UNIVERSIDADE ANHANGUERA-UNIDERP

CENTRO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (CEAD)

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Andre Luiz Souza de Azevedo RA

423898

Douglas dos Santos Francisco RA

431530

Marcelo Pereira da Silva Tanaka RA 426273

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Manoel Domingues da Costa RA

421690

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Tecnologias de Gestão em Logística

“Matemática”

Turma N 10 – 2º Semestre

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Relatório apresentado como atividade avaliativa da

disciplina de Tecnologias de Gestão do Curso de Logística do

Centro de Educação a Distância da Universidade Anhanguera-

Uniderp, sob a orientação da professora á distância (EAD)

Prof. Ivonete Melo de Carvalho e tutora presencial Marisa

Gomes de Oliveira.

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Pilar do Sul/ SP

Outubro de 2013

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Introdução

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Nesta atividade avaliativa de matemática iremos

demonstrar no decorrer deste trabalho as competências e

habilidades desenvolvidas ao longo desta disciplina, assim

demonstrando como desenvolver o raciocínio lógico e analítico,

colocando em prática as técnicas de funções bem como

utilizando de normas para interpretar e resolver determinada

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situação com regras e formulas matemáticas que envolvem essa

matéria tão temida pelas pessoas.

A matemática que para muitos se torna algo assustador é

apenas mais uma ferramenta para facilitar a vida do ser

humano, e a seguir veremos um pouco mais sobre as ferramentas

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anteriormente citadas e como as utilizamos em nossa vida sem

que tomemos idéia de seu uso e importância.

O conceito de função tem origem no termo latim função, a

palavra pode ser aplicada em diversos âmbitos e adaptar

significado diferente consoante o contexto.

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Apresentaremos alguns tipos de situações aos quais as

regras de funções se enquadram e chegam ao resultado de forma

lógica e satisfatória.

Apresentaremos também um pouco do conceito de função, bem

como os tipos e formulas para que se posa identificar as

funções de 1º e 2º grau, bem como algumas normas de função

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exponencial, finalizando com um conceito básico de derivada e

suas variações.

As funções matemáticas representam uma ferramenta de

grande utilidade no cotidiano administrativo, e mesmo a quem

não se dedica a tal situação, visto que está constantemente

presente em nosso dia a dia.

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Vamos abordar uma matemática de forma simples e objetiva

deixando de lado o dilema de que para muitos a matemática é

um obstáculo gigantesco e assustador, e sim a colocando como

mais uma ferramenta favorável e com intuito de facilitar a

vida do ser humano.

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CONCEITO DE FUNÇÃO

“Uma função é uma maneira de associar a cada valor do

argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito

especificando através de uma fórmula um relacionamento

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gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou

uma regra de associação, mesmo uma tabela de correspondência

pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum

imaginarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos

relacionados pela função determina um ponto nesta

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representação, a restrição de unicidade da imagem implica em

um único ponto.

O termo função foi usado pela primeira vez em 1637 por

Descartes; no entanto, seu uso mais generalizado foi definido

em 1829 pelo alemão Peter Dirichlet: uma função é uma variável

y, chamada variável dependente, cujos valores são fixados ou

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determinados de acordo com os valores que se atribuam à

variável independente x. A formulação da teoria de conjuntos

alterou bastante o conceito de função. Uma função é hoje em

dia definida como um conjunto de pares ordenados de elementos

de dois conjuntos e se escreve X ? Y.

Função do 1° Grau

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Toda função é definida por uma lei de formação, no caso

de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y

= ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. Esse tipo de

função deve ser dos Reais para os Reais. A representação

gráfica de uma função do 1º grau é uma reta.

Exemplos de funções:

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Função Crescente

De acordo com o aumento dos valores em X, os valores

correspondentes a Y também aumentam.

Função Decrescente

De acordo com o aumento dos valores de X, os valores

correspondentes de Y diminuem.

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Função Superiormente Limitada

Existe um crescimento correspondente a X e Y, após certo

ponto este crescimento se estabiliza.

Função Inferiormente Limitada

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Valores sofrem uma queda, após certo ponto esta queda

estabiliza, limitando uma base máxima de queda, não

ultrapassando este valor.

As funções estão sempre presentes em nosso dia a dia, e

entramos em contato e resolvemos tais equações em certas

ocasiões sem ao menos perceber.

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Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log2x

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f(x) = log3xf(x) = log1/2xf(x) = log10xf(x) = log1/3xf(x) = log4xf(x) = log2(x – 1)f(x) = log0,5x

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Exemplos:

a) f(x) = log3 x

b) g(x) = log1/3 x

Gráficos da função logarítmica

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Quando nos deparamos com logaritmos  em grande parte estudamos os logaritmos decimais que são logaritmos cuja base é  representada pelo número 10 – que normalmente oculta-se o mesmo em sua representação. Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é  um número irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..). Matematicamente representamos o logaritmo natural por;

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Ln(x) = logex

Portanto, algumas conseqüências de sua definição podem ser representadas:

Ln 1 = 0 Ln e =  1 Ln e n = n

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Também podemos listar aqui suas propriedades operacionaisimportantes.

1. Logaritmo natural de um produto

ln (x · y) = ln x + ln y

2. Logaritmo natural de um quociente

(Ln x) / (ln y) = ln x – ln yPágina 29 de 101

3. Logaritmo natural de uma potência

ln x n = x

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Propriedades Algébricas

Logaritmos trocam números por expoentes. Mantendo-se a mesma base, é possível tornar algumas poucas operações mais fáceis:

Operação com números

Operação com expoentes

Identidade logarítmica

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Demonstração

Sendo e

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substituindo as variáveis;

pela propriedade das funções exponenciais

visto que utilizando a mesma

propriedade;

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voltando a substituir pelas variáveis iniciais;

Provando assim que

Antes da calculadora eletrônica, isto fazia com que operações difíceis de dois números fossem muito mais fáceis. Simplesmente se achavam os logaritmos dos dois números (multiplique e divida) ou o primeiro número (potência ou raiz,

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onde um número já é um expoente) em uma tabela de logaritmos comuns, realizava-se uma operação mais simples neles, e se encontrava o resultado numa tabela. Réguas de cálculo realizavam as mesmas operações usando logaritmos, mas mais rapidamente e com menor precisão do que usando tabelas. Outrasferramentas para realizar multiplicações antes da invenção da calculadora incluem ossos de Napier e calculadoras mecânicas.

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Na álgebra abstrata, esta propriedade das funções logarítmicas pode ser resumida observando-se que qualquer uma delas com uma base fixa é um isomorfismo do grupo de números reais estritamente positivos sobre a multiplicação para o grupo de todos os números reais sobre a adição.

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1) Uma empresa do ramo agrícola tem o custo para a

produção de q unidades de um determinado insumo

descrito por C(q) = 3q + 60. Com base nisso:

a) Determinar o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15

e 20 unidades deste insumo.

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C(q) = 3q+60

C= 3*0+60

C= 0+60

C=60

O custo para a produção de 0 unidade é = 60

C(q) = 3q+60

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C= 3*5+60

C= 15+60

C=75

O custo para a produção de 5 unidade é = 75

C(q) = 3q+60

C= 3*10+60

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C= 30+60

C=90

O custo para a produção de 10 unidades é =90

C(q) = 3q+60

C= 3*15+60

C= 45+60

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C=105

O custo para a produção de 15 unidades é = 105

C(q) = 3q+60

C= 3*20+60

C=60+60

C=120

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O custo para a produção de 20 unidades é = 120

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b) Esboçar o gráfico da função.

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c) Qual é o significado do valor encontrado para C

quando q=0?

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C=60 onde 60 é o custo fixo.

d) A função é crescente ou decrescente? Justificar.

R: A função é crescente pois quanto mais se produzir

maior será o custo, apesar de haver uma proporção menor do

custo por item produzido em maior quantidade.

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e) A função é limitada superiormente? Justificar.

Não, pois quanto maior a produção maior será o custo.

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Formula= E=t²-8t+210

Janeiro:

E=t²-8t+210

Julho:

E=t²-8*t+210

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E=0²-8*0+210

E= 0+210

E=210 Kwh

E=6²-8*6+210

E= 36-48+210

E=198 Kwh

Fevereiro:

E=t²-8t+210

Agosto:

E=t²-8*t+210

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E=1²-8*1+210

E= 1-8+210

E=203 Kwh

E=7²-8*7+210

E= 49-56+210

E=203 Kwh

Março:

E=t²-8t+210

Setembro:

E=t²-8*t+210

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E=2²-8*2+210

E= 4-16+210

E=198 Kwh

E=8²-8*8+210

E= 64-64+210

E=210 Kwh

Abril:

E=t²-8t+210

Outubro:

E=t²-8*t+210

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E=3²-8*3+210

E= 9-24+210

E=195 Kwh

E=9²-8*9+210

E= 81-72+210

E=219 Kwh

Maio: Novembro:

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E=t²-8*t+210

E=4²-8*4+210

E= 16-32+210

E=194 Kwh

E=t²-8*t+210

E=10²-8*10+210

E= 100-80+210

E=230 Kwh

Junho: Dezembro:

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E=t²-8*t+210

E=5²-8*5+210

E= 25-40+210

E=195 Kwh

E=t²-8*t+210

E=11²-8*11+210

E= 121-88+210

E=243 Kwh

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a) Determinar o (s) mês (s) em que o consumo foi de 195

KWH.

