VEKTOR

A. Vektor Secara Geometri

1. Ruas garis berarah AB= b – a

2. Sudut antara dua vektor adalah

3. Bila AP : PB = m : n, maka:

B. Vektor Secara Aljabar

1. Komponen dan panjang vektor: a =

(a1 ¿) (a2 ¿)¿¿

¿¿= a1i + a2j + a3k;

|a| = √a12+a2

2+a32

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

a b =

(a1 ¿) (a2 ¿)¿¿

¿¿

(b1 ¿) (b2 ¿)¿¿

¿¿=

(a1±b1 ¿) (a2±b2 ¿ )¿¿

¿¿; ka = k

(a1 ¿) (a2 ¿)¿¿

¿¿=

(ka1 ¿) (ka2 ¿)¿¿

¿¿

C. Dot Product

Apabila diketahui a =

(a1 ¿) (a2 ¿)¿¿

¿¿ dan b =

(b1 ¿) (b2 ¿)¿¿

¿¿, maka:

1. a · b = |a| |b| cos

= a1b1 + a2b2 + a3b3

2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3

3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos

4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos

5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0

D. Proyeksi Vektor

1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a

|p| =

a⋅b|a|

2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a

p =

a⋅b|a|2

⋅a

SOAL PENYELESAIAN1. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1),

dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …a.

b. π2

c. π3

d. π6

e. 02. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1,

2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u

mewakili AB dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …a. 30b. 45c. 60d. 90e. 120

3. Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan …a. 30ºb. 45ºc. 60ºd. 90ºe. 120º

4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm.

Jika AC wakil vektor u dan wakil DHadalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah …a. 0b. 30c. 45d. 60e. 90

5. Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector

orthogonal vector a pada vector b adalah …a. i – j + k b. i – 3j + 2kc. i – 4j + 4kd. 2i – j + ke. 6i – 8j + 6k

6. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j – 8kc. –2i + 2j – 4kd. –i + 2j + 3ke. –i + j – 2k

7. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8,

–1), dan C(1, 0, 7). Jika ABwakil vector

u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …

a. 3i –65 j +

12

√5 k

b. 3√5 i –6

√5 j + 12

√5 k

c. 95 (5i – 2j + 4k)

d. 2745 (5i – 2j + 4k)

e. 955 (5i – 2j + 4k)

8. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan

C(5, 0, –3). Proyeksi vektor AB pada

AC adalah …

a. 14 (3i + j – 2k)

b. 314 (3i + j – 2k)

c. −17 (3i + j – 2k)

d. −314 (3i + j – 2k)

e. − 3

7 (3i + j – 2k)9. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan

C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan

BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah …

a. –3i – 6j – 9kb. i + 2j + 3k

c.13 i +

23 j + k

d. –9i – 18j – 27ke. 3i + 6j + 9k

Jawab : a

10. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektorb = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …a. –7b. –6c. 5d. 6e. 7

11. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …a. –2 atau 6b. –3 atau 4c. –4 atau 3d. –6 atau 2e. 2 atau 6

12. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3,

–2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah … a. –12i + 12j – 6kb. –6i + 4j – 16kc. –4i + 4j – 2kd. –6i – 4j + 16ke. 12i – 12j + 6k

13. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).

Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2kb. 2i – 4j – 2kc. 2i + 4j – 2kd. i – 2j – ke. i + 2j – k

14. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k.

Jika vektor a tegak lurus b maka vector a – c = … a. –58i – 20j –3kb. –58i – 23j –3kc. –62i – 20j –3kd. –62i – 23j –3ke. –62i – 23j –3k

15. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah …

a. √10

b. √13

c. √15

d. 3√2

e. 9√2

16. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …

a.56

b.32

c.132

d.436

e.536

17. Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k, dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …a. 2i – 4j + 2k

b. 2i + 4j – 2k

c. –2i + 4j – 2kd. 2i + 4j + 2k

e. –2i + 4j + 2k

18. Diberikan vektor a =

(−2 ¿ ) ( p ¿ ) ¿¿

¿¿dengan p

Real dan vektor b =

( 1¿ ) ( 1¿ )¿¿

¿¿. Jika a dan b

membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …

a.124√7

b.52√7

c.54√7

d.514√7

e.27√7

19. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal

dari vektor v =

(2 ¿ ) (−3¿ )¿¿

¿¿terhadap vektor u =

(−1 ¿ ) (2¿ )¿¿

¿¿, maka w = …

a.

(1 ¿ ) (−1¿ ) ¿¿

¿¿d.

(2 ¿ ) (−4 ¿ )¿¿

¿¿

b.

(0 ¿ ) (−1¿ )¿¿

¿¿e.

(−2 ¿ ) (4 ¿ )¿¿

¿¿

c.

(0 ¿ ) (1¿ )¿¿

¿¿20. Diketahui a + b = i – j + 4k dan

| a – b | = √14 . Hasil dari a · b = … a. 4b. 2c. 1

d.12

e. 0

21. Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = …

a. 5b. 6c. 10d. 12e. 13

22. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …

a. –43 (2 1 1)

b. –(2 1 1)

c.43 (2 1 1)

d. (43 1 1)

e. (2 1 1)

KUMPULAN SOAL Menentukan sudut antara dua vektor.

