MENGEMBANGKAN ALTERNATIF RPP DAN LKS MATEMATIKA...

1

MENGEMBANGKAN ALTERNATIF RPP DAN LKS MATEMATIKA DALAM KONTEN, HARD SKILLS, DAN SOFT SKILLS MATEMATIK

DALAM PEMBELAJARAN INOVATIF TERTENTU

Oleh:

Prof. Dr. Hj. Utari Sumarmo

Alamat email: [email protected]

Pendahuluan

Saran Mengembangkan Alternatif RPP dan LKS Matematika untuk Penelitian

Berikut ini disajikan beberapa pertimbangan dan rasional mengembangkan

alternatif RPP dan LKS matematika untuk suatu penelitian pendidikan matematika.

Beberapa hal yang perlu dipertimbangkan di antaranya adalah:

1) Tetapkan konten matematika yang akan dibelajarkan dan tingkat kelas siswa.

Uraikan garis besar pokok bahasan dan rinciannya, serta alokasi waktu (untuk berapa

pertemuan)

2) Kembangkan Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Matematika yang akan

dicapai sesuai Kurikulum yang berlaku.

3) Rinci kompetensi dalam Butir 1) dan Butir 2) dalam bentuk indikator pencapaian

kompetensi sesuai dengan Kurikulum dan tujuan penelitian dalam ranah kognitif dan

ranah afektif.

4) Pada dasarnya, indikator pencapaian kompetensi (ranah kognitif dan afektif) dalam

Kurikulum harus tercantum dan dilanjutkan dengan kemampuan khusus yang ingin

dikembangkan dalam penelitian yang bersangkutan. Hal ini berarti bahwa RPP dan

LKS untuk peenelitian tidak boleh merugikan target Kurikulum yang berlaku

sehingga guru harus mengulang pembelajarannya untuk keperluan kelasnya.

5) Setelah pembelajaran (selama penelitian) hendaknya guru dimohon untuk

melaksanakan asesmen kelas untuk keperluan rapor siswanya. Tes hasil penelitian

mungkin kurang sesuai untuk digunakan sebagai komponen penilaian untuk rapor,

karena kemampuan yang diukur dalam penelitian terbatas pada kemampuan

matematik tertentu yang umumnya tergolong cukup tinggi. Sedangkan untuk

asesmen kelas kemampuan dan konten matematik yang diukur sesuai dengan tujuan

dalam kurikulum yang umumnya beragam mulai dari kemampuan yang agak rendah

sampai yang tinggi.

6) Dalam pembelajaran konten matematika yang baru, harus diawali dengan konten

prasyarat matematika lalu pengenalan dan pemahaman konsep yang bersangkutan

dan kemudian diteruskan dengan pengembangan kemampuan matematik selanjutnya

sesuai dengan tujuan penelitian.

7) Pengembangan kegiatan belajar mengajar disesuaikan dengan pendekatan

pembelajaran yang akan dilaksanakan. Oleh karena itu perlu dipahami dengan benar

langkah-langkah dan prinsip-prinsip pendekatan pembelajaran yang bersangkutan.

8) Dalam tiap RPP dan LKS hendaknya tergambar dengan jelas langkah-langkah

pembelajaran dan kemampuan matematik yang akan dikembangkan. RPP dan LKS

pada tiap pertemuan bersifat khas (unik) untuk konten dan kemampuan matematik

dan ranah afektif matematik yang akan dikembangkan. Misalnya, penyajian contoh

tugas dan tugas latihan menggambarkan kompetensi ranah kognitif dan ranah afektif

yang ingin dicapai. Oleh karena itu, RPP dan LKS pada pertemuan selanjutnya tidak

cetakan ulang (copypaste) dari RPP dan LKS sebelumnya.

9) Dalam tiap RPP, kegiatan akan diawali dengan doa bersama, pemeriksanaan

kehadiran siswa dan dilanjutkan dengan apersepsi yaitu mengingat kembali konten

2

matematika prasyarat untuk konten matematika yang akan dikembangkan. Dalam

apersepsi hendaknya ditulis dengan jelas konten matematika prasyarat yang

bersangkutan dan tugas latihan yang menggambarkan penguasaan terhadap konten

prasyarat tersebut.

10) Penjelasan umum misalnya, pembentukan kelompok kecil, langkah-langkah

pembelajaran sesuai dengan pendekatan yang akan dilaksanakan, jenis tugas siswa

selama pembelajaran (diskusi kelompok, menyelesaikan soal/tugas dalam LKS,

menjelaskan hasil pekerjaan di depan kelas dll), tujuan umum pembelajaran selama

eksperimen sebaiknya disampaikan pada awal pembelajaran sebelum eksperimen

dimulai. Ketika eksperimen dimulai siswa sudah siap belajar dalam kelompok kecil.

11) Dalam kegiatan pendahuluan setelah apersepsi adalah penyampaian tujuan belajar

pada pertemuan yang bersangkutan. Lama kegiatan pendahuluan berkisar antara 10-

20 menit bergantung pada kondisi penguasaan siswa terhadap konten prsyarat.

12) Kegiatan selanjutnya adalah kegiatan inti sekitar 50 -60 menit yang diakhiri dengan

kegiatan penutup sekitat 10 menit (untuk satu pertemuan 2 x 40 menit untuk tingkat

SMP dan 2 x 45 menit untuk tingkat SMA).

13) Langkah-langkah dalam kegiatan inti disesuaikan dengan langkah-langkah

pendekatan pembelajaran yang akan dilaksanakan.

14) Pada tiap langkah kegiatan, tugas-tugas siswa dalam LKS hendaknya tergambar jelas

konten matematika serta kompetensi kognitif dan afektif yang akan dikembangkan.

15) Dalam tiap satu pertemuan tidak harus dilaksanakan tes tertulis sebagai evaluasi

atau asesemen terhadap penguasaan siswa. Kegiatan evaluasi atau asesmen dapat

dilakukan selama pembelajaran melalui observasi (pengamatan) terhadap kegiatan

belajar siswa menyelesaikan tugas-tugas dalam LKS atau melalui pertanyaan guru

dan respons siswa selama pembelajaran. Evaluasi tes tertulis perlu perancangan

khusus dalam hal tingkat kesukaran butir tes dan lama waktu. Tes yang terlalu

sederhana untuk waktu 10 menit kurang bermanfaat, dan kegiatan penutup lebih baik

untuk refleksi terhadap proses belajar yang berlangsung dan untuk informasi

mempelajari konten matematika untuk pertemuan berikutnya dan atau pemberian

tugas PR.

16) Kalau memang diperlukan adanya tes tertulis, dapat dilaksanakan setelah beberapa

pertemuan (sebagai tes unit) dan harus diinformasikan sebelumnya kepada siswa agar

mereka dalam keadaan siap untuk tes. Tes yang tiba-tiba tanpa persiapan, siswa

kurang bermanfaat, kecuali kalau sejak awal diinformasikan bahwa ketika konten

sudah memadai maka akan dilaksanakan tes tanpa pemberitahuan. Dengan demikian

siswa akan selalu dalam keadaan siap untuk tes.

17) Satu RPP dapat untuk satu pertemuan (umumnya 2 x 40 menit atau 2 x 45 menit)

atau untuk beberapa pertemuan sesuai dengan keluasan satuan bahasan. Namun, LKS

disusun untuk satu kali pertemuan karena LKS akan dikumpulkan setelah pertemuan

yang bersangkutan selesai dan akan dibahas/dirangkum/dianalisis/dipelajari oleh

peneliti untuk mendapat gambaran umum penguasaan siswa pada pertemuan yang

bersangkutan. Hasil ini akan digunakan untuk menyempurnakan RPP dan LKS atau

pelaksanaan pembelajaran berikutnya.

Berikut ini disajikan beberapa contoh alternatif RPP dan LKS matematika untuk

konten, kompetensi ranah kognitif dan ranah afektif melalui pembelajaran matematika

inovatif dan jenjang sekolah teretntu

3

CONTOH RPP DAN LKS

UNTUK PENELITIAN DENGAN JUDUL:

“Meningkatkan Kemampuan Komunikasi dan Pemecahan Masalah serta

Kemandirian Belajar Matematik Siswa SMP melalui Pembelajaran Berbasis

Masalah”

Definisi operasional tiap variabel penelitian di atas.

1) Komunikasi matematik adalah kemampuan yang meliputi:

a) Menyatakan suatu situasi atau masalah sehari-hari ke dalam bentuk model

matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau ekspresi aljabar) dan

menyelesaikannya;

b) Menyatakan suatu model matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau ekspresi

aljabar) ke dalam bentuk soal ceritera dan menyelesaikannya;

c) Menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi yang diberikan dan

menjawabnya;

d) Menjelaskan dan membaca secara bermakna, menyatakan, menginterpretas i,

memahami, dan mengevaluasi suatu idea matematika dan sajian matematika

secara lisan, tulisan, atau secara visual dan mendengarkan, mendiskusikan, dan

menulis tentang matematika.

Catatan:

a) Seluruh indikator komunikasi matematik di atas merupakan pedoman dalam

mengembangkan kemampuan komunikasi matematik selama pembelajaran,

sedangkan indikator Butir a), Butir b) dan Butir c) merupakan pedoman

menyusun butir tes komunikasi matematik.

b) Butir soal untuk tes dapat disusun untuk masing-masing indikator a), b), dan c).

2) Pemecahan masalah matematik adalah kemampuan yang meliputi:

a) Mengidentifikasi unsur yang diketahui, ditanyakan, dan memeriksa kecukupan

unsur;

b) Menyusun model matematika masalah dan merancang strategi penyelesaian;

c) Melaksanakan strategi (menyelesaikan) model mateamatika masalah yang

bersangkutan;

d) Memeriksa kebenaran solusi.

Catatan: dalam tiap soal pemecahan masalah keempat indikator harus termuat.

3) Kemandirian belajar matematik adalah perilaku afektif yang meliputi:a) Inisiatif dan

motivasi belajar instrinsik; b) Kebiasaan mendiagnosa kebutuhan belajar sendiri; c)

Menetapkan tujuan/target belajar sendiri; d) Memonitor, mengatur, dan

mengkontrol belajar sendiri; e) Memandang kesulitan sebagai tantangan; f)

Memanfaatkan dan mencari sumber yang relevan; g) Memilih, menerapkan strategi

belajar; h) Mengevaluasi proses dan hasil belajar; i) Konsep diri/Kemampuan diri.

Catatan: Kegiatan siswa dalam RPP dan atau LKS harus menggambarkan upaya

mengembangkan indikator kemandirian belajar tertentu.

4

CONTOH. 1

ALTERNATIF RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

DENGAN PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH

Satuan Pendidikan : SMP

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : VIII/2

Materi : Bangun Ruang Sisi Datar

Alokasi Waktu : 4 x 40 menit (2 Pertemuan)

A. Standar Kompetensi

Memahami sifat-sifat kubus, balok, prisma, limas dan bagian bagiannya,

menentukan ukurannya, serta menyelesaikan masalah berkenaan kubus, balok,

prisma, dan limas.

B. Kompetensi Dasar

1 Mengidentifikasi sifat-sifat kubus, balok, prisma, dan limas serta bagian

bagiannya

C. Tujuan Pembelajaran dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Pertemuan ke-1 dan Pertemuan ke-2

1. Tujuan Kognitif

Setelah pembelajaran diharapkan siswa dapat :

a) Mengidentifikasi unsur-unsur kubus, balok, prisma, dan limas serta sifat-sifatnya:

titik sudut, sisi, rusuk, diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal;

b) Merumuskan pengertian kubus, balok, prisma, dan limas berdasarkan pengamatan

terhadap unsur-unsurnya (dalam butir a)

c) Menghitung panjang rusuk, diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal

kubus, balok dan menuliskan rumus yang digunakan;

d) Menghitung luas bidang sisi dan bidang diagonal kubus, dan balok, dan menuliskan

rumus yang digunakan

e) Menyusun model matematika (gambar, atau ekspresi aljabar) suatu situasi matematik

atau dalam kehidupan sehari hari berkenaan dengan kubus, dan balok, dan

menyelesaikannya;

f) Menyusun pertanyaan atau menyusun soal dari serangkaian informasi atau model

matematika yang diberikan berkenaan kubus, balok, dan menyelesaikannya

g) Menyelesaikan masalah matematik tidak rutin berkenaan kubus dan balok

(mengidentifikasi data diketahui dan ditanya, memeriksa kecukupan unsur,

menyusun model matematik, dan menyelesaikannya serta memeriksa kebenaran

jawaban).

2. Tujuan afektif

Setelah pembelajaran diharapkan pada siswa tumbuh:

a) Motivasi belajar, rasa ingin tahu, sikap ulet, tangguh, dan memandang kesulitan

sebagai tantangan dalam menyelesaikan tugas-tugas belajarnya;

b) Kebiasaan menyusun target belajar yang akan dicapai dalam materi kubus dan

balok;

c) Keinginan memanfaatkan sumber belajar yang relevan dengan materi kubus dan

balok;

5

d) Kesediaan bekerja sama dalam kelompok;

e) Mengevaluasi proses dan hasil belajar;

f) Memiliki konsep diri/kemampuan diri.