R: Os meses em que o consumo foi de 195KWH foram Abril e

Junho.

b) Determinar o consumo médio para o primeiro ano.

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O consumo médio foi de 208,1666666666667 Kwh Mês

c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboçar

o gráfico de E.

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d) Qual foi o mês de maior consumo? De quanto foi esse

consumo?

R: O mês de maior consumo foi Dezembro com 243Kwh

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e) Qual foi o mês de menor consumo? De quanto foi esse

consumo?

R: O mês de menor consumo foi Maio com 194Kwh

Função exponencial

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Podemos dizer que uma função exponencial é aquela função,

que quando a variável se encontra no expoente de um numero

real.

E sendo que este número precisa ser maior que zero e

também diferente de um.

Alguns exemplos de função exponencial:

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Y= 2 x

Y = 3 x + 4

Y = 0,5 x

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A função exponencial é caracterizada por um crescimento e

decrescimento muito rápido, por isto ela é muito utilizada por

outras matérias correlacionadas com cálculos, como química,

física, etc.

Ela serve para demonstrar o crescimento de um capital

aplicado a uma determinada taxa de juros.

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Temos como as características principais o gráfico tem

sempre uma curva suave, está função exponencial é considerada

uma importante ferramenta para a matemática, está função

abrange diversas situações, do cotidiano das pessoas e

contribui para um resultado satisfatório, na obtenção do

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resultado que precisem de uma análise quantitativa e

qualitativa, etc.

Exemplo de gráfico exponencial:

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Para a > 1; a função é crescente.

Para 0 < a < 1; a função é decrescente.

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1º DIA

Q(t)= 250*(0,6)ᵗ

Q*(1)=250* (0.6)¹

Q= 150

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2º DIA

Q(t)= 250*(0,6)ᵗ

Q*(2)=250* (0.6)²

Q2= 90

3º DIA

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Q(3)= 250*(0,6)³

Q3=250* (0.6)

Q3= 250* 0,216

Q3= 54

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a) A quantidade inicial administrada.

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R: 250mg.

b) A taxa de decaimento diária.

R: 0,6 = 60, por dia.

c) A quantidade de insumo presente 3 dias após a

aplicação.

R: 250*(0,6)³ = 250*0,216 = 54mg.

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d) O tempo necessário para que seja completamente

eliminado.

R: Ele nunca será completamente eliminado, por ser uma

função exponencial.

DERIVADAS

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CONCEITOS INICIAIS

Há muito tempo estudiosos e Matemáticos tentaram

desvendar o conceito de funções variáveis e descreveram em

suas teses formulas e regras para se alcançar os resultados de

forma lógica e satisfatória.

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Galileu descreveu “A LINGUAGEM DO MOVIMENTO” ao

descrever pela primeira vez uma função que relacionava o

espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a

necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas.

Derivadas A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea

em qualquer fenômeno que envolva funções. Mas, quando se trata

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de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente

precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu

origem ao estudo das derivadas.

Ainda tentou demonstrar com a “ LEI DA QUEDA DOS CORPOS”

que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na

falta deum instrumento matemático – as derivadas. Quem foi Página 75 de 101

capaz de completar a tarefa de Galileu?...Isaac Newton e W.G.

Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que

originou uma forte disputa entre eles. Sir Isaac Newton

Gottfried Wilhelmvon Leibniz (Woolsthorpe, 4 de Janeiro

de(Leipzig, 1 de julho 1643 — Londres,de 1646 — Hanôver, 31 de

Março de14 de Novembro de 1727)1716)

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Newton e Leibniz iniciaram a“ LINGUAGEM DO MOVIMENTO” com

o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos

fenômenos físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram

as portas ao espetacular desenvolvimento científico e

tecnológico que transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais

que em toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha

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cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo com a

Matemática.() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a

algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo

durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas

relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na

correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns

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indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo

com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de

plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida

pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado

pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia

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terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter

desfeito o coração de Leibniz”.

