari pembelajaran materi Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak

Wajar ini antara lain:

a. mahasiswa dapat lebih menguasai materi mengenai Bentuk Tak Tentu dan

Integral Tak Wajar

b. mahasiswa dapat membedakan bentuk limit tak-tentu dan dapat

menyelesaikan bentuk integral tak wajar.

c. mahasiswa dapat menggunakan program maple dalam menentukan bentuk

limit dan bentuk integral.

B. Alokasi Waktu

Alokasi waktu untuk pembelajaran materi Bentuk Tak Tentu dan

Integral Tak Wajar ini adalah 3 x 2 jam pelajaran.

C. Materi Pembelajaran

Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar

1. Bentuk Tak-Tentu Jenis 0/0

2. Bentuk Tak-Tentu yang Lain

3. Integral Tak-Wajar : Batas Tak-Terhingga

4. Integral Tak-Wajar : Integran Tak-Terhingga

1. Bentuk Tak Tentu Jenis 0/0

Di bawah ini ada tiga masalah limit yang telah kita kenal, yaitu

, ,

Limit yang pertama telah dibahas dalam pasal 3.4 dan limit yang ketiga sebenarnya

mendefinisikan turunan . Ketiga limit tersebut memiliki penampilan yang sama,

yaitu ada hasil bagi dan dalam ketiga limit itu pembilang dan penyebut berlimit nol.

Kalau kita menghitung limit itu dengan menggunakan aturan penarikan limit untuk

hasil bagi, kita akan memperoleh jawaban yang tak ada artinya, yaitu 0/0. memang

aturan tersebut tak dapat digunakan disini oleh karena aturan itu hanya berlaku

apabila limit penyebut bukan 0. kita tidak mengatakan bahwa limit tersebut diatas

tidak ada. Kita hanya mengatakan bahwa limit tersebut tidak dapat ditentukan dengan

aturan hasil bagi limit.

Penulisan limit dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut :

Misal kita akan menulisakan bentuk-bentuk limit di atas ke dalam program maple,

maka perintah yang kita tuliskan dalam maple adalah :

> Limit(sinx/x,x=0);

Maka hasil yang akan muncul adalah

limx 0

sinxx

> Limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3);

Maka hasil yang akan muncul adalah

limx 3

x2 9

x2 x 6

> Limit((f(x)-f(a))/(x-a),x=a);

Maka hasil yang akan muncul adalah

limx a

( )f x ( )f ax a

Anda tentunya ingat bahwa dengan menggunakan geometri, kita dapat

membuktikan bahwa . Di lain pihak, dengan menggunakan

pemaktoran dalam aljabar, kita peroleh

Tentunya akan lebih baik bila ada aturan baku yang dapat dipakai untuk menghitung

limit-limit demikian. Memang ada, yaitu suatu aturan yang lazim dinamakan Aturan

l’Hôpital (baca: loupital).

ATURAN L’HÔPITAL Pada tahun 1696, Guillaume Francois Antoine de l’Hôpital

menerbitkan buku pertama tentang kalkulus diferensial; di dalamnya ada aturan di

bawah ini, yang ia peroleh dari gurunya bernama Johann Bernoulli.

Sebelum kita mencoba membuktikan teorema tersebut, terlebih dahulu akan

kita berikan beberapa contoh. Perhatikan bahwa dalam aturan l’Hôpital, suatu limit

dapat diganti dengan limit yang lain lebih sederhana dan tidak lagi berbentuk 0/0.

Contoh 1 Tentukan dan

Penyelesaian Kedua limit berbentuk 0/0. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan

aturan l’Hôpital sebagai berikut,

Teorema A

(Aturan l’Hôpital untuk bentuk 0/0). Andaikan .

Apabila ada, baik ia terhingga atau tak-terhingga

(jadi bilangan terhingga L, ∞, atau -∞), maka

Di sini,u dapat mewakili sebarang simbol a,a-,a+,-∞ atau +∞.

Limit yang pertama telah dihitung dengan menguraikan penyebut dan pembilang

dalam bab permulaan tentang limit. Jelas bahwa jawabannya sama dengan jawaban di

atas, yang diperoleh dengan aturan l’Hôpital.

