Modellierung und numerische Simulation der Thermoregulation von Früh- und Neugeborenen

Math. Semesterber. (2006) 53: 184–209DOI 10.1007/s00591-006-0004-9

F O R S C H U N G , L E H R E U N D A N W E N D U N G

Michael Breuß · Andreas Meister ·Thomas Sonar

Modellierung und numerische Simulationder Thermoregulation von Früh- undNeugeborenen

Eingegangen: 9. September 2005 / Angenommen: 9. März 2006 / Online: 26. Juli 2006© Springer-Verlag 2006

Zusammenfassung Bei frühgeborenen Säuglingen spielt die Thermoregulationzur Aufrechterhaltung einer überlebenswichtigen Körpertemperatur durch Wär-meproduktion, -abgabe bzw. -aufnahme eine entscheidende Rolle. Der Einsatzmoderner Inkubatoren soll die körpereigenen Thermoregulatoren unterstützen, undes ist im Hinblick auf verschiedene medizinische Fragestellungen wünschenswert,diesen Prozess modellieren zu können. Wir stellen ein einfaches Modell auf derBasis von partiellen Differentialgleichungen vor und beschreiben detailliert dienumerische Simulation mit Hilfe einer Finite-Volumen-Methode. Dazu wird einzweidimensionales Modell eines Frühgeborenen trianguliert und das Modell dis-kretisiert. Zahlreiche numerische Resultate zeigen die Qualität unseres Modells.

Schlüsselwörter Thermoregulation · Finite-Volumen-Verfahren · Wärmelei-tungsgleichung · Frühgeborene

Mathematics Subject Classification (2000) 35K05 · 92C50

M. Breuß (B)Universität des Saarlandes, Fakultät für Mathematik und Informatik, Gebäude E11, D-66041Saarbrücken, DeutschlandE-mail: [email protected]

A. MeisterFachbereich für Mathematik und Informatik, AG Analysis und Angewandte Mathematik, Uni-versität Kassel, Heinrich Plett Str. 40 (AVZ), D-34132 Kassel, DeutschlandE-mail: [email protected]

T. SonarTU Braunschweig, Carl-Friedrich-Gauß-Fakultät für Mathematik und Informatik, Computatio-nal Mathematics, Pockelsstraße 14, D-38106 Braunschweig, DeutschlandE-mail: [email protected]

Thermoregulation von Früh- und Neugeborenen 185

1 Einleitung

Der Begriff Thermoregulation bezeichnet die Fähigkeit eines Organismus, die Kör-pertemperatur in einem günstigen Bereich aufrechtzuhalten, indem Wärmeabgabeund Wärmeproduktion den äußeren Umständen angepasst werden. Die Thermo-regulation des menschlichen Körpers stellt seit Jahrzehnten ein aktives Forschungs-gebiet dar. Der Grund dafür sind vielfältige Anwendungen, etwa bei Fragen derArbeitssicherheit, in denen es um die Auswirkungen äußerer Einflüsse auf die Leis-tungsfähigkeit und Funktionstüchtigkeit des menschlichen Körpers geht, z.B. imZusammenhang mit Schutzkleidung für Feuerwehrleute, Frostschutzkleidung oderder Auswirkung längerer Arbeitszeit an Hochöfen, siehe etwa [27] für eine nützli-che Übersicht. Weitere interessante Quellen zum Themengebiet Thermoregulationsind insbesondere [23,26].

Modelle menschlicher Thermoregulation beinhalten zwei verschiedene Antei-le, ein aktives System sowie ein passives System [15]. Der Grund für diese Unter-scheidung ist, dass das aktive System über das passive System eine kontrollierendeFunktion ausübt.

Das aktive System besteht aus den Regulationsmechanismen Kältezittern, Va-somotorik und Schweißbildung [10]. Das Kältezittern ist für die Thermoregu-lation von Erwachsenen relevant und bezeichnet die Wärmeproduktion in denmit dem Skelett verbundenen Muskeln unter deren aktiver Betätigung. Bei Früh-und Neugeborenen spielt das Kältezittern dagegen eine untergeordnete Rolle, dadiese im sogenannten braunen Fettgewebe die Möglichkeit der zitterfreien Wär-mebildung besitzen und das Kältezittern weitgehend unterdrückt wird [6]. DieVasomotorik regelt durch Verengung (Vasokonstriktion) oder Erweiterung (Vaso-dilatation) der Blutgefäße nahe der Körperoberfläche die Hautdurchblutung, durchdie mit Hilfe des Bluttransports der Wärmeaustausch mit der Umgebung gesteu-ert wird. Das in dieser Arbeit umgesetzte Modell der Vasomotorik stützt sichauf die Untersuchungen in [7]; der Effekt der Vasomotorik wird durch gezielteVeränderung der Hautdurchblutungsrate gesteuert. Die Schweißbildung schließ-lich regelt insbesondere die Wärmeabgabe. Bei Frühgeborenen spielt Schweiß-bildung noch keine Rolle [7,24], zumal wir bei Betrachtungen des Inkubators(s.u.) von einem deutlichen Überhitzen der Früh- und Neugeborenen absehenkönnen.

Das passive System besteht aus dem Körper und dessen Eigenschaften,wie z.B. innere Wärmeleitung oder die Größe der Hautoberfläche, sowie ausden inneren Wärmebildungs- und Übertragungsprozessen, wie etwa die Wärme-produktion in inneren Organen und die Durchblutung. Auch hier ergeben sichgroße Unterschiede zwischen Erwachsenen und Früh- bzw. Neugeborenen [7].So spielt die Wärmeleitung über die Körperoberfläche im letzteren Fall einegrößere Rolle, da das Oberflächen-Volumen-Verhältnis etwa um den Faktordrei größer ist als bei Erwachsenen. Desweiteren besitzen früh- und neu-geborene Kinder im Vergleich zu Erwachsenen eine dünnere Haut sowie einedünnere isolierende Fettschicht. Die Unterschiede in der Zusammensetzung desKörpers bedingen im Vergleich zu Erwachsenen höhere innere Wärmeleitwerte.Hinzu kommt insbesondere bei Frühgeborenen eine fehlende thermischeReife [5]: Der Körper reagiert auf eine Abkühlung nicht mit einer entsprechen-den Steigerungsrate der Wärmeproduktion, so dass Frühgeborene zu Unterkühlungneigen.

186 M. Breuß et al.

Zusammenfassend ist festzuhalten, dass sich sowohl bezüglich des aktiven Sys-tems als auch bezüglich des passiven Systems erhebliche Unterschiede zwischenErwachsenen und Früh- bzw. Neugeborenen ergeben.

Ein wesentliches Ziel der Therapie Frühgeborener besteht darin, Folgeschädender frühen Geburt zu minimieren und somit die Voraussetzungen für ein späteresLeben ohne körperliche oder geistige Einschränkungen zu schaffen. Die Möglich-keit einer erfolgreichen Behandlung ist eng mit der Entwicklung und Verbesserungmedizintechnischer Geräte verknüpft, wie etwa von Beatmungsgeräten, Monito-ringsystemen, Infusions- und Wärmetherapiegeräten.

Von besonderem Interesse im Zusammenhang mit dieser Arbeit sind Inkubato-ren, die zu den Wärmetherapiegeräten zählen und die insbesondere Frühgeboreneneine optimale Umgebung für Reifung und Wachstum bieten sollen. Die Wärme-therapie ist, wie bereits angedeutet, für Frühgeborene sehr wichtig, da diese imVergleich zu Erwachsenen oder reifen Neugeborenen eine wärmere Umgebungs-temperatur benötigen, um die Körpertemperatur konstant halten zu können [24].Zudem können in einem Inkubator weitere Umwelteinflüsse wie Luftfeuchtig-keit, -temperatur und -strömung kontrolliert werden, die für die Thermoregulationbzw. für den Flüssigkeitshaushalt des Frühchens eine Rolle spielen [7]. Da dieEmpfindlichkeit des Kindes gegenüber Umwelteinflüssen individuellen Unter-schieden unterliegt und sich zudem derjenige Bereich des Umgebungsklimas mitzunehmender Reife ändert, in dem das Kind ohne durch Umwelteinflüsse bela-stet zu werden selbständig die Körpertemperatur aufrechterhalten kann, stellt dieoptimale Steuerung der Gegebenheiten in einem Inkubator, etwa unter Zuhilfe-nahme von Daten aus Hauttemperatursensoren, eine komplexe und anspruchsvolleAufgabe dar. Ein Ziel der numerischen Simulation der Thermoregulation ist, einHilfsmittel für die Entwicklung und Verbesserung von Temperaturreglern vor demBeginn klinischer Tests bereitzustellen.

Jedoch ist nicht nur die Erschaffung einer optimalen Umgebung ein wichti-ger Aspekt bei der Therapie Frühgeborener. Ein Hauptgrund für spätere Behin-derungen sind Gehirnschädigungen durch Hypoxie, d.h. aufgrund von Sauerstoff-unterversorgung des Gehirngewebes [17]. Eine Hypoxie kann bei Neu- und vorallem bei Frühgeborenen vor oder während der Geburt auftreten, meist in Folgeeines asphyktischen Anfalls, d.h. bei Atemstillstand oder einer Einschränkung derAtmung und Sauerstoffversorgung. Speziell bei sogenannten Steißlagengeburtenkann es im Zuge der Geburtsphase zu einem Abklemmen der Nabelschnur im Ge-burtskanal aufgrund der simultanen Präsenz von Nabelschnur und Kopf kommen.Die hierdurch hervorgerufene drastische Reduktion des Sauerstoffzuflusses stellteine weitere mögliche Ursache einer Hypoxie dar.