. Portanto se uma função é representada graficamente por

uma reta(função afim) facilmente sabemos com que velocidade

varia essa função. Corresponde, é claro, ao declive da reta

representativa da função. y f(b) f(b) - f(a) ∆y α f(a) b–a f (Página 80 de 101

b) − f ( a) ∆x tmv = tgα = =m 14 4 −a 3 b244 taxa média V ∆y y

de variação V ∆x x O a b x

E... se o gráfico da função não for uma reta? Com que

velocidade (rapidez) varia essa função? O que o Matemáticos se

lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta

e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o resto é História e Página 81 de 101

o estudo das Derivadas… y f(b) f ( b) − f ( a) tmv = =m 4− a 3

b 14 244 V ∆y y V ∆x x f(b) - f(a) ∆y f(a) b–a O a ∆x b x

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TABELA COM REGRAS DE DERIVADAS

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Derivadas essenciais:

Regra nº 1: (k' = 0) - Derivada de uma constante:

Segundo a regra assume-se k como sendo uma constante,

simplificando; uma constante é um número qualquer (pertencente

a qualquer dos conjuntos de números).

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Regra nº 2: (x' = 1) - Derivada de x:

Assume-se x como a variável de uma função; em uma função

a variável poderá ser definida por outra letra qualquer

normalmente é usada a letra x.

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Regra nº 3: (k . x' = k) - Derivada de uma constante multiplicada por x:

A derivada da multiplicação entre uma constante e a váriavel x

é igual a própria constante como se pode verificar no exemplo

abaixo onde é utilizada a regra nº 7 (derivada da

multiplicação). 

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Nota:  Atenção aos casos em que x apresenta um grau maior

que 1 quando assim for a regra a utilizar será a regra nº4.

Regra nº 9: (k' = 0) - Derivada da potência de base x:

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Alpha é igual ao grau da função derivada, repare que o

grau da potência decrescence sempre em -1 relativamente a

potência inicial.

Em todo calculo matemático é necessário ter a noção

teórica de cada tema, em se tratando de derivadas, não é

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diferente. Derivada é a definição que representa a taxa ou

ponto de variação de uma determinada função.

Derivada, bem descrita indica ou aponta de onde provêm

uma função qualquer ou o que lhe deu a origem ou mesmo de onde

ela deriva.

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Temos algumas regras de derivação os quais bem aplicadas

em cálculos, de uma forma escolhida conforme a interpretação

que lhe foi atribuída, resultando em termos satisfatórios para

resolução de problemas e questões.

Relatório final

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As funções matemáticas representam uma ferramenta de

grande utilidade no cotidiano administrativo, e mesmo a quem

não se dedica a tal situação, visto que está constantemente

presente em nosso dia a dia.

A função está sempre presente em nossa vida, ainda que

não a percebamos.

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As funções e suas representações gráficas são em geral

utilizadas para facilitar a visualização e o conhecimento de

certas informações, que de outra forma poderiam se mostrar

muito implícitas, algo totalmente oposto quanto à facilidade

de entendimento ao visualizar um gráfico corretamente

aplicado.

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Quem nunca se deparou com as constantes formulas e

atividades matemáticas que nossa rotina nos envolve. Na

Matemática, o conceito de função é inteiramente ligado às

questões de dependência entre duas grandezas variáveis. Toda

função possui uma lei de formação algébrica que relaciona dois

ou mais conjuntos através de cálculos matemáticos. Dizemos que

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para toda função temos um conjunto denominado domínio e sua

respectiva imagem.

A matemática que para muitos se torna algo assustador é

apenas mais uma ferramenta para facilitar a vida do ser

humano, e a seguir veremos um pouco mais sobre as ferramentas

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anteriormente citadas e como as utilizamos em nossa vida sem

que tomemos idéia de seu uso e importância.

O conceito de derivada está intimamente relacionado à

taxa de variação Instantânea de uma função, o qual está

presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da

determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da

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taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da

mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da

velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim,

poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que presentam uma função

variando e que a medida desta variação se faz necessária em um

determinado momento, mas estaríamos somente acrescentando mais

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um motivo para provar da importância desses temas na realidade

de nosso cotidiano.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php

http://aprendermmatematica.blogspot.com.br/p/derivadas.html

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_%28matem

%C3%A1tica%29

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_derivadas

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Livro texto da diciplina:

Murolo, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácono A. Matemática

Aplicada à Administração Economia e Contabilidade 2. Ed. São

Paulo: Cengage Learning, 2012.PLT622

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