Kita juga dapat menyelesaikan pembuktian limit di atas dalam program

maple, langkah pertama yang kita lakukan adalah terlebih dahulu menuliskan limit

tersebut,

> Limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3);

limx 3

x2 9

x2 x 6

Selanjutnya kita dapat langsung menentukan nilai dari limit di atas, yaitu

dengan menuliskan

> limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3);

65

Hasil dari proses manual dan program maple sama yaitu 6/5.

Dan untuk

> Limit((x^2+3*x-10)/(x^2-4*x+4),x=2);

limx 2

x2 3 x 10

x2 4 x 4

Hasilnya adalah

> limit((x^2+3*x-10)/(x^2-4*x+4),x=2);

undefined

Jadi nilai dari limit tersebut adalah ∞

Contoh 2 Tentukan

Penyelesaian Pembilang dan Penyebut menuju 0.Sehingga menurut aturan l’Hôpital

kita peroleh,

Seringkali juga berbentuk 0/0. Oleh karena itu kita dapat lagi

menggunakan aturan l’Hôpital.

Dalam program maple dapat ditulis;

> Limit((tan2*x)/ln(1+x),x=0);

limx 0

tan2 x( )ln 1 x

Hasilnya adalah

> limit((tan(2*x))/ln(1+x),x=0);

2

Jadi nilai dari limit tersebut adalah 2

Contoh 3 Tentukan

Penyelesaian Kita dapat menggunakan aturan l’Hôpital berturut-turut tiga kali,

sebagai berikut,

Walaupun Aturan l’Hôpital mudah digunakan, namun kita harus hati-hati

dalam pemakaiannya, khususnya harus diteliti benar apakah persyaratan yang diminta

terpenuhi. Apabila tidak, kiya dapat melakukan kesalahan-kesalahan seperti dalam

contoh di bawah ini.

Untuk penyelesaian di atas dalam program maple, langkah pertama yang kita

lakukan adalah terlebih dahulu menuliskan limit tersebut,

> Limit((sinx-x)/x^3,x=0);

limx 0

sinx x

x3

Maka hasil yang akan muncul adalah

> limit((sin(x)-x)/x^3,x=0);

-16

Jadi nilai dari limit tersebut adalah 2

TEOREMA NILAI RATA-RATA CAUCHY Bukti mutakhir Aturan l’Hôpital

didasarkan pada Teorema Nilai Rata-rata dari Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).

Perhatikan bahwa teorema tersebut berubah menjadi Teorema Nilai Rata-rata

yang lebih kita kenal apabila g(x)=x. (Teorema 4.8A).

Bukti Bentuk di atas mendorong kita untuk menggunakan Teorema Nilai Rata-rata

pada pembilang dan penyebut di ruas kiri. Kita akan memperoleh

(1) f(b)-f(a)=f’(c1)(b-a)

dan

(2) g(a)-g(b)=g’(c2)(b-a)

Teorema B

(Teorema Nilai Rata-rata Cauchy). Andaikan f dan g fungsi yang

terdiferensialkan pada selang (a,b) dan kontinu pada selang [a,b]. apabila g’(x)

≠ 0 untuk semua x di (a,b), maka ada bilangan c dalam selang (a,b) sehingga

Untuk nilai c1 dan c2 dalam selang (a,b). kalau c1 dan c2 sama, yang tentunya tidak

perlu sama sekali, kita dapat membagi persamaan pertama dengan yang kedua dan

terbuktilah Teorema B di atas. Walaupun c1 dan c2 tak sama, dari persamaan (2), oleh

karena g(b)-g(a) ≠0, karena kenyataan yang kelak kita butuhkan (hal ini mengikuti

dari hipotesis yang menyatakan, bahwa g’(x) ≠0 untuk semua x di (a,b).

Dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata (Teorema 4.8A) kita telah

menggunakan fungsi-fungsi s. jika kita coba mengambil bukti-bukti sebelumnya,

maka kita diarahkan ke pilihan berikutnya untuk s(x). misalkan

Tidak ada pembagian oleh nol yang tercakup, karena kita sejak awal telah

menjelaskan, bahwa g(b)-g(a) ≠0. Perhatikan bahwa s(a) =0=s(b). Juga s kontinu

pada [a,b] dan dapat dideferensialkan pada (a,b); ini mengikuti dari fakta yang

beresuaian untuk f dan g. Jadi kita dapat menggunakan Teorema Nilai Rata-rata

terhadap x, maka ada bilangan c dalam selang (a,b) sehingga:

tetapi

atau

yang kita inginkan untuk membuktikannya.

