I MATTONI MATEMATICI DELLE CIVILTÀ ARCAICHE.

Aldo Bonet I mattoni matematici delle civiltà arcaiche Febbraio 2015

Aldo Bonet I mattoni matematici delle civiltà arcaiche Febbraio 2015 1

ALDO BONET

I MATTONI MATEMATICI DELLE CIVILTÀ ARCAICHE .

Dal Diagramma di argilla a modulo quadrato comparve l’algebra geometrica. Con l’argilla, i primitivi uomini mesopotamici plasmarono i mattoni. Dai mattoni imbastiti in circolo, scaturì spontaneamente una base poligonale a modulo quadrato; un Diagramma di argilla ricreativo: nacque l’algebra geometrica, l’alba del pensiero scientifico.

TRENTO –Febbraio 2015



ALDO BONET 1

Immagine identica e ripetuta che si rincorre in senso antiorario. Cromia pentagonale stilizzata.

Piatto della cultura Samarra - VI millennio a.C. La tipica decorazione in circolo poligonale visibile nel piatto di Samarra era molto comune su diversi vasellami rinvenuti e risalenti già all’epoca del neolitico mesopotamico.

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1. http://www.atuttascuola.it/collaborazione/bonet/index.htm



Introduzione. Nei miei precedenti articoli, abbiamo visto come già nel periodo tardo Uruk (3.200 a.C. circa), i Sumeri molto probabilmente conoscevano la relazione del Teorema di Pitagora sotto una forma di Regola empirica, al culmine di quel periodo cronologico del Vicino Oriente noto come “La rivoluzione urbana", proprio ai tempi di Ötzi, l’uomo del tardo neolitico alpino contemporaneo dell’uomo del tardo calcolitico mesopotamico. Una Regola che si dimostrò poi fondamentale per la nascita e il futuro dell’algebra e della geometria; fu visualizzata dagli artigiani Sumeri attraverso la loro formidabile macchina di svago. Questa macchina matematica di argilla comparve in Mesopotamia probabilmente nella seconda metà del IV millennio a.C. dopo una millenaria arte edile fatta con i mattoni standardizzati che iniziò nel neolitico aceramico ( le prime costruzioni edili in laterizio apparvero circa 10.000 anni fa); una macchina algebrica unica e versatile: Il Diagramma di argilla. Un Diagramma ludico, a fini didattici - educativi, che evocava i primi e più antichi giochi da tavolo allora conosciuti presso le prime civiltà arcaiche; era utilizzato come una sorta di gioco logico-enigmistico, fatto con mattoni movimentabili e sovrapponibili. I primi pionieri ellenici lo videro nella sua funzione didattica dentro le rinomate scuole degli scribi delle millenarie civiltà potamiche. Fortunatamente, tra i primi pionieri ellenici, nel VI sec.a.C., vi fu anche Pitagora di Samo che andò a visitare la Mesopotamia, l’India e l’Egitto; Pitagora, verosimilmente affascinato dalla semplicità e versatilità didattica di questa macchina algebrica di svago fatta in mattoni di argilla, la introdusse in Patria, a Crotone, nella Magna Grecia. Pitagora, tramite la stessa macchina di argilla, apprese dai babilonesi altre importanti relazioni: la generalizzazione della Regola Sumero-Babilonese, la soluzione dei problemi algebrici, le identità notevoli, la scoperta dello gnomone, la proprietà del rapporto aureo stimolata dall’operazione inversa della predetta Regola, i concetti di equivalenza di limite e infinto, lo sviluppo dei poligoni e dei poliedri regolari. Queste relazioni algebriche saranno raccolte e modernizzate, tre secoli dopo, dal matematico greco Euclide di Alessandria dentro i suoi famosi Elementi e, questi suoi volumi, si diffusero rapidamente nel mondo orientale e medio – orientale del mediterraneo. In seguito, il grande sapere matematico greco - orientale circolò in minima parte nell’impero romano e maggiormente nel mondo islamico, grazie a quest’ultimo poi, varcò il mondo medioevale europeo contribuendo alla sua rinascita, che prese il nome di: Rinascimento. Nei precedenti articoli abbiamo visualizzato col Diagramma di argilla la prima parte della Regola Sumero-Babilonese e con essa i primi concetti di equivalenza. Nel presente articolo ritroviamo non solo tali concetti ma anche una strada artigianale che portò probabilmente i Sumeri dai mattoni del Diagramma a modulo quadrato agli sviluppi dei poligoni regolari, al concetto creativo di limite e infinito, ripassando per induzione, alle forme poligonali equivalenti. La matematica dei mattoni nasce dalla primigenia arte (o scienza) delle costruzioni sviluppatasi dentro le primissime civiltà potamiche, una scienza arcaica che oggi bisognerebbe rivalutare come nuova materia universitaria scientifica di studio e da introdurre ufficialmente come corso propedeutico e che preveda anche, ore pratiche di laboratorio artigianale. Questa è una meta importante se si vuole arrivare a comprendere concretamente la strada più semplice che ha condotto l’uomo del tardo calcolitico mesopotamico verso l’arte algebrica e le figure basilari della geometria, entrando così, di fatto (e di diritto) nella storia. Una strada artigianale semplice e primordiale che dovrà essere soprattutto comprensibile ai non matematici. Propongo inoltre questo lavoro a tutti i seguenti specialisti di storia del pensiero scientifico:

• Jöran.Friberg • Duncan J. Melville • Jens Høyrup • Jean-Pierre_Houdin



1. DAL DIAGRAMMA A MODULO QUADRATO A QUELLO PENTAGO NALE REGOLARE.

Le mie ricerche mi avevano portato a ipotizzare che, gli antichi artigiani mesopotamici dovevano aver studiato di conseguenza anche altri tipi di diagrammi a moduli poligonali regolari che si potevano formare solo con mattoni trapezoidali e da imbastire allo stesso modo del diagramma di argilla a modulo quadrato. In una tavoletta cuneiforme di Susa si sono riscontrati dei rapporti riguardo a costanti appartenenti a dei poligoni regolari: O. Neugebauer “le scienze esatte nell’antichità”, 1974, pagg.66, 67.1 Non v’è dubbio, anche per quello che vedremo in seguito con altri miei articoli e con l’analisi linguistica e matematica dei problemi mesopotamici, che il Diagramma d’argilla a modulo quadrato, fatto con i primigeni mattoni rettangolari, è stato il capostipite della nascita e dello sviluppo presso le civiltà arcaiche, di una geometria e di un’algebra empirica prescientifica. Il Diagramma di argilla a modulo quadrato fu una ludica macchina algebrica in mattoni e di svago per gli artigiani mesopotamici, che divenne utile per la didattica nelle scuole dello scriba. Il diagramma di argilla a modulo quadrato è stato così l’archetipo di tutti gli altri, il paradigma prevalentemente utilizzato per le notevoli proprietà e fruttuose relazioni algebriche in esso contenute. Lo scoprire tempo dopo, nei Libri di Jöran Friberg la tavoletta mesopotamica MS 2192, fu la conferma di questa mia congettura e l’opportunità d’inserire e sviluppare questa mia ipotesi con maggiore consapevolezza. Vedere “Genesi del Teorema di Pitagora” pagg. 11-12, qui: http://www.atuttascuola.it/collaborazione/bonet/Genesi%20del%20Teorema%20di%20Pitagora.pdf Ripresento ora una strada possibile percorsa dagli antichi artigiani Sumeri, una tecnica che ha consentito di passare dal diagramma a modulo quadrato ai tipi di diagramma a modulo pentagonale, esagonale ecc. 2 La tecnica di base, che qui ripresento, fu verosimilmente utilizzata allo scopo di trovare lo stampo esatto dei mattoni di forma trapezoidale per ottenere una figura pentagonale regolare. Attraverso 1Questo tipo di matematica babilonese sui poligoni la ritroviamo nella Metrica di Erone di Alessandria (1° sec.d.C.). 2 Lettera dello Scriba, pagg. 130 – 138; 2010- http://ita.calameo.com/books/000054553a1ed87a4dafb Matematica di argilla, Marzo, 2012- http://www.atuttascuola.it/collaborazione/marco/matematica_di_argilla.htm



queste cinque fasi, puramente manuali, ripercorriamo la probabile tecnica di base che ha condotto l’antico artigiano mesopotamico alla scoperta dei poligoni regolari senza (cosa molto importante) il supporto di strumenti tecnici speciali. Prendiamo cinque mattoni standard, da costruzione, ancora freschi o di prima essiccatura…

Tecnica arcaica per la fabbricazione dei mattoni a stampo. Poi, iniziamo a imbastirli con la solita tecnica di disposizione in circolo già vista per il Diagramma a modulo quadrato, indicando, per comodità di esplicazione, con A e B due mattoni qualsiasi e adiacenti; vedere Fase I seguente…



Fase I

Fig. 1

L’angolo esatto di apertura si comprova e si puntella con l’ausilio (utile ma non indispensabile) di cinque cannette palustri uguali e intercalate ad hoc tra gli spigoli interni e consecutivi dei mattoni. Passiamo quindi alla fase di rifinitura. Si osserva che la linea di taglio o smussatura da tracciare sul fronte esterno di ogni laterizio (prendiamo ad esempio il mattone B) si ottiene semplicemente dal prolungamento della linea direttrice posta sul lato esterno del mattone A. Fu elementare osservare, per l’antico artigiano Sumero privo di strumenti speciali e di nozioni di angolo come misura, che l’apertura interna tra il fronte e il fianco dei mattoni era uguale all’apertura di taglio o di smussatura sul fronte di ogni mattone. Infatti, è sufficiente allo scopo adagiare in aderenza alla linea direttrice o del lato esterno del mattone A, un bastoncino o regolo solido di legno che si prolunga anche sulla linea di taglio del mattone B. Fatta la suddetta operazione, teniamo fermo (con una mano) il regolo, sulle facce superiori dei due mattoni A - B e lungo l’intera linea direttrice indicata in Fig. 1. Ruotiamo quindi (con l’altra mano) il fianco interno del mattone B, in senso orario, fino a unirlo con il fronte interno del mattone A…in altre parole, fino a chiudere o azzerare l’apertura.



Poi, di nuovo, facendo sempre perno con i due rispettivi spigoli dei due mattoni A - B, ruotiamo ancora, ma in senso antiorario, lo stesso mattone B in modo da ricreare l’apertura angolare interna tra i due mattoni; questa prova empirica rudimentale ci fa osservare agevolmente che: la stessa apertura interna, posta a destra del regolo o della linea, aumenta simultaneamente e di pari ampiezze con la conseguente apertura di taglio esterna, posta alla sinistra della linea o del regolo. Si tracceranno pertanto sulle facce superiori di ogni mattone, in modo preciso e facile tramite lo stesso regolo, le cinque linee di taglio per passare alla Fase II successiva…

Fase II

Ecco qui i cinque tagli (o incisioni) compiuti in modo chirurgico sui mattoni ancora freschi o di prima essiccatura che vanno a formare dei singoli pezzi, tutti uguali, a forma di cuneo o di triangolo rettangolo solido.

Fig. 2

Il taglio di smussatura va a interessare tutto il fronte esterno di ogni singolo mattone e coincide con l’ipotenusa del triangolo rettangolo tagliato. Ora, separiamo temporaneamente dall’intera struttura i cinque cunei di argilla fresca a forma di triangolo rettangolo che riutilizzeremo nella Fase III successiva…



Fase III Inseriamo quindi i cinque cunei o triangoli rettangoli solidi di argilla, ognuno incuneato all’interno di ogni singola apertura assicurandoci di far combaciare il cateto maggiore, di ogni cuneo tagliato, con il fronte interno di ogni mattone presente nell’imbastitura, il tutto, sino al completamento dell’intera operazione.

Fig. 3

I cunei di argilla a triangolo rettangolo s’incastrano perfettamente negli spazi angolari vuoti o aperti per effetto dell’imbastitura di base iniziale e il cateto minore, di ogni singolo cuneo tagliato, forma un preciso prolungamento di congiunzione tra i rispettivi fianchi interni dei cinque mattoni. Il metodo applicato è quello dell’invarianza dell’area o volume/mattone e il mutamento della forma. Con l’argilla ancora fresca, si plasmeranno i nuovi singoli mattoni in un esemplare unico di nuova foggiatura. Nelle nuove foggiature a forma di trapezio isoscele, gli angoli tra le basi (minore e maggiore) e i due lati obliqui, rispettivamente di 108° e 72°, si sono così formati automaticamente mediante una tecnica arcaica di messa in opera puramente manuale (senza l’ausilio di strumenti speciali) quasi alla stessa maniera dell’imbastitura del Diagramma di argilla a modulo quadrato.



Fase IV

I mattoni così foggiati a forma di trapezio isoscele, serviranno a costruire il diagramma a modulo pentagonale regolare.

Fig. 4 Si rimuovono le cinque cannette che erano servite per puntellare l’imbastitura iniziale, in modo da completare l’essiccatura finale del nuovo diagramma a modulo pentagonale, come nella fase V seguente…



Fase V

DIAGRAMMA DI ARGILLA A MODULO PENTAGONALE.

Fig. 5 IL DIAGRAMMA A MODULO PENTAGONALE RISULTA PERTANTO UGUALE ALLA COSTRUZIONE -TIPO A- DI - FIG.6 SEGUENTE CHE AVEVO IPOTIZZATO… Lettera dello Scriba, pagg. 130-138, Calameo, anno 2010.



Fig. 6

I Sumeri, con la stessa tecnica di base puramente manuale e già vista per il diagramma pentagonale costruirono, mediante sei mattoni standard iniziali e trasformati poi in sei trapezi isosceli, il conseguente diagramma di argilla a modulo esagonale, vedere Fig. 6 / 7 tipo A:



Fig. 7

2. PICCOLO INTERMEZZO STORICO

A B

Le immagini A e B sono rispettivamente il fronte e il retro di una tessa tavoletta nota come TMS 2 e risalente al tardo periodo Babilonese Antico. Nel fronte A è presente un ettagono regolare, mentre nel retro B è presente un esagono regolare, entrambi iscritti in un cerchio.

Questa tavoletta fu rinvenuta in una missione archeologica in Iran e fu tradotta e studiata da E.M. Bruins e M.Rutten che la pubblicarono in un libro dal titolo: Textes Mathématiques de Suse (Testi matematici di Susa), Parigi 1961. Questa tavoletta dimostra anche una certa teoria numerica dei poligoni regolari confermata da un terzo testo dentro il quale ci sono 70 costanti per il pentagono, l'esagono e l'ettagono. Il problema esposto proponeva di calcolare l'altezza di uno dei triangoli interni che componevano i poligoni regolari.



3. PRIMITIVI CONCETTI DI LIMITE E INFINITO GEOMETRI CO.

Ritornando al più antico periodo Sumerico, con i mattoni pieni, gli antichi artigiani potevano proseguire così alla costruzione matematica di tutti i diagrammi poligonali regolari senza l’ausilio di strumenti particolari o speciali ma soltanto con la stessa tecnica manuale di base. Attraverso i mattoni da costruzione, l’uomo mesopotamico, avrebbe potuto fecondare nella sua mente l’ovulo embrionale del primordiale concetto creativo di moltitudine e d’infinito, Fig.8/a:

Fig. 8/a Di conseguenza, l’antico artigiano mesopotamico, attraverso i mattoni, avrebbe fecondato nella mente l’ovulo embrionale del primordiale concetto creativo di unicità e di limite, Fig.8/b:

Fig. 8/b

I Sumeri però, a mio parere, non trovarono facilmente la tecnica manuale per costruire il diagramma limite a modulo triangolare. Probabilmente, solo giungendo alla costruzione del diagramma a modulo esagonale (Fig. 9) e mediante i suoi mattoni trapezoidali, fecero una fortuita e attraente scoperta:



Fig. 9

Accostando invece (Fig.9) la base minore di altri due mattoni trapezoidali (o due dello stesso esagono) al lato obliquo esterno di un qualunque mattone trapezoidale del diagramma esagonale, si ottiene straordinariamente, tramite la solita imbastitura in circolo, quello a modulo triangolare. Vediamo meglio in Fig.10, qui di seguito, le fasi d’imbastitura artigianale per creare il diagramma a modulo triangolare…

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Fig. 10

Se si ribaltata (o si capovolge) un mattone del diagramma a modulo esagonale (Fig.10) con la base maggiore orientata a destra, assumendo come asse di ribaltamento la stessa base maggiore (x), oppure analogamente, se si ruota nel piano, lo stesso mattone di 180°, assumendo come asse di rotazione un qualsiasi spigolo del mattone, si otterrà un laterizio trapezoidale con la base maggiore (x) orientata a sinistra.



Se poi, ne prendiamo altri due d’identica foggiatura e li disponiamo tutti e tre in circolo, con la base minore (z) accostata al lato obliquo (d), formeremo di conseguenza il diagramma a modulo triangolare regolare come quello in Fig.11- tipo A, che avevo ipotizzato…

Fig. 11

1. La costruzione tipo A, di Fig. 11, è esattamente quella (Fig. 12) stilizzata che compare nella tavoletta MS 2192: un triangolo equilatero costituito da tre trapezi isosceli, disposti in circolo e, la loro regolarità geometrica è comprovata anche dalle misure numeriche presenti sulla tavoletta. Una tavoletta risalente all’inizio del periodo Babilonese Antico; studiata da Jöran Friberg che l’ha pubblicata nei suoi due libri: Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics pag. 80 e A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts pagg. 202 – 205 - Appendice pag. 488. La tavoletta di questo insolito triangolo equilatero stilizzato dallo scriba, rappresenta, a mio parere, la planimetria3 di un singolare modello geometrico tridimensionale fatto di tre mattoni a trapezio isoscele disposti in circolo: il Diagramma di argilla a modulo triangolare.