Experimentelle Studien haben gezeigt, dass derartige Schädigungen des Ge-hirngewebes nicht spontan auftreten, sondern sich über einen Zeitraum von meh-reren Tagen entwickeln [13]. Der Umfang der Schädigungen des Gewebes ist da-bei im wesentlichen von der Gewebetemperatur abhängig [8]; eine Absenkungder Gewebetemperatur um 2–3 K 1 verhindert schwerwiegende Schädigungen. Es

1 Nach dem internationalen Einheitensystem, auch SI für Système International d’Unités ge-nannt, ist es üblich, Temperaturdifferenzen in K (für Kelvin) anzugeben. Temperaturdifferenzenkönnen im Prinzip auch in Grad Celsius angegeben werden, das den gleichen Skalenabstand auf-weist wie die Kelvin-Skala. Der Nullpunkt der Celsius-Skala bezieht sich auf den Gefrierpunktvon Wasser beim Normaldruck, d.h. auf den mittleren Luftdruck auf Meereshöhe, während derNullpunkt der Kelvin-Skala beim absoluten Nullpunkt liegt, d.h. bei −273,16◦C . In Deutsch-


ergibt sich die Frage, ob es möglich ist, etwa mittels eines Kühlungshelms ge-zielt die Temperatur des Gehirngewebes zu senken, um auf diese Weise Hirn-schädigungen zu verhindern, ohne dabei andere Körperkompartimente zu unter-kühlen.

An dieser Stelle sei noch einmal auf die Unterschiede zwischen der Thermore-gulation von Erwachsenen einerseits und früh- bzw. neugeborenen Kindern ande-rerseits hingewiesen. Bei Erwachsenen ist die Idee der Nutzung eines derartigenKühlungshelmes redundant: Der Körper würde in einem der Kühlung entspre-chenden Maße Wärme produzieren. Im Extremfall würden bei intensiver Küh-lung Körperfunktionen, die nicht überlebensnotwendig sind, abgeschaltet werden,um die Gehirntemperatur zu erhalten. Im Zusammenhang mit Früh- und Neu-geborenen sind die körperlichen Voraussetzungen im Hinblick auf die besagteFragestellung völlig anders. Zum einen ergibt sich durch die andere Körpergeo-metrie sowie durch eine andere Körperzusammensetzung eine erhöhte Empfind-lichkeit gegenüber äusseren Kühlungseinflüssen. Zum anderen fehlt insbesondereden Frühgeborenen die bei den Erwachsenen voll ausgebildete thermische Rei-fe. Aufgrund der Kombination dieser Eigenschaften ist die besagte Fragestellungsinnvoll.

Da es aufgrund technischer Beschränkungen und ethischer Aspekte nicht mög-lich ist, die Temperatur im Gehirn mit hinreichender Genauigkeit zu messen [7],gehen wir dieser Frage mit Hilfe eines zu entwickelnden mathematischen Modellsnach. In diesem Zusammenhang sei ebenfalls angemerkt, dass aus medizinischerSicht die Wechselwirkung der an der Thermoregulation beteiligten Prozesse nichtso gut verstanden ist, dass man auf Erfahrungswerte zurückgreifen kann. DieseTatsache spricht ebenfalls für den Einsatz eines mathematischen Modells, in demdie bekannten Teilaspekte vereint sind.

Das Modell besteht letztlich aus einer sich ergebenden speziellen Bio-Wärme-leitungsgleichung, die die Wärmeverteilung im idealisierten Körper eines Früh-oder Neugeborenen beschreibt. Zur Berechung der Wärmeverteilung wird der idea-lisierte Körper hinreichend fein in Rechenzellen aufgeteilt. Je nach deren Lage imKörper ergeben sich auf diesen Rechenzellen entsprechend der Wärmeproduktionin inneren Organen sowie entsprechend der Durchblutung Wärmequellen. Zusätz-lich liegen durch die Wärmeleitungseigenschaften der Körpergewebe Wärmeflüssezwischen den Rechenzellen vor. Die Auswertung dieser Einflüsse, die alle durchdie modellierte Wärmeleitungsgleichung beschrieben werden, geschieht mit Hil-fe eines Finite-Volumen-Verfahrens, das im entprechenden Abschnitt vorgestelltwird, wobei die „finiten Volumen“ den Rechenzellen entsprechen. Da insbeson-dere Situationen von Interesse sind, in denen der Zustand des Frühchens bzw. desNeugeborenen im thermischen Sinne stabil ist, betrachten wir zeitlich stationäreZustände der Wärmeverteilung.

Der Inhalt dieser Arbeit gliedert sich wie folgt. Die detaillierte Beschreibungder Modellierung der Thermoregulation von Früh- und Neugeborenen befindet sichim ersten Abschnitt. Das numerische Verfahren wird im darauffolgenden Abschnittbeschrieben, gefolgt von der Darstellung verschiedener Simulationsergebnisse so-wie deren Diskussion. Zum Abschluss der Arbeit erfolgen eine Zusammenfassungsowie Danksagungen.

land und den meisten anderen Staaten ist die Benutzung des SI im amtlichen oder geschäftlichenSchriftverkehr gesetzlich vorgeschrieben.


2 Modellbildung

Zu Beginn der Modellbildung ist darzulegen, was von dem Modell erwartet wird.

– Das Modell soll bei selektiver Kühlung des Kopfes eine Aussage über dieTemperaturverteilung im gesamten Körper sowie insbesondere eine detaillierteDarstellung der Temperaturverteilung im Kopf liefern.

– Das Modell soll die bekannten thermoregulatorischen Mechanismen enthalten.– Das Modell muss, da im klinischen Bereich Frühgeborene unterschiedlicher

Schwangerschaftsdauern behandelt werden sollen, die thermische Reife be-rücksichtigen.

In der Fachliteratur, siehe [23,26,27], gibt es im wesentlichen drei Modelltypen,die im Zusammenhang mit mathematischen Beschreibungen der ThermoregulationVerwendung finden:

1. Kern-Schale-Modelle,2. Segment- und Zylindermodelle,3. Mehrdimensionale Modelle.

Kern-Schale-Modelle enthalten als wesentliche Komponenten eine Kerntempera-tur, während der Wärmeaustausch mit der Umgebung sowie physiologische Aspek-te mit Hilfe einer Schale rund um den Kern modelliert werden. Der Körper wirddabei durch eine simple Geometrie wie z.B. einen Zylinder dargestellt, der in Kernund Schale aufgeteilt ist. Diese Modelle ergeben lediglich Durchschnittstempera-turen für Kern und Schale des ganzen Körpers.

Segment- und Zylindermodelle modellieren typischerweise verschiedene Kör-persegmente, d.h. Kopf, Rumpf und Gliedmaßen, durch unverbundene einfachegeometrische Objekte, typischerweise durch Zylinder. Daraus ergibt sich zunächstdie Konsequenz, dass Wärmeleitung über das Gewebe zwischen den Segmentennicht stattfindet; der Wärmeaustausch zwischen den Körpersegmenten geschiehtbei diesen Modellen ausschließlich über den Blutfluss. Diese Herangehensweise istauf der Modellierungsebene durchaus adäquat, da der Wärmeaustausch durch denBlutfluss dominant gegenüber der Wärmeleitung durch das Gewebe ist. Segment-und Zylindermodelle sind ähnlich wie Kern-Schale-Modelle jedoch lediglich dar-auf ausgelegt, Durchschnittstemperaturen für Kern und Schale jedes Körperseg-mentes anzugeben.

Eine Weiterentwicklung der Segment- und Zylindermodelle ist das Modell vonBußmann [7]. Dieses Modell beinhaltet – neben Modellen für wesentliche Ther-moregulatoren und Blutfluss – Segmente für Kopf, Rumpf und Glieder, für die imBußmann-Modell zusätzlich die Möglichkeit von radialen Temperaturvariationeninnerhalb der Körpersegmente gegeben ist. Dabei werden radiale Durchschnitts-werte benutzt, d.h. allen Punkten im gleichen radialen Abstand von den Achsender Segmente wird die gleiche Temperatur zugeordnet. Für unsere Bedürfnisseist dieses Modell jedoch ebenfalls nicht ausreichend, da es lokal unterschiedlichethermische Randbedingungen, die sich durch das Anlegen eines Kühlungshelmsergeben, sowie lokale Gewebeeigenschaften, wie etwa im Kopfbereich durch denlokal sehr unterschiedlichen Knochenanteil, nicht berücksichtigt.