BUKTI ATURAN L’HÔPITAL

Bukti Acu kembali ke Teorema A, yang sebenarnya menyatakan beberapa teorema

sekaligus. Kita akan membuktikan kasus untuk L terhingga dan lim kita maksud

adalah .

Menurut apa yang diketahui di dalam Teorema A, adanya

mengandung pula sifat adanya f’(x) dan g’(x) paling sedikit dalam lingkungan (a,b]

dari a dan bahwa g’(x)≠0. Di a kita tidak mengetahui apakah f dan g ada; kita hanya

mengetahui bahwa dan . Jadi kita dapat mendefinisikan

(atau apabila perlu mendefinisikan kembali) di a. Ini semua perlu agar f dan g

memenuhi syarat-syarat dalam Teorema Nilai Rata-rata Cauchy pada selang [a,b].

Dengan demikian maka ada c dalam (a,b) sehingga

oleh karena f(a)=0=g(a), maka

Apabila , jadi juga maka kita peroleh

ini sesuai dengan yang harus dibuktikan.

Bukti yang serupa berlaku untuklimit kiri, jadi dengan demikian terbukti pula

untuk limit yang dua arah. Bukti untuk a atau L yang tak terhingga agak sulit dan

tidak akan kita buktikan di tempat ini.

2. Bentuk Tak-Tentu yang Lain

Dalam penyelesaian contoh 6, pasal yang lalu, kita berjumpa dengan persoalan

limit sebagai berikut.

Dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut;

> limit(x/e^x,x=infinity);

limx

x

ex

Bentuk limit ini tergolong bentuk , yang memiliki sifat bahwa

pembilang dan penyebut menuju tak-terhingga. Bentuk tersebut dinamakan bentuk

tak-tentu dari jenis ∞/∞. Ternyata bahwa Aturan l’Hôpital juga berlaku dalam hal ini.

Jadi,

Bukti yang tepat agak rumit. Akan tetapi ada suatu cara yang meyakinkan kita

bahwa hasilnya memang benar. Andaikan bahwa f(t) dan g(t) menunjukkan

kedudukan dua kendaraan pada sumbu-t pada saat t. Kedua kendaraan itu, yang kita

sebut kendaraan-f dan kendaraan-g sedang dalam perjalanan tanpa akhir dengan laju

masing-masing f’(t) dan g’(t). Andaikan bahwa

ini berarti bahwa pada suatu saat tertentu laju kendaraan-f menjadi L kali laju

kendaraan-g. Jadi masuklah akal mengatakan bahwa pada suatu saat, kendaraan-f

akan menempuh jarak L kali lebih jauh. Dalam rumus

Uraian diatas tentulah bukan bukti secara matematika. Mengenai rumus di atas, ada

teorema sebagai berikut.

BENTUK TAK-TENTU ∞/∞ Kita gunakan Teorema A, untuk menyelesaikan

contoh 6, pasal yang lalu.

Teorema A

Andaikan Jika ada (terhingga atau

tak terhingga), maka

Di sini u dapat mewakili sebarang simbol a,a-,a+,-∞ atau +∞.

Contoh 1 Tentukan

Penyelesaian Apabila x→0+, maka x→−∞ dan cot x→∞, dengan demikian kita dapat

menggunakan Aturan l’Hôpital, sehingga

Limit terakhir ini masih tetap tentunya. Walaupun demikian kita tidak akan

menggunakan Aturan l’Hôpital, sebab bentuk tersebut akan menjadi makin rumit.

Untuk menghitung limit terakhir itu, kita ubah sebagai berikut

sehingga

Jika ditulis pada program maple adalah

> Limit(ln(x)/cot(x),x=0);

limx 0

( )ln x( )cot x

Dan hasilnya adalah

> limit(ln(x)/cot(x),x=0);

0

BENTUK TAK-TENTU 0-∞ DAN ∞-∞. Andaikan A(x)→0, tetapi B(x)→∞.

Bagaimana dengan hasilkali A(x)B(x)? Apakah akan menuju nol, ataukah tak

terhingga atau akan memiliki limit yang lain? Ini semua tergantung pada masing-

masing A(x) dan B(x) caranya fungsi-fungsi ini menuju nol maupun tak terhingga. Di

sini pula Aturan l’Hôpital dapat membantu kita menentukan limit fungsi A(x)B(x)

setelah kita mengubahnya menjadi bentuk 0/0 atau ∞/∞.

Contoh 2 Tentukan .

Penyelesaian Suku pertama bertumbuh tanpa batas: demikian juga suku kedua. Kita

katakan bahwa limit tersebut memiliki bentuk tertentu ∞-∞. Kembali pertentangan

hebat terjadi. Aturan l’Hôpital akan menentukan hasilnya, tetapi hanya setelah kita

menuliskan kembali persoalantersebut dalam bentuk yang memungkinkan aturan ini

berlaku. Pada kasus ini, kedua pecahan haruslah dikombinasikan, prosedur yang akan

mengubah persoalan tersebut menjadi dalam bentuk 0/0. PenerapanAturan l’Hôpital

dua kali akan menghasilkan

Dapat juga di tulis dalam program maple sebagai berikut

> Limit((x/(x-1))-(1/ln(x)),x=1);

limx 1

xx 1

1( )ln x

Maka hasil yang diperoleh adalah

> limit((x/(x-1))-(1/ln(x)),x=1);

12

BENTUK TAK-TENTU 00, ∞0, 1∞ Sekarang kita akan membahas bentuk tak-tentu

jadi eksponen. Cara yang kita pakai ialah menulis bentuk tak-tentu tersebut sebagai

logaritma. Kemudian Aturan l’Hôpital kita gunakan pada bentuk logaritmaini.

Contoh 3 Tentukan

Penyelesaian Bentuk limit tersebut adalah 1∞ yang tak-tentu. Andaikan y=(x+1)cot x

maka

dengan menggunakan Aturan l’Hôpital bentuk 0/0, kita peroleh,

Kini y=eln y, dan oleh karena fungsi eksponensial f(x)=ex adalah kontinu,maka

Jika dikerjakan dalam program maple, maka hal yang dilakukan adalah

> Limit((x+1)^cot(x),x=0);

limx 0

( )1 x( )cot x

Dan hasil yang muncul, sebagai berikut;

> limit((x+1)^cot(x),x=0);

e

IKHTISAR Kita telah menggolongkan beberapa persoalan limit sebagai bentuk tak-

tentu, dengan menggunakan tujuh buah simbol 0/0, ∞/∞, 0.∞, ∞-∞, 00, ∞0, dan 1∞.

Masing-masing bentuk melibatkan persaingan kekuatan yang berlawanan, yang

berarti bahwa hasilnya tidak jelas terluhat. Akan tetapi, dengan bantuan Aturan

l’Hôpital, yang hanya diterapkan secara langsung pada bentuk 0/0 dan ∞/∞. Kita

biasanya dapat menentukan harga limit yang tepat.

Terdapat banyak kemungkinan lain yang misalnya dilambangkan oleh 0/∞,

∞/0, ∞+∞, ∞.∞,0∞, dan ∞∞. Mengapa yang ini tidak kita sebut bentuk tak-tentu?

Karena pada tiap kasus ini, gaya-gaya itu saling membantu, bukannya bersaing.

3. Integral Tak-Wajar (Improre), Batas Tak Hingga

Dalam mendefinisikan , telah diandaikan bahwa selang [a,b]

terhingga. Walaupun demikian, banyakpenerapan integral tentu dalam fisika,

ekonomi dan teori peluang yang menghendaki a atau b (atau keduanya) menjadi tak-

terhingga. Oleh karena itu, kita harus memberikan arti pada lambang seperti

, ,

Integral demikian dinamakan integral tak wajar dengan batas pengintegralan yang tak

terhingga.

Penulisan integral dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut :

Misal kita akan menulisakan bentuk-bentuk integral di atas ke dalam program maple,

maka perintah yang kita tuliskan dalam maple adalah :

Untuk bentuk integral pertama

> Int(1/(1+x^2),x=0..infinity);

d

0

1

1 x2 x

Untuk bentuk integral kedua

> Int(x*e^(-x^2),x=0..infinity);

d

0

x e( ) x2

x

Untuk bentuk integral ketiga

> Int(x^2*e^(-x^2),x=0..infinity);

d

0

x2 e( ) x2

x

SATU BATAS TAK TERHINGGA Integral mempunyai arti yang jelas

bagaimana pun besarnya nilai b. malahan kita dapat menghitungnya, sebagai berikut.