1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k danb = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan …a. 30º c. 60º e. 120ºb. 45º d. 90º

2. Diketahui vektor a=6 i−3 j−3 k ,

b=2 i− j+3 k dan c=−5 i−2 j+3 k .

Besar sudut antara vektor a dan b+ c adalah ....a. 300 c. 600 e. 1500

b. 450 d. 900

3. Diketahui vektor a= i−2 j+2 k dan

b=− i+ j . Besar sudut antara vektor a dan b adalah ....a. 300 c. 600 e. 1350

b. 450 d. 1200

4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4

cm. Jika AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah …a. 0 c. 45 e. 90

b. 30 d. 60

5. Diketahui |a|=√2 , |b|=√9 ,

|a+b|=√5 . Besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah ….a. 450 c. 1200 e. 1500

b. 600 d. 1350

6. Diketahui |a|=√6 , (a –b ).(a +b ) =0,

dan a . (a –b ) = 3. Besar sudut antara

vektor a dan b adalah ….

a. π6 c.

π3 e.

2π3

b. π4 d.

π2

7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …

a. c. π3 e. 0

b. π2 d.

π6

8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u

mewakili AB dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …

a. 30 c. 60 e. 120b. 45 d. 90

9. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k. Jika a dan b membentuk sudut , maka nilai sin  = ....

a. 57 c.

512√6 e.

67√6

b. 27√6 d.

67

10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, jika a dan b membentuk sudut , maka tan = ... .

a. 13√5 c.

√5√14 e.

114√5

b. 314√14 d.

15√14

11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = … a. –58i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k

b. –58i – 23j –3k e. –62i – 23j –3kc. –62i – 20j –3k

12. Diberikan vektor a =

(−2 ¿ ) ( p ¿ ) ¿¿

¿¿dengan p

Real dan vektor b =

( 1¿ ) ( 1¿ )¿¿

¿¿. Jika a dan b

membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …

a. 124√7 c.

54√7 e.

27√7

b. 52√7 d.

514√7

13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …a. –2 atau 6 c. –4 atau 3 e. 2 atau 6b. –3 atau 4 d. –6 atau 2

KUMPULAN SOAL Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.

1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal

dari vektor v =

(2 ¿ ) (−3¿ )¿¿

¿¿terhadap vektor u

=

(−1 ¿ ) (2¿ )¿¿

¿¿, maka w = …

a.

(1 ¿ ) (−1¿ ) ¿¿

¿¿c.

(0 ¿ ) (1¿ )¿¿

¿¿e.

(−2 ¿ ) (4 ¿ )¿¿

¿¿

b.

(0 ¿ ) (−1¿ )¿¿

¿¿d.

(2 ¿ ) (−4 ¿ )¿¿

¿¿2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3)

pada u = (4 2 2) adalah …

a. –43 (2 1 1) c.

43 (2 1 1) e. (2 1

1)

b. –(2 1 1) d. (43 1 1)

3. Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …a. i – j + k d. 2i – j + kb. i – 3j + 2k e. 6i – 8j + 6kc. i – 4j + 4k

4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …a. –4i + 8j + 12k d. –i + 2j + 3kb. –4i + 4j – 8k e. –i + j – 2kc. –2i + 2j – 4k

5. Diketahui vektor a=i−2 j+k dan

vektor b=i+ j−k . Proyeksi

ortogonal vektor a pada b adalah …

a.

23 ( 1

1−1) c.

13 ( 1

1−1) e.

−32 ( 1

1−1)

b.

−23 ( 1

1−1) d.

−13 ( 1

1−1)

6. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7,

8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika ABwakil

vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …

a. 3i –65 j +

12

√5 k d. 2745 (5i – 2j +

4k)

b. 3√5 i –6

√5 j + 12

√5 k e. 955 (5i – 2j +

4k)

c. 95 (5i – 2j + 4k)

7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1)

dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u

dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah …a. –3i – 6j – 9k d. –9i – 18j – 27kb. i + 2j + 3k e. 3i + 6j + 9k

c. 13 i +

23 j + k

8. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –

3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah … a. –12i + 12j – 6k d. –6i – 4j + 16kb. –6i + 4j – 16k e. 12i – 12j + 6kc. –4i + 4j – 2k

9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1,

0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah …

a. 2i – 4j + 2k d. i – 2j – kb. 2i – 4j – 2k e. i + 2j – kc. 2i + 4j – 2k

10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –

3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah …

a. 14 (3i + j – 2k) d. −

314 (3i + j –

2k)

b. 314 (3i + j – 2k) e.

− 37 (3i + j – 2k)

c. −17 (3i + j – 2k)

11. Panjang proyeksi vektor

a=−2 i+8 j+4 k pada vektor

b=pj+4k adalah 8. Maka nilai p adalah ....a. – 4 c. 3 e. 6b. – 3 d. 4

12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vector b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …a. –7 c. 5 e. 7b. –6 d. 6

13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …

a. 56 c.

132 e.

536

b. 32 d.

436