KINEMATIKA DALAM SISTEM

KOORDINAT YANG BERBEDA

SISTEM KOORDINAT YANG BERBEDA

Untuk menggambarkan posisi dan gerak sebuah

objek atau titik dalam ruang, tentunya diperlukan

sebuah sistem koordinat. Beberapa sistem

koordinat yang biasa digunakan adalaha koordinat

rektangular (kartesian), koordinat polar, koordinat

silinder dan koordinat bola.

KOORDINAT REKTANGULAR (KARTESIAN)

Koordinat kartesian merupakan koordinat dua atau

tiga dimensi yang terdiri dari sumbu-sumbu yang

saling berpotongan di titik O.

Koordinat Kartesian dari titik P

dalam dua dimensi

Posisi titik P digambarkan oleh koordinat (x,y) yang

didapatkan dari proyeksi titik P terhadap sumbu X

dan Y, sehingga OA = x dan OB = y.

Gambar berikutnya merupakan koordinat kartesian

tiga dimensi,

KOORDINAT REKTANGULAR (KARTESIAN)

KOORDINAT REKTANGULAR (KARTESIAN)

Koordinat kartesian dari

titik P dalam tiga dimensi

Posisi titik P digambarkan oleh

Koordinat (x,y,z). Dari titik P di-

tarik garis tegak lurus terhadap

sumbu Z, sehingga OC = z dan garis

PM tegak lurus bidang XY. Dari M

ditarik garis tegak lurus terhadap

sumbu X dan Y sehingga OA = x

dan OB = y , dengan demikian

KOORDINAT POLAR

Sistem koordinat kartesian sangat cocok digunakan untuk menggambarkan gerakan objek dalam garis lurus. Koordinat kartesian tersebut, tidak selamanya dapat digunakan ketika gerakan objek berupa kurva seperti gerak melingkar. Untuk gerak seperti itu perlu digunakan sistem koordinat lain yang sesuai.

Pemilihan sistem koordinat yang tepat, akan membuat penyelesaian masalah-masalah dalam gerak menjadi lebih sederhana. Sebagai contoh gerak melingkar pada sebuah bidang sangat tepat digambarkan dengan koordinat polar.

KOORDINAT POLAR

Koordinat polar (r,θ) dari titik

P dalam dua dimensi

Berdasarkan gambar di samping,

koordinat kartesian titik P pada

bidang XY adalah (x,y). Titik P

terletak pada jarak r dari titik asal O.

Garis OP membentuk sudut θ

terhadap sumbu X. Sehingga dapat

diterima apabila posisi P diwakili

oleh koordinat (r, θ) yang disebut

koordinat polar. Hubungan antara

(x,y) dan (r, θ) adalah

Kita juga dapat menyatakan r dan θ dalam x dan y melalui cara yang sederhana, yaitu melalui kuadrat dan penjumlahan, sehingga diperoleh

Dari persamaan sebelumnya, diperoleh

Dengan

KOORDINAT POLAR

Dengan demikian, dalam sistem koordinat dua

dimensi (x,y) atau (r,θ) dapat mewakili posisi

sebuah titik dalam sebuah bidang. Nilai r mulai dari

0 sampai ∞, sedangkan nilai θ mulai dari 0 sampai

2 radians.

Perbandingan antara sistem koordinat kartesian

dengan polar diperlihatkan pada gambar berikut

KOORDINAT POLAR

KOORDINAT SILINDER Mari kita bayangkan titik P terletak pada jarak r dari

titik pusat O. Titik P dapat digambarkan dalam

koordinat kartesian (x,y,z) atau koordinat silinder

(ρ, ,z), seperti gambar di bawah ini

Koordinat silinder titik P

dalam ruang

Dalam koordinat silinder (x,y,z) dinyatakan dalam

Sedangkan hubungan kebalikannya dinyatakan

dengan

KOORDINAT SILINDER

Kita bayangkan kembali sebuah titik P yang berada

pada jarak r dari titik pusat O, seperti terlihat pada

gambar berikut

KOORDINAT POLAR BOLA

Koordinat polar bola dari

titik P dalam ruang

Koordinat kartesian dari titik P adalah (x,y,z),

sementara dalam koordinat polar bola (r,θ, ).

Untuk menemukan hubungan antara dua koordinat

tersebut, kita nyatakan OP = r menjadi dua

komponen PM dan OM

selanjutnya OM dinyatakan dalam dua komponen

OA dan OB, sehingga

KOORDINAT POLAR BOLA

Sehingga didapatkan hubungan

Hubungan kebalikannya didapatkan sebagai berikut

KOORDINAT POLAR BOLA

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Seperti yang telah kita ketahui, dalam kinematika

dipelajari gerak tanpa memperhatikan gaya yang

menyebabkannya. Sehingga pada bab ini kita

hanya meninjau posisi, kecepatan, dan percepatan

dalam dua dan tiga dimensi.

Posisi partikel dalam bidang XY dapat digambarkan

dalam koordinat (x,y), atau dapat digambarkan

dalam bentuk vektor posisi r = (x,y). Gerak titik P

pada bidang XY dapat digambarkan dengan

menyatakan y sebagai fungsi x atau sebaliknya.

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Atau akan lebih baik menyatakan persamaan tersebut dalam

bentuk relasi antara x dan y, misalnya

Sebagai contoh partikel bergerak dalam bentuk lingkaran dapat

digambarkan dengan persamaan

Dengan a adalah jari-jari lingkaran.

Cara yang biasa dipakai untuk merepresentasikan

jejak partikel adalah dalam bentuk bagian dari

parameter misalnya s, sehingga

Secara umum, jika partikel bergerak dalam bidang

XY gerakannya digambarkan oleh

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Dengan waktu t merupakan parameter dalam hal

ini. Kita dapat menulis vektor posisi r, dalam bentuk

unit vektor

Kecepatan dan percepatan partikel dan komponen-

komponennya adalah

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Gerak tiga dimensinya dinyatakan oleh

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT KARTESIAN

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Dalam banyak situasi, lebih cocok menggunakan

koordinat polar (r,θ) daripada koordinat kartesian

(x,y) untuk menggambarkan gerak sebuah partikel.

Hubungan antara dua koordinat tersebut adalah

Hubungan kebalikannya

Jarak r diukur dari titik pusat O sedangkan θ dari

sumbu x berlawanan arah jarum jam vektor satuan

î dan ĵ dalam koordinat kartesian ditunjukkan oleh

gambar. Sekarang kita definisikan dua vektor

satuan dalam koordinat polar, yang saling tegak

lurus satu sama lain yaitu rˆ yang menunjukkan titik

P dalam arah pertambahan sepanjang r dan θˆ

dalam arah pertambahan θ.

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Vektor satuan rˆ dan θˆ dalam koordinat polar

Vektor satuan rˆ dan θˆ dengan vektor satuan î dan

ĵ dihubungkan dengan sebuah relasi

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Hubungan antara vektor

satuan (rˆ,θˆ) dan (î,ĵ)

Kita diferensialkan persamaan tadi terhadap θ

Sehingga kita peroleh

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Kecepatan v

Karena

Kita dapat menulis

Sehingga

Kita dapat mengidentifikasi

vr adalah komponen kecepatan sepanjang rˆ, yang

disebut kecepatan radial sedangkan vθ adalah

komponen kecepatan sepanjang θˆ yang disebut

kecepatan angular .

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

Percepatan partikel dinyatakan oleh

Sehingga

Terdapat dua komponen percepatan yaitu radial

dan angular

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR

KINEMATIKA DALAM KOORDINAT POLAR