Oleh karena , kita dapat mendefinisikan

Di bawah ini kita cantumkan definisi yang umum.

Contoh 1 Tentukan, jika mungkin,

Penyelesaian

Maka,

Kita katakan bahwa integral tak-wajar di atas konvergen dengan bernilai -1/2e.

Kita juga dapat mengerjakan perhitungan integral diatas dengan menggunakan

program maple, integral diatas bila ditulis dalam program maple adalah;

> Int(x*exp(-x^2),x=(-infinity)..(-1));

Definisi

Apabila limit pada ruas kanan ada dan bernilai terhingga, kita katakan bahwa

integral tak wajar yang bersangkutan konvergen dan memiliki nilai yang

terhingga itu. Jika tidak, integral disebut divergen.

d

-1

x e( ) x2

x

Hal pertama yang dilakukan adalah memisalkan fungsi rasional diatas dengan f(x),

yaitu;

> f(x):=x*exp^(-x^2);

:= ( )f x x exp( ) x2

Kemudian mengintegralkan f(x),

> int(x*exp^(-x^2),x);

12

exp( ) x2

( )ln exp

Contoh 2 Tentukan jika mungkin

Penyelesaian

Limit terakhir ini tidak ada, jadi integral tak-wajar diatas adalh divergen. Perhatikan

arti geometri integral itu untuk dapat memahami hasil tersebut.

Pengerjaan dalam program maple adalah;

> Int(sin(x),x=0..infinity);

d0

( )sin x x

KEDUA BATAS INTEGRAL TAK TERHINGGA Kita mulai dengan definisi

berikut.

Definisi

Apabila dan konvergen, maka dikatakan

konvergen dengan nilai

Dalam hal yang lain dinamakan divergen.

PARADOKS CORONG GABRIEL Andaikan kurva pada selang [1,∞)

diputar mengelilingi sumbu x. maka terbentuklah suatu permukaan yang disebut

corong Gabriel (Gambar 4). Akan kita tunjukkan bahwa:

1. volume V corong adalah

terhingga.

2. luas permukaan corong A tak

terhingga.

Jadi apabila corong itu kita isi dengan cat,

banyaknya cat ini terhingga. Namun tidak cukup

untuk untuk mengecat seluruh corong itu. Untuk

menjelaskan paradoks ini, terlebih dahulu kita

buktikan sifat-sifat pada (1) dan (2). Berturut-turut

kita peroleh

Oleh karena,

Maka,

dan karena ln b → ∞ apabila b → ∞, maka A tak terhingga.

Apakah ada kekeliruan pada matematik kita? Tidak. Bayangkan bahwa

corong tersebut akan dibelah, dibuka, dan diratakan. Berikan jumlah cat yang

terhingga banyaknya, kita tidak dapat mencat permukaan corong ini dengan lapisan

cat yang merata tebalnya. Akan tetapi, kita dapat melakukan hal itu jika mengijinkan

lapisan cat tersebut semakin tipis untuk permukaan yang sedemikian jauh dari ujung

besar corong. Dan, tentu saja, inilah yang sebenarnya terjadi ketika kita mengisi

GABRIEL MELAPIS JALAN

Ketika diminta untuk melapis jalan yang tak terhingga 0≤x≤∞,0≤y≤1

dengan emas murni, Gabriel mematuhi tetapi membuat tabel h emas murni di

titik x memenuhi

Berapa banyak emas yang diperlukan?

Hanya 1 kubik

corong utuh dengan π kubik cat (cat imajiner dapat disebarkan dengan sebarang

keenceran).

4. Integral Tak-Wajar: Integran Tak Terhingga

Dengan meninjau banyak pengintegralan rumit yang telah kita kerjakan

berikut salah satu yang kelihatannya cukup sederhana

???

Apabila kita memperhatikan, grafik pada Gambar 1 ini, tampaknya ada sesuatu yang

aneh. Sebab jawaban integral (jika memang ada)

tentunya harus suatu bilangan positif.

Mengapa? Di manakah letak kesalahan dalam

perhitungan integral tersebut? Untuk

menjawab pertanyaan ini, lihatlah kembali

Pasal 5.5 (Fungsi-fungsi apa yang dapat

diintegralkan) khususnya halaman 278.

Seperti diketahui, agar suatu fungsi dapat diintegralkan dalam arti yang biasa, fungsi

tersebut harus terbatas. Dalam contoh di atas, fungsi itu adalah f(x)=1/x2, yang tak

terbatas. Jadi tak dapat diintegralkan dalam arti yang biasa. Dikatakan bahwa

adalah integral yang tak-wajar dengan integral yang tak terhingga (lebih tepat untuk

mengatakan integral yang tak-terbatas).

Hingga saat ini, kita menghindarkan dengan sengaja integral-integral yang

integrannya tak terhingga dalam soal maupun contoh. Dalam pasal ini kita akan

mendefinisikan dan membahas integral-integral itu.

INTEGRAN YANG TAK TERHINGGA PADA TITIK UJUNG SUATU

SELANG. Kita berikan definisi integral yang ontegrannya menuju taj terhingga di

titik ujung sebelah kanan selang pengintegralan. Untuk sifat ynag sama di titik

sebelah kiri ada definisi yang hampir serupa.

Contoh 1 Jika mungkin hitunglah .

Penyelesaian

Jadi integral ini divergen.

Jika dikerjakan dalam program maple, sebagai berikut;

> Int(1/x,x=0..1);

d

0

1

1x

x

Jika dihitung dalam penghitungan maple, adalah

> int(1/x,x=0..1);

Definisi

Andaikan f kontinu pada selang setengah buka [a,b) dan andaikan .

Maka,

Asalkan limit itu ada dan terhingga. Dalam hal ini dikatakan bahwa integral

tersebut konvergen. Dalam hal yang lain, integral disebut divergen.

Sehingga hasil yang diperoleh dalam penghitungan manual dan dalam maple adalah

sama, yaitu; ∞.

INTEGRAN YANG TAK-TERHINGGA PADA SEBUAH TITIK DALAM

Integral adalah sebuah contoh pasal ini. Perhatikan bahwa integran ini tak-

terhingga pada x = 0. definisi tepatnya adalah sebagai berikut:

Contoh 3 Buktikan bahwa divergen.

Penyelesaian

Menurut Contoh 4, integral kedua pada ruas kanan divergen. Jadi integral yang

diberikan adalah divergen.

Soal – Soal Evaluasi dan penyelesaiannya

Definisi

Andaikan f kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b. Andaikan

. Kita definisikan

Asal saja kedua integral di ruas kanan konvergen. Apabila tidak, integral

disebut divergen.

Selesaikan integral berikut dengan program maple :

1.

2.

3.

4.

Penyelesaiannya :

1. Hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan limitnya, maka dalam

program maple akan muncul sebagai berikut :

Limit((sin(x)-2*x)/x,x=0);

limx 0

( )sin x 2 xx

Hasil yang diperoleh adalah

> limit((sin(x)-2*x)/x,x=0);

-1

2. Hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan limitnya, maka dalam

program maple akan muncul sebagai berikut :

Limit((sec(x)+1)/tan(x),x=pi/2);

limx

2

( )sec x 1( )tan x

Hasil yang diperoleh adalah

> limit((sec(x)+1)/tan(x),x=pi/2);

sec

2

1

tan

2

3. Misal, kita nyatakan fungsi tersebut dalam f(x), maka dalam program maple dapat

kita tuliskan sebagai berikut;

> f(x):=e^x;

:= ( )f x ex

Kemudian kita integralkan fungsi tersebut.

> int(f(x),x=1..infinity);

limx

ex e

( )ln e

5. Misal, kita nyatakan fungsi tersebut dalam g(x), maka dalam program maple

dapat kita tuliskan sebagai berikut;

> g(x):=1/((x-1)^(1/3));

:= ( )g x1

( )x 1( )/1 3

Kemudian kita integralkan fungsi tersebut.

> int(g(x),x=1..2);

32

D. Penutup

1. Kelebihan pembelajaran ini

Dalam pembelajaran ini kita dapat mengetahui bagaimana kita bisa

membedakan bentuk-bentuk limit dan menyelesaikan limit dan pengintegralan.

2. Kekurangan pembelajaran ini

Kekurangan dalam pembelajaran ini ialah, di dalam program maple kita tidak

diajarkan bagaimana kita bisa memperoleh konstanta-konstanta yang mana

pada perhitungan secara manual dapat kita hitung.