FACULDADE ANHANGUERA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS TEORIA ELETROMAGNÉTICA APLICADA AO ESTUDO DE...

FACULDADE ANHANGUERA

DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS

CURSO DE BACHARELADO

EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Anderson da Cruz

[email protected]

RA: 3722691527

Anderson R. Santos

[email protected]

RA: 4440876887

Luciano Motta

[email protected]

RA: 4656866992

Paulo Sergio

[email protected]

RA: 4412839313

Ricardo L. Medeiros

[email protected]

RA: 3773761232

Professor orientador:

Maurício Boruchowski

Anhanguera Educacional

[email protected]

TEORIA ELETROMAGNÉTICA APLICADA AO ESTUDO DE CAPACITORES

RESUMO

O desafio desta ATPS é pesquisar a utilização tecnológica dos capacitores que está presente em nosso cotidiano e um dos objetivos da teoria eletro-magnética é fornecer os princípios básicos para esse dispositivo prático projetado pelos Engenheiros. Palavras-Chave: eletromagnetismo, tecnologia e capacitores.

ABSTRACT

The challenge of this ATPS is researching the use of capacitor technology that is present in our daily lives and one of the goals of electromagnetic theory is to provide the basics for this handy device designed by engi-neers. Keywords: electromagnetic, technology, the capacitor.

ATPS: TEORIA ELETROMAGNÉTICA APLICADA AO ESTUDO DE CAPACITORES

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 03

2. ETAPA 1 (Analise vetorial, Lei de Coulomb, Lei de Gauss e Energia Potencial) ..... 04

2.1. PASSO 1 ................................................................................................................................ 05

2.2. PASSO 2 ................................................................................................................................ 07

2.3. PASSO 3 ................................................................................................................................ 07

2.4. PASSO 4 ................................................................................................................................ 07

3. ETAPA 2 (Materiais Dielétricos e Capacitância) ........................................................ 09

3.1. PASSO 1 ................................................................................................................................ 09

3.2. PASSO 2 ................................................................................................................................ 09

3.3. PASSO 3 ................................................................................................................................ 11

3.4. PASSO 4 ................................................................................................................................ 12

4. ETAPA 3 ( Lei de Ampere e Campo Magnético. Indutância. Circuitos Magnéticos.) ...... 12

4.1. PASSO 1 ................................................................................................................................ 12

4.2. PASSO 2 ................................................................................................................................ 13

4.3. PASSO 3 ................................................................................................................................ 14

4.4. PASSO 4 ................................................................................................................................ 15

5. ETAPA 4 (Equações de Maxwell e Condições de Contorno.) ............................................ 16

5.1. PASSO 1 ................................................................................................................................ 17

5.2. PASSO 2 ................................................................................................................................ 18

5.3. PASSO 3 ................................................................................................................................ 19

5.4. PASSO 4 ................................................................................................................................ 20

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 28

7. CRÉDITOS .................................................................................................................. 29


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1. INTRODUÇÃO

Nesta atividade, estudaremos sobre eletromagnetismo tendo como base o estudo

das principais características, estrutura física e princípios de funcionamento dos capaci-

tores, a fim de aplicar os conceitos estudados em situações que envolvam campos elétri-

cos.


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2. ETAPA 1.

Aula-tema: Analise Vetorial. Lei de Coulomb. Lei de Gauss. Energia Potencial.

Essa atividade é importante para compreender a ação e a distância entre duas partículas sem haver uma ligação visível entre elas, e entender os efeitos dessa partícula sujeita a uma força criada por um campo elétrico no espaço que as cerca.

O estudo dos tópicos sugeridos pela aula-tema: Analise Vetorial, Lei de Cou-lomb, Lei de Gauss e Energia Potencial, são a base mínima de conhecimento para com-preensão de como são identificados e analisados, o sentido, direção, velocidade, com-primento, deslocamento das forças elétricas entre as cargas no fluxo eletrostático.

A Lei de Coulumb constatou que a intensidade da força elétrica é diretamente proporcional ao produto das cargas elétricas. A intensidade da força elétrica é inversa-mente proporcional ao quadrado da distância entre os corpos. Assim temos a equação que relaciona a intensidade da força elétrica (F) como sendo:

Onde:

Q1 e Q2 é carga elétrica de cada corpo que são medidas em Coulomb (C);

d é a distância entre as partículas;

k é a constante dielétrica do meio no caso do vácuo é de 9x109 Nm2/C2.

A Lei de Gauss relaciona o fluxo total (ΦE) que atravessa essa superfície com a carga total q envolvida por ela, proveniente das cargas elétricas. Assim:

Onde:

ΦE é o fluxo;

Є0 é a constante de permissividade no vácuo;

q é a carga elétrica.


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2.1 PASSO 1.

Pesquise por notícias que envolvem a utilidade dos capacitores e suas aplicações nas mais diversas áreas.

Um capacitor é constituído por dois condutores denominados armaduras, que são eletrizadas por cargas elétricas de sinais contrários, mas com valores absolutos iguais. Essas armaduras são separadas por um meio isolante denominado dielétrico, que pode ser o ar, vácuo, porcelana, vidro, plástico e até mesmo o hexafluoreto de enxofre, que é um composto químico inorgânico utilizado principalmente pela indústria elétrica como meio isolante e extintor de arco elétrico.

Figura 1 – Estrutura do capacitor.

O capacitor é um componente largamente utilizado em circuitos eletrônicos, tais como computadores, televisores, aparelhos de GPS, flashes de máquinas fotográficas, start de lâmpadas fluorescentes, em circuitos elétricos de ignição de motores de corrente alternadas, e infinitas outras aplicações.

Existem muitos tipos de capacitores para as mais diversas aplicações. Os capaci-tores são classificados, geralmente, com relação ao material do seu dielétrico.

Os tipos mais comuns são:

• Capacitores Cerâmicos (disco cerâmico, tipo “plate” e multicamadas);

• Capacitores de Filme Plástico (de poliéster, policarbonato, polipropileno e poliestireno);

• Capacitores Eletrolíticos de Alumínio;

• Capacitores Eletrolíticos de Tântalo;

• Capacitores Variáveis;


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Figura 2 – Tipos de Capacitores.

Figura 3 – Representações do Capacitor

A unidade de capacitância é o Farad (F), dado pela relação Coulomb por Volt. Dizemos, então, que um dispositivo tem a capacitância de 1 Farad quando uma carga de 1 Coulomb armazenada fizer estabelecer um potencial elétrico de 1 Volt.

As sub-unidades mais usuais são o microfarad (µF), o nanofarad (nF) e o picofa-rad (pF), pois o Farad é uma unidade muito grande.

2.2 PASSO 2.

Determinar a distância em que um elétron liberado da placa negativa passa por um próton, que é liberado da placa positiva, ambos em repouso e liberados ao mesmo tempo de cada placa, considerando que não ocorra interação entre eles.

Só o elétron se desloca de uma placa para outra, percorrendo a distância de 0,02m (dado da ATPS “...capacitor com 2 cm de distância de forma quadrangular...”).


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2.3 PASSO 3.

Calcular a velocidade desse elétron liberado quando ele atinge a superfície da placa oposta, considerando que levou um tempo de 1,5 x 10-8 s.

V = Vo + at

V = 1,78x1014

x 1,5x10-8

V = 2,67 x106

m / s

2.4 PASSO 4.

Calcular a densidade superficial de carga nas unidades do SI (C / m2). A partir desse resultado, determinar o campo elétrico Ē em termos dos vetores unitários num ponto logo à esquerda das placas, entre as placas, e à direita das placas. Calcular tam-bém a diferença de potencial entre essas duas placas.

(parte do repouso)

Logo,

Campo Elétrico (entre as placas)


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Obs.: O campo elétrico do lado direito e também do lado esquerdo das placas é

nulo.

Diferença de potencial

Densidade superficial de cargas (em material condutor)

3. ETAPA 2.

Aula-tema: Materiais Dielétricos e Capacitância

Essa atividade é importante para compreender a definição de capacitância e seus efeitos quando há introdução de um dielétrico no capacitor.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

3.1 PASSO 1.

Demonstrar matematicamente, no caso particular de um capacitor de placas pa-ralelas, a partir da Lei de Gauss e da Diferença de Potencial entre duas placas, que a equação da capacitância para placas paralelas é dada por C= Ɛ0 x A / d e calcular o valor dessa capacitância para o nosso caso de estudo.


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3.2 PASSO 2.

Pesquisar o significado do termo deslocamento elétrico . Demonstrar matema-ticamente, no caso particular de um capacitor de placas paralelas, que a Lei de Gauss

com dielétrico é dada por .

(deslocamento elétrico) é um vetor. É responsável pelos efeitos das cargas li-vres dentro da matéria. No espaço livre, o campo de deslocamento elétrico é equivalente a densidade do fluxo elétrico.

A Lei de Gauss dissemos que as cargas estavam no vácuo. Agora vamos modi-ficar e generalizar a lei que possa ser aplicada ao interior de materiais dielétricos. Vamos supor que a carga q das placas seja a mesma nas duas situações, o campo elétrico entre as placas induz cargas nas superfícies do dielétrico. Na ausência de um dielétrico

podemos calcular o campo elétrico entre as placas. Envolvemos a carga +q da placa superior com uma superfície gaussiana e aplicamos a lei de Gauss.

Chamando de o módulo do campo, temos:

ou

Com um dielétrico no espaço entre as placas, podemos calcular o campo mag-nético entre elas (e no interior do dielétrico) usando a mesma superfície gaussiana. En-tretanto, agora a superfície envolve dois tipos de cargas: a carga +q da placa superior do capacitor e a carga induzida –q’ da superfície superior do dielétrico. Dizemos que a car-ga da placa do capacitor é uma carga livre porque pode se mover sob a ação de um cam-po elétrico aplicado; a carga induzida na superfície do dielétrico não é uma carga livre, pois não pode deixar o local em que se encontra.

Como a carga total envolvida pela superfície gaussiana da é q – q’, a lei de Gauss nos dá:

ou

Como o efeito do dielétrico é dividir por k o campo original , podemos escrever:

Comparando as equações, temos:

A equação mostra corretamente que o valor absoluto q’ da carga induzida na su-perfície do dielétrico é menor que o da carga livre q e que é zero na ausência de um die-létrico (caso em que k = 1).


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Substituindo q – q’ pelo seu valor dado, podemos escrever a lei de Gauss com dielétrico na forma abaixo:

Esta equação, embora tenha sido demonstrada para o caso particular de um ca-pacitor de placas paralelas, é valida para todos os casos e constitui a forma mais geral da lei de Gauss. Observe o seguinte:

A integral de fluxo agora envolve o produto e não simplesmente . (O vetor

recebe o nome de deslocamento elétrico e é representado pelo símbolo . Assim a

equação também pode ser escrita na forma .

A carga q envolvida pela superfície gaussiana agora é tomada como sendo apenas a carga livre. A carga induzida nas superfícies do dielétrico é deliberadamente ignorada do lado direito da equação, pois seus efeitos já foram levados em conta quando a constante dielétrica k foi introduzida do lado direito.

Mantemos k no integrando da equação para incluir os casos em que k não é a mesma em todos os pontos da superfície gaussiana.

3.3 PASSO 3.

Calcular a quantidade de carga acumulada com a aplicação de potencial com a introdução de um dielétrico no capacitor estudado. Considerar que no capacitor seja aplicado com uma diferença de potencial V0 entre as placas. Em seguida, a bateria é des-ligada e um dielétrico, feito de poliestireno de espessura a e constante dielétrica k, é in-troduzido entre as placas. Supor que a A = 10 cm2; V0 = 80 V; a = 1,75 cm. Encontrar o campo elétrico E0 nos espaços entre as placas do capacitor e o dielétrico e o campo elé-trico E1 no interior do dielétrico.