D. Materi Ajar

Pengertian dan unsur-unsur kubus, balok, prisma dan limas

E. Metode Pembelajaran

Pendekatan : Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM)

F. SumberBelajar dan Alat Bantu Pembelajaran

Sumber : Lembar Kegiatan Siswa (LKS)

Alat : Model dan kerangka kubus, balok, prisma dan limas dan benda-benda di

sekitar siswa

G. Langkah-langkah Pembelajaran

Pertemuan ke-1

Deskripsi Kegiatan

Pendahuluan (sekitar 10 menit)

a) Siswa bersama guru berdoa bersama agar pembelajaran berlangsung lancar

dan guru memeriksa kehadiran siswa

b) Siswa mengamati sejumlah bangun datar, mengidentifikasi unsur-unsur dan

sifat-sifat yang dimiliki bangun datar tersebut, serta menuliskan nama

bangun datar yang bersangkutan (segitiga, persegi, persegipanjang, jajaran

genjang, trapesium, layang-layang, segilima, dll)

c) Siswa memberikan contoh lain dari bangun datar dan mengidentifikasi sifat-

sifatnya

d) Siswa menghitung panjang diagonal dan luas beragam bangun datar

(segitiga, persegi, persegipanjang, jajaran genjang, trapesium, layang-

layang, segilima, dll)

Kegiatan Inti (sekitar 60 menit)

A,Fase I : Mengorientasi siswa pada masalah

Dalam rangka membina motivasi belajar, rasa ingin tahu siswa, dan bersedia

bekerja sama, dalam kelompok kerja masing-masing:

a.1. Melalui penyajian masalah kontekstual yaitu beberapa bentuk benda ruang

dalam kehidupan sehari-hari, siswa mengamati dan mengenali benda-benda

tersebut;

a.2. Siswa mengenali ciri-ciri benda ruang sisi datar (kubus dan balok) dan sisi

lengkung dari benda-benda pada butir a);

a.3. Siswa memberikan contoh lain benda ruang sisi datar (kubus dan balok);

B. Fase II : Mengorganisasikan siswa untuk belajar

Dalam rangka menguatkan motivasi belajar, rasa ingin tahu siswa, dan bersedia


b.1.Siswa mengamati beberapa gambar kubus dan balok serta mengidentifikasi

unsur-unsur dan sifat-sifatnya: titik sudut, rusuk-rusuk, diagonal bidang,

6

Deskripsi Kegiatan

diagonal ruang, bidang alas dan atas, bidang sisi, bidang diagonal, serta

memberi nama gambar kubus dan balok;

b.2. Siswa merumuskan definisi (pengertian) kubus dan balok;

b.3. Siswa membuat gambar kubus dan balok, memberi nama titik sudutnya

serta mengidentifikasi unsur-unsur kubus dan balok;

b.4. Siswa merangkum kesamaan dan perbedaan antara kubus dan balok.

C. Fase III : Membimbing penyelidikan individual /kelompok

Dalam rangka menumbuhkan sikap ulet, tangguh, bersedia bekerja kelompok, dan

memandang kesulitan sebagai tantangan, dalam kelompok kerja masing-masing:

c.1. Siswa berdiskusi cara menggambar kubus dan balok yang diketahui panjang

rusuknya, dan menghitung panjang diagonal bidang, diagonal ruang, luas

bidang sisi, dan luas bidang diagonal kubus dan balok;

c.2. Selama siswa bekerja dalam kelompok, guru sebagai fasilitator, berkeliling

dari kelompok yang satu ke kelompok yang lain mengamati dan memberi

bantuan melalui pertanyaan yang mengarah pada jawaban yang diinginkan.

D. Fase IV : Mengembangkan dan menyajikan hasil karya

Untuk mendorong kebiasaan menyusun target belajar dan berkeinginan

memanfaatkan sumber belajar yang relevan, dalam kelompok kerja masing-

masing:

d.1. Siswa menetapkan wakil yang akan tampil menyajikan pekerjaan kelompok

di depan kelas;

d.2. Beberapa perwakilan kelompok tampil ke depan kelas untuk

mempresentasikan jawaban mereka tentang panjang diagonal bidang,

diagonal ruang, luas bidang sisi dan luas bidang diagonal kubus dan balok;

d.3. Kelompok lain menyimak dan menanggapi pekerjaan perwakilan kelompok

dan membandingkannya dengan jawaban dari masing-masing kelompok.

E. Fase V : Menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan masalah

Dalam menumbuhkan kebiasaan mengevaluasi proses dan hasil belajar; serta

memiliki konsep diri/kemampuan diri, dalam kelompok kerja masin-masing:

Siswa dengan bimbingan guru menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan

masalah tentang menghitung panjang diagonal bidang, diagonal ruang, luas bidang

sisi dan luas bidang diagonal kubus dan balok.

Penutup ( 10 menit)

a) Siswa bersama guru membuat rangkuman tentang kubus dan balok serta

unsur-unsurnya, mengidentifikasi kesamaan dan perbedaan anatara kubus

dan balok.

b) Siswa mengidentifikasi kesulitan-kesulitan yang dialami selama

mempelajari kubus dan balok;

c) Siswa menyimak informasi materi pembelajaran untuk pertemuan

berikutnya yaitu menyusun model matematik dari suatu situasi dan

menyelesaikannya, menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi atau

model matematik, dan menyelesaikan masalah yang tidak rutin berkenaan

dengan kubus dan balok

7

Penilaian ranah kognitif dan afektif:

Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa selama proses pembelajaran.

Mengetahui

Guru Kelas

(............................................................)

NIP

Peneliti

(.............................................)

NIP

Pertemuan ke-2

Deskripsi Kegiatan

Pendahuluan (10 menit)

a) Siswa bersama guru berdoa bersama agar pembelajaran berlangsung lancar

dan guru memeriksa kehadiran siswa

b) Siswa mengingat kembali persamaan dan perbedaan kubus dan balok;

c) Siswa memahami panjang diagonal bidang dan diagonal ruang kubus dan

balok

serta luas bidang sisi dan bidang diagonal kubus dan balok

Kegiatan Inti (60 menit)

A. Fase I : Mengorientasi siswa pada masalah

Dalam rangka membina motivasi belajar, rasa ingin tahu siswa, dan bersedia


a.1. Siswa mengamati situasi berkenaan dengan kubus dan balok, menyusun

model matematika masalah berkenaan dengan diagonal bidang, luas bidang

sisi kubus dan balok dan menyelesaiakannya;

a.2. Siswa mengaitkan panjang diagonal bidang dan ruang kubus dan balok serta

memberi contoh ;

a.3. Siswa menyelesaikan masalah matematik misalnya biaya pengecatan bidang

sisi balok dan masalah pengubinan bidang alas balok.

B.Fase II : Mengorganisasikan siswa untuk belajar

Dalam rangka menguatkan motivasi belajar, rasa ingin tahu siswa, dan bersedia


b.1. Siswa menyusun model matematika masalah tidak rutin berkenaan dengan

diagonal bidang, luas bidang sisi kubus dan balok;

b.2. Siswa mengaitkan panjang diagonal bidang dan ruang kubus dan balok serta

memberi contoh yang relevan

b.3. Siswa menyelesaikan masalah biaya pengecatan bidang sisi balok dan masalah

pengubinan bidang alas balok;

b.4. Siswa menyusun pertanyaan dan atau menyusun soal dari informasi dan atau

model matematika yang diberikan berkenaan kobus dan balok

C.Fase III : Membimbing penyelidikan individual /kelompok

Dalam rangka menumbuhkan sikap ulet, tangguh, bersedia bekerja kelompok, dan

memandang kesulitan sebagai tantangan, dalam kelompok kerja masing-masing:

c.1. Siswa berdiskusi menyelesaikan masalah tidak rutin berkenaan kubus dan

balok;

8

Deskripsi Kegiatan

c.2. Selama siswa bekerja dalam kelompok, guru sebagai fasilitator, berkeliling

dari kelompok yang satu ke kelompok yang lain mengamati dan memberi

bantuan melalui pertanyaan yang mengarah pada jawaban yang diinginkan

berkenaan kubus dan balok.

D.Fase IV : Mengembangkan dan menyajikan hasil karya

Untuk mendorong kebiasaan menyusun target belajar dan berkeinginan

memanfaatkan sumber belajar yang relevan, dalam kelompok kerja masing-

masing:

d.1. Siswa menetapkan wakil yang akan tampil menyajikan pekerjaan kelompok

di depan kelas;

d.2. Beberapa perwakilan kelompok tampil ke depan kelas untuk

mempresentasikan jawaban mereka tentang meyusun model matematika dan

menyelesaikan masalah tidak rutin berkenaan dengan kubus dan balok;

d.3. Kelompok lain menyimak dan menanggapi pekerjaan perwakilan kelompok

dan membandingkannya dengan jawaban dari masing-masing kelompok.

E. Fase V : Menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan masalah

Dalam menumbuhkan kebiasaan mengevaluasi proses dan hasil belajar; serta

memiliki konsep diri/kemampuan diri, dalam kelompok kerja masing-masing:

Siswa dengan bimbingan guru menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan

masalah tidak rutin berkenaan dengan kubus dan balok.

Penutup (sekitar 10 menit)

a) Siswa bersama guru membuat rangkuman tentang masalah kubus dan

balok;

b) Siswa mengidentifikasi kesulitan-kesulitan yang dialami selama

menyelesaikan masalah kubus dan balok;

c) Siswa menyimak informasi materi pembelajaran untuk pertemuan

berikutnya yaitu prisma dan limas serta unsur-unsurnya.


Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa selama proses pembelajaran.

Mengetahui

Guru Kelas

(............................................................)

NIP

Peneliti

(.............................................)

NIP

9

CONTOH LEMBAR KERJA SISWA

PERTEMUAN 1

PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR KUBUS DAN BALOK

Nama Kelompok : Nama Anggota Kelompok :

Hari :

Tanggal :

Petunjuk :

1. LKS ini berisi uraian dan masalah tentang kubus dan balok serta unsur-unsurnya

2. Pelajari dan selesaikan masalah bersama-sama teman sekelompokmu!

3. Gunakan berbagai sumber belajar

4. Jika menemui kesulitan, kalian dapat bertanya kepada guru.

A. Kegiatan 1

1. Pendahuluan (apersepsi) tentang beragam bangun datar

a) Amati gambar-gambar bangun datar di bawah ini!

Coba ingat lagi nama, unsur dan sifatnya, serta kesamaan dan perbedaan masing-masing

gambar di atas.

Kelompokan gambar-gambar di atas berdasarkan keserupaan unsur-unsurnya.

Kemudian beri nama kelompok gambar yang bersangkutan.

a) Kelompok 1: (kelompokan gambar yang serupa, tulis keserupaannya, dan tulis

nama bangun datar tersebut)

Jawab:

b) Kelompok 2: (kelompokan gambar yang serupa, tulis keserupaannya, dan tulis

nama bangun datar tersebut)

Jawab:

10

c) Kelompok 3: (kelompokan gambar yang serupa, tulis keserupaannya, dan tulis nama

bangun datar tersebut)

Jawab:

d) Adakah gambar lain yang tidak termasuk Kelompok 1, Kelompok 2, dan Kelompok

3? Kalau ada tuliskan gambar tersebut dan beri penjelasan.

Jawab:

e) Buatlah gambar lain untuk tiap kelompok bangun datar di atas, dan tuliskan unsur-

unsurnya, hitung panjang diagonalnya, dan luas daerah bidang datar yang

bersangkutan.

Jawab:

2. a) Amati dan tuliskan beberapa jenis bangun datar yang ada di sekitar kelas.

Jawab:

b) Tuliskan ciri-ciri bangun datar pada butir a) dan berdasarkan ciri-ciri tersebut,

rumuskan pengertian bangun datar tadi.

Jawab:

B. Kegiatan 2.

1) Sekarang amati gambar-gambar bangun ruang sisi datar di bawah ini!

(a) (b)

(c)

(d)

11

(e)

(f) (g) (h)

(i)

(j)

(k)

(l)

Kelompokan gambar-gambar di atas berdasarkan keserupaan unsur-unsurnya.

Kemudian beri nama kelompok gambar yang bersangkutan.

Jawab

a) Kelompok 1:

b) Kelompok 2:

c) Kelompok 3:

2) Berdasarkan sifat-sifat unsur-unsurnya, rumuskan pengertian kubus dan balok!

Coba rangkum kesamaan dan perbedaan antara kubus dan balok.

Jawab:

c) Berikan contoh bangun kubus dan balok yang dapat kalian temukan dalam kehidupan

sehari-hari!

Jawab:

12

C. Kegiatan 3

1. Unsur-unsur Kubus

Perhatikan gambar dua kubus ABCD.EFGH di atas, kemudian jawablah perintah

berikut.

a) Titik A, titik B adalah titik sudut kubus. Tuliskan titik sudut yang lainnya!

Jawab:

b). AB adalah rusuk kubus dan misalkan panjangnya a cm . Tuliskan rusuk kubus yang

lainnya! Berapa panjang rusuk kubus lainnya? Mengapa demikian?

Jawab:

d) Bidang ABCD adalah bidang sisi kubus. Tuliskan bidang sisi yang lainnya, dan

hitung luas tiap bidang sisi kubus disertai rumus yang digunakan.

Jawab:

e) Ruas garis DB adalah diagonal bidang. Tuliskan diagonal bidang lainnya, dan

hitung panjang diagonal bidang kubus, disertai rumus yang digunakan.