Tav. MS 2192

Fig. 12

3 Appendice - pag 22 – Tav. 1: Re architetto di Lagash che tiene sul grembo la planimetria del suo progetto edile.



2. La costruzione tipo B, di Fig. 11, che avevo ipotizzato, trova invece una notevole similitudine con un problema presente nella Metrica di Erone ( Fig. 13)

Fig. 13

Se, sopra i tre mattoni trapezoidali tracciamo una diagonale (da sinistra verso destra) e poi li imbastiamo in circolo, si genererà un diagramma triangolare che evoca il problema 4 presente nel Libro III della Metrica di Erone di Alessandria (1° sec.d.C.). Come ho già detto in nota 1 a pag.4, gli storici sono oramai concordi nel ritenere che la matematica di Erone era essenzialmente di tipo babilonese.4 Pertanto, a mio parere, è molto probabile che Erone fosse anche a conoscenza del più semplice Diagramma di argilla a modulo quadrato e con esso, degli algoritmi risolutivi babilonesi per le equazioni di diverso grado. Erone, come tutti i greci di quel periodo, rivestì una tradizione di collegamento che riuniva l’antica scienza delle civiltà potamiche con quella ellenica. Difatti, come ho citato più volte nel mio libro “ La Scienza di Talete”, vi fu un filo conduttore che legò la scienza strumentale di Talete con quella dei maggiori pensatori greci successivi. Tutte le costruzioni poligonali in mattoni del tipo B, forse, hanno stuzzicato l’idea del metodo di esaustione di Antifonte (480-410 a.C.), sviluppato da Eudosso di Cnido (408-355 a.C.) e applicato abilmente da Archimede (287-212 a.C.).

4. DAL DIAGRAMMA A MODULO QUADRATO A QUELLO OTTAGON ALE.

Abbiamo visto, attraverso i mattoni pieni trasformati manualmente in un trapezio isoscele, come sia facile passare dal diagramma di argilla a modulo quadrato a quelli di tipo regolare: pentagonale, esagonale, triangolare, eptagonale, ottagonale, ecc … Adesso vi mostrerò come, attraverso un’altra tecnica artigianale, sia altrettanto facile passare direttamente dal Diagramma di argilla a modulo quadrato al tipo ottagonale…a dimostrazione che il Diagramma di argilla a modulo quadrato fu l'archetipo di tutti gli altri, il paradigma utilizzato principalmente per la notevole versatilità e importanti relazioni algebriche contenute. 4 Un problema che si trova in una tavoletta BM 80209, risalente al periodo Babilonese Antico lo ritroviamo anche nella Geometria dello pseudo-Erone, una matematica sopravissuta e che si ritrova con altri problemi pressoché identici anche nell’Algebra di Al- Khuwarizmi (IX sec.d.C.).



Con i mattoni pieni ancora freschi o di prima essiccatura, disposti in circolo a modulo quadrato (Fig.14 –tipo A), si riporta sulla linea esterna del fianco X, quindi, sulla faccia superiore di ogni mattone, la misura Y del fronte per poi tracciare la linea di taglio (Fig.14 –tipo B). Il diagramma ottagonale così ottenuto, tuttavia, non è regolare (Fig. 14-tipo C-D); per costruirlo regolare, bisognerebbe che dal punto di riporto si possa tracciare una linea obliqua di taglio pari a quella della base minore (X-Y) del mattone foggiato a forma di trapezio rettangolo ma non è questo il caso che voglio qui affrontare.

Fig.14

Desidero invece far notare, come questa tecnica empirica visibile nel tipo di costruzione: B-C-D di Fig. 14, è molto simile sia a quella probabilmente utilizzata nel problema numero 50 del Papiro di Rhind sia con la figura indicata dallo Scriba egiziano per il problema numero 48 dello stesso papiro5; dietro questa figura si nasconde, probabilmente, una procedura simile a quella descritta nei Śulvasūtra della matematica Vedica indiana6. 5 Unexpected Links between Egyptian and Babylonian Mathematics, page 41,Fig. 2.1.4 e page 42 , Fig. 2.1.5. 6 Paolo Zellini,1999, GNOMON, una indagine sul numero. Milano: Adelphi, page: 254-255-256-257



Si può vedere (Fig.15) come l’antico artigiano Sumero avrebbe potuto trovare anche per il Diagramma a modulo ottagonale (con mattoni a trapezio rettangolo) una relazione di equivalenza del tutto simile a quella già trovata sulla strada della loro Regola empirica (il "teorema di Pitagora" dell'alta antichità), scoperta con il Diagramma a modulo quadrato e come vedremo, in modo analogo, anche per il Diagramma di argilla a modulo triangolare:

Fig.15

Il quadrato costruito sulla diagonale maggiore è equivalente all’unione dei quadrati costruiti sulla base maggiore e sull'altezza del mattone a trapezio rettangolo.

Fig.16: Modello in argilla di una casa circolare Sumera, datata intorno al III millennio a.C. In rosso, linee stilizzate sul modello che evocano il Diagramma a modulo ottagonale, Fig.15 tipo A.



Gli stessi ragionamenti di equivalenza visti sul Diagramma a modulo quadrato e ottagonale si possono estendere analogamente alla costruzione del Diagramma a modulo triangolare tipo B:

Fig. 17: Il quadrilatero (A-B-C-D) costruito sulla diagonale dei mattoni a trapezio isoscele del diagramma a modulo triangolare, è equivalente all’unione dei triangoli equilateri costruiti sulla base maggiore (x) e sul lato obliquo (d) dei mattoni trapezoidali. Area del quadrilatero (A-B-C-D) = Area del poligono (A-B-C-D-E)



Fig.18: Area del quadrilatero ( A-B-C-D) = Area del poligono ( A-B-C-D-E)

Il quadrilatero (A-B-C-D) è simile a quello esposto nel catalogo della geometria Babilonese Appendice 2 - pag 444, quadrilateri e trapezoidi,- 1 c - p (+ pr-Sum)? e alle pagg. 343- 348; 366-372; 377-383; 391 nel libro: Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics di Jöran Friberg. Questa tecnica di tassellatura con mattoni movimentabili e sovrapponibili fu probabilmente utilizzata anche nella cultura Harappa (3000 aC) e sicuramente nella matematica Vedica indiana dei mattoni per la costruzione degli altari di fuoco:

Fig.19 : Analogia con la tecnica rituale Vedica degli altari fuoco sul principio d’invarianza dell’area e mutamento della forma, partendo dal Diagramma a modulo quadrato.



Analogia con la tecnica rituale Vedica sulla regola di Baudhayana e Apastamba:

Fig. 20 : L’area y2 è uguale alla forma gnomonica pari a 2nx + n2 = 2nd - n2

Da sinistra in alto: Altare a forma di airone, altare a forma di ibis ?, altare a forma di un uomo, altare a forma di un quadrupede, altare a forma di toro, altare forma di ariete. Una tecnica rituale che trova una forte analogia con il Tangram cinese e lo Stomachion archimedeo.

La matematica nelle civiltà arcaiche nacque dai mattoni del Diagramma a modulo quadrato.7

7 Appendice - pag 22 - Tav. 2- Tracce del Diagramma di argilla a modulo quadrato sopravvissuto in Italia.



APPENDICE

Tav. 1: Particolare del re architetto Gudea di Lagash (2144-2124 a.C.) con la planimetria del suo progetto, statua in diorite, Parigi-Louvre.

Tav. 2: Diagramma a modulo quadrato sopravvissuto nei mosaici delle Domus romane.

L’autore, Aldo Bonet, ha deciso di distribuire i contenuti con licenza Creative Commons “Creative Commons, Attribuzione – Non commerciale 2.5 Italia License” ossia, mettere gratuitamente l’articolo a disposizione a patto che gli sia attribuita la paternità e si accetti di non alterarlo sia nei contenuti sia nelle immagini né di trasformarlo o estrapolarlo anche solo parzialmente per crearne altri, come pure di non utilizzarlo per fini commerciali perché l’autore crede fermamente nella nobile condivisione dei contenuti. Ogni riproduzione (totale o parziale) o citazione futura del presente articolo e di tutte le ricerche personali dell’autore, predilige il cautelativo benestare dall’autore stesso. Il presente articolo è pubblicato da Luigi Gaudio sul Portale ATUTTASCUOLA – Febbraio – 2015 su richiesta dell’autore.



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I MATTONI MATEMATICI DELLE CIVILTÀ ARCAICHE.

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