Eine adäquate Berücksichtigung lokal verschiedener thermischer Randbeding-ungen und Gewebeeigenschaften sowie die insbesondere im Hals- und Kopfbereichmöglicherweise doch ausschlaggebende Wirkung der Wärmeleitung des Gewebes


lässt sich nur in einem mehrdimensionalen Modell realisieren. Das erste mehr-dimensionale Modell der Thermoregulation von Früh- und Neugeborenen, dasden genannten Anforderungen entspricht, wurde in [11,12,16] entwickelt und in[1,2,3,4] untersucht und erweitert. In diesem Abschnitt stellen wir bis auf dieRealisierung durch das numerische Verfahren die einzelnen Modellkomponentenvor.

2.1 Die Bio-Wärmeleitungsgleichung

In diesem Abschnitt diskutieren wir die sogenannte Bio-Wärmeleitungsgleichung,die der Berechnung der Temperaturverteilung im Körper des Früh- bzw. Neuge-borenen zugrundeliegt:

c(x)ρ(x)∂T

∂ t(x, t) = ∇x · (λ(x)∇x T ) (x, t) + f (x, t). (1)

Dabei gilt unter Verwendung der gängigen SI-Einheiten:

– T (x, t) ist die zu berechnende Temperatur am Ort x ∈ D zum Zeitpunkt t > 0,[T ] = K ,

– λ(x) ist die Wärmeleitfähigkeit des Gewebes, [λ] = W/ (mK ),– ρ(x) ist die Dichte des Gewebes, [ρ] = kg/m3,– c(x) ist dessen spezifische Wärmekapazität, [c] = J/ (kgK ),– f (x, t) bezeichnet lokale Wärmeproduktion und Wärmeverteiler,

[ f ] = J/(m3s).

Im Rahmen dieser Arbeit wird der räumlich zweidimensionale Fall von Interessesein, d.h. es ist x = (x1, x2)

T , und die räumlichen Ableitungen sind gegeben durchden Gradienten ∇x mit

∇x =(

∂∂x1

∂∂x2

), d.h. ∇x T =

(∂

∂x1T

∂∂x2

T

). (2)

Die Gleichung (1) wurde als Gleichung für die Entwicklung der Temperaturver-teilung in einem von feinen Kapillaren durchzogenen durchbluteten Gewebe vonPennes [20] aufgestellt. Physikalisch gesehen beschreibt (1) die Wärmeleitung ineinem ruhenden, isotropen Festkörper, d.h. in einem Körper, bei dem sich Wärmenach allen Richtungen gleich gut ausbreiten kann.

Wir wollen uns kurz die Komponenten der Gleichung (1) genauer betrachten.Die linke Seite beschreibt die zeitliche Änderung der Temperatur T zur Zeit t aneinem Ort x , an dem das Gewebe die Eigenschaften ρ(x) und c(x) besitzt. Für einintuitives Verständnis des Vorgangs ist dabei anzumerken, dass die physikalischwichtigen Eigenschaften für den stofflichen Träger einer Temperatur die Dichte unddie spezifische Wärmekapazität dieses Stoffes sind. Das Gesetz, nach dem dieseÄnderung erfolgen soll, wird dann auf der rechten Seite von (1) beschrieben. DieTerme auf der rechten Seite sind systematisch aufgeteilt nach Wärmeübertragungaufgrund der Wärmeleitungseigenschaften des Gewebes,

∇x · (λ∇x T ) (x, t), (3)


und allen anderen Einflüssen, die sich als sogenannte Quellen f (x, t) punktweiseauswirken. Der konzeptionelle Unterschied zwischen den beiden letztgenanntenEinflüssen wird dabei durch die sogenannte Divergenzform in (3) deutlich: DieSkalarmultiplikation des Terms λ∇x T (x, t) mit ∇x besagt, dass sich zwischenzwei beliebig herausgegriffenen benachbarten Stoffvolumen durch ein vorhande-nes Temperaturgefälle und die Wärmeleitfähigkeit des Stoffes Wärmeflüsse erge-ben, wobei diese Wärme ohne Verlust oder Gewinn weitergegeben wird und einWärmetransport von Gebieten hoher Temperatur in Gebiete niedrigerer Temperaturstattfindet. Im Unterschied dazu wird durch die Quellterme f (x, t) lokal Wärmeerzeugt bzw. vernichtet.

Wie bereits angedeutet interessieren uns thermisch stabile Zustände, d.h. indiesem Falle gilt in (1)

∂T

∂ t(x, t) = 0. (4)

Daher spielen im thermisch stabilen Zustand die Werte von c und ρ keine Rol-le, da sie endlich sind und mit Null multipliziert werden. Im Abschnitt über dieKonstruktion des numerischen Verfahrens werden wir sehen, wie die angestrebteBeziehung (4) algorithmisch ausgenutzt wird.

Im Hinblick auf eine vollständige Beschreibung der mathematischen Aufga-benstellung muss die Gleichung (1) noch durch Angabe von Randbedingungensowie von Anfangsbedingungen ergänzt werden: Bezeichnet D das vorgegebeneRechengebiet, so werden Randbedingungen auf dem Rand von D, d.h. auf ∂D,vorgegeben, während Anfangsbedingungen dem Zustand entsprechen, der zumAnfangszeitpunkt t = 0 einer zeitlichen Evolution auf dem gesamten Rechenge-biet vorzugeben ist. Innerhalb eines Inkubators können die Lufttemperatur sowiedie Temperatur der Rückenunterlage des Kindes kontrolliert werden. An der Hautdes Kindes liegt demzufolge am Rücken sowie an der übrigen Körperoberfläche je-weils eine vorgegebene Temperatur an. Dieses wird mathematisch durch Dirichlet-Randbedingungen ausgedrückt, d.h. wir geben auf ∂D die Temperatur vor. Die glei-che Art der Randbedingung ist bei der Benutzung eines Kühlungshelms verfügbar.Anzumerken ist, dass die Verwendung von Dirichlet-Randbedingungen nicht nurdurch die Modellierung vorgegeben ist: Vom mathematischen Standpunkt aus be-trachtet, ist deren Verwendung insbesondere im stationären Zustand notwendig,da das zugrundeliegende Problem, bestehend aus der Differentialgleichung sowiegegebenen Anfags- bzw. Randwerten, ansonsten nicht sachgemäß gestellt wäre;vergleiche etwa [22,25].

Da sich die stationäre Temperaturverteilung letztlich durch die Randwerte er-gibt, spielen die Anfangswerte bei der Berechung stationärer Zustände hier keinewichtige Rolle: Mit Hilfe von (4) werden wir die Gleichung (1) später für die Kon-struktion unseres numerischen Verfahrens weiter vereinfachen, so dass Zustände,die sich nach Vorgabe von Anfangsdaten auf dem Wege der Berechnung zu einemstationären Zustand hin ergeben, keine physikalische Bedeutung besitzen. Im Ge-gensatz hierzu repräsentiert das numerische Resultat im konvergenten Endzustandeine Approximation der durch das Modell beschriebenen Realität.

Zur konkreten Anwendung der Gleichung (1) auf die Temperaturverteilungeines früh- oder neugeborenen Kindes müssen abschließend noch die Körpergeo-metrie sowie der innere Aufbau des Körpers festgelegt werden. Zudem muss dieGröße λ angegeben sowie die Funktion f determiniert werden.


2.2 Modellierung des Körpers

Wir verwenden ein räumlich zweidimensionales, idealisiertes Modell des Körperseines früh- bzw. neugeborenen Kindes. Die Verwendung von lediglich zwei räumli-chen Dimensionen, im Gegensatz zur räumlich dreidimensionalen Realität, ist zumeinen durch den Umstand gerechtfertigt, dass sich Lösungen von Wärmeleitungs-gleichungen im zweidimensionalen Fall nicht wesentlich anders verhalten als imdreidimensionalen Fall, d.h. man gewinnt im Sinne der in der Einleitung definiertenAufgabenstellung keine wesentliche Information, wenn man drei Raumdimensio-nen berücksichtigt. Zum anderen ist der räumlich zweidimensionale Fall numerischwesentlich weniger aufwendig zu handhaben als der räumlich dreidimensionaleFall, und zwar insbesondere hinsichtlich der Berechnungszeiten.

Der Gesamtkörper ist in unserem Modell in drei Bereiche unterteilt: Kopf,Rumpf und Beine. Die idealisierte Geometrie des Körpers sowie die Bereiche,in denen entsprechende Randtemperaturen angelegt werden können, ist in Abbil-dung 1 dargestellt.

Abbildung 1 Aufbau des zweidimensionalen idealisierten Körpers des Früh- bzw. Neugebore-nen zusammen mit wählbaren Randtemperaturbereichen

Die Geometrie des Körpers, d.h. alle Koordinaten und Abmessungen, werdendurch das Gewicht des Kindes berechnet. Die thermische Reife kann statistischmit dem Körpergewicht in Verbindung gebracht werden; dieses wiederum korelliertstatistisch mit der Körpergröße und dessen Geometrie, so dass die thermische Reifeüber die Darstellung des Körpers ins Modell einbezogen wird. Die implementiertenGrößenverhältnisse sind in Tabelle 1 dargestellt.

Jeder Bereich des Körpers ist wiederum in Schichten unterteilt, siehe Abbil-dung 2 für den Fall des Kopfes. Im Einzelnen gilt:

– Kopf: Haut (1mm), Fett (1mm), Knochen/Schädel (2mm), Kern.– Rumpf, Beine: Haut (1mm), Fett (1mm), Kern.

Die Wärmeleitfähigkeit λ(x) wird entsprechend des am Ort x vorhandenen Gewe-betyps gesetzt [9], siehe Tabelle 2.

Grundsätzlich ist es möglich, eine genauere oder dreidimensionale Darstellungdes Körpers zu benutzen. Die gewählte Herangehensweise ist zum einen als Zwi-


Tabelle 1 Statistisch ermittelte Größenverhältnisse in Abhängigkeit vom Gewicht des Kindesin [g]

Abmessung [m] Formel

Körperlänge 0.178 + 0.255g − 0.107g2 + 0.027g3 − 0.003g4

Kopfumfang 0.045 + 0.596∗KörperlängeBeinlänge 0.396∗Körperlänge − 0.01Beindicke 0.1∗Körperlänge − 0.009Bauchhöhe BeindickeRumpflänge 0.64∗Körperlänge − 2.0∗Kopfradius + 0.009Halslänge 0.1∗Rumpflänge

Abbildung 2 Gewebeschichten im Kopf

Tabelle 2 Ortsabhängige Parameterwerte für λ(x)

Gewebetyp λ

Haut 0.35Fett 0.21Knochen 0.4Kern 0.51

schenschritt in Richtung eines genaueren, dreidimensionalen Modells des Körperszu sehen. Auf der anderen Seite, wie bereits kommentiert, liefert das präsentierteModell bereits klare Hinweise im Sinne der definierten Ziele und stellt daher imSinne der Aufgabenstellung einen angemessenen Weg dar. In diesem Zusammen-hang sei darauf hingewiesen, dass zum gegenwärtigen Zeitpunkt kein zugänglicherDatensatz existiert, der die dreidimensionale Geometrie des Körpers eines früh-oder neugeborenen Kindes genau wiedergibt und für eine numerische Simulationnutzbar wäre, d.h. man ist zur Zeit auf idealisierte Ansätze wie das hier präsentier-te Modell angewiesen. Ohne eine höhere Detailtreue ist jedoch nicht zu erwarten,dass etwa lediglich die Berücksichtigung einer weiteren Raumdimension qualitativandere Ergebnisse erbringt.


2.3 Modellierung des Quellterms

Es steht nun noch die Modellierung des Quellterms f aus, der lokale metabolischeWärmeproduktion und Wärmeverteilung beschreibt. Besagte Einflüsse können ad-ditiv aufgeteilt werden, letztlich gilt

f (x, t) = QM (x) + Q B(x, t). (5)

Im Weiteren definieren wir die lokalen Quellterme QM und Q B .

2.3.1 Metabolische Wärmeproduktion

Die Wärmebildung entspricht der Wärmeproduktion im braunen Fettgewebe sowiein inneren Organen, insbesondere im Gehirn. Verschiedene Studien belegen, dassin Früh- und Neugeborenen zwischen 30 und 60 Prozent der im gesamten Körperproduzierten Wärme im Gehirn gebildet wird, siehe [7,14].

Wir bezeichnen aufgrund des dargestellten Hintergrundes die Wärmebildungals metabolische Wärmeproduktion und bezeichnen den entsprechenden Quelltermals QM . Die Wärmeproduktion QM wird in den einzelnen Bereichen bzw. Gewe-beschichten als konstant und homogen verteilt angesehen. Sie tritt nur im Kerndes Kindes auf, ist im Kopfkern – entsprechend der thermischen Bedeutung desGehirns – am stärksten und fällt zu den Beinen ab, siehe Tabelle 3; vergleiche auch[7,16].

Tabelle 3 Metabolische Wärmeproduktion in[ W

m2

]Kopf Rumpf Bein

Haut 0.0 0.0 0.0Fett 0.0 0.0 0.0Knochen 0.0 0.0 0.0Kern 4500 1800 600

2.3.2 Blutfluss

Der Blutfluss ist neben der Wärmeleitung das wichtigste Mittel der Wärmever-teilung. Abhängig von den Bereichen – modelliert durch Faktoren K (x) – sowievon den durchschnittlichen Durchblutungsraten der modellierten Gewebetypen –dargestellt durch Blutflussraten BF(x) – setzen wir den Quellterm Q B an als

Q B(x, t) = ρBL · cBL · K (x) · BF(x) · (TBL(t) − T (x, t)). (6)

Die Größen

ρBL = 1060kg

m3und cBL = 3840

J

kgK

bezeichnen dabei die Blutdichte bzw. die spezifische Wärmekapazität des Blu-tes, die Wahl der Größen K (x) und BF(x) entnehme man den Tabellen 4 und 5;vergleiche [7,16,28].


Tabelle 4 K (x)-Faktoren

Kopf Rumpf Bein

Haut 1.0 1.0 0.9Fett 1.0 1.0 0.9Knochen 1.0 1.0 0.9Kern 1.0 1.0 0.9

Tabelle 5 Blutfluss BF (x) in[ 1

s

]Kopf Rumpf Bein

Haut 1.25 · 10−3 1.25 · 10−3 1.25 · 10−3

Fett 0.0 0.0 0.0Knochen 0.0 0.0 0.0

Kern 3.3 · 10−3 7 · 10−3 1.25 · 10−3

Der Ansatz (6) bedarf der weiteren Erläuterung. Wie bereits erwähnt, liegt demklassischen Weg der Modellierung eines in feinen Kapillaren mit Blut durchflos-senen Gewebes die Arbeit von Pennes [20] zugrunde. Ausgehend von Pennes’Betrachtungen ergeben sich Blutflussmodelle, die abgesehen von Feinheiten diefolgende Betrachtung zugrundelegen, vergleiche etwa [4,27].

Die Idee ist, dass der Körper über die Arterien von einem zentralen Blutreser-voir aus versorgt wird. Das arterielle Blut fließt in die von den Arterien versorgtenKörperteile und tauscht dort Wärme mit dem Gewebe aus: Es dient dort als Wär-mequelle und nimmt gleichzeitig, d.h. in einem Ausgleichsprozess, die Tempera-tur des umliegenden Gewebes an. Anschließend fließt es durch die Venen in daszentrale Blutreservoir zurück. Dort wird es vermischt und es findet ein Tempera-turausgleich statt, d.h. das Blut im zentralen Blutreservoir erhält eine homogeneTemperatur bevor es durch die Arterien wieder weitertransportiert wird.

Entsprechend berechnen wir die Temperatur des zentralen Blutreservoirs TBLabhängig vom betrachteten Körperteil sowie von den Durchblutungsraten der Ge-webe als

TBL(t) =∫D K (x)BF(x)T (x, t) dx∫

D K (x)BF(x) dx. (7)

Grob gesagt handelt es sich bei TBL aus (7) also um den gewichteten Mittelwert derTemperatur des venösen Blutes. An dieser Stelle wird deutlich, dass wir bei unsererModellierung bereits auf stationäre Zustände abzielen, da bei der Bezugnahme aufvenöses Blut ein Vorgriff auf eine an sich noch zu berechnende Temperaturvertei-lung stattfindet; der Term (7) ist nur dann im Sinne des Modells korrekt, wenn dieTemperaturverteilung zeitlich invariant ist.

2.3.3 Vasomotorik

Wie die Untersuchungen in [7] gezeigt haben, ist der Effekt der Vasomotorik ineinem thermisch neutralen Bereich bei Frühgeborenen vernachlässigbar. Andersist die Situation bei relativ extremer lokaler Hitze- oder Kältebelastung.


Nach den Untersuchungen in [7] ergibt sich bei großer Hitzebelastung einemaximale Vasodilatation, während sich bei starker Kältebelastung eine maxima-le Vasokonstriktion ergibt; in dem Zwischenbereich kann eine lineare Abhängig-keit des Effekts der Vasomotorik unterstellt werden. Der Effekt der maximalenVasokonstriktion wird nach der in [7] angefertigten quantitaven Analyse in demnumerischen Testfall, der dem Anlegen eines Kühlungshelmes entspricht, durchModifikation der Durchblutungsrate der am Kopf befindlichen Hautschicht mittelsdes Faktors 1/100 berücksichtigt.

3 Das Finite-Volumen-Verfahren

Zur Vorbereitung der Anwendung unseres Finite-Volumen-Verfahrens integrierenwir die Bio-Wärmeleitungsgleichung (1) über ein beliebig, aber fest ausgewähltes,endliches und nicht leeres Kontrollvolumen σ ⊂ D, auch Zelle oder Box genannt:∫

σ

c(x)ρ(x)∂T

∂ t(x, t) dx =

∫σ

∇x · (λ(x)∇x T ) (x, t) dx +∫

σ

f (x, t) dx . (8)

Da uns, wie bereits besprochen, in dieser Arbeit lediglich die durch (4) definiertenstationären Zustände interessieren, setzen wir ohne Beschränkung der Allgemein-heit c(x)ρ(x) ≡ 1.

An dieser Stelle ist zu bemerken, dass sich hinter dieser Herangehensweise be-reits eine Vorstellung bezüglich des zu entwickelnden Algorithmus verbirgt: Mankönnte auch auf die Idee kommen, die linke Seite in (8) zu Null zu setzen, umohne Umwege stationäre Zustände zu berechnen. Führt man diesen Ansatz wei-ter, so ergibt sich letztlich als praktisches Problem die Lösung eines großen undaufgrund des Blutflusses vollbesetzten linearen Gleichungssystems. Die Lösungdieses Gleichungssystems kann sich nicht nur zu einem außerordentlich hartenProblem entwickeln (die Aufgabe kann sich als praktisch unlösbar entpuppen),selbst im Falle der Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems ist die Prozedurim Vergleich zu der noch entwickelten Methode sowohl technisch wesentlich auf-wendiger als auch ineffizient bezüglich der benötigten Rechenzeiten. Im Abschnittüber Zeitintegration greifen wir diesen Aspekt noch einmal auf. Über den darge-stellten Zusammenhang hinaus ist es bei Benutzung einer Lösungsstrategie übereine Zeitintegration relativ leicht möglich, den derart entstandenen Algorithmusauf instationäre Aufgabenstellungen zu erweitern, siehe insbesondere [2,3].

Da der Term aus (3) wie kommentiert das Verhalten von Wärmeflüssen be-schreibt, wollen wir uns für die Konstruktion des numerischen Verfahrens dieWärmeflüsse an Zellübergängen zunutze machen. Dieses geschieht mit Hilfe desSatzes von Gauß, der in allgemeiner Form für ein Vektorfeld v∫

σ

∇x · v dx =∫

∂σ

v · n ds (9)

lautet; dabei ist n der Einheitsnormalenvektor an das Oberflächenelement ds desRandes ∂σ . Sprachlich formuliert, tauschen wir mit Hilfe dieser Beziehung einVolumenintegral über einen Ausdruck in Divergenzform gegen ein Oberflächen-integral das sich leichter numerisch approximieren lässt.


Es bezeichne nun |σ | den Flächeninhalt des Kontrollvolumens σ . Nach Divi-sion durch |σ | und Anwendung des Satzes von Gauß auf den ersten Term der rech-ten Seite von (8) erhalten wir die Grundlage unseres Finite-Volumen-Verfahrens,nämlich eine Evolutionsgleichung für Zellmittelwerte:

d

dt

[1

|σ |∫

σ

T (x, t) dx

]

= 1|σ |

∫∂σ

λ(x)∇x T (x, t) · n(x) ds + 1|σ |

∫σ

f (x, t) dx . (10)

Dabei ist n(x) der äußere Einheitsnormalenvektor im Punkt x ∈ ∂σ .Das Finite-Volumen-Verfahren besteht aus einer Diskretisierungsvorschrift für

die Evolutionsgleichung (10), die auf allen betrachteten Kontrollvolumina σ desRechengebietes gelöst werden muss.

Im angestrebten stationären Zustand ergibt sich nach (4)

d

dt

[1

|σ |∫

σ

T (x, t) dx

]= 0.

Benutzen wir nicht wie in der Herleitung von (10) die Vereinfachung c(x)ρ(x) ≡ 1,so sind nach Gleichung (8) andere Zellmittelwerte, nämlich

1|σ |

∫σ

c(x)ρ(x)T (x, t) dx

zu wählen. Da in diesem Fall durch das Verfahren die zeitliche Evolution der Va-riable T̃ (x, t) := c(x)ρ(x)T (x, t) beschrieben wird, ist konsequenterweise dierechte Seite der Ausgangsgleichung in Abhängigkeit von T̃ zu formulieren, wo-durch sich ein zusätzlicher Quellterm ergibt. Wie in [2,3] verdeutlicht wird, istdiese Vorgehensweise für die Approximation instationärer Zustände notwendig.

Aus physikalischer Sicht spiegelt die Bilanzgleichung (10) den ersten Hauptsatzder Thermodynamik wider, der besagt, dass die zeitliche Änderung der auf einGebiet σ bezogenen inneren Energie, hier

d

dt

∫σ

T (x, t) dx ,

im Gleichgewicht mit der über den Rand zugeführten Wärmeenergie, dargestelltdurch ∫

∂σ

λ(x)∇x T (x, t) · n(x) ds, (11)

und der in σ geleisteten Arbeit ∫σ

f (x, t) dx

steht. Die spezielle Form der in (11) vorliegenden Wärmeflüsse repräsentiert hierbeidas Fouriersche Grundgesetz des molekularen Wärmetransports, das den Zusam-menhang zwischen dem Wärmefluss und den Temperaturgradienten beschreibt.Der erste Term auf der rechten Seite der Bilanzgleichung (10) verkörpert einen


reinen Wärmetransport, da die Darstellung in Form eines Randintegrals stets denTransport von Wärmeenergie zwischen benachbarten Kontrollvolumina über derengemeinsame Ränder beschreibt. Dagegen stellt der zweite Term lokale Produktions-respektive Dissipationseffekte dar, die in der partiellen Differentialgleichung (1)nicht in Divergenzform vorliegen und folglich in (10) nicht als Randintegral darge-stellt werden können. Eine derart lokale Wirkung ist bei der metabolischen Wärme-produktion zu erwarten. Dem Blutfluss würde man jedoch den Effekt einer reinenWärmeverteilung zuordnen, der, integriert über dem Gesamtkörper, stets identischverschwindet. Das heißt: Blutfluss verteilt Wärme und erzeugt sie nicht. Es ist andieser Stelle daher zu bemerken, dass die vorgenommene Modellierung diesemEffekt gerecht wird, denn es gilt∫

DQ B(x, t) dx

(6)= ρBL · cBL ·∫D

K (x)BF(x)(TBL(t) − T (x, t)

)dx

= ρBL · cBL ·[

TBL(t)∫D

K (x)BF(x) dx︸︷︷︸(7)=∫

D K (x)BF(x)T (x,t) dx

−∫D

K (x)BF(x)T (x, t) dx

]

= 0.

Das verwendete Blutflussmodell kommt daher seiner wärmeverteilenden Funktionnach, obwohl keine Divergenzform des zugehörigen Terms Q B vorliegt.

Der erste Schritt zur Herleitung der angestrebten Finite-Volumen-Methode liegtin der Zerlegung des Gebietes D in endlich viele disjunkte und abgeschlosseneZellen σi ⊂ D := D ∪ ∂D, i = 1, . . . , n, derart, dass

n⋃i=1

σi = D

erfüllt ist, sowie für◦σi := σi \ ∂σi die Bedingung◦σi ∩ ◦

σ j= ∅, i, j ∈ {1, . . . , n}, i = j,

gilt. Der zweite Schritt liegt anschließend in der Approximation der Evolutions-gleichung für jedes vorliegende Kontrollvolumen. Um eine hohe Flexibilität bei derRaumdiskretisierung zu erlangen, nutzen wir eine konforme Triangulierung. DieseGitter bestehen aus einer Menge abgeschlossener Dreiecke Di ⊂ D, i = 1, . . . , N ,die paarweise disjunkt im Sinne von

◦Di ∩ ◦

D j = ∅, i, j ∈ {1, . . . , N }, i = j,

sind, der Bedingung

N⋃i=1

Di = D


genügen und keine sogenannten hängenden Knoten aufweisen, d.h. jede Rand-kante eines Dreiecks ist entweder Randkante genau eines benachbarten Dreiecksoder Teil des Gebietsrandes ∂D. Das Auftreten der in Bild 4 (rechts) dargestell-ten Situation ist somit untersagt. Eine unter diesen Bedingungen erzeugte Tri-angulierung des Körpers D ist in Bild 3 dargestellt, während Bild 4 (links) dieDiskretisierung des Kopfbereiches widerspiegelt. Aufgrund der unterschiedlichenKörperkompartimente sowie der zu erwartenden starken Temperaturvariationen inden Körperrandschichten wurde senkrecht zum Rand ∂D eine feinere Auflösungim Vergleich zum Kernbereich gewählt. Die somit vorliegenden Dreiecke kön-nen direkt als Zellen für das Finite-Volumen-Verfahren genutzt werden. DerartigeAnsätze werden als Primärnetzmethoden bezeichnet.

Abbildung 3 Triangulierung des zweidimensionalen idealisierten Körpers des Früh- bzw. Neu-geborenen

Abbildung 4 Diskretisierung des Kopfbereichs (links), unzulässige Diskretisierung (rechts)

Um bei der Auswertung des auf die Zelle σi bezogenen Randintegrals

∫∂σi

λ(x)∇x T (x, t) · n(x) ds

möglichst viele Raumrichtungen zu berücksichtigen, und zudem stets eine eindeu-tige und intuitiv verständliche Berechnungsvorschrift für die auftretenden Tempe-raturgradienten zu erzielen, nutzen wir eine sogenannte Sekundärnetzmethode. Inunserem Fall wird hierzu ein duales Gitter durch Verbindung des Schwerpunktes


mit den Seitenhalbierenden jedes Dreieckes erzeugt. Eine exemplarische Darstel-lung der hieraus resultierenden Zellen σi findet man in Bild 5. In der Regel wei-sen benachbarte Boxen σi und σj zwei gemeinsame Randgeradenstücke auf, diewir mit �k

i j , k = 1, 2, bezeichnen, siehe Bild 6. Im Fall einer Randzelle σi , d.h.∂σi ∩ ∂D = ∅, existieren zwei Nachbarzellen, zu denen σi nur eine gemeinsameRandkante besitzt. Um eine weitgehend einheitliche Darstellung zu gewährleisten,weisen wir der fehlenden Randkante die Länge Null zu, d.h. |�2

i j | = 0. Wie in derAbbildung 7 verdeutlicht, werden die bei einer Randzelle σi vorliegenden zweiGeradenstücke ∂σi ∩ ∂D mit �k

σi, k = 1, 2, bezeichnet.

Abbildung 5 Primäres und sekundäres Netz mit Zelle σi

Bezeichnen wir mit N (i) die Menge aller Indizes j der zu σi gehörendenNachbarboxen σ j , so läßt sich die integrale Form der Evolutionsgleichung (10)unter Verwendung der Zellmittelwerte

Ti (t) := 1

|σi |∫

σi

T (x, t) dx

in der Form

d

dtTi(t) = 1

|σi |∑

j∈N (i)

2∑k=1

∫�k

i j

λ(x)∇x T (x, t) · nki j ds

+ 1|σi |

2∑k=1

∫�kσi

λ(x)∇x T (x, t) · nkσi

ds

+ 1

|σi |∫

σi

f (x, t) dx (12)


Abbildung 6 Randkanten �ki j , k = 1, 2 zwischen den Zellen σi und σ j

Abbildung 7 Notation bei Randzellen σi

für i = 1, . . . , n darstellen. Analog zu den inneren Kanten �ki j weisen wir den

Randkanten �kσi

jeweils die Länge Null zu, falls σi keine Randzelle darstellt, d.h.∂σi ∩∂D = ∅ gilt. Zudem verdeutlicht Bild 7, dass nk

σiden nach außen gerichteten

Einheitsnormalenvektor am Zellrand �kσi

darstellt.Ausgehend von der Evolutionsgleichung (12) untergliedert sich die weitere

Vorgehensweise in zwei Schritte:

– Approximation der Rand- und Volumenintegrale,– Diskretisierung des hieraus resultierenden Systems gewöhnlicher Differential-

gleichungen.


Bei der Approximation der Integrale verwenden wir problemangepasste Ansätzeund unterscheiden im Folgenden Verfahren für innere Kanten �k

i j , Randkanten �kσi

und Zellen σi .

3.1 Integration über innere Kanten

Unter Verwendung des in Bild 6 dargestellten Mittelpunktes xki j der Kante �k

i jnutzen wir die einfache Mittelpunktregel gemäß∫

�ki j

λ(x)∇x T (x, t) · nki j ds ≈ ∣∣�k

i j

∣∣λ(xk

i j

)∇x T(xk

i j , t) · nk

i j .

Da die Triangulierung so generiert wird, dass sich jedes Dreieck ausschließlichinnerhalb einer Gewebeschicht befindet, ist die Auswertung des Wärmeleitkoeffi-zienten λ direkt durch die Tabelle 2 festgelegt. Dagegen erfordert die Berechnungdes Temperaturgradienten eine genauere Betrachtung. Bedingt durch die gewählteFinite-Volumen-Formulierung stehen uns im Rahmen der numerischen Methodestets nur Zellmittelwerte Ti (t) je Box σi zur Verfügung. Zur Gradientenberechnungordnen wir diesen Temperaturwert dem Punkt xi der Triangulierung zu, der im Falleines inneren Knotens xi /∈ ∂D bei gleichseitigen Dreiecken dem Schwerpunkt derZellen σi entspricht. Betrachten wir das Dreieck D mit den Eckpunkten

xi =(

xi,1

xi,2

), x j =

(x j,1

x j,2

), xm =

(xm,1

xm,2

),

so ergibt sich aus den zugehörigen Temperaturwerten Ti , Tj und Tm eine eindeutigbestimmte lineare Temperaturverteilung auf D. Der entsprechende Gradient imPunkt xk

i j ∈ D kann folglich in der Form

∇x T(xk

i j , t) = 1

det·(

xm,2 − xi,2 xi,2 − x j,2

xi,1 − xm,1 x j,1 − xi,1

)·(

Tj(t) − Ti (t)Tm(t) − Ti (t)

)

mit det = (x j,1 − xi,1)(xm,2 − xi,2) − (xm,1 − xi,1)(x j,2 − xi,2) ermittelt werden,vergleiche [19]. Durch diese Vorgehensweise liegt mit∫

�ki j

λ(x)∇x T (x, t) · nki j ds

≈∣∣�k

i j

∣∣det

λ(xk

i j

) (xm,2 − xi,2 xi,2 − x j,2

xi,1 − xm,1 x j,1 − xi,1

)·(

Tj(t) − Ti (t)Tm(t) − Ti (t)

)· nk

i j (13)

eine intuitiv verständliche, einfache und eindeutige Approximation der Integraleüber innere Randkanten �k

i j vor, die zudem einen lokalen Charakter aufweist.

3.2 Integration über Randkanten

Die Auswertung der Integrale über die Geometrieränder �kσi

⊂ ∂D basiert aufeinem ähnlichen Ansatz. Analog zur Berechnung der Wärmeflüsse über innere


Kanten �ki j nutzen wir eine lineare Temperaturverteilung auf einem zugeordneten

Dreieck D zur Approximation des Temperaturgradienten am Mittelpunkt xkσi

desGeradenstücks �k

σi. Im Gegensatz zu den inneren Zellrändern müssen an dieser

Stelle zwei wesentliche Sachverhalte berücksichtigt werden.Erstens ist es erforderlich, den in Abschnitt 2.1 angesprochenen Dirichlet-

Randbedingungen, d.h. den den Körperrandbereichen gemäß Abbildung 1 zugeord-neten Randtemperaturen Rechnung zu tragen. Die an der Kante �k

σilaut Dirichlet-

Randbedingung vorgegebene Außentemperatur TRand ordnen wir daher sowohldem Anfangspunkt xi als auch dem Endpunkt xk

m von �kσi

zu. Zweitens muß derProblematik entgegen getreten werden, dass der zur Randzelle σi gehörige Kno-tenpunkt xi mit dem Anfangspunkt der Kante �k

σiübereinstimmt und folglich eine

Lokalisierung des Zellmittelwertes Ti am Punkt xi ausschließt.Unter Verwendung der in Abbildung 7 genutzten Notation nutzen wir zur Lö-

sung dieser Problemstellung den Knoten

x̃i = xi +√

3

8min

{‖x p − xi‖, ‖xq − xi‖} · r, (14)

wobei x p und xq die verbleibenden zwei Eckpunktes des Dreiecks darstellen, dasausgehend von xi in Richtung r liegt. Der Richtungsvektor r ist hierbei durch

r = − n1σi

+ n2σi

‖n1σi

+ n2σi

‖festgelegt. Die Berechnung ist dabei so gewählt, dass der Punkt x̃i im Fall gleich-seitiger Randdreiecke und paralleler Randkanten �1

σiund �2

σidem Schwerpunkt

der Box σi entspricht. Desweiteren gilt für das durch die Punkte xi , xkm ∈ �k

σiund

x̃i gebildeten Dreieck D stets D ⊂ D, wodurch im Fall einer Differenz zwischender Randtemperatur und dem Zellmittelwert Ti stets die physikalisch adäquateWärmeflußrichtung ermittelt wird. In [12] wurde nachgewiesen, dass durch dieVerwendung des erweiterten Schwerpunktes x̃i die resultierende Finite-Volumen-Methode einer diskreten Form des bekannten Minimum-Maximum-Prinzips[22,25] genügt.

Es sei hierbei bemerkt, dass die Nutzung des realen Schwerpunktes xbi der Box

σi im Fall einer nichtkonvexen Randzelle zu der Problematik xbi /∈ D und folg-

lich zu unphysikalischen Randflüssen führen kann, die eine Verletzungdes Minimum-Maximum-Prinzips nach sich zieht. Entsprechend der Vorgehens-weise (13) erhalten wir unter Verwendung der obigen Punkte x̃i , xi und xk

m denGradienten am Randpunkt xk

σigemäß

∇x T(xkσi

, t) = 1

det·(

xkm,2 − x̃i,2 x̃i,2 − xi,2

x̃i,1 − xkm,1 xi,1 − x̃i,1

)·(

TRand (t) − Ti (t)TRand (t) − Ti (t)

)

mit det = (xi,1 − x̃i,1)(xkm,2 − x̃i,2) − (xk

m,1 − x̃i,1)(xi,2 − x̃i,2), und hiermit, unterBenutzung der Abkürzung

κi :=∣∣�k

σi

∣∣det

λ(xkσi

),


die Approximation∫�kσi

λ(x)∇x T (x, t) · nkσi

ds

≈ κi

(xm,2 − x̃i,2 x̃i,2 − x j,2

x̃i,1 − xm,1 x j,1 − x̃i,1

)·(

TRand (t) − Ti(t)TRand (t) − Ti(t)

)· nk

σi. (15)

3.3 Integration über Zellen

Die Berechnung der Quellen- bzw. Senkenterme erfolgt direkt durch Auswertungder jeweiligen Funktion am Knotenpunkt xi der Zelle σi . Für die metabolischeWärmeproduktion erhalten wir hiermit∫

σi

QM(x) dx ≈ |σi | QM (xi), (16)

wobei der explizite Wert der Quellfunktion QM entsprechend des vorliegendenKörperkompartimentes und der Gewebeart gemäß Tabelle 3 festgelegt ist.

Im Hinblick auf den Blutfluss wird die Temperatur des zentralen Blutreservoirsdurch

TBL(t) =∫D K (x)BF(x)T (x, t) dx∫

D K (x)BF(x) dx

≈∑n

i=1 K (xi )BF(xi )Ti(t)∑ni=1 K (xi )BF(xi )

(17)

berechnet. Einsetzen dieses zeitabhängigen Wertes in die Darstellung (6) und In-tegration über die Zelle σi liefert∫

σi

Q B(x, t) dx ≈ |σi |ρBL · cBL · K (xi )BF(xi )(TBL(t) − Ti(t)

). (18)

Im Gegenteil zu den Randintegralen liefert die Approximation des Blutflussmo-dells durch (17) eine globale Kopplung aller Temperaturwerte.

3.4 Zeitintegration

Nutzung der numerischen Quadraturformeln (13), (15), (16) und (18) führt aufdie sogenannte semidiskrete Form der Evolutionsgleichung (10), die ein Systemgewöhnlicher Differentialgleichungen für die Zellmittelwerte der Temperatur inder Form

d

dtTi(t) = Fi(t) + Qi (t), i = 1, . . . , n (19)

darstellt. Hierbei wurden in Fi(t) alle numerischen Quadraturformeln der Rand-integrale und in Qi (t) alle numerischen Quadraturformeln der Volumenintegrale


subsummiert, d.h. Fi beinhaltet aufgrund der lokalen Abhängigkeit der Gradienten-auswertung am Rand des Kontrollvolumens ausschließlich Temperaturzellmittel-werte Tj (t) mit j ∈ N (i)∪{i}, während Qi (t), bedingt durch den Quellterm (18),eine globale Abhängigkeit von den Zellmittelwertender Temperatur über alle Kon-trollvolumina aufweist. Bei Vernachlässigung der kompensierenden Wirkung desBlutflusses liegt für den Zellmittelwert Ti (t) ausschließlich eine Abhängigkeit vonden Temperaturwerten der Box σi und den Nachbarzellen σj mit j ∈ N (i) überdie Randintegralapproximationen (13) und (15) vor.

Blicken wir kurz auf den Anfang des Kapitels 3 zurück. Durch die Einschrän-kung auf stationäre Zustände und der hierbei genutzten Festlegung ρ(x)c(x) ≡ 1besitzt erst der stationäre Endzustand mit ∂T

∂t (x, t) = 0 physikalische Relevanz.Die zeitliche Evolution kann deshalb als Iteration zum stationären Zustand inter-pretiert werden, wobei die erzielten Zwischenzustände keine thermodynamischeBedeutung aufweisen. Folglich können wir bei der Zeitdiskretisierung sehr ein-fache Algorithmen einsetzen, da die Genauigkeit der gewählten Approximationnicht von Belang ist. Wir nutzen daher das klassische explizite Euler-Verfahren,das auch als Eulersche Polygonzugmethode bekannt ist [21]. Hierbei betrachtenwir das System gewöhnlicher Differentialgleichungen (19) zum Zeitpunkt t n undersetzen die auftretende Ableitung durch einen einfachen Differenzenquotientender Form

d

dtTi (t

n) = Ti(t n+1) − Ti(t n)

�t n, (20)

wobei die Anfangswerte durch

Ti (t0) = 1

|σi |∫

σi

T (x, t0) dx

gesetzt werden, so dass das numerische Verfahren die Darstellung

Ti (tn+1) = Ti(t

n) + �t n (Fi (t

n) + Qi(tn)

), i = 1, . . . , n (21)

erhält. Die Nutzung eines expliziten Zeitintegrationsverfahrens zieht jedoch ausStabilitätsgründen den Nachteil einer oftmals sehr drastischen Zeitschrittweiten-restriktion nach sich. In dem vorliegenden Fall ergibt sich

�t n ≤ mini=1,...,n

(minx∈∂σi ‖x − x̃i‖)2

λ(x̃i )

wobei x̃i den Schwerpunkt bzw. bei Randzellen den erweiterten Schwerpunkt dar-stellt. Hierdurch wird deutlich, dass die im Bereich des Kopfes vorgenommenefeine Diskretisierung der Körperrandschichten eine extrem kleine zulässige Zeit-schrittweite bedingt. Derartige Einschränkungen können durch eine implizite Zeit-integration vermieden werden. Eine mögliche Vorgehensweise ergibt sich in derForm

Ti (tn+1) = Ti(t

n) + �t n(Fi(tn+1) + Qi (t

n+1)), i = 1, . . . , n. (22)

Die involvierte Auswertung der rechten Seite zum Zeitpunkt t n+1 führt auf je-weils ein lineares Gleichungssystem, das in jedem Zeitschritt zu lösen ist. Die


von der aktuellen Zeitschrittweite �t n abhängige Matrix ist dabei aufgrund derin dem Quellterm beinhalteten globalen Abhängigkeit voll besetzt, d.h., dassalle Matrixelemente von Null verschiedene Einträge aufweisen können. Hier-durch liegt einerseits ein sehr hoher Speicherplatzbedarf vor und andererseitsergibt sich bei der Nutzung iterativer Gleichungssystemlöser die Problematik,dass Matrix-Vektor-Multiplikationen einen Aufwand der Größenordnung O(n2)aufweisen. In [12] wird daher die Nutzung einer semiimpliziten Variante ge-mäß

Ti (tn+1) = Ti(t

n) + �t n(Fi(tn+1) + Qi (t

n)), i = 1, . . . , n, (23)

vorgeschlagen, wodurch eine signifikante Beschleunigung des Verfahrens erzieltwerden konnte. Der Grund für diesen positiven Effekt liegt bei dem erwähn-ten Ansatz zum einen in der Nutzbarkeit großer Zeitschrittweiten �t n und zumanderen in der Eigenschaft, dass bei der auftretenden Matrix innerhalb jeder Zei-le j alle Einträge a jk mit k /∈ N ( j) ∪ { j} identisch verschwinden. DurchLetzteres wird der Speicherplatzbedarf deutlich gesenkt und der Aufwand proMatrix-Vektor-Multiplikation auf die Größenordnung O(n) verringert. Zur itera-tiven Lösung dieser Gleichungssysteme mit einer derartigen großen und schwachbesetzten Matrix stehen heutzutage sehr effiziente präkonditionierte Krylov-Unter-raum-Verfahren zur Verfügung. Eine Einführung in klassische und moderne Algo-rithmen zur schnellen Lösung linearer Gleichungssysteme findet der interessierteLeser in [18].

4 Anwendungsbeispiele

Das Verfahren wird im Weiteren anhand zweier praxisrelevanter Problemstellungenuntersucht. Ein besonderes Augenmerk soll hierbei einerseits auf die Einhaltungdes Minimum-Maximum-Prinzips und andererseits auf die Wirkung der Quellter-me für die metabolische Wärmeproduktion und den Blutfluss gelegt werden.

Für die numerischen Simulationen nutzen wir die in Abbildung 3 dargestell-te Triangulierung, die 37351 Dreiecke und 19092 Knotenpunkte aufweist. Ent-sprechend der Definition der Kontrollvolumina ist jedem Knotenpunkt genau eineZelle zugeordnet, wodurch die Anzahl der Punkte stets mit der Anzahl der Zellenübereinstimmt.

Zunächst wenden wir uns einer üblichen Situation innerhalb eines Inkubatorszu. Die Umgebungstemperatur wird mit 34,5◦C = 308,65K auf einemkonstanten Niveau gehalten, während durch die Wärmematte im Rückenbereicheine auf 37◦C = 310,15 K erhöhte Randtemperatur vorliegt. Die bei diesen Rand-bedingungen und einer Anfangstemperaturverteilung von 37◦C = 310,15 K fürden stationären Endzustand erzielten numerischen Resultate sind in der Abbil-dung 8 aufgeführt, wobei die Farbcodierung und Isolinienverteilung entsprechenddes aufgeführten Farbbalkens verwendet wurden. Die obere Darstellung innerhalbder Abbildung 8 spiegelt die Temperaturverteilung bei gegebenen Anfangs- undRandbedingungen unter Vernachlässigung beider Quellterme wieder. Die Isolinienverlaufen hierbei stets von einem Randbereich zu einem anderen Randstück. Estreten keine geschlossenen Linienzüge auf, wodurch sehr schön die Einhaltung des


Minimum-Maximum-Prinzips verdeutlicht wird, da sowohl das Temperaturmini-mum als auch das Temperaturmaximum am Rand des Körpers angenommen wer-den. Im mittleren Bild ist das Ergebnis unter Berücksichtigung der metabolischenWärmeproduktion aufgeführt. Sehr eindrucksvoll ist hierbei die drastische Tem-peraturerhöhung im Kopfbereich zu erkennen. Ein weiteres lokales Maximum trittzudem im Bereich des Bauches auf. Beide Extrema der Temperatur korrelieren sehrgut mit den im Modell festgelegten metabolischen Wärmeproduktionswerten ge-mäß Tabelle 3. Abschliessend wird im dritten Bild die Temperaturverteilung unterBerücksichtigung beider Quellterme verdeutlicht. Die wärmeverteilende Wirkungdes Blutflussmodells wird bei dieser Darstellung hervorragend sichtbar. Die Maxi-ma sind deutlich reduziert worden und es hat ein offensichtlicher Wärmeausgleichstattgefunden. Bereits innerhalb dieser Grafik sind erhöhte Temperaturgradientenin den Kopfrandbereichen gut erkennbar.