Jawab:

f) Ruas garis HB adalah diagonal ruang. Tuliskan diagonal ruang lainnya, dan hitung

panjang diagonal ruang kubus, disertai rumus yang digunakan. Mungkinkah

diagonal ruang kubus lebih pendek dari diagonal bidang kubus? Mengapa?

Jawab:

g) Bidang ACGE adalah bidang diagonal. Tuliskan bidang diagonal lainnya, dan

hitung luas bidang diagonal kubus disertai dengan rumus yang digunakan.

Jawab:

13

h) Mungkinkah diagonal bidang kubus lebih panjang dari diagonal ruangnya?

Mengapa?

Jawab:

i) Diberikan dua kubus, kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan kubus

PQRS.TUVW dengan panjang rusuknya 4 cm. Ajukan beberapa pertanyaan

berkenaan dengan kedua kubus tersebut, kemudian jawablah.

Jawab:

2. Unsur-unsur Balok

Amati balok PQRS.TUVW di atas, dan lengkapi panjang unsur-unsur balok di atas!

a. Titik P, titik Q adalah titik sudut balok. Tuliskan titik sudut yang lainnya!

Jawab:

b. PQ adalah salah satu rusuk balok. Tuliskan rusuk yang lainnya, dan hitung

panjangnya masing-masing rusuk balok disertai alasan yang mendasarinya.

Jawab:

c. Bidang PQRS adalah bidang sisi balok. Sebutkan bidang sisi yang lainnnya, dan

hitunglah luas bidang sisi yang bersangkutan disertai dengan rumus yang digunakan.

Jawab:

d. Ruas garis PR adalah diagonal bidang balok. Tuliskan diagonal bidang balok yang

lainnya dan hitunglah panjangnya disertai dengan rumus yang digunakan.

Jawab:

14

e. Ruas garis TR adalah diagonal ruang balok. Tuliskan diagonal ruang yang lainnya ,

dan hitunglah panjangnya disertai dengan rumus yang digunakan.

Jawab:

f. Bidang PQVW adalah bidang diagonal balok. Tuliskan bidang diagonal lainnya, dan

hitunglah luas bidang diagonal yang bersangkutan disertai dengan rumus yang

digunakan.

Jawab:

3) Mungkinkah diagonal bidang suatu kubus lebih panjang dari diagonal bidang

balok? Mengapa, beri contoh. Manakah yang lebih luas antara bidang diagonal

kubus dan bidang diagonal balok? Jelaskan.

Penyelesaian:

4) Diberikan balok PQRS.TUVW dengan ukuran 8,5 cm x 6 cm x 10 cm dan sejumlah

kubus kecil dengan panjang rusuk 1 cm. Ke dalam balok disusun kubus-kubus

sampai penuh. Gambar sketsa balok PQRS.TUVW dan kubus kecil di atas. Susun

model matematika untuk menghitung banyak kubus kecil dapat disusun ke dalam

balok dan beri penjelasan cara menyelesaikannya.

Penyelesaian:

15

CONTOH LEMBAR KERJA SISWA

PERTEMUAN 2

UNSUR-UNSUR KUBUS DAN BALOK

Nama Kelompok : Nama Anggota Kelompok :

Hari :

Tanggal :

Petunjuk :

1. LKS ini berisi beberapa masalah tentang kubus dan balok serta unsur-unsurnya

2. Pelajari dan selesaikan masalah tersebut bersama-sama teman sekelompokmu!

3. Gunakan berbagai sumber belajar yang relevan

4. Jika menemui kesulitan, kalian dapat bertanya kepada guru.

Kegiatan 1

Amati lagi kubus ABCD.EFGH dan balok PQRS.TUVW pada gambar di bawah ini.

Lengkapi gambar kubus dan balok tersebut dengan ukuran unsur-unsurnya (panjang

rusuk kubus, dan panjang, lebar, dan tinggi balok)

1. Kemudian hitunglah: panjang diagonal bidang BG, luas bidang diagonal ACGE,

panjang diagonal QV, diagonal ruang PV, dan luas bidang diagonal PQVW disertai

rumus yang digunakan.

Penyelesaian:

2. Susun beberapa pertanyaan lain berkenaan dengan kubus dan balok di atas, dan

kemudian jawablah pertanyaan tersebut.

Penyelesaian:

16

Kegiatan 2:

Selesaikanlah permasalahan berikut!

1. Sebuah tempat mainan berupa kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 10

cm. Bidang sisi kubus bagian luar yang berhadapan masing-masing ditempeli kertas

berwarna merah, biru, dan kuning. Buatlah sketsa gambar kubus tersebut kemudian

susun model matematika untuk menghitung luas kertas masing-masing warna.

Sertakan rumus yang mendasari perhitungan di atas.

Penyelesaian :

2. Suatu balok PQRS.TUVW berukuran panjang 12,5 cm, lebar 9,2 cm dan tinggi 10

cm.

Tersedia sejumlah kubus kecil dengan rusuk 2 cm. Susun beberapa pertanyaan

berkenaan informasi di atas dan kemudian jawablah.

Penyelesaian:

Kegiatan 3:

3. Suatu ruang kelas berbentuk balok ABCD.EFGH memiliki panjang 12,5 m, lebar

9 m dan tinggi 6 m. Andi akan menghias ruang kelas tersebut dengan pita berwarna.

Tiap diagonal bidangnya sisinya dipasang pita warna merah, dan diagonal sisi bidang

atasnya dipasang pita warna biru. Bidang lantai tidak dipasang pita tetapi dipasang

keramik ukuran 30 cm x 30 cm. Keempat bidang sisi kelas dicat dengan warna merah

muda, bidang atap dicat dengan warna putih. Jawablah pertanyaan berikut, dan

sertakan rumus yang digunakan.

a) Buatlah sketsa gambar ruangan kelas tersebut.

b) Harga pita merah adalah Rp 10.000, 00/ m dan pita biru satu setengah kali harga

pita merah. Susun model matematika untuk menghitung uang yang harus

disediakan untuk membeli kedua jenis pita tersebut dan selesaikan.

c) Harga 1 kaleng cat putih Rp 25.000,00 dan harga 1 kaleng cat merah muda Rp.

30.000,00. Tiap kaleng cat dapat mengecat 2 m2 dinding. Susun model

matematika untuk menghitung uang yang perlu disediakan untuk membeli cat

dan selesaikan.

d) Susun model matematika untuk menghitung banyaknya keping keramik yang

perlu disediakan dan selesaikan.

17

Penyelesaian :

4. Ada satu kotak besar berukuran 50 cm x 35 cm x 25 cm akan diisi dengan kotak

minuman 4 macam jus (mangga, apel, jambu dan jeruk). Tiap kotak jus berukuran

10 cm x 5 cm x 3,5 cm. Buat model matematika untuk menghitung banyaknya kotak

jus yang dapat dimuat ke dalam kotak besar. Jus tersebut akan disediakan untuk

menjamu tamu sebanyak 100 orang. Urutan jus yang disukai tamu adalah mangga,

jeruk, apel dan jambu. Berapa kotak besar minuman yang harus disediakan, dan

berapa banyak tiap jenis jus yang dapat tersedia? Selesaikan dan beri penjelasan.

Penyelesaian:

Kegiatan 4:

1. Susun beberapa soal baru yang tidak rutin berkenaan kubus dan balok atau pilih soal

tidak rutin dari buku lain, dan kemudian selesaikan.

Jawab:

2. Rangkumkan hal-hal penting dalam LKS ini

Jawab:

3. Setelah kalian mengerjakan tugas-tugas di atas, tuliskan kesulitan yang kalian

temukan.

Jawab:

18

CONTOH 2

RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN KONTEKSTUAL

“Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Dan Kreatif Matematik, Serta Kebiasaan Berpikir (Habits Of Mind) Siswa SMA melalui Pembelajaran

Kontekstual”

Indikator variabel dalam judul penelitian di atas.

1. Indikator berpikir kritis matematik:

a) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah

penyelesaian masalah berkenaan dengan aturan sinus dan aturan kosinus

b) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah aturan sinus dan

aturan kosinus dalam suatu segitiga

c) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan aturan sinus dan aturan

kosinus

d) Melakukan pembuktian berkenaan dengan aturan sinus dan aturan kosinus

2. Indikator berpikir kreatif matematik

a) Kelancaran meliputi: i) Mencetuskan banyak ide, banyak jawaban, banyak

penyelesaian masalah, banyak pertanyaan; ii) Memberikan banyak cara atau saran

untuk melakukan berbagai hal;

b) Kelenturan meliputi:i) Menghasilkan beragam gagasan, jawaban, atau pertanyaan;ii)

melihat suatu masalah dari sudut pandang yang berbeda; iii) Mencari banyak

alternatif yang berbeda; iv) Mengubah cara pendekatan atau cara pemikiran.

c) Keaslian meliputi: i) Melahirkan ungkapan yang baru dan unik; ii) Memikirkan

cara yang tidak lazim ; iii) Membuat kombinasi-kombinasi yang tidak lazim

dari bagian-bagiannya;

d) Elaborasi meliputi: i) Memperkaya dan mengembangkan suatu gagasan atau produk;

ii) menambah atau memperinci detil-detil dari suatu obyek, gagasan, atau situasi

3. Indikator Habits of Mind (kebiasaan berpikir):

a) Bertahan atau pantang menyerah; b) mengatur kata hati; c) berempati terhadap

perasaan orang lain; d) berpikir luwes; e) berpikir metakognitif; f) bekerja teliti dan

tepat; g) bertanya secara efektif; h) memanfaatkan pengalaman lama; i) berfikir dan

berkomunikasi secara jelas; j) memanfaatkan indera dengan tajam; k) mencipta,

berkayal, dan berinovasi.; l) bersemangat dalam merespons; m) berani bertanggung

jawab; o) berpikir saling bergantungan; q) belajar berkelanjutan.

4. Langkah-langkah pendekatan kontekstual:

Menyusun hubungan yang bermakna; melakukan kegiatan yang signifikan,

kemandirian belajar ; bekerjasama ; berpikir kritis dan kreatif; mengasuh pribadi

siswa; mencapai standar yang tinggi; dan asesmen otentik.

19

CONTOH

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

PERTEMUAN 1

Satuan Pendidikan : SMA


Pokok Bahasan : Trigonometri

Sub-pokok Bahasan : Aturan Sinus dan Aturan Kosinus

AlokasiWaktu : 2 x 45 menit (1 pertemuan)


1. Memahami dan menurunkan aturan sinus dan cosinus

2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan sinus dan cosinus

B. Tujuan Pembelajaran dan Indikator keberhasilan

Ranah Kognitif

a) Memahami dan menurunkan rumus aturan sinus dan aturan kosinus.

b) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi (langkah-langkah penyelesaian

masalah) berkenaan dengan aturan sinus dan aturan kosinus

c) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah berkenaan dengan

aturan sinus dan aturan kosinus

d) Menarik analogi dan generalisasi berkenaan dengan aturan sinus dan aturan kosinus.

e) Menyelesaikan masalah berkenaan aturan sinus dan aturan kosinus dengan cara yang

beragam

f) Merinci penyelesaian masalah berkenaaan dengan aturan sinus dan kosinus.

g) Menyusun pertanyaan dari informasi yang diberikan berkenaan dengan aturan sinus

dan aturan kosinus

Ranah Afektif

a) Bertahan atau pantang menyerah;

b) Bekerjasama dan berempati terhadap perasaan orang lain;

c) Berpikir luwes dan metakognitif, bekerja teliti dan tepat;

d) Bertanya, berfikir dan berkomunikasi secara jelas;

e) Bersemangat dan berani bertanggung jawab;

f) Berpikir saling bergantungan;

g) Mengatur belajar sendiri.

C. Pendekatan Pembelajaran: Pendekatan Kontekstual

D. Materi Ajar: Aturan sinus dan aturan kosinus

E. Sumber belajar : Lembar Kerja Siswa (LKS), Buku Paket Matematika Erlangga

untuk

kelas X semester 2, Buku Paket Matematika Kementerian

Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas X.

20

Langkah-langkah Pembelajaran

Pertemuan 1:

No Kegiatan Pendahuluan (sekitar 10 Menit)

1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama

b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali pengertian

perbandingan trigonometri, rumus-rumus fungsi terigonometri sudut penyiku

dan dan sudut pelurus.

c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang

digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.

Kegiatan Inti (70 Menit)

2. A. Tahap membuat keterkaitan dan melaksanakan tugas yang bermakna

dan tahap bekerjasama.

Untuk menumbuhkan kesediaan bekerjasama dan berempati terhadap perasaan

orang lain, berpikir saling bergantungan, bekerja teliti dan tepat, dalam

kelompok kerjanya masing-masing:

a.1. Siswa, mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS mengenai

gambar jam besar yang di dalamnya ada segitiga yang terbentuk dari titik-titk

pada jam tertentu.

a.2. Siswa menelaah kaitan antara besar sudut keliling dalam lingkaran, kaitan

sinus dan kosinus suatu sudut dinyatakan dalam unsur-unsur lain yang relevan

dalam suatu segitiga.