Obs: como a bateria utilizada para carregar o capacitor foi desligada antes da in-trodução do dielétrico, a carga das placas não muda com a inserção do dielétrico.

= ?

Considerações: a distancia entre as placas é de 2cm e a espessura do dielétrico é de 1,75cm. Sendo assim, a carga envolvida é apenas a carga da placa do capacitor, pois haverá um espaço vazio entre o capacitor e o dielétrico.


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= ?

Dielétrico (poliestireno), k = 2,5

3.4 PASSO 4.

Calcular a diferença de potencial (V) e a capacitância (C) entre as placas depois da introdução do dielétrico e comparar esses valores com o valor inicial e o quão impor-tante é a introdução de dielétrico nessa situação.

A diferença de potencial diminuiu com a inserção do dielétrico, mas a capaci-tância aumentou.

A introdução do dielétrico limita a diferença de potencial que pode ser aplicada entre as placas a um valor , conhecido como potencial de ruptura. Quando este valor é excedido, o material dielétrico sofre um processo conhecido como ruptura e passas a permitir a passagem de cargas de uma placa para outra placa. A todo material dielétrico pode ser atribuída uma rigidez dielétrica, que corresponde ao máximo valor de campo elétrico que o material pode tolerar sem que ocorra processo de ruptura.

4. ETAPA 3.

Aula-tema: Lei de Ampere e Campo Magnético. Indutância. Circuitos Magnéti-cos.

Essa atividade é importante para discutir as semelhanças e diferenças nos con-ceitos que envolvem dois dispositivos armazenadores de energia, os capacitores e indu-tores.



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Lei de Ampere

Campo Magnético

Indutância

Circuitos Magnéticos

4.1. PASSO 1.

Pesquisar em livros da área, revistas e jornais, ou sites da internet, as caracterís-ticas que assemelham e diferem quanto aos capacitores e indutores.

Capacitores e indutores são elementos passivos, como os resistores, mas ao in-vés de dissipar energia estes elementos são capazes de absorver e fornecê-la, pois a energia absorvida fica armazenada na forma de campo elétrico ou magnético. Capacito-res e indutores podem ser lineares ou não lineares, variantes ou invariantes e também podem ser associados como as resistências.

Características dos capacitores: capacitor é um elemento capaz de armazenar energia elétrica. É composto por duas placas condutoras metálicas separadas por um iso-lante chamado dielétrico.

Seu comportamento elétrico consiste em uma corrente elétrica entrando em uma das placas do capacitor obrigando a outra placa a ter uma saída de mesma corrente atra-vés de repulsão eletrostática. Depois de algum tempo as duas placas estarão carregadas. As cargas armazenadas produzem um campo elétrico de tal forma que se estabelece uma diferença de potencial entre as placas.

Só existe corrente nos terminais de um capacitor enquanto o mesmo estiver sen-do carregado ou descarregado. Quanto mais carga armazenada maior será a diferença de potencial entre as placas.

A relação entre a quantidade de carga armazenada e a tensão admitida entre as placas de um capacitor chama-se Capacitância. Esta pode ser expressa através da fórmu-la:


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A energia armazenada no capacitor é dada por:

Através dos estudos sobre carregamento e descarregamento do capacitor pode-se concluir que:

• Em regime permanente, um capacitor carregado comporta-se como um circuito aberto em tensão contínua constante, mas permite a condução de corrente no circuito para a tensão variável;

• A corrente admitida é diretamente proporcional à variação de tensão no tempo, sendo a capacitância C a constante de proporcionalidade, como mostra a fórmula abaixo:

• A tensão nos terminais de um capacitor não pode sofrer variações instan-tâneas bruscas, pois se ocorresse uma variação instantânea a corrente tenderia ao valor de infinito, o que não é fisicamente possível. Por isto afirma-se que o capacitor se opõe a variação de tensão;

• A corrente no capacitor pode variar instantaneamente; • Só existe corrente no ramo do capacitor enquanto existir variação de ten-

são sobre ele (pois se ∆V tende a zero, então tende a zero). • Quando a corrente é máxima, a tensão é nula; quando a tensão é máxima

a corrente é nula;

O gráfico abaixo mostra a curva da tensão alternada senoidal aplicada sobre o capacitor. Os momentos de maior variação da tensão ocorrem quando seu valor está próximo de zero e, portanto, nestes instantes teremos os maiores valores de corrente no ramo do capacitor. Por outro lado, nos instantes em que a tensão está próxima de seu valor máximo sua variação é muito pequena, o que implica em valor de corrente baixo.

Corrente adiantada 90° da tensão.


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Com base nesse raciocínio, se aplicada uma tensão senoidal a um capacitor será verificado que quando a tensão for crescente, a corrente assume seus valores máximos. Quando a tensão for máxima, a corrente é nula. Desta forma, pode-se concluir que a cor-rente resultante no capacitor também e senoidal e apresenta uma defasagem de 90° em relação à tensão (ela estará sempre adiantada).

Reatância capacitiva: é a oposição ao fluxo de cargas que resulta no intercambio contínuo de energia entre a fonte e o campo elétrico do capacitor carregando e descarre-gando continuamente. O capacitor não dissipa energia.

A reatância capacitiva é a medida da oposição que um capacitor oferece à va-riação da tensão entre seus terminais. Para frequências muito altas, o capacitor compor-ta-se praticamente como um curto circuito, pois a oposição é mínima; para frequências muito baixas ele se comporta praticamente como um circuito aberto, pois a oposição é máxima.

Características do indutor: indutor é um elemento passivo que tem a possibilida-de de armazenar energia na forma de campo magnético, quando percorrido por uma cor-rente.

Ele se auto induz, ou seja, quando a corrente que passa no indutor está variando, o fluxo magnético provocado por ela também varia e induz uma tensão nos terminais do indutor.

A tensão induzida se opõe a variação de corrente e pode ser expressa através da fórmula:

Onde:

= Tensão induzida nos terminais do indutor (V);

N = Número de espiras da bobina indutora;

= Taxa de variação do fluxo magnético no tempo (Wb/s).

Indutância: representada pela letra “L” é a medida da capacidade do indutor de armazenar energia no campo magnético através de uma autoindução de tensão.

Características:

• No indutor, a tensão auto induzida é diretamente proporcional à variação de corrente no tempo, sendo L a constante de proporcionalidade.

.

• Em regime permanente, um indutor comporta-se como um curto circuito em corrente contínua, mas proporciona uma tensão nos terminais quando em corrente alternada, devido à autoindução.


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• A corrente nos terminais não pode sofrer variações instantâneas bruscas, pois se a tensão tenderá a um valor infinito, o que não é fisicamen-te possível.

• A tensão no indutor pode variar instantaneamente. • Só existe tensão induzida no ramo do indutor enquanto existir variação

de corrente sobre ele. • Quando a tensão induzida é máxima, a corrente é nula; quando a corrente

é máxima a tensão é nula.

Os momentos de máxima variação da corrente ocorrem quando seu valor está próximo de zero, e, portanto, nestes instantes temos os maiores valores de tensão no in-dutor. Por outro lado, nos momentos em que a corrente está próxima de seu valor de pi-co a sua variação é muito pequena, o que implica em um valor de tensão baixo.

A partir destas observações podemos concluir que a tensão resultante no indutor também é senoidal e apresenta uma defasagem de 90° com relação a corrente (a corrente estará atrasada).

Corrente atrasada 90° da tensão.

Reatância Indutiva: é a medida da oposição que um indutor oferece à variação de corrente em seus terminais. Sua fórmula é:

- módulo da reatância indutiva (Ω).

- frequência angular (rad/s)

L – Indutância (H)

A reatância indutiva ( ) depende da indutância L do indutor e da frequência f do sinal aplicado. Quanto maior a frequência maior o valor de , portanto, maior sua ação limitadora a variação de corrente. Para frequências muito baixas uma reatância in-dutiva é quase zero, o que significa que um indutor em corrente continua constante e um curto circuito.


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Por outro lado, para frequências muito altas, assume valores muito altos, o que significa que o indutor se comporta como circuito aberto.

A reatância indutiva não dissipa energia (desde que os efeitos da resistência dos fios da bobina sejam ignorados).

Em corrente contínua constante a frequência é nula e a reatância indutiva tam-bém. O indutor se comporta como um curto-circuito.

Em corrente alternada, quando a frequência tende a um valor muito alto, a rea-tância indutiva também aumenta muito. O indutor se comporta como um circuito aberto.

4.2. PASSO 2.

Mostrar matematicamente que a energia armazenada para o capacitor é dada por:

O trabalho necessário para carregar um capacitor deve ser feito através de um agente externo. Durante o carregamento, à medida que os elétrons vão sendo transferi-dos de uma placa para outra, é necessário um trabalho cada vez maior, pois esta transfe-rência produz um campo elétrico no espaço entre as placas que se opõe a novas transfe-rências.

Este trabalho se transforma na energia potencial elétrica U do campo elétrico existente entre as placas. É possível recuperar esta energia descarregando o capacitor através de um circuito elétrico.

Supondo que, num dado instante, uma carga q’ tenha sido transferida de uma placa do capacitor para outra. A diferença de potencial V’ entre as placas neste instante é q’/C. se uma carga adicional dq’ é transferida, o trabalho adicional necessário para esta transferência é dado por:

O trabalho necessário para carregar o capacitor com uma carga final q é dado por:

Como este trabalho é armazenado na forma de energia potencial (U) do capaci-tor, temos:

Comparando com a equação q = CV, a equação acima também pode ser escrita sob a forma:


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Mas as duas equações são válidas, qualquer que seja a geometria do capacitor.

Para ilustrar o fenômeno do armazenamento de energia em capacitores, conside-remos dois capacitores de placas paralelas e de características idênticas, exceto pela dis-tancia entre as placas que no capacitor 1 é duas vezes maior que no capacitor 2. Neste caso, o volume entre as placas do capacitor 1 é duas vezes maior que no capacitor 2; além disso, de acordo com a equação C = ( A)/d, a capacitância do capacitor 2 é duas vezes maior que a do capacitor 1. Se os dois capacitores possuem a mesma carga q, os campos elétricos entre as placas são iguais. A energia armazenada no capacitor é duas vezes maior que a do capacitor 2. Assim, se dois capacitores com a mesma geometria tem a mesma carga e, portanto, o mesmo campo elétrico entre as placas, aquele que um volume duas vezes maior possui uma energia armazenada duas vezes maior. Esta análi-se confirma a afirmação a seguir:

A energia potencial armazenada em um capacitor carregado esta associada ao campo elétrico existente entre as placas.

4.3. PASSO 3.

Comparar os termos da equação obtidos no Passo 2 com os termos que aparecem na equação de energia armazenada para o indutor.

A energia armazenada num capacitor é dada através da equação:

Onde:

U – energia armazenada no campo elétrico

C – Capacitância

V - Tensão nos terminais do capacitor

A energia armazenada por um indutor é dada através da equação:

Onde:

- energia armazenada no campo magnético

L – Indutância

I – corrente


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A energia que o capacitor armazena é no campo elétrico, pois este é criado na transferência de partículas carregadas de uma placa para outra do capacitor; e é dada em função da tensão. A tensão não pode variar abruptamente nos terminais do capacitor, caso contrário não haveria derivada neste ponto.

E a energia armazenada no indutor é no campo magnético, pois, quando o indu-tor é percorrido por uma corrente elétrica, há um acúmulo de cargas positivas na entrada e negativas na saída do indutor. Esse acúmulo de cargas representa um armazenamento de energia em campo magnético, conforme Faraday provou através da equação

, em que o sinal negativo indica que há armazenamento de energia. A corren-

te não pode variar abruptamente nos terminais do indutor, pois não haveria derivada neste ponto.

4.4. PASSO 4.

Mostrar que se colocarmos em série um indutor de indutância L conectado a n capacitores em paralelo (ou em série) de capacitância ; a frequência natu-ral é dada por:

Apresentar qual o análogo mecânico a esse sistema.

Frequência natural é a frequência de oscilações de grande amplitude que ocorre quando são aplicados impulsos com uma frequência apropriada a sistemas elétricos, ele-trônicos ou mecânicos. Quando ela ocorre o sistema entra em estado de ressonância.

Um circuito elétrico ressonante precisa ter indutância e capacitância. Também precisa de resistência para controlar a forma da curva de ressonância.

Os circuitos RLC tem impedância . O circuito está em resso-nância quando , o que remove a componente reativa da equação da impedância total.

A frequência de ressonância pode ser determinada em termos da indutância e da capacitância do circuito a partir da equação de definição da ressonância:

Fazendo a substituição, temos:

Onde:

F – frequência de ressonância

L – indutância (H)

C – capacitância (F)


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Como a impedância Z, na ressonância, é igual a resistência R, a impedância tem um valor mínimo. Com a impedância mínima, o circuito tem uma corrente máxima de-terminada por I = V/R. o circuito ressonante tem um ângulo de fase igual a 0° de forma que o fator de potência é unitário. A impedância de entrada é puramente resistiva.

Para circuitos em que o indutor esteja em paralelo com o(s) capacitor (es), inde-pendente destes capacitores estarem em serie ou paralelo entre si, não se aplica a fórmu-la acima. XL deve estar em série com XC para que a esta possa ser aplicada.

5. ETAPA 4.

Aula-tema: Equações de Maxwell e Condições de Contorno.

Essa atividade é importante para compreender quatro equações fundamentais do eletromagnetismo conhecidas como equações de Maxwell, e que constituem a base para o funcionamento de dispositivos eletromagnéticos.


5.1. PASSO 1.

Pesquisar sobre as equações de Maxwell e o significado físico de cada uma de-las.

James Clerk Maxwell foi um cientista pouco conhecido em seu tempo, (exceto por pessoas do meio acadêmico), que conseguiu unir em quatro equações tudo o que se sabia sobre eletricidade e magnetismo em sua época. Foram inseridos em suas equações (e com precisão) estudos feitos por cientistas importantes como Volta, Ampère, Gilbert, Gauss, Faraday, Ohm, Oersted, Tesla, Coulomb, Biot e Savart.

As quatro equações de Maxwell são:


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A primeira de suas equações descreve como um campo elétrico varia em função da distancia e da quantidade de cargas elétricas;

A segunda derruba a tese de outro cientista chamado Mesmer que defendia a existência de “cargas magnéticas”. Maxwell provou que elas não existem e que, sendo assim, não se pode descrever variações de campos magnéticos através delas.

A terceira mostra como um campo magnético variável induz campo elétrico;

E a quarta descreve como um campo elétrico variável induz campo magnético.

Baseado nas equações de Maxwell, que trás implícitas ondas eletromagnéticas, o cientista Hertz foi motivado a provar, através de suas experiências, a existência dessas ondas que, mais tarde, com o avanço em estudos de propagação destas mesmas, funda-mentaram o que hoje conhecemos por telecomunicação.

Em relação aos materiais eletrotécnicos, os fenômenos observáveis como, por exemplo, o efeito pelicular nos condutores e o efeito Meissner nos materiais supercon-dutores são explicáveis por recorrência às Equações de Maxwell. O estudo das teleco-municações, a análise dos circuitos elétricos de corrente contínua e de corrente alterna-da, o estabelecimento das equações gerais das máquinas elétricas, o tratamento das li-nhas de transporte de energia, assentam igualmente num trabalho de base efetuado a par-tir daquelas equações. Através da estreita ligação entre as Equações de Maxwell e o computador, a moderna Engenharia Electrotécnica tem vindo a desenvolver modelos matemáticos numéricos que permitem analisar e projetar, em duas e em três dimensões, a propagação de ondas electromagnéticas, a propagação de ondas de choque em enrola-mentos de máquinas e dispositivos elétricos, os campos magnéticos em máquinas elétri-cas de geometria clássica e não convencional como sucede nos motores lineares, o efeito pelicular em condutores elétricos e em materiais magnéticos, e os grandes geradores e transformadores em centrais elétricas.

A importância das equações de Maxwell estende-se a gestos simples e mecani-zados como, por exemplo, aspirar ao chão, ver um filme em formato DVD e utilizar o telemóvel, mais não são que um ativar das Equações de Maxwell diretamente em nosso proveito.

5.2. PASSO 2.

Mostrar, a partir de uma das equações de Maxwell, que a equação do campo magnético para um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R, a uma distancia r do eixo central das placas na situação , e sendo carregado, é dada por:

Mostrar que a equação do campo magnético induzido para o mesmo capacitor, na situação é dada por:


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Capacitor de placas paralelas e circulares de raio R

Sendo o percurso circular:

Portanto:

Obs: Para que exista densidade de corrente J é necessário que o campo elétrico varie com o tempo.

Logo,

Para r > R

5.3. PASSO 3.

Determinar o valor absoluto entre as placas a uma distância r = R/5 do ei-xo do capacitor, em termos de µ0 e i. Calcular também o campo magnético induzido a essa mesma distância.


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5.4. PASSO 4.

Elaborar um relatório intitulado “Relatório: Teoria Eletromagnética aplicada ao estudo de Capacitores”, de acordo com o item “Padronização”, que consta nesta ATPS, com o conteúdo desenvolvido em todas as Etapas e entregar ao professor na data agen-dada.


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6. REFERÊNCIAS LITERÁRIAS

• Condutores, capacitores e dielétricos. Site pesquisado. Disponível em :

https://docs.google.com/file/d/0Bx50NPmVz1UwV2ljRXRXa2dBTUk/edit.

Acesso em : 13 de setembro de 2014.

• Capacitores. Disponível em:

https://docs.google.com/file/d/0Bx50NPmVz1UwbWEwcUMxSUthMkE/edit

Acesso em : 13 de setembro de 2014.

• Analise Vetorial. Disponível em:

http://www.cpdee.ufmg.br/~joao/Eletromagnetismo/Eletromag01New1.pdf.

Acesso em: 13 de setembro de 2014.

• Lei de Coulomb. Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/fisica/a-

lei-coulomb.htm. Acesso em: 13 de setembro de 2014.

• Lei Glauss. Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/fisica/lei-

gauss.htm. Acesso em: 13 de setembro de 2014.

• Energia Potencial. Disponível em:

http://www1.univap.br/spilling/F1/10_ConservEnergia.pdf. Acesso em: 13 de

setembro de 2014.

• Figuras do Capacitor. Disponível em:

http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2013/08/um-pouco-sobre-

capacitores.html . Acesso em: 21 de setembro de 2014.

• Capacitores e indutores. Disponível em:

https://docs.google.com/open?id=0Bx50NPmVz1UwQVFvZGNkWGlNS1k.

Acesso em: 16 de novembro 2014.

• Sobre as Equações de Maxwell. Disponível em:

https://docs.google.com/open?id=0Bx50NPmVz1Uwc2J1UEZzRXNEdXM.

Acesso em: 16 de novembro de 2014.

• Elementos Armazenadores de Energia. Dísponível em:

https://docs.google.com/open?id=0Bx50NPmVz1UwVi1JQ2dEbGFVcTg.

Acesso em: 16 de novembro de 2014.

• SADIKU, Matthew N.O.Elementos de Eletromagnetismo. 3a ed. Porto Ale-

gre: Bookman, 2004, v.1.

• HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de

física. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2009 vol 3.


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7. CRÉDITOS

Os créditos desse trabalho são conferidos aos autores dos sites e livros utilizados

para a realização deste, que foram alicerce importantíssimo para a fundamentação técni-

ca.

São dados créditos também aos companheiros de curso e ao professor desta dis-

ciplina.

FACULDADE ANHANGUERA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS TEORIA ELETROMAGNÉTICA APLICADA AO ESTUDO DE...

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