Mit dem zweiten Anwendungsbeispiel untersuchen wir die eingangs aufgewor-fene Fragestellung einer lokalen Kühlung des Gehirnbereichs durch Absenkungder Kopfrandtemperatur. Die Anfangstemperaturverteilung wie auch die Rand-temperaturen wurden mit Ausnahme der Kopfrandtemperatur identisch zur erstenProblemstellung gewählt. Bei der Bedingung am Rand des Kopfbereiches wurdehingegen eine Absenkung der Temperatur auf 26◦C = 299,15 K vorgenommen.Bei Vernachlässigung der metabolischen Wärmeproduktion und des Blutflusses

Abbildung 8 Numerische Resultate zur stationären Temperaturverteilung der Wärmeleitungs-gleichung (oben) mit metabolischer Wärmeproduktion (Mitte) und zusätzlichem Einfluss derBlutzirkulation (unten)


können wir der oberen Darstellung in Abbildung 9 die zu erwartende Absenkunginnerhalb des gesamten Kopfbereiches entnehmen. Analog zum ersten Testfall lie-gen keine geschlossenen Isolinien vor, da auch bei diesem Anwendungsfall dasMinimum-Maximum-Prinzip eingehalten wurde. Durch die Einbindung der me-tabolischen Wärmeproduktion zeigt sich auch in diesem Fall eine erste Erhöhungder Kopftemperatur aufgrund der starken lokalen Wärmezufuhr in diesem Bereich.Eindrucksvoll wird im dritten Bild die Wärmeverteilung aufgrund des Blutflussesdeutlich. Die angelegte Randtemperatur beeinflusst im wesentlichen die äußerstenKopfrandschichten und weist eine vergleichsweise geringe Wirkung im innerenGehirnbereich auf; während die im Bereich des Gehirns geforderte Kühlung desGewebes um 2–3 K erfolgt ist, zeigt sich im Kern des Torsos eine Unterkühlung.Nach der im Kontext der vorliegenden Modellierung durchgeführten numerischenSimulation erweist sich eine Reduktion der Gehirntemperatur auf der Grundla-ge einer lokalen Absenkung der Umgebungstemperatur im Kopfbereich daher alsnicht praktikabel.

Aus unserer Studie lassen sich mehrere Aussagen ableiten. Die wichtigste Fol-gerung ist sicherlich, dass der Bau eines Kühlungshelmes zur Kühlung des Gehirn-bereichs nach dem derzeitigen Stand der Dinge im Sinne der definierten Aufgabenicht nutzbringend ist. Da das Blutflussmodell offenbar eine sehr wichtige Rollespielt – ein wichtiges Ergebnis theoretischer Natur – stellt sich automatisch die Fra-

Abbildung 9 Numerische Resultate zur stationären Temperaturverteilung der Wärmeleitungs-gleichung (oben) mit metabolischer Wärmeproduktion (Mitte) und zusätzlichem Einfluss derBlutzirkulation (unten)


ge nach einer genaueren mathematischen Modellierung dieses Aspekts, womit dieFrage nach einer genaueren, möglicherweise dreidimensionalen Darstellung desKörpers und dessen Thermoregulation einhergeht. Diese Aspekte sind Gegenstandgegenwärtiger Forschung der Autoren.

Danksagung Die Autoren möchten sich an dieser Stelle herzlich bei Dr. Jochim Koch, Abtei-lung für Grundlagenentwicklung der Dräger AG Lübeck, für die konstruktive Zusammenarbeitbei der Modellierung bedanken. Desweiteren gilt unser Dank Herrn Dr. Oliver Friedrich für dieBereitstellung des Gittergenerators und des Visualisierungstools, Herrn Dipl.-Math. Martin Lud-wig für die Umsetzung einiger Programmodule sowie Herrn K. Strube für die präzise Anfertigungeiniger Grafiken.

Literatur

1. Breuß, M., Dolejší, V., Meister, A.: Anisotropic adaptive resolution of boundary layers forheat conduction problems. Z. Angew. Math. Mech. 86 (6), 450–463 (2006)

2. Breuß, M., Fischer, B., Meister, A.: The unsteady thermoregulation of premature infants –a model and its application. In: Proceedings of the GAMM-Workshop: Discrete Modellingand Discrete Algorithms in Continuum Mechanics, T. Sonar and I. Thomas (eds.), pp. 47–56.Berlin: Logos 2001

3. Breuß, M., Fischer, B., Meister, A.: The numerical simulation of unsteady heat conductionin a premature infant. Int. J. Num. Meth. Fluids 40, 253–261 (2002)

4. Breuß, M., Fischer, B., Meister, A.: An application of a blood flow model. In: Proceedings ofthe International Symposium on Algorithms for Approximation IV, J. Levesley, I. Anderson,J.C. Mason (eds.), pp. 428–436. Huddersfield: The University of Huddersfield 2002

5. Brück, K.: Temperature regulation in the newborn infant. Biol. Neonate 3, 65–119 (1961)6. Brück, K.: Heat Production and Temperature Regulation. In: Physiology of the neonatal

period, U. Stave (ed.), pp. 493–557. New York: Appleton-Century-Crofts 19707. Bußmann, O.: Modell der Thermoregulation des Früh- und Neugeborenen unter Einbezie-

hung der thermischen Reife. Dissertation, Institut für Medizintechnik. MU Lübeck 20008. Busto, R., Dietrich, W.D., Globus, M.Y., Ginsberg, M.D.: The importance of brain tempe-

rature in cerebral ischemic injury. Stroke 20, 1114–1134 (1989)9. Duck, F.A.: Physical Properties of Tissue – 1. Mammals. London: Academic Press 1990

10. Fiala, D., Lomas, K.J., Stohrer, M.: A computer model of human thermoregulation for a widerange of environmental conditions: the passive system. J. Appl. Physiol. 87 (5), 1957–1999(1999)

11. Fischer, B., Ludwig, M., Meister, A.: A finite volume method to compute the steady statetemperature distribution in premature or newborn infants. Z. Angew. Math. Mech. 81, 759–760 (2001)

12. Fischer, B., Ludwig, M., Meister, A.: The Thermoregulation of Infants: Modeling and Nu-merical Simulation. BIT 41, 950–966 (2001)

13. Gluckman, P.D., Williams, C.E.: When and why do brain cells die? Dev. Med. Child Neurol.34, 1010–1014 (1992)

14. Holliday, M.A.: Metabolic rate and organ size during growth from infancy to maturity andduring late gestation and early infancy. Pediatrics 47(1), suppl. 2, 169+ (1971)

15. Loziichuk, N.G., Onopchuk, Y.N.: Mathematical models of the thermoregulation system ofthe organism and their analysis. Cybern. Syst. Anal. 31, 605–617 (1995)

16. Ludwig, M.: Die numerische Simulation der Temperaturverteilungen in Früh- und Neuge-borenen. Diplomarbeit, FB Mathematik, Universität Hamburg 1999

17. Mallard, E.C., Williams, C.E., Johnston, B.M., Gluckman, P.D.: Neuronal damage in thedeveloping brain following intrauterine asphyxia. Reprod. Fertil. Dev. 7, 647–653 (1995)

18. Meister, A.: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2. Auflage. Wiesbaden: Vieweg 200519. Meister, A., Sonar, T.: Finite-volume schemes for compressible fluid flow. Surv. Math. Ind.

8, 1–36 (1998)20. Pennes, H.H.: Analysis of tissue and arterial blood temperatures in the resting human forearm.

J. Appl. Physiol. 1, 93–122 (1948)


21. Plato, R.: Numerische Mathematik kompakt, 2. Auflage. Braunschweig: Vieweg 200422. Protter, M. H., Weinberger, H. F.: Maximum principles in differential equations. New Jersey:

Prentice-Hall 196723. Simbruner, G.: Thermodynamic Models for Diagnostic Purposes in the Newborn and Fetus.

Wien: Facultas Verlag 198324. Thomas, K.: Thermoregulation in neonates. Neonatal Network 13 (2), 15–22 (1994)25. Tveito, A., Winther, R.: Einführung in partielle Differentialgleichungen. New York, Berlin,

Heidelberg: Springer 200226. Werner, J.: Regelung der menschlichen Körpertemperatur. Berlin, New York: de Gruyter

198427. Werner, J.: Thermoregulatory models. Scand. J. Work Environ. Health 15, suppl. 1, 34–46

(1989)28. Witzleb, E.: Funktionen des Gefäßsystems. In: Physiologie des Menschen, R. Schmidt, G.

Tews (eds.), pp. 505–572. Berlin: Springer 1990

Modellierung und numerische Simulation der Thermoregulation von Früh- und Neugeborenen

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