B. Tahap melakukan pembelajaran yang diatur sendiri

Untuk menumbuhkan kesediaan bekerjasama dan berempati terhadap perasaan

orang lain, berpikir saling bergantungan, berpikir luwes dan metakognitif, bekerja

teliti dan tepat, mengatur belajar sendiri, dalam kelompok kerja masing-masing:

b.1. Siswa mengatur belajar mereka, memilih cara sendiri dalam menjawab

pertanyaan dan menyelesaikan soal dalam LKS. Misalnya merumuskan

definisi/aturan rumus sinus, menurunkan rumus panjang diameter dalam

sinus sudut yang relevan dalam suatu segitiga dengan cara serupa

(menggunakan analogi)

C. Tahap berpikir kritis dan kreatif,

Untuk menumbuhkan sikap bertahan atau pantang menyerah, berpikir luwes dan

metakognitif, bekerja teliti dan tepat, berfikir dan berkomunikasi secara jelas,

bersemangat dan berani bertanggung jawab, dalam kelompok kerja masing-

masing:

Siswa berlatih menyusun pertanyaan, mengidentifikasi data relevan atau tidak

relevan, menyelesaikan masalah berkenaan dengan aturan sinus dan kosinus

dengan cara beragam disertai dengan alasan yang relevan.

D. Melalui bantuan guru sebagai fasilitator, siswa didorong untuk tumbuh

dan berkembang;




masing:

21

Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong menyusun pertanyaan,

memilih cara penyelesaian yang beragam, yang unik (tidak standar) atau cara

lain yang berbeda dengan cara teman lainnya.

E. Mencapai standar yang tinggi;




masing:

Siswa didorong untuk bersedia memilih atau menyusun sendiri soal latihan

berkenaaan aturan sinus dan kosinus yang tidak rutin agar mencapai standar

yang tinggi.

F. Menggunakan penilaian autentik.

Untuk menumbuhkan sikap bekerjasama dan berempati terhadap perasaan orang

lain; bertahan atau pantang menyerah, berpikir luwes dan metakognitif, bekerja

teliti dan tepat, berfikir dan berkomunikasi secara jelas, bersemangat dan berani

bertanggung jawab, dalam kelompok kerja masing-masing:

Siswa dibiasakan untuk memantau dan menilai kemajuan belajarnya sendiri

berkenaan dengan aturan sinus dan kosinus melalui beragam cara.

Kegiatan Penutup (sekitar 10 Menit)

3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang aturan sinus dan

kosinus.

b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah kritis dan kreatif

tentang aturan sinus dan kosinus.

c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya

yaitu tentang luas segitiga dan penerapan aturan sinus dan kosinus dan tugas

(PR) yang diberikan oleh guru.

Penilaian dalam ranah kognitif dan afektif

Dilaksanakan memalui observasi terhadap kegiatan siswa selama proses pembelajaran

Mengetahui

Guru Kelas

__________________

NIP

Peneliti

____________________

NIP

22

CONTOH 2

LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)

PERTEMUAN 1

Kelompok: ............................ Tanggal: ............................

1. ..............................

2. ..............................

3. ..............................

4. ..............................

Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan

bersama-sama.

A. Kegiatan 1:

1. Tuliskan beberapa perbandingan trigonometri utama dalam suatu segitiga siku-siku

dan dalam lingkaran satuan.

Jawab:

2. Tuliskan rumus-rumus fungsi trigonometri utama sudut penyiku dan sudut pelurus.

Jawab:

3. Perhatikan segitiga ABC sembarang di bawah ini.

Tarik garis tinggi CD dalam segitiga ABC .

a) Nyatakan semua perbandingan trigonometri A, dan B, dalam sisi-sisi segitiga ADC dan segitiga BDC yang relevan. Kemudian nyatakan CD dalam unsur-unsur

yang relevan.

b) Temukan rumus luas segitiga ABC dinyatakan dalam dua sisinya dan perbandingan

trigonometri salah satu sudutnya. Perluas rumus luas segitiga ABC tersebut dalam

a

c

b

D

C

B A

23

bentuk lainnya, tuliskan proses penalaran matematik yang digunakan disertai dengan

penjelasan.

Jawab:

c) Tuliskan cara untuk menyatakan semua perbandingan trigonometri C disertai dengan alasan yang mendasarinya!

Jawab:

d) Nyatakan besar C dalam besar A dan besar B dan tuliskan prinsip atau sifat

yang mendasari jawaban tersebut.

Kemudian nyatakan sin C dalam sin A, cos A, sin B dan cos B.

Nyatakan juga cos C dalam sin A, cos A, dan sin B dan cos B.

Tuliskan sifat/prinsip yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan.

Jawab:

e) Berdasarkan cara menyelesaikan pertanyaan pada butir d), nyatakan perbandingan

trigonometri sudut A dan perbandingan trigonometri sudut B dalam dua sudut

lainnya. Tuliskan konsep/rumus yang digunakan.

Jawab:

24

Kegiatan 2:

4. Menemukan Aturan Sinus

a) Perhatikan gambar jam berbentuk lingkaran berjari-jari R di bawah ini.

Pada gambar jam di atas, titik-titik A, B, dan C berada di angka 8, angka 4, dan angka

11 membentuk segitiga ABC. Garis AO memotong keliling jam di titik D. Panjang AO

= panjang OD = R (jari-jari lingkaran). Garis AD dinamakan diameter dan panjang AD =

2R. Lengkapi uraian berikut ini dengan alasan yang relevan.

Segitiga ACD adalah siku-siku di C, karena .....................................................................

Dalam segitiga ACD, nyatakan sin ADC dalam sisi b dan R dan tulis alasannya.

Jawab:

sin ADC = ......................................................................................................................1)

Alasan..................................................................................................................................

Dalam lingkaran luar segitiga ABC, besar B sama dengan besar D,................2) karena ..................................................................................................................................

Dari 1) dan 2) diperoleh sin ADC = sin ABC = ..............................................................

Jadi dalam segitiga ABC, sin B = ....................... atau 2 R = .......................................3)

Dengan cara serupa akan diperoleh sin A = ........... atau 2R = .................................... 4)

dan sin C = ....................... atau 2R = ......................................................................... 5)

Dari 3) , 4) dan 5) maka diperoleh ..................................................................................6)

Bentuk 6) dinamakan aturan sinus dalam segitiga ABC.

Coba tuliskan ciri-ciri khusus aturan sinus tersebut.

Jawab:

b) Carilah cara lain untuk menemukan aturan sinus dalam suatu segitiga.

Tuliskan dan jelaskan rumus dan atau aturan yang digunakan pada tiap langkah

pengerjaan di atas.

Jawab:

12

R a

c

A

A

A

A

A

A

11

4 8

O

A

D

C

A

B

b

25

B. Kegiatan 3:

Aplikasi Rumus Sinus dalam suatu segitiga

1. Diberikan segitiga PQR, dengan panjang PQ = 10 satuan dan sin R = 0,6.

Periksa cukupkah data untuk menggambar segitiga PQR? Kalau cukup gambarlah

segitiga PQR, kalau tidak cukup lengkapi data dan kemudian gambarlah segitiga PQR.

Kemudian susun pertanyaan berkenaan dengan rumus sinus dalam segitiga PGR dan

jawablah disertai dengan sifat atau prinsip yang digunakan.

Jawab:

2. Sebuah gambar jam berjari-jari 14 cm. Titik A, titik B dan titik C masing-masing

berada di angka 8, di angka 3 dan di angka 11.

a) Buatlah sketsa dari gambar di atas !

b) Buatlah model matematika untuk menghitung besar unsur-unsur segitiga ABC,

dan luas segitiga ABC kemudian selesaikanlah. Sertakan rumus yang digunakan.

Jawab :

3. Diketahui segitiga sembarang dengan besar satu sudutnya adalah 60° dan panjang satu sisinya 12 cm. Buatlah pertanyaan yang relevan dengan data di atas! Cukupkah data

yang diberikan untuk menjawab pertanyaan yang baru disusun? Kalau data cukup,

jawablah pertanyaan tadi! Kalau data tidak cukup, lengkapi dulu data dan kemudian

jawablah pertanyaan tadi.

Jawab :

4. Dari segitiga PQR diketahui PQ = 10 cm, ∠Q=60°. Garis QS adalah garis bagi ∠Q dan

panjang QS = 15 satuan.

a) Gambarlah sketsa segitiga PQR.

b) Tentukan unsur-unsur lain segitiga PQR dan sertakan rumus atau prinsip yang

digunakan

Jawab :

Kegiatan 5:

1. Rangkumlah hal-hal penting berkenaan dengan aturan sinus dalam suatu segitiga.

26

Jawab:

2. Susun soal baru yang tidak rutin berkenaan dengan aturan sinus dalam suatu segitiga

atau pilih soal lain dari buku/sumber lain dan selesaikan.

Jawab:

3. Susun kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan LKS ini.

Jawab:

27

CONTOH


PERTEMUAN 2


1. ..............................

2. ..............................

3. ..............................

4. ..............................


bersama-sama.

A. Kegiatan 1

Mengingat kembali aturan sinus dalam suatu segitiga

Gambarlah satu segitiga ABC, dan tuliskan aturan sinus dalam segitiga ABC tersebut.

Jawab:

B. Kegiatan 2

1. Menemukan Rumus Kosinus

Perhatikan segitiga ABC dibawah ini.

Dalam segitiga ABC, CD adalah garis tinggi.

Dalam segitiga ADC berlaku:

AC2 = CD2 + AD2 ........................ (alasan: ..............................................................)

= (BC2 – BD2) + (AB – BD)2 (alasan: .....................................................................)

= BC2 – BD2 + AB2 – 2 AB.BD + BD2

(alasan: ............................................................................................................................)

= BC2 + AB2 – 2 AB.BD

Dalam BCD, BD = ..........................................(nyatakan dalam sis BC dan sudut B) Jadi, b2 = a2 + c2- 2 c. (a. cos B) (alasan: ..............................................................)

Atau b2 = a2 + c2- 2.a.c. cos B ........................................................................... 1)

Ekspresi 1) yaitu: b2 = a2 + c2- 2.a.c. cos B dinamakan aturan kosinus.

Dengan menggunakan analogi, tuliskan aturan kosinus untuk sisi-sisi segitiga ABC

lainnya.

Tuliskan ciri khusus aturan kosinus dalam suatu segitiga.

a

c

b

D

C

B A

28

Jawab:

5. Kegiatan 3:

Kaitan antara aturan sinus dan aturan kosinus dalam suatu segitiga dan segiempat.

1. Dalam segitiga ABC, BC = 10 cm dan besar B = 600. Garis BD adalah garis bagi

B . Gambarlah sketsa situasi tersebut. Cukupkah data untuk menghitung unsur-

unsur lain segitiga ABC? Bila data cukup, unsur-unsur tersebut. Bila data belum

cukup, lengkapilah data dan kemudian hitunglah unsur-unsur tersebut dan sertakan


Jawab:

2. Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 06.00 dengan arah 30°dari

sumbu X positif dan tiba dipelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 11.00 kapal

bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan

120°dari sumbu X positif dan tiba di pelabuhan C pukul 19.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam

a) Buatlah sketsa dari perjalanan kapal di atas !

b) Buatlah model matematika untuk menghitung jarak dari pelabuhan A ke pelabuhan

C, kemudian selesaikanlah. Sertakan rumus yang digunakan.

Jawab :

3. Perhatikan kembali aturan sinus dan aturan kosinus dalam suatu segitiga.

Susun serangkaian data tentang suatu jajaran genjang dan kemudian susun pertanyaan

berkaitan dengan aturan sinus dan aturan kosinus terhadap data yang diajukan. Periksa

cukupkah data yang diketahui untuk menjawab pertanyaan yang diajukan. Kalau

cukup, susun model matematik pertanyaan tadi dan kemudian jawablah pertanyaan

itu disertai dengan rumus atau konsep yang digunakan. Kalau data tidak mencukupi,

29

tambahkan atau lengkapi data agar pertanyaan dapat dijawab, kemudian susun model

matematikanya dan selesaikan.

Jawab:

6. Kegiatan 4

1. Rangkumlah kondisi data yang diberikan dan ditanyakan dalam suatu masalah agar

dapat menerapkan aturan sinus dan aturan kosinus, dan sertakan penjelasan.

Jawab:

2. Susun soal baru tentang penerapan aturan sinus dan atau kosinus atau pilih dari buku

atau sumber lain, kemudian selesaikan.

Jawab:

3. Susun kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan LKS ini.

Jawab:

30

CONTOH RPP DAN LKS

UNTUK PENELITIAN DENGAN JUDUL:

“Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Berpikir Kritis, Serta Disposisi

Matematik Siswa SMA Melalui Pembelajaran Generatif ”


Indikator Penalaran Matematik:

a) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan integral tak tentu, dan

integral tertentu;

b) Melaksanakan perhitungan dengan aturan tertentu tentang integral tak tentu, dan

integral tertentu;

c) Melaksanakan penalaran proporsional, kombinatorik, dan probabilistik tentang

integral tak tentu, dan integral tertentu;

d) Melakukan pembuktian berkenaan dengan integral tak tentu dan integral tertentu,

Indikator berpikir kritis matematik:


penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu dan integral

tertentu,

b) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu

dan integral tertentu,

c) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah dan

menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral tertentu,

Indikator Percaya Diri

a) Percaya pada kemampuan sendiri, tidak cemas, merasa bebas, dan bertanggung

jawab atas perbuatannya

b) Bertindak mandiri dalam mengambil keputusan

c) Memiliki konsep diri yang positif, hangat dan sopan, dapat menerima dan

menghargai orang lain

d) Berani mengungkapkan pendapat dan memiliki dorongan untuk berprestasi

e) Mengenal kelebihan dan kekurangan diri sendiri

Langkah-langkah pendekatan Generatif:

a) Orientasi,

b) Pengungkapan ide,

c) Tantangan dan restrukturisasi,

d) Penyerapan, dan melihat kembali

31

CONTOH 3


PERTEMUAN KE 1



Pokok Bahasan : Integral

Sub-pokok Bahasan : Integral tak tentu dan integral tertentu

AlokasiWaktu : 2x 2 x 45 menit (2 pertemuan)


1. Memahami integral tak tentu dan integral tak tentu

2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan integral tak

tentu


Pertemuan 1 dan Pertemuan 2

Ranah Kognitif

a) Memahami dan dapat menerapkan konsep integral tak tentu dan integral tak tentu;

b) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan integral tak tentu dan

integral tertentu;

c) Melaksanakan perhitungan dengan aturan tertentu tentang integral tak tentu dan

integral tertentu;

d) Melaksanakan penalaran proporsional, kombinatorik, dan probabilistik tentang

integral tak tentu dan integral tertentu;

e) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah


tertentu;

f) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu

dan integral tertentu;

g) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah dan

menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral

tertentu,

Ranah Afektif








C. Pendekatan Pembelajaran: Pendekatan Generatif

D. Materi Ajar: Integral tak tentu dan integral tertentu

32


untuk kelas X semester 2, Buku Paket Matematika Kementerian



Pertemuan 1:


1. a.. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama

b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali turunan fungsi,

rumus-rumusnya, arti geometri turunan fungsi, dan penerapan rumus turunan fungsi;

c. Melalui pertanyaan/tugas, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang


Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)

2. A. Tahap Orientasi:

Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/memiliki konsep diri yang positif, hangat dan

sopan, menghargai orang lain, dalam kelompok kerjanya masing-masing:

a.1. Siswa, mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS mengenai rumus -

rumus turunan fungsi dan invers dari proses tersebut;

a.2. Siswa menelaah kaitan antara turunan fungsi dan invers proses mencari turunan

fungsi (mengenal istilah dan notasi anti derivatif atau integral tak tentu, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) .

B. Tahap Pengungkapan Ide:

Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/memiliki konsep diri yang positif, hangat dan

sopan, menghargai orang lain, berani mengungkapan pendapat, dalam kelompok

kerjanya masing-masing:

b.1.Siswa mengidentifikasi rumus turunan fungsi dan inversnya serta menyelesaikan

soal berkenanaan integral tak tentu atau menentukan anti derivatif (mencari persamaan

fungsi atau fungsi asal bila diketahui persamaan garis singgungnya) disertai alasan tiap

langkah pengerjaan;

b.2.Melalui pengamatan pada tahap b.1 dan beberapa contoh siswa memahami bahwa

mencari turunan fungsi umumnya mudah diselesaikan. Namun tidak sembarang fungsi

dapat dicari anti derivatifnya (menyelesaikan integral tak tentu).

C. Tahap Tantangan dan Restrukturisasi,

Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/,tidak cemas, hangat dan sopan, menghargai

orang lain, berani mengungkapan pendapat, terdorong untuk berprestasi, dalam


c.1. Siswa menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral tak tentu,

memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah

penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu,

mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu;

c.2. Siswa mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu

masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan

penerapannya.

D. Penyerapan, dan Melihat Kembali

33

Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/,tidak cemas, hangat dan sopan, menghargai

orang lain, berani mengungkapan pendapat, terdorong untuk berprestasi, dan mengenal

kelebihan dan kekurangan sendiri, berani mengambil keputusan, dalam kelompok

kerjanya masing-masing:

d.1.Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong memeriksa kembali kebenaran

proses yang telah dilakukan pada langkah Tantangan dan Restrukturisasi dan

menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan;

d.2. Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tak tentu dan atau memilih

sendiri soal latihan integral tak tentu dari sumber lain.

Kegiatan Penutup (10 Menit)

3. a. Dengan bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tak tentu dan

penerapannya;

b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tak tentu dan

penerapannya;

c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya yaitu

tentang integral tertentu dan penerapannya atau tugas (PR) berkenaan integral tak

tentu yang diberikan oleh guru.


Dilaksanakan melalui observasi terhadap kegiatan belajar siswa selama proses

pembelajaran

Mengetahui

Guru Kelas

__________________

NIP

Peneliti

____________________

NIP

34

CONTOH


PERTEMUAN 1


5. ..............................

6. ..............................

7. ..............................

8. ..............................


bersama-sama.

A. Kegiatan 1:

1. Mengingat kembali rumus fungsi turuan beragam fungsi.

Perhatikan fungsi pada kolom sebelah kiri dan tuliskan fungsi turunannya pada kolom

di sebelah kanan (Tabel 1)

Tabel 1

Fungsi aljabar dan fungsi

trigonometri

Fungsi Turunannya (Notasi dan rumusnya)

y = f(x)

..................................(umum) y’ =

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = f’(x)

y = k .................................(k

konstan)

....................................................................

y = x ....................................................................

y = kx ....................................................................

y = x n ....................................................................

y = f(x) + g(x) ....................................................................

y = f(x) - g(x) ....................................................................

y = f(x) . g(x) ....................................................................

y = f(x) /g(x) ....................................................................

y = sin x ....................................................................

y = cos x ....................................................................

y = f (g(x)) (fungsi majemuk) ....................................................................

2. Berdasarkan rumus/aturan pada Tabel 1, carilah turunan fungsi berikut dan tuliskan

aturan yang digunakan:

a) y = 5 x3 – 7 x2 + 2 x + 4

Jawab:

b) y = (3x2 – 7x +1) (2x – 3)

Jawab:

35

c) y = (𝑥3−2 𝑥+1)

(2 𝑥+7)

Jawab:

d) y = sin (3x2 – 2x +7)

Jawab:

e) y = cos (2x3– 3x2 +7x -1)

Jawab:

f) Apa arti geometri turunan pertama suatu fungsi? Berdasarkan arti geometri tersebut,

tentukan dua persamaan garis singgung g dan h terhadap kurva f(x) = x 2 + 1 dalam

selang (-5, 5)

1) g yang sejajar dengan garis y = 2x -3. Ada berapa g yang memenuhi? Adakah

data yang tidak relevan? Jelaskan.

2) h yang melalui titik (1,2). Ada berapa h yang memenuhi? Adakah data yang

tidak relevan? Jelaskan.

Jawab:

B. Kegiatan 2

1. Invers dari proses mencari fungsi turunan atau anti derivatif atau integral tak

tentu

Perhatikan lagi Tabel 1

Proses fungsi pada kolom kiri menjadi fungsi pada kolom kanan dinamakan proses

menurunkan fungsi atau mencari derivatif suatu fungsi. Jadi kalau diketahui fungsi pada

kolom kanan, inversnya adalah fungsi pada kolom kiri. Proses tersebut dinamakan anti

turunan atau anti derivatif dan diberi notasi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑 𝑥 (baca integral f(x) dx)

36

Perhatikan lebih seksama kasus di bawah ini:

Proses dari f(x) diperoleh f ‘(x), dinamakan proses mencari derivatif suatu fungsi

Sebaliknya proses dari f ‘(x) berasal dari f(x) dinamakan proses anti derivatif suatu

fungsi

Proses anti derivatif di atas diberi notasi 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 ........................................

1)

f (x) = x maka f ‘(x) = 1

f (x) = x + 2 maka f ‘(x) = 1 (alasan: ............................................................)

f (x) = x – 5 maka f ‘(x) = 1 (alasan: .............................................................)

Umum f (x) + k maka f ‘(x) = 1 (alasan: ............................................................)

Jadi jika f ‘x) = 1 maka f (x) = x +k (k bilangan konstan sembarang)

Dengan kata lain jika diberikan satu fungsi derivatif maka diperoleh banyak sekali

fungsi anti derivatifnya. Dengan kata lain bentuk 1) yaitu ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 dinamakan

integral tak tentu karena jawabnya banyak.

C. Kegiatan 3:

1. Perhatikan kasus-kasus berikut.

a) y = x , maka y’ = 1 .

Inversnya y’ = 1 maka y = ∫ 1 𝑑𝑥 = x + k (tuliskan alasannya

.........................................)

b) y = x2 , maka y’ = 2 x

Inversnya y’ = 2x , maka y = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2

1+1 x 1+1 + k =

2

2 x2 + k = x2 +k

c) Dari contoh a) dan Contoh b) kemudian diperumum untuk xn

y = xn , maka y’ = n xn-1

Inversnya y’ = n xn-1, maka y = ∫(n xn−1) 𝑑𝑥 =𝑛

𝑛−1+1 𝑥𝑛−1+1 + 𝑘 = xn +k

Jadi secara umum ∫ xn 𝑑𝑥 = 1

𝑛+1 𝑥𝑛+1 + k (asalkan n -1)

Berdasarkan proses pada Kegiatan 2, tuliskan rumus integral tak tentu berikut pada

kolom kanan:


trigonometri

Fungsi Anti turunan (Anti Derivatif)

y ‘ = f ‘(x)

..................................(umum) 1. y = ∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 = f (x) + k

y’ = c .................................(c

konstan) 2. y = ∫ 𝑐 𝑑𝑥 = cx + k

y ‘= x 3. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =.................................................

y ‘ = kx 4....................................................................

y ‘ = x n 9. y = ∫( 𝐱𝐧) 𝑑𝑥 = (

1)

𝑛+1 x(n+ 1)

+ k

y ‘ = f ‘(x) + g ‘(x) 6.y = ∫(𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)) dx

= ∫ 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥 +∫ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + k

y’ = f ‘(x) – g ‘(x) 7. ...................................................................

37

y ‘ = k.f ‘(x) 8. y = ∫ 𝑘 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = k ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 y ‘ = sin x 9. y = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = ........................................

y ‘ = cos x 10. y = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = .................................... 2. Contoh menentukan integral tak tentu.

Tentukan integral tak tentu berikut dan sertakan rumus yang digunakan.

a)Selesaikan ∫(5 𝑥3- 2 𝑥2+ 7 x + 1) dx =

Jawab:

b) Selesaikan ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥

Jawab:

∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = cos 2x + k ......... (alasan: menggunakan rumus dasar no 9 pada Kegiatan

2.)

Benarkah jawab di atas? Mengapa?

Alternatif keterangan: Jawab di atas tidak benar karena soal di atas tidak memenuhi

rumus dasar, yaitu variabel (2x) dalam fungsi integran-nya (sin 2x) tidak sesuai dengan

perubahan variabelnya (dx).

Dalam kasus seperti ini harus dilakukan pemisalan variabel baru, agar diperoleh bentuk

rumus dasar dalam variabel baru.

Misalkan u = 2x, jadi du = 2 dx atau dx = 1

2 du

Jadi ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin𝑢 .1

2 du =

1

2 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = -

1

2cos 𝑢 +k = -

1

2cos 2𝑥 +k

c) Coba susun soal latihan integral tak tentu yang baru dalam kelompokmu. Kemudian

selesaikan disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.

Jawab:

d) Dari contoh-contoh pada Kegiatan1, Kegiatan 2, dan Kegiatan 3 dapat disimpulkan

bahwa mencari turunan sembarang fungsi pada umumnya dapat diselesaikan dengan

relatif lebih mudah. Sebaliknya mencari anti derivatif atau menyelesaikan integral tak

tentu sembarang fungsi khususnya yang tidak memenuhi rumus dasar tidak mudah

bahkan kadang-kadang tidak dapat diselesaikan secara manual.

D. Kegiatan 4:

Contoh soal penerapan anti derivatif.

1. Diketahui fungsi derivatif adalah f ‘(x) = 3x2 -2x +1. Fungsi f melalui titik (2,5).

Tentukan fungsi f yaitu anti turunan (anti derivatif) fungsi f ‘(x) di atas dan tuliskan


Jawab:

Diketahui f ‘ (x) = 3x2 -2x +1. Maka anti derivatif f adalah

f (x) = ∫( 3x2 − 2x + 1) 𝑑𝑥

(alasan:..................................................................................)

38

= 3

3 x3 -

2

3 x2 + x + k

(alasan:..................................................................................)

= x3 - 2

3 x2 + x + k

(alasan ............................................................................................................................)

f melalui titik (2,5), jadi (2,5) memenuhi persamaan fungsi f (alasan ....................

.........................................................................................................................................)

f(2) = 5 = 23 - 2

3 22 + 2 + k (alasan ......................................................................)

5 = 8 - 8

3 + 2 + k

Jadi k = 8

3 - 5 = -

7

3

(alasan............................................................................................................................)

Jadi persamaan fungsi f adalah y = f(x) = x3 - 2

3 x2 + x -

7

3

2. Coba susun soal latihan penerapan anti derivatif yang baru, kemudian selesaikan

disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.

Jawab:

E. Kegiatan 5:

Memeriksa kebenaran langkah-langkah penyelesaian integral tak tentu disertai

alasan.

Diskusikan dalam kelompok kerjamu dan rundingkan wakil dari kelompok untuk

tampil mewakili kelompok ke depan kelas.

1. Perhatikan langkah-langkah penyelesaian soal berikut. Periksa kebenaran tiap

langkahnya. Bila terdapat langkah yang salah, tuliskan pada langkah mana kesalahan

tersebut dan tuliskan yang langkah yang seharusnya disertai alasan.

∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx ...................1).(rumus ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx )

= 4. 1

3+1 (3x + 2)3 +1 + k ............2).(rumus ∫ 𝑥𝑛 dx =

1

𝑛+1 xn+ 1 + k)

= 4

4 (3x + 2)4 + k ................3).(penyederhanaan)

= (3x + 2)4 + k ...........................4) (penyederhanaan)

Jawab:

Kesalahan terjadi pada langkah ke-2).

Seharusnya ada pemisalan variabel baru, misal u = (3x + 2), jadi du = 3 dx atau dx = 1

3

du

Jadi ∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx

39

= 4 ∫ 𝑢3 (1

3 du) ..............(alasan .................................................)

= 4. 1

3 ∫ 𝑢3 du ................( alasan… … … … … … … … …................)

= 4

3 .

1

4 u4 + k ....................(alasan ....................................................)

= 1

3 (3x + 2)4 + k ............(alasan.....................................................)

3. Periksalah kebenaran pernyataan di bawah ini, dan sertakan alasannya atau


a) Jika f(x) = 3 g(x) maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

b) Jika f(x) = (g(x))3 maka 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 )3

c) Jika f(x) = g(x) . h(x) maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 . ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥

Jawab:

4. Susun beberapa soal latihan sendiri tentang mencari anti derivatif atau

menyelesaikan integral tak tentu dan kemudian selesaikan.

Jawab:

F. Kegiatan 6:

Merangkum dan mengidentifikasi hal-hal penting dan kesulitan yang dialami

siswa

Diskusikan dengan teman dalam kelompokmu kemudian rangkumlah hal-hal penting

dalam tiap kegiatan dan tuliskan kesulitan yang dialami

Jawab:

40


Pertemuan 2:



b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali rumus-

rumus dasar dan penerapan integral tak tentu (anti derivatif)





Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/memiliki konsep diri yang positif,

hangat dan sopan, menghargai orang lain, dalam kelompok kerjanya masing-

masing:

a.1. Siswa berdiskudi dan mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS

mengenalkan konsep integral tertentu melalui masalah luas daerah yang

dibatasi Sumbu X, kurva f(x), x = a dan x = b.

a.2. Siswa menelaah kaitan antara integral tak tentu dan integral tertentu


Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/memiliki konsep diri yang positif,

hangat dan sopan, menghargai orang lain, berani mengungkapan pendapat, dalam


Siswa mengidentifikasi rumus –rumus dasar integral tertentu dan

penerapannya


Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/,tidak cemas, hangat dan sopan,

menghargai orang lain, berani mengungkapan pendapat, terdorong untuk

berprestasi, dalam kelompok kerjanya masing-masing:

c.1. Siswa menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral tertentu;


penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tertentu, disertai

alasan yang mendasari tiap pengerjaan;

c.2. Siswa mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral

tertentu, dan mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian

suatu masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral

tertentu dan penerapannya, disertai dengan aslasan yang mendasari tiap

pengerjaan.

D.Penyerapan, dan Melihat Kembali

Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/,tidak cemas, hangat dan sopan,

menghargai orang lain, berani mengungkapan pendapat, terdorong untuk

berprestasi, dan mengenal kelebihan dan kekurangan sendiri, berani mengambil

keputusan, dalam kelompok kerjanya masing-masing:

d.1.Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong memeriksa kembali

kebenaran proses yang telah dilakukan pada langkah Tantangan dan

41

Restrukturisasi dan menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan pada

tiap langkah pengerjaan;

d.2.Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tertentu atau

memilih sendiri soal latihan integral tak tentu dari sumber lain.


3. a. Dengan bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tertentu

dan penerapannya;

b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tertentu

dan penerapannya


yaitu tentang penerapan integral tertentu masalah luas daerah antara dua

kurva, dan tugas (PR) berkenaan integral tertentu yang diberikan oleh guru

(kalau ada)


Dilaksanakan melalui observasi terhadap kegiatan belajar siswa selama proses

pembelajaran

Mengetahui

Guru Kelas

_____________

NIP

Peneliti

______________

NIP

42

CONTOH


PERTEMUAN 2


1 ..............................

2 ..............................

3 ..............................

4 ..............................


bersama-sama.

A. Kegiatan 1:

1 Mengingat kembali rumus-rumus dasar integral tak tentu dan penerapannya.

Tuliskan beberapa rumus dasar integral tak tentu .

Jawab:

1. ∫ k dx =

2 ∫ x dx =

3 ∫ kx dx =

4 ∫ 𝑥𝑛 dx =

5 ∫(f(x) + g(x)) dx =

6 ∫(f(x) − g(x)) dx =

7 ∫ sin𝑥 𝑑𝑥 =

8 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =

B. Kegiatan 2

Mengenalkan konsep integral tertentu dan notasinya

1. Perhatikan gambar dan uraian di bawah ini

Y J I f(x)

F E H

D C

O X

Daerah D dibatasi oleh kurva y = f(x) > 0, sumbu X,

x = a dan x = b. Akan dihitung luas daerah D.

Bagi selang [a,b] dalam n bagian yang sama, masing-

masing berjarak x, sehingga membentuk partisi-partisi.

Gambar pada tiap partisi, segiempat dalam (misal

ABCD dan BGHE) dan segiempat luar (misal ABEF

dan BGIJ).

a x x b

A B G b

43

Jadi Luas ABCD < Luas partisi ABED < Luas ABEF

f(x). x < Luas partisi ABED < f(x+ x) . x

Luas daerah D sama dengan jumlah luas tiap partisi. Misalkan n maka x 0.

Maka f(x). x Luas partisi ABED f(x+ x) . x

Jadi Luas daerah D = l i m ∑ 𝑓(𝑥𝑖) x𝑛𝑖=1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

n

Diketahui bahwa f(x) > 0, dengan demikian tiap f(xi) > 0, sedang x > 0.

Jadi f(xi). x > 0, demikian pula ∑ 𝑓(𝑥𝑖) x𝑛𝑖=1 > 0.

Dengan demikian ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 > 0

Bentuk ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂 dinamakan integral tertentu f(x) dari x = a sampai dengan x = b;

a dinamakan batas bawah dan b dinamakan batas atas integral tertentu.

Didefinisikan Luas D = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 = F(x) ]a

b = F(b) – F(a) dengan F adalah anti

derivatif f.

Pertanyaan:

Bagaimana rumus luas daerah D jika f(x) < 0 dalam selang [a, b]. Beri penjelasan.

Jawab:

C. Kegiatan 3:

Beberapa catatan penting.

1. Rumus-rumus dasar anti derivatif dalam perhitungan integral tak tentu berlaku dalam

perhitungan integral tertentu.

2. Perhatikan rumus-rumus dasar integral tertentu berikut.

a) 𝑃𝑒𝑛𝑢𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂= − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒂

𝒃

b) Merinci integral tertentu: Jika c (a, b) maka ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂= ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒄

𝒂+

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒄

c) Karena luas daerah bernilai positif, jadi secara umum rumus luas daerah yang

dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a dan x = b adalah:

Luas D = ∫ |𝒇(𝒙)|𝒅𝒙𝒃

𝒂

d) Dengan demikian untuk menghitung luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f,

sumbu X, x = a dan x = b, harus ditentukan dulu pada selang mana f > 0 dan

pada selang mana f < 0. Untuk itu perlu digambar dulu sketsa kurva f tersebut.

3. Contoh: menentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a

dan x = b

Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2, sumbu X, x = -2 dan x =

3.

Gambar dulu sketsa grafik kurva f(x) = x2 – 2 tersebut, dan jelaskan tiap langkah

penyelesaiannya.

44

Jawab:

a) Gambar dulu sketsa f(x) = x2 - 2 dalam selang [-2,3]

Y

b) Titik potong f dengan sumbu X, f(x)

memotong sumbu X di titik:

x2 – 2 = 0

(x-2)(x + 2) = 0

yaitu pada x = - 2 dan pada x = 2

Jadi f(x) > 0 pada selang (-2, -2) dan (2, 3) dan

f(x) < 0 pada selang (-2, 2).

c) Jadi luas daerah D yang dibatasi f(x) = x2 – 2, sumbu X, x= -2 dan x = 3

LD = ∫ |3

−2 x2 – 2| dx = ∫ (

−2

−2 x2 – 2) dx - ∫ (

2

−2 x2 – 2) dx +∫ (

3

2 x2 – 2) dx

(alasan: .....................................................................................................................)

= ( 1

2 x3- 2)]-2

-2 - ( 1

2 x3- 2)]-2

2 +( 1

2 x3- 2)]2

3

(alasan: .......................................................................................................................)

= ..................................................................................................................................

...................................................................................................................................

(alasan: .......................................................................................................................)

= ..................................................................................................................................

Jadi LD = ........................................... satuan luas

D. Kegiatan 4

1. Kaitan antara integral tertentu dengan masalah luas daerah.

Selesaikan soal berikut disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkahnya.

Proses dan hasil perhitungan integral tertentu dan masalah luas daerah

a) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = x3, sumbu X, x = 0 dan x = 3 sama

dengan

∫ 𝑥33

0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya, dan selesaikan

disertai dengan rumus yang digunakan.

𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛:

x -2 -1 0 1 2 3

f(x) 2 -1 -2 -1 2 7

-2 -1 0 1 2 3

45

b) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = sin x, sumbu X, x = 0 dan x = 2 sama

dengan ∫ sin𝑥2

0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya dan

selesaikan disertai dengan rumus yang digunakan.

Jawab:

2. Susun beberapa soal latihan tentang integral tertentu dan luas daerah yang baru.

Kemudian selesaikan disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkah

pengerjaan.

Jawab:

E. Kegiatan 5

a) Tuliskan hal-hal penting dalam Kegiatan 1, Kegiatan 2, Kegiatan 3, dan Kegiatan 4.

Jawab:

b) Tuliskan kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan LKS ini.

Jawab:

46

CONTOH

RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN GENERATIF

“Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Berpikir Kritis Serta Disposisi





integral tertentu,


integral tertentu,


integral tak tentu, dan integral tertentu,




penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu dan

integral tertentu,



c) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah

dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral

tertentu,










a) Orientasi,




47

CONTOH


PERTEMUAN KE 1









tentu



Ranah Kognitif

a) Memahami dan menerapkan konsep integral tak tentu dan integral tak tentu


integral tertentu,


integral tertentu,

d) Melaksanakan penalaran proporsional, tentang integral tak tentu dan integral

tertentu,



tertentu,

f) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu dan

integral tertentu,

g) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah dan


Ranah Afektif


jawab atas kegiatan yang dilakukannya;

b) Bertindak mandiri dalam mengambil keputusan;


menghargai orang lain;

d) Mengenal kelebihan dan kekurangan diri sendiri.

C. Pendekatan Pembelajaran: Pendekatan Generatif dengan langkah-langkah:

orientasi, pengungkapan ide, tantangan dan restrukturisasi, penyerapan, dan melihat

kembali


48


untuk kelas X semester 2, Buku Paket Matematika Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas X.


Pertemuan 1:


1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama;

b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali turunan

fungsi, rumus-rumusnya, arti geometri turunan fungsi, dan penerapan rumus

turunan fungsi;




2. a. Tahap Orientasi:

Dalam rangka membangun rasa percaya diri, tidak cemas, dan bertanggung jawab

atas kegiatan yang dilakukannya, dan menunjukkan kerjasama dan dapat

menghargai pendapat temannya dalam kelompok kerjanya masing-masing:

a.1. Siswa berdiskusi dan mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam

LKS mengenai rumus-rumus turunan fungsi dan invers dari proses tersebut

dan memberikan alasan yang dikerjakannya.

a.2. Siswa menelaah kaitan antara turunan fungsi dan invers proses mencari

turunan fungsi (mengenalkan istilah dan notasi anti derivatif atau integral tak

tentu, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) )

b. Tahap Pengungkapan Ide:

Untuk membina agar siswa berani mengungkapkan pendapatnya dan mendorong

agar mereka berprestasi, dalam kelompok kerja masing-masing:

b.1.Siswa mengidentifikasi rumus mencari turunan dan inversnya dan

menyelesaikan soal berkenaan integral tak tentu atau menentukan anti

derivatif (mencari persamaan fungsi bila diketahui persamaan garis

singgungnya) disertai alasan tiap langkah pengerjaan.

b.2.Melalui pengamatan pada tahap b.1 dan beberapa contoh siswa memahami

bahwa mencari turunan fungsi umumnya mudah diselesaikan. Namun tidak

sembarang fungsi dapat dicari anti derivatifnya (menyelesaikan integral tak

tentu)

c. Tahap Tantangan dan Restrukturisasi:

Untuk menyadarkan atas kelebihan dan kekurangan diri, dalam kelompok kerja

masing-masing:

c.1. Siswa didorong menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral

tak tentu, memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-

langkah penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu,

mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak

tentu disertai alasan yang mendasarinya;

c.2. Siswa didorong mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses

penyelesaian suatu masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan

integral tak tentu dan penerapannya.

49

d. Penyerapan, dan Melihat Kembali

Untuk membina rasa memiliki konsep diri dalam mengambil keputusan, dalam

kelompok kerja masing-masing:

d.1.Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong memeriksa kembali kebenaran

proses yang telah dilakukan pada langkah Tantangan dan Restrukturisasi dan

menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan;

d.2. Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tak tentu dan atau

memilih sendiri soal latihan integral tak tentu dari sumber lain


3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tak tentu dan

penerapannya;

b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tak tentu dan

penerapannya;


integral tertentu dan penerapannya atau PR berkenaan integral tak tentu


Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa dan ketika memberi bantuan

kepada mereka yang memerlukan selama proses pembelajaran.

Mengetahui

Guru Kelas

__________________

NIP

Peneliti

__________________

NIP

50

CONTOH


PERTEMUAN 1


1. ..............................

2. ..............................

3. ..............................

4. ..............................


bersama-sama.

A. Kegiatan 1:

1. Mengingat kembali rumus fungsi turuan beragam fungsi.



Tabel 1


trigonometri


y = f(x)

..................................(umum) y’ =

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = f’(x)

y = k .................................(k

konstan)

....................................................................

y = x ....................................................................

y = kx ....................................................................

y = x n ....................................................................

y = f(x) + g(x) ....................................................................

y = f(x) - g(x) ....................................................................

y = f(x) . g(x) ....................................................................

y = f(x) /g(x) ....................................................................

y = sin x ....................................................................

y = cos x ....................................................................




a) y = 5 x3 – 7 x2 + 2 x + 4

Jawab:

b) y = (3x2 – 7x +1) (2x – 3)

Jawab:

51

c) y = (𝑥3−2 𝑥+1)

(2 𝑥+7)

Jawab:

d) y = sin (3x2 – 2x +7)

Jawab:

e) y = cos (2x3– 3x2 +7x -1)

Jawab:

3) Apa arti geometri turunan pertama suatu fungsi? Berdasarkan arti geometri

tersebut, tentukan dua persamaan garis singgung g dan h terhadap kurva f(x) = x 2 +

1 dalam selang (-5, 5).

a) g yang sejajar dengan garis y = 2x -3. Ada berapa garis singgung g yang

memenuhi? Adakah data yang tidak relevan? Jelaskan.

b) h yang melalui titik (1,2). Ada berapa garis singgung h yang memenuhi?

Adakah data yang tidak relevan? Jelaskan.

Jawab:

C. Kegiatan 2

Pengertian integral tak tentu sebagai invers proses mencari fungsi turunan;




52





Sebaliknya proses dari f ‘(x) dan mencari fungsi asalnya yaitu f(x) dinamakan proses

anti derivatif suatu fungsi atau mengintegralkan.

Proses mencari anti derivatif atau mencari fungsi asal dinamakan juga

mengintegralkan di atas diberi notasi 𝑓(𝒙) = ∫ 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 ........... 1)

Sekarang perhatikan

f (x) = x maka f ‘(x) = 1

f (x) = x + 2 maka f ‘(x) = 1 (alasan:

..................................................................................)

f (x) = x – 5 maka f ‘(x) = 1 (alasan:

..................................................................................)

Secara umum dari f (x)= x + k maka f ‘(x) = 1 (alasan:

............................................................)

Jadi, untuk fungsi turunannya f ‘x) = 1 maka fungsi asalnya adalah f (x) = x +k (k

bilangan konstan sembarang). Hal tersebut menunjukkan bahwa dari satu fungsi turunan

atau derivatif akan diperoleh banyak sekali fungsi asalnya atau anti derivatifnya.

Keadaan tersebut menunjukkan bahwa bentuk 1) yaitu ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 mempunyai banyak

jawab, oleh karena itu bentuk ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 dinamakan integral tak tentu.

C. Kegiatan 3:

Rumus-rumus dasar anti derivatif (integral tak tentu)

1. Berdasarkan rumus-rumus fungsi turunan dan invernya (mencari anti turunan/anti

derivatif/mengintegralkan), perhatikan kasus-kasus berikut dengan seksama dan

tuliskan rumus yang digunakan untuk pernyataan/kalimat di bawah ini.

a) y = x , maka y’ = 1 .

Inversnya y’ = 1 maka y = ∫ 1 𝑑𝑥 = x + k (rumus yang digunakan:

.............................................................................................................................................

......)

b) y = x2 , maka y’ = 2 x


1+1 x 1+1 + k =

2

2 x2 + k = x2 +k (rumus yang

digunakan:

..................................................................................................................................)

d) Dari Contoh a) dan Contoh b) kemudian diperumum untuk xn



𝑛−1+1 𝑥𝑛−1+1 + 𝑘 = xn +k


𝑛+1 𝑥𝑛+1 + k (asalkan n -1. Mengapa? Tulis

alasannya............................................................................................................................

.....)

53

Berdasarkan proses pada Kegiatan 2, lengkapi rumus integral tak tentu berikut pada

kolom kanan:

Fungsi Turunan Fungsi anti turunan (anti derivatif, integral tak

tentu)

y ‘ = f ‘(x)

..............................(umum) 3. y = ∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 = f (x) + k

y’ = c ...............................(c


y ‘= x 3. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =.................................................

y ‘ = kx 4. ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = ..............................................

y ‘ = x n 5. y = ∫( 𝐱𝐧) 𝑑𝑥 = (

1)

𝑛+1 x(n+ 1) +

k (n -1)

y ‘ = f ‘(x) + g ‘(x) 6.y = ∫(𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)) dx

= ∫ 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥 +∫ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + k

y’ = f ‘(x) – g ‘(x) 7. ...................................................................

y ‘ = k.f ‘(x) 8. y = ∫ 𝑘 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = k ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥

y ‘ = sin x 9. y = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = ........................................ y ‘ = cos x 10. y = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = ......................................

5. Contoh soal latihan menentukan integral tak tentu.

Diskusikan dalam kelompok kerja masing-masing, kemudian tentukan integral tak tentu

berikut dan sertakan rumus yang digunakan. Rundingkan wakil dari kelompok yang

akan menyajikan hasil kerja kelompok di depan kelas.

𝑎) ∫(5 𝑥3- 2 𝑥2+ 7 x + 1) dx =


Jawab:


2.)


Jawab di atas tidak benar karena soal di atas tidak memenuhi rumus dasar, yaitu

variabel (2x) dalam fungsi integran-nya (sin 2x) tidak sesuai dengan perubahan

variabelnya (dx).




2 du


2 du =

1

2 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = -

1

2cos 𝑢 +k = -

1

2cos 2𝑥 +k

54

e) Coba susun soal latihan integral tak tentu yang baru dalam kelompokmu.

Kemudian selesaikan disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.

Jawab:

f) Dari contoh-contoh pada Kegiatan1, Kegiatan 2, dan Kegiatan 3 dapat

disimpulkan bahwa mencari turunan sembarang fungsi pada umumnya dapat

diselesaikan dengan relatif lebih mudah. Sebaliknya mencari anti derivatif

atau menyelesaikan integral tak tentu sembarang fungsi khususnya yang tidak

memenuhi rumus dasar tidak mudah bahkan kadang-kadang tidak dapat

diselesaikan secara manual.

D. Kegiatan 4:

1. Contoh soal penerapan anti derivatif.

a) Diketahui fungsi derivatif adalah f ‘(x) = 3x2 -2x +1. Fungsi f melalui titik

(2,5).

Tentukan fungsi f yaitu anti turunan (anti derivatif, integral) fungsi f ‘(x) di

atas dan tuliskan rumus yang digunakan.

Jawab:

Lengkapi uraian berikut.

Diketahui f ‘ (x) = 3x2 -2x +1. Maka anti derivatif f atau integral tak tentu

∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 adalah

f (x) = ∫( 3x2 − 2x + 1) 𝑑𝑥

(alasan:..................................................................................)

= 3

3 x3 -

2

3 x2 + x + k

(alasan:..................................................................................)

= x3 - 2

3 x2 + x + k (alasan

................................................................................ .

............................................................................................)

f melalui titik (2,5), jadi (2,5) memenuhi persamaan fungsi f (alasan

..................................

............................................................................................)

f(2) = 5 = 23 - 2

3 22 + 2 + k (alasan

................................................................................)

5 = 8 - 8

3 + 2 + k

Jadi k = 8

3 - 5 = -

7

3

(alasan.................................................................................)


3 x2 + x -

7

3

55



Jawab:

E. Kegiatan 5:

Memeriksa kebenaran langkah-langkah penyelesaian integral tak tentu disertai alasan.

Diskusikan dalam kelompok kerjamu dan rundingkan wakil dari kelompok untuk tampil

mewakili kelompok ke depan kelas.


langkahnya. Bila terdapat langkah yang salah, tuliskan pada langkah mana

kesalahan tersebut dan tuliskan yang langkah yang seharusnya disertai alasan.

∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx .......... ................1).(rumus ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx

)

= 4. 1

3+1 (3x + 2)3 +1 + k ....................2).(rumus ∫ 𝑥𝑛 dx =

1

𝑛+1 xn+ 1 + k)

= 4

4 (3x + 2)4 + k ........................3).(penyederhanaan)

= (3x + 2)4 + k ....................................4) (penyederhanaan)

Jawab:


Seharusnya ada pemisalan variabel baru, misal u = (3x + 2), jadi du = 3 dx atau dx = 1

3

du

Jadi ∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx

= 4 ∫ 𝑢3 (1

3 du) (alasan ...................................................................)

= 4. 1

3 ∫ 𝑢3du (alasan ..................................................................)

= 4

3 .

1

4 u4 + k (alasan ..................................................................)

= 1

3 (3x + 2)4 + k (alasan ..................................................................)

2. Periksalah kebenaran pernyataan di bawah ini, dan sertakan alasannya atau rumus

yang digunakan.




Jawab:

3. Susun beberapa soal latihan sendiri tentang mencari anti derivatif atau

menyelesaikan integral tak tentu dan kemudian selesaikan.

Jawab:

56

F. Kegiatan 6:


siswa


dalam tiap kegiatan dan tuliskan kesulitan yang dialami dalam melaksanakan kegiatan-

kegiatan di atas.

Jawab:


Pertemuan 2:



b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali

rumus-rumus dasar dan penerapan integral tak tentu (anti derivatif);

c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep

yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.



Dalam rangka membangun rasa percaya diri, tidak cemas, dan bertanggung

jawab atas kegiatan yang dilakukannya, dan menunjukkan kerjasama dan dapat


a.1. Siswa mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS mengenalkan

konsep integral tertentu melalui masalah luas daerah yang dibatasi sumbu

X, kurva f(x), x = a dan x = b, dan melengkapi dengan alasan yang

mendasari pengerjaan yang bersangkutan;

a.2. Siswa menelaah kaitan antara integral tak tentu dan integral tertentu dan

memberi penjelasan yang relevan .


Untuk membina agar siswa berani mengungkapkan pendapatnya dan

mendorong agar mereka berprestasi, dalam kelompok kerja masing-masing:


menuliskannya dalam tabel yang tersedia. Kemudian siswa berlatih

menerapkan rumus dasar integral tertentu disertai dengan menuliskan rumus

yang digunakan.

57



masing-masing:



penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tertentu,

disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan;

c.2. Siswa mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah

integral tertentu, dan mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses

penyelesaian suatu masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan

dengan integral tertentu dan penerapannya dan menuliskan rumus yang

mendasari pengerjaan yang bersangkutan.

d.Penyerapan, dan Melihat Kembali





Restrukturisasi dan menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan

pada tiap langkah pengerjaan;

d.2.Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tertentu atau memilih

sendiri soal latihan integral tertentu dari sumber lain.


3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tertentu dan

penerapannya;

b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tertentu dan

penerapannya


tentang penerapan integral tertentu masalah luas daerah antara dua kurva, dan tugas

(PR) berkenaan integral tertentu (kalau ada)



kepada mereka yang memerlukan selama proses pembelajaran

Mengetahui

Guru Kelas

_____________

NIP

Peneliti

__________________

NIP

58

CONTOH


PERTEMUAN 2


1 ..............................

2 ..............................

3 ..............................

4 ..............................


bersama-sama.

A. Kegiatan 1:

1 Mengingat kembali rumus-rumus dasar integral tak tentu dan penerapannya.


Jawab:

1. ∫ k dx =

2 ∫ x dx =

3 ∫ kx dx =

4 ∫ 𝑥𝑛 dx =

5 ∫(f(x) + g(x)) dx =

6 ∫(f(x) − g(x)) dx =

7 ∫ sin𝑥 𝑑𝑥 =

8 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =

B. Kegiatan 2

Mengenalkan konsep integral tertentu dan notasinya.

Pelajari uraian di bawah ini dalam kelompok kerja masing-masing. Bila ada yang

kurang dipahami diskusikan dan atau tanyakan kepada guru.

3. Perhatikan gambar dan uraian di bawah ini

Y J I f(x)

F E H

D C

O X

Daerah D dibatasi oleh sumbu X, kurva y = f(x) > 0,






dan BGIJ).

a x x b

A B G b

59




Jadi Luas daerah D (LD) sama dengan limit jumlah tiap partisi.

LD = l i m ∑ f(xi) x𝑛𝑖=1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

n




𝑎 > 0




Didefinisikan Luas D = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂 = F(x) ]a


derivatif f.

Pertanyaan:


Jawab:

C. Kegiatan 3:

Perhatikan beberapa catatan penting berikut.



2. Rumus-rumus dasar integral tertentu berikut.

a) Penukaran batas integral: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂= − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒂

𝒃



𝒄

𝒂+


𝒄




𝒂


sumbu X, x = a dan x = b, harus ditentukan dulu pada selang mana f > 0 dan pada

selang mana f < 0. Untuk itu perlu digambar dulu sketsa kurva f tersebut.

3. Contoh: menentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a dan x

= b

Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2, sumbu X, x = -2 dan x =

3.

60


penyelesaiannya.

Jawab:

d) Gambar dulu sketsa f(x) = x2 - 2 dalam selang [-2,3]

Y

e) Titik potong f dengan sumbu X, f(x)


x2 – 2 = 0

(x-2)(x + 2) = 0




f) Jadi luas daerah D yang dibatasi f(x) = x2 – 2, sumbu X, x= -2 dan x = 3

LD = ∫ |3

−2 x2 – 2| dx = ∫ (

−2

−2 x2 – 2) dx - ∫ (

2

−2 x2 – 2) dx +∫ (

3

2 x2 – 2) dx

(alasan: .....................................................................................................................)

= ( 1

2 x3- 2)]-2

-2 - ( 1

2 x3- 2)]-2

2 +( 1

2 x3- 2)]2

3

(alasan: .......................................................................................................................)

= ..................................................................................................................................

...................................................................................................................................

(alasan: .......................................................................................................................)

= ..................................................................................................................................


D. Kegiatan 4


Diskusikan dalam kelompok kerja masing-masing dan pilih wakil kelompok untuk

tampil menjelaskan hasil kerja kelompok di depan kelas.


Proses dan hasil perhitungan integral tertentu dan masalah luas daerah.

a) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = x3, sumbu X, x = 0 dan x = 3 sama dengan

∫ 𝑥33

0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya, dan selesaikan disertai

dengan rumus yang digunakan.

x -2 -1 0 1 2 3

f(x) 2 -1 -2 -1 2 7

-2 -1 0 1 2 3

61


b) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = sin x, sumbu X, x = 0 dan x = 2 sama

dengan

∫ sin 𝑥) 2

0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya dan selesaikan

disertai dengan rumus yang digunakan.

Jawab:

c) Susun beberapa soal latihan tentang integral tertentu dan luas daerah yang baru.


pengerjaan.

Jawab:

F. Kegiatan 5

a) Tuliskan hal-hal penting dalam Kegiatan 1, Kegiatan 2, Kegiatan 3, dan Kegiatan 4

Jawab:

b) Tuliskan kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan LKS ini.

Jawab:

62

CONTOH

RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN SAINTIFIK

Judul Penelitian:

Meningkatkan Kemampuan Komunikasi, Pemecahan Masalah dan Disposisi

Matematik Siswa SMP melalui Pembelajaran Sainstifik


1. Komunikasi matematik adalah kemampuan yang meliputi:



menyelesaikannya;

b) Menyatakan suatu model matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau

ekspresi aljabar) ke dalam bentuk soal ceritera dan menyelesaikannya;


menjawabnya;

d) Menjelaskan dan membaca secara bermakna, menyatakan, menginterpretasi,


secara lisan, tulisan, atau secara visual dan mendengarkan, mendiskusikan,

dan menulis tentang matematika.

Catatan:

Seluruh indikator komunikasi matematik di atas merupakan pedoman dalam

mengembangkan kemampuan komunikasi matematik selama pembelajaran, sedangkan

indikator Butir a), Butir b) dan Butir c) merupakan pedoman menyusun butir tes

komunikasi matematik.

Butir soal untuk tes dapat disusun untuk masing-masing indikator a), b), dan c).

2. Pemecahan masalah matematik adalah kemampuan yang meliputi:


unsur;



bersangkutan;



Indikator Disposisi Matematik

a) Rasa percaya diri

b) Bersifat fleksibel mencari beragam strategi memecahkan masalah;

c) Bersifat tekun, menunjukkan minat dan rasa ingin tahu;

d) Cenderung memonitor, dan berpikir metakognitif;

e) Menerapkan matematika dalam bidang studi lain dan masalah sehari-hari;

f) Menunjukkan apresiasi peran matematika.

.

Langkah-langkah pendekatan Saintifik

a) Mengamati;

b) Mengumpulkan informasi;

c) Mengasosiasikan;

d) mengkomunikasikan

63

CONTOH


DALAM PEMBELAJARAN SAINTIFIK



Pokok Bahasan : Lingkaran

Sub-pokok Bahasan : Unsur-unsur lingkaran; hubungan sudut pusat dan sudut

keliling, nilai (baca phi), rumus keliling dan luas lingkaran, dan menyelesaikan masalah berkenaan lingkaran.

Alokasi Waktu : 2x 2 x 45 menit (2 pertemuan)


1. Memahami pengertian lingkaran dan unsur-unsurnya, hubungan sudut pusat dan

sudut keliling, nilai (baca phi), rumus keliling dan luas lingkaran;

2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran, dan unsur-unsurnya.



Ranah Kognitif

a) Memahami dan menerapkan konsep lingkaran dan unsur-unsurnya, hubungan sudut

pusat dan sudut keliling; keliling dan luas lingkaran;

b) Menyatakan suatu situasi ke dalam model matematika dan menyelesaikannya

berkenaan dengan lingkaran dan unsur-unsurnya;

c) Menyatakan suatu model matematik ke dalam bentuk soal ceritera dan menyelesai-

kannya berkenaan dengan lingkaran dan unsur-unsurnya;

d) Menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi berkenaan dengan lingkaran dan

unsur-unsurnya dan menjawabnya;

e) Menyelesaikan masalah: mengidentifikasi data diketahui, ditanyakan, dan memeriksa

kecukupan data berkenaan lingkaran dan unsur-unsurnya

Ranah Afektif (Disposisi Matematik)

a) Rasa percaya diri,






.

C. Pendekatan Pembelajaran:

Pendekatan Saintifik dengan langkah-langkah: mengamati, menanya, mengumpulkan

informasi, mengasosiasikan, mengkomunikasikan.

D. Materi Ajar: Lingkaran dan unsur-unsurnya


untuk

kelas VIII, Buku Paket Matematika Kementerian

Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas VIII

64


.

Pertemuan 1:

No Kegiatan Pendahuluan/Apersepsi (sekitar 10 Menit)


b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali bangun

datar (segitiga, segiempat, luas dan kelilingnya)




2. A. Tahap Mengamati:

Dalam rangka membina rasa percaya diri, tekun, menunjukkan minat dan rasa

ingin tahu, dalam kelompok kerjanya masing-masing:

a.1. Siswa mengamati situasi kontekstual gambar jam besar sseperti tersaji

dalam LKS mengenai lingkaran dan unsur-unsurnya;

a.2. Siswa mengamati dan menelaah kaitan antara unsur-unsur lingkaran, nama

dan notasinya.

B. Tahap Menanyakan:

Untuk mengembangkan kebiasaan memonitor, dan berpikir metakognitif,

dalam kelompok kerja masing-masing:

b.1. Melalui pertanyaan yang diajukan dalam LKS, siswa mengidentifikasi

sifat-sifat unsur lingkaran dan menyelesaikan masalah sederhana

berkenaan unsur-unsur lingkaran disertai alasan tiap langkah pengerjaan;

b.2. Melalui pengamatan pada Tahap b.1 dan beberapa contoh, siswa

menyusun model matematika (gambar, diagram, ekspresi aljabar) suatu

situasi berkenaan unsur-unsur lingkaran dan menyelesaikannya ;

b.3. Siswa menyusun pertanyaan berkenaan unsur-unsur lingkaran dan

menjawabnya;

C. Tahap Mengumpulkan informasi dan mengasosiasikan:

Untuk membina sifat fleksibel/terbuka dalam mencari beragam strategi

memecahkan masalah, dalam kelompok kerja masing-masing:

c.1. Siswa mengumpulkan informasi mengenai data yang diketahui, yang

ditanyakan, dan memeriksa kecukupan unsur; Kemudian dari data yang

terkumpul siswa dengan cara beragam menyusun model matematika

masalah dan menyelesaikan, memeriksa kebenaran solusi) berkenaan

dengan unsur-unsur lingkaran;

c.2. Berdasarkan data dalam bentuk model matematika (gambar, diagram,

ekspresi aljabar) siswa mengasosiasikan dan menyatakannya ke dalam

bentuk ceritera dan menyelesaikannya.

65

D. Tahap Mengkomunikasikan:

Untuk menumbuhkan rasa percaya diri, menunjukkan apresiasi peran matematika,

dan menerapkan matematika dalam beragam konteks, dalam kelompok kerja

masing-masing:

d.1. Siswa mengkomunikasikan hasil pengujian kebenaran proses yang telah dilakukan

pada langkah-langkah kegiatan sebelumnya dan mengidentifikasi rumus dan atau

konsep yang terlibat pada tiap langkah pengerjaan;

d.2. Kelompok belajar siswa mendiskusikan satu perwakilan siswa untuk

menyampaikan hasil kerja kelompok di depan kelas, sementara teman lainnya

menelaah dan memberikan komentar/pendapat mereka.

d.3.Siswa menyusun/memilih soal latihan sendiri berkenaan lingkaran dan unsur-

unsurnya dari sumber lain.

Kegiatan Penutup (10 Menit)

3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan dan hal-hal penting tentang

lingkaran dan unsur-unsurnya;

b. Siswa mengidentifikasi kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah

lingkaran dan unsur-unsurnya;


tentang luas dan keliling lingkaran dan bagian-bagiannya serta penerapannya dan

atau tugas (PR) berkenaan lingkaran dan unsur-unsurnya.




Mengetahui

Guru Kelas

__________________

NIP

Peneliti

____________________

NIP

66

CONTOH


PERTEMUAN 1


1 ...................................

2 ..................................

3 ..................................

4 ..................................


bersama-sama.

A. Kegiatan 1:

a. Mengingat kembali gambar dan sifat-sifat beragam segitiga dan segiempat

(segitiga sembarang, segitiga sama-kaki, segitiga sama-sisi, segitga lancip, segtiga

tumpul, persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang, trapesium)

b. Gambar beberapa jenis segitiga dan segiempat dan tuliskan sifat-sifat khususnya.

Jawab:

c. Berdasarkan sifat-sifat khusus segitiga dan segiempat pada butir a, carilah

panjang/besar unsur-unsurnya, luas dan keliling segitiga dan segiempat serta

bagian-bagiannya.

Jawab:

B. Kegiatan 2

Mengenal dan memahami pengertian serta notasi lingkaran dan unsur-unsurnya

melalui situasi/masalah kontekstual

a. Perhatikan gambar sebuah jam besar di

sebelah kiri. Pada gambar jam tersebut jarak

tiap titik pada keliling lingkaran terhadap satu

titik tertentu adalah sama yaitu R. Jadi

lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.

Titik tersebut dinamakan titik pusat lingkaran

dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-

jari. Lingkaran tersebut diberi simbol

(O,R) (baca lingkaran dengan pusat titik O

dan berjari-jari R)

b. Titik A, titik B, dan titik C berada pada

keliling lingkaran pada angka 8, angka 4, dan

angka 11, membentuk segitiga ABC.

Gambar 1: Lingkaran (O, R) dan unsur-unsurnya

12

E

F

6

R

R

3

11

O

A B

C

4

2

8

D

9

67

c. Garis OA dinamakan jari-jari lingkaran dan panjangnya R. Perpanjangan garis OA

memotong lingkaran di D, dan garis AD dinamakan diameter dan panjangnya

2R;

d. Garis lurus AB, garis lurus BC, dan garis lurus CA masing-masing dinamakan tali

busur AB, BC, dan CA lingkaran. Garis lengkung yang melalui titik A, E, dan B

pada lingkaran dinamakan busur kecil lingkaran AEB, dan dinotasikan dengan

simbol AEB;

e. Daerah yang dibatasi tali busur AB dan AEB dinamakan tembereng AEB;

f. Daerah yang dibatasi dua jari-jari OA dan OB dan AEB, dinamakan juring OAEB;

g. Garis OE AB dan memotong AB di titik F. Garis OF dinamakan apotema;

h. Berdasarkan uraian pada butir-butir di atas, gambarkan dan tulis jari-jari,

diameter, tali busur, temberang, juring, dan apotema lingkaran yang lainnya.

Jawab:

C. Kegiatan 3:

Jenis sudut- sudut dalam lingkaran.

.

b) Besar sudut pusat satu lingkaran penuh adalah 360o. Pada keliling lingkaran

angka-angka 1, 2. 3, .... 12, membagi keliling lingkaran sama panjang. Jadi tiap

sudut pusat lingkaran antara dua jari-jari pada angka jam yang berurutan

membentuk sudut pusat yang sama besar yaitu 1

12 x 360o = 30o (karena:

.............................................................)

Jadi besar AOE = 2 x 30o = 60o (karena: ...............................................................)

E

F

6

R

R

3

11

O

A B

C

4

2

8

D

9

Amati gambar jam besar di sebelah kiri. a) Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari, misal-

nya AOE dinamakan sudut pusat

lingkaran;

Gambar dan tuliskan sudut pusat lingkaran

lainnya;

Jawab:

Gambar 2: Lingkaran (O, R) dan

unsur-unsurnya

68

Gambar sudut pusat lain dan tentukan besar sudutnya.

Jawab:

c ) Sudut keliling lingkaran

Sudut yang dibentuk oleh dua buah tali busur yang berpotongan, misalnya ACB dinamakan sudut