Matematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar...

Matematika Teknik Dasar-24 – Aljabar Vektor-1Sebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Kuantitas Skalar dan Vektor

Kuantitas Fisis dibagi menjadi dua, yaitu:

1. Kuantitas skalar: kuantitas yang didefinisikan secara lengkap oleh bilangan tunggal dengan satuan yang sesuai, misalnya: panjang; luas; volume; massa; waktu; dll.Begitu satuannya dinyatakan kuantitas ditentukan seluruhnya oleh ukuran dan magnitudonya.

2. Kuantitas Vektor: Didefinisikan secara lengkap jika diketahui bukan saja magnitudo (dengan satuan) tetapi juga arah ke mana vektor itu beroperasi, misalnya: gaya; kecepatan; percepatan.Kuantitas vektor melibatkan arah dan magnitudo.


Suatu gaya F yang bekerja pada titik P yang merupakan kuantitas vektor, dimana untuk mendefinisikan gaya ini seluruhnya harus diberikan:

▪ Magnitudo dan

▪ Arah Vektor


Maka pada contoh di bawah bisa dibedakan sebagai berikut:

▪ Suhu 100oC adalah kuantitas skalar

▪ Akselerasi gravitasi 9,8 m/det2 secara vertikal ke bawah adalah kuantitas vektor

▪ Bobot 10 kg massa adalah kuantitas vektor

▪ Jumlah Rp 2500 adalah kuantitas skalar

▪ Angin laut yang bertiup ke arah utara sebesar 15 knot adalah kuantitas vektor

Representasi Vektor

Sebuah kuantitas vektor dapat direpresentasikan secara grafis, dimana:

a. Panjang garisnya menandakan magnitudo kuantitas, sesuai dengan skala vektor yang diberikan

b. Arah garis menandakan arah bekerjanya kuantitas vektor.Aeah ditunjukkan oleh mata panah.

Contoh sebuah gaya mendatar 35N ke kanan, akan ditandai garis dan jika 1cm mewakili10 N maka garis akan mengarah ke kanan sepanjang 3,5cm.

Dimana jika dinamakan vektor AB maka kuantitas vektor AB disebut sebagai 𝐴𝐵 atau a

Magnitudo kuantitas vektor ditulis dengan 𝐴𝐵 , atau 𝒂 atau cukup dengan AB atau a

Representasi Vektor

Dimana jika dinamakan vektor AB maka kuantitas vektor AB disebut sebagai 𝐴𝐵 atau a

Magnitudo kuantitas vektor ditulis dengan 𝐴𝐵 , atau 𝒂 atau cukup dengan AB atau a

Representasi Vektor

Dalam contoh di bawah bisa dilihat sebuah 𝐵𝐴 merepresentasikan suatu kuantitas vektor yang magnitudonya sama tetapi dengan arah yang berlawanan.

Dua Vektor yang Sama

Dua vektor a dan b dikatakan sama apabila memiliki magnitudo dan arah yang sama.

Jika a = b, maka:

a. a = b (magnitudonya sama)

b. Arah a = arah b, dengan kata lain, kedua vektor sejajar dan berarah sama.

Dua Vektor yang Sama

Jika ada dua vektor a dan b sedemikian rupa sehingga b = -a, maka bisa disimpulkan:

a. Vektor a dan b memiliki magnitudo sama

b. Vektor-vektornya sejajar tetapi memiliki arah berlawanan.

Jenis – Jenis Vektor

1. Vektor posisi 𝐴𝐵 terjadi apabila titik A tetap.

2. Vektor Garis adalah sedemikian rupa sehingga vektor dapat digeser sepanjang garis kerjanya, misalnya gaya mekanis yang bekerja pada sebuah benda

3. Vektor Bebas tidak dibatasi oleh apapun. Vektor ini didefinisikan secara lengkap oleh magnitudo dan arahnya dan dapat digambar sebagai salah satu dari kumpulan garis sejajar yang panjangnya sama.

Penambahan Vektor

Jumlah dari dua vektor, 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶, didefinisikan sebagai vektor tunggal atau vektor ekuivalen atau vektor resultan 𝐴𝐶.

yang berarti 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶

atau a +b = c

Dalam mencari jumlah vektor dua vektor a dan b digambar sebagai sebuah rantai, dimana dimulai dari vektor pertama yang dilanjutkan dari ujungnya oleh vektor kedua; dengan jumlah c adalah vektor tunggal yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor kedua

Penambahan Vektor

Contoh:

p = gaya 40N bekerja ke arah timur

q = gaya 30N bekerja ke arah utara

maka magnitudo dari jumlah vektor r dari kedua gaya p dan q adalah:

r2 = p2 + q2

r2 = 402 + 302

r = 50N

Jumlah dari Beberapa Vektor a + b + c + d + ...

Cara dalam menyelesaikan adalah:

a. Gambar vektor-vektor tersebut dalam suatu rantai

b. Kemudian operasikan:a + b =𝐴𝐶𝐴𝐶 + c = 𝐴𝐷𝐴𝐷 + d = 𝐴𝐸a + b + c + d = 𝐴𝐸

Maka jumlah vektor a + b + c + d, diberikan oleh

vektor tunggal yang menghubungkan pangkal

vektor pertama dan ujung vektor terakhir.


Sama halnya dalam kasus berikut:

𝑃𝑄 + 𝑄𝑅 + 𝑅𝑆 + 𝑆𝑇 = 𝑃𝑇


Kasus lain, jika jumlah beberapa vektor membentuk sebuah bangun tertutup dari vektor-vektor a, b, c, d, e dan diminta untuk menentukan jumlah dari vektor-vektor berikut.


Sekarang coba diselesaikan kasus sebagai berikut:

Carilah jumlah dari 𝐴𝐵 - 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 - 𝐸𝐷

Harus berhati-hati dan memperhatikan vektor-vektor negatif.

Perlu diingat bahwa -𝐶𝐵 = 𝐵𝐶, yang artinya adalah magnitudonya sama dan arahnya sejajar tetapi memiliki arah yang berlawanan. Demikian juga dengan −𝐸𝐷 = 𝐷𝐸.

𝐴𝐵 - 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 - 𝐸𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐸

𝐴𝐵 - 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 - 𝐸𝐷 = 𝐴𝐸


Sekarang coba diselesaikan kasus sebagai berikut:

Carilah jumlah dari 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 - 𝐷𝐶 - 𝐴𝐷

Karena 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 - 𝐷𝐶 - 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐴, dari penulisan huruf bisa diketahui bahwa ujung vektor terakhir berimpit dengan pangkal vektor pertama.

Maka diagram vektornya akan berbentuk sedemikian rupa sehingga diagramnya adalah tertutup dan penjumlahan vektornya akan menghasilkan nilai 0.


Berikutnya coba diselesaikan beberapa soal berikut:

a. 𝑃𝑄 + 𝑄𝑅 + 𝑅𝑆 + 𝑆𝑇 = 𝑃𝑇

b. 𝐴𝐶 + 𝐶𝐿 - 𝑀𝐿 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐿 + 𝐿𝑀 = 𝐴𝑀

c. 𝐺𝐻 + 𝐻𝐽 + 𝐽𝐾 + 𝐾𝐿 + 𝐿𝐺 = 0, (ingat! Bahwa ujung vektor terakhir berimpit dengan pangkal vektor pertama)

d. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐵 = 𝐴𝐵.Ketiga vektor terakhir membentuk bangun tertutup, sehingga hanya menyisakan 𝐴𝐵 untuk diperhatikan

Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui

Sebagaimana halnya 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐸 dapat digantikan oleh sebuah vektor 𝐴𝐸, maka sebarang vektor tunggal 𝑃𝑇 juga bisa digantikan oleh sejumlah vektor komponen asalkan vektor-vektor ini membentuk suatu rantai dalam diagram vektornya, yang berawal di P dan berujung di T.

Dimana:

𝑃𝑇 = a + b + c + d


Contoh 1.

ABCD adalah sebuah segiempat, dengan G dan H masing-masing sebagai titik tengah dari DA dan BC. Tunjukkanlah bahwa 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 2𝐺𝐻

Vektor 𝐴𝐵 dapat diganti dengan sebarang rantai vek vektor asalkan vektor-vektor tersebut berawal di

A dan berakhir di B.

Contohnya bisa dikatakan:

𝐴𝐵 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐵


Contoh 1.

Sama halnya dikatakan:

𝐷𝐶 = 𝐷𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐶

𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐵 + 𝐷𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐶

𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 2𝐺𝐻 + (𝐴𝐺 + 𝐷𝐺) + (𝐻𝐵 + 𝐻𝐶)

Sekarang, titik G ada;lah titik tengah AD, maka vektor 𝐴𝐺 dan 𝐷𝐺 adalah sama panjang hanya arahnya berlawanan.


Contoh 1.

𝐷𝐺 = -𝐴𝐺

𝐻𝐶 = -𝐻𝐵

Maka

𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 2𝐺𝐻 + (𝐴𝐺 + 𝐷𝐺) + (𝐻𝐵 + 𝐻𝐶)

𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 2𝐺𝐻


Contoh 2.

Titik-titik L, M, dan N merupakan titik-titik tengah dari sisi AB, BC, dan CA pada segitiga ABC. Tunjukkanlah bahwa:

a. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 0

b. 2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 2𝐿𝐶

c. 𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = 0


Contoh 2.

Penyelesaian soal a.

a. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 0

Persoalan ini mudah sekali diselesaikan.

Dapat dilihat dari diagram bahwa 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 0

Karena vektor-vektor ini membentuk suatu bangun tertutup.


Contoh 2.

Penyelesaian soal b.

b. 2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 2𝐿𝐶

Dari bangunnya didapat:

𝐴𝐵 = 2𝐴𝐿; 𝐵𝐶 = 𝐵𝐿 + 𝐿𝐶 ; 𝐶𝐴 = 𝐶𝐿 + 𝐿𝐴

2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 4𝐴𝐿 + 3𝐵𝐿 + 3𝐿𝐶 + 𝐶𝐿 + 𝐿𝐴


Contoh 2.

2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 4𝐴𝐿 + 3𝐵𝐿 + 3𝐿𝐶 + 𝐶𝐿 + 𝐿𝐴

Didapat bahwa:

𝐵𝐿 = -𝐴𝐿 ; 𝐶𝐿 = -𝐿𝐶 ; 𝐿𝐴 = -𝐴𝐿

Disubstitusikan pada persamaan di atas:

2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 4𝐴𝐿 -3𝐴𝐿 + 3𝐿𝐶 - 𝐿𝐶 - 𝐴𝐿

2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 4𝐴𝐿 -4𝐴𝐿 + 2𝐿𝐶

2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 2𝐿𝐶


Contoh 2.

c. 𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = 0

Bisa dikatakan:

𝐴𝑀 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀

𝐵𝑁 = 𝐵𝐶 + 𝐶𝑁

𝐶𝐿 = 𝐶𝐴 + 𝐴𝐿

Maka:

𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝑁 + 𝐶𝐴 + 𝐴𝐿


Contoh 2.

𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝑁 + 𝐶𝐴 + 𝐴𝐿

𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴) + (𝐵𝑀 + 𝐶𝑁 + 𝐴𝐿)

𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴) + 1

2(𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 + 𝐴𝐵)

𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 0 (bangun tertutup)

𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 + 𝐴𝐵 = 0 (bangun tertutup)


Contoh 3.

ABCD adalah segiempat dimana P dan Q berada pada titik tengah diagonal AC dan BD.

Tunjukkanlah bahwa 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 4𝑃𝑄

Digambar bangun ABCD:


Contoh 3.

𝐴𝐵 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵

𝐴𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷

𝐶𝐵 = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵

𝐶𝐷 = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷


Contoh 3.

𝐴𝐵 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵

𝐴𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷

𝐶𝐵 = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵

𝐶𝐷 = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷

Dijumlahkan semua vektornya

𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵 + 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷 + 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵 + 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷


Contoh 3.

𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 4𝑃𝑄 + 2𝐴𝑃 + 2𝐶𝑃 + 2𝑄𝐵 + 2𝑄𝐷

𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 4𝑃𝑄 + 2(𝐴𝑃 +𝐶𝑃) + 2(𝑄𝐵 + 𝑄𝐷)

𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 4𝑃𝑄 + 0 + 0 = 4𝑃𝑄

𝐴𝑃 +𝐶𝑃 = 0, karena P adalah titik tengah AC AP = PC

𝐶𝑃 = -𝑃𝐶 = -𝐴𝑃

𝐴𝑃 +𝐶𝑃 = 𝐴𝑃 - 𝐴𝑃 = 0

karena Q adalah titik tengah BD 𝑄𝐷 = -𝑄𝐵

𝑄𝐵 +𝑄𝐷 = 𝑄𝐵 - 𝑄𝐵 = 0


Contoh 4.

Buktikanlah dengan cara vektor bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dari dua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan setengah panjang sisi tersebut.

Misalkan D dan E masing-masing merupakan titik tengah AB dan AC.

Didapatkan 𝐷𝐸 = 𝐷𝐴 + 𝐴𝐸


Contoh 4.

Didapatkan 𝐷𝐸 = 𝐷𝐴 + 𝐴𝐸

Sekarang dinyatakan 𝐷𝐴 dan 𝐴𝐸 masing-masing dalam suku-suku 𝐵𝐴 dan 𝐴𝐶 kemudian coba dilihat apakah diperoleh hasil-hasil yang diinginkan.

𝐷𝐸 = 𝐷𝐴 + 𝐴𝐸

𝐷𝐸 = 1

2

ഥ𝐵𝐴

+ 1

2𝐴𝐶 =

1

2𝐵𝐴 + 𝐴𝐶

𝐷𝐸 = 1

2𝐵𝐶

Maka dapat disimpulkan bahwa 𝐷𝐸 adalah sejajar dengan 𝐵𝐶 dan memiliki magnitude setengah dari 𝐵𝐶

Matematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar...

Documents

Transcript of Matematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar...