ANHANGUERA EDUCACIONAL

FACULDADE ANHANGUERA DE RIBEIRÃO PRETO

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO & MECÂNICA

CÁLCULO NUMÉRICO

Professora Rafaela Castelhano de Souza

ATPS

ETAPAS 3 & 4

Série: 3a. B

Alunos: (A) 8061802324 - Marcelo A. Ferreira

(A) 8492249131 – Fernando A. Silva (A) 8098937253 – Sergio Pereira Souza

(M) 8411135285 – Rogério de Souza (M) 8405992737 – Mauricio S. Gomes

RIBEIRÃO PRETO

2015

S U M Á R I O

1.  ETAPA  3  ..........................................................................................................................  1  1.1  PASSO  1  ................................................................................................................................  1  1.2  PASSO  2  ................................................................................................................................  1  1.3  PASSO  3  ................................................................................................................................  4  

2.  ETAPA  4  ..........................................................................................................................  4  2.1  PASSO  1  ................................................................................................................................  4  2.1  PASSO  2  ................................................................................................................................  4  2.3  PASSO  3  ................................................................................................................................  9  

3.  CONCLUSÃO  .................................................................................................................  10  

4.  BIBLIOGRAFIA  ...............................................................................................................  11  

 

   

 

  1    

1.  ETAPA  3  

1.1  PASSO  1      

INTRODUÇÃO: O Cálculo Numérico é conjunto de métodos, ferramentas ou

procedimentos utilizados para solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses

procedimentos se aplicam principalmente aqueles problemas que não apresentam uma solução

exata, portanto precisam ser resolvidos de modo numérico. Na maior parte da matemática um

problema não pode ser resolvido de forma analítica, os métodos numéricos tornam-se a

alternativa de solução.

Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as

quais é possível lidar de uma única vez. Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da

matemática aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente

problemas de diversas áreas das engenharias, tais como: geração de imagens digitais, cálculos

de estruturas, planejamento de produção, circuitos elétricos, balanceamento químico, etc.

1.2  PASSO  2  

Considerar um circuito elétrico representado por:

Onde, i1 , i2 e i3 são as correntes e Z1 = 10, Z2 = 8 , e Z3 = 3 , as impedâncias pelas

quais as correntes passam. A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos

afirmar:

  2    

I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118.

Afirmativa VERDADEIRA, pois:

   𝑖1 +  𝑖2 + 𝑖3   = 0

10𝑖1 − 8𝑖2                   = 65

                   8𝑖1                   − 3𝑖3 = 120      

Montando as matrizes:

𝐴 =1 1 110 8 08 0 −3

𝐵 =065120

Calculando a Determinante da Matriz A, calculo obtido através do software GeoGebra

5:

                               Comando: DET_A = Determinante( A )

Resultado: DET

A=118

  3    

II – a matriz inversa de A, denotada por A−1 = 0,20 0,02 0,070,25 −0,09 0,081 0,07 0,15

Afirmativa FALSA, pois:

Calculando a Matriz Inversa de A, calculo obtido através do software GeoGebra 5,

difere da matriz denotada, como pode ser observado abaixo:

                               Comando: M = MatrizInversa( A )

Resultado:

𝐴𝐼 =0,20 0,03 0,070,25 −0,09 0,080,54 0,07 −0,15

III – o sistema é possível e determinado (sistema compatível) e a solução é dada por:

i1 =9,79; i2 =4,11; i3 =−13,9.

Afirmativa VERDADEIRA, pois:

Multiplicando a Matriz A-1 versus a Matriz B, calculo obtido através do software

GeoGebra 5, temos os seguintes dados:

                               Comando: M = A_1 * B

Resultado:

𝑀 =9,794,11  −13,9  

  4    

1.3  PASSO  3    

Os registro dos cálculos realizados no passo anterior, resultando na seguinte codificação:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. Número Associado: 0 Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada. Número Associado: 1 Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.    Número Associado: 1

Código gerado: | 0 1 1 |

2.  ETAPA  4  

2.1  PASSO  1      

Os métodos iterativos, assim como os métodos exatos, são utilizados para resolver

sistemas lineares. Estes métodos são aplicados, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes

é uma matriz com muitos elementos iguais a zero. Em termos computacionais, são mais

econômicos pois utilizam menos memória no computador e também podem ser aplicados para

a resolução de equações não lineares.

2.1  PASSO  2      

 

1. Desafio A

Dada a Matriz: 𝐴 =  

2 1 3 02 2 5 12 1 4 01 1 3,5 2,5

Sobre a decomposição LU, podemos afirmar que:

  5    

I – A Matrix “L” é dada por: 𝐿 =  

1 0 0 12 1 0 11 0 1 00,5 0,5 1 1

Afirmativa FALSA, pois:

Calculando a matriz quadrangular inferior, calculo obtido através do

software VCN 5p1 conforme visto na Figura 1, temos os seguintes valores:

𝑳 =  

𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟏 𝟎𝟎,𝟓 𝟎,𝟓 𝟏 𝟏

II – A Matrix “U” é dada por: 𝑈 =  

2 1 3 00 1 2 10 0 1 00 0 0 2

Afirmativa VERDADEIRA, pois:

Calculando a matriz quadrangular superior, calculo obtido através do

software VCN 5p1 conforme visto na Figura 1, temos os seguintes valores:

𝑼 =

𝟐 𝟏 𝟑 𝟎𝟎 𝟏 𝟐 𝟏𝟎 𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟐

Figura 1: Calculo de Matriz L e U

  6    

2. Desafio B

Considerar os sistemas:

I – A solução do sistema “A” é X1 =0,999999, X2 = −1 e X3 = 3.

Afirmativa FALSA, pois:

Calculando o sistema, calculo obtido através do software VCN 5p1

conforme visto na Figura 3, temos os seguintes valores de X: X1 = 1, X2 = -1 e

X3 = 3.

Figura 2: Entrada dos Valores do Sistema

Cálculo Numérico

12

II – a matriz U é dada por:

2000

0100

1210

0312

2. Desafio B Considerar os sistemas:

(a)

=++

=++

=+−

1142

325 2

8 4

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(b)

−=+−−

=−++−

=+−+

=++

333

43

1 2

2

4321

4321

4321

421

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

Utilizando a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos com arredondamento, podemos afirmar que:

I – a solução do sistema (a) é 3 e 1 ,999999,0 321 =−== xxx .

II – tanto no sistema (a) quanto no sistema (b), a troca das equações não altera a solução;

III – a solução do sistema (b) é 3,0 e 0,6 2,1; ;4,0 4321 ===−= xxxx ;

IV – o valor do determinante da matriz A do sistema (b) é -10.

Passo 3 (Equipe)

Resolver os desafios apresentados no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados e apresentados ao professor quando esta etapa for concluída.

Para o desafio A:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

Cálculo Numérico

12

II – a matriz U é dada por:

2000

0100

1210

0312

2. Desafio B Considerar os sistemas:

(a)

=++

=++

=+−

1142

325 2

8 4

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(b)

−=+−−

=−++−

=+−+

=++

333

43

1 2

2

4321

4321

4321

421

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

Utilizando a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos com arredondamento, podemos afirmar que:

I – a solução do sistema (a) é 3 e 1 ,999999,0 321 =−== xxx .

II – tanto no sistema (a) quanto no sistema (b), a troca das equações não altera a solução;

III – a solução do sistema (b) é 3,0 e 0,6 2,1; ;4,0 4321 ===−= xxxx ;

IV – o valor do determinante da matriz A do sistema (b) é -10.

Passo 3 (Equipe)

Resolver os desafios apresentados no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados e apresentados ao professor quando esta etapa for concluída.

Para o desafio A:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

  7    

Figura 3: Exibição do Calculo do Sistema

II – Tanto no sistema “A” quanto no sistema “B”, a troca das equações não altera a

solução;

Afirmativa FALSA, pois:

Trata-se de um Sistema Possível e Determinado, ao ser resolvido

encontraremos uma única solução, ou seja, apenas um único valor para as

incógnitas.

III –A solução do sistema “B” é X1 = −0,4; X2 =2,1; X3 = 0,6 e X4 = 0,3;

Afirmativa VERDADEIRA, pois:

Calculando matriz quadrada dos coeficientes, calculo obtido através do

software VCN 5p1 conforme visto na Figura 4, temos os seguintes da matriz

das incógnitas:

  8    

𝑋 =

−0,4

2,1

0,6

0,3  

   

Figura 4: Resultado da Matriz das Incógnitas

IV – O valor do determinante da matriz A do sistema “B” é -10.

Afirmativa VERDADEIRA, pois:

Calculando matriz quadrada dos coeficientes, calculo obtido através do

software VCN 5p1 conforme visto na Figura 5, temos o calculo do valor da

determinante da matriz A sendo -10.

  9    

Figura 5: Calculo da Determinante da matriz A

2.3  PASSO  3  

   Resolver os desafios apresentados no passo 2, julgando as afirmações apresentadas

como certa ou errada.

Para o desafio A:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. Número Associado: 1 Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada. Número Associado: 0

Código gerado: | 1 0 |

Para o desafio B:

Associar o número 1, se a afirmação I estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação I estiver errada. Número Associado: 0

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada. Número Associado: 1

  10    

Associar o número 0, se a afirmação III estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação III estiver errada. Número Associado: 0

Associar o número 1, se a afirmação IV estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação IV estiver errada. Número Associado: 1

Código gerado: | 0 1 0 1 |

3.  CONCLUSÃO  

Como proposto neste desafio, após a confirmação das afirmações apresentadas como

certa ou errada, associando os números de 0 ou 1 para cada enquete, temos os seguinte

códigos como resultado:

Etapa 3: 0 1 1

Etapa 4: 0 1 0 1

Após a conclusão de todas as etapas, o código de barra palíndromo completo com seus

34 algarismos:

1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1

Representação gráfica do código em formato Entrelaçado 2x5:

  11    

 

4.  BIBLIOGRAFIA  

Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, Ruggiero, Marcia A

Gomes & Lopes, Vera Lucia, 2a. Edição, Makron Books, 1996.

Fundamentos de Calculo Numérico para Engenheiros, Régis S. De Quadros & Álvaro L. De Bortoli, disponível em: http://iseibfacige.com.br/biblioteca/wpcontent/uploads/2013/05/calculo-numerico-bortoli.pdf, acessado em 04/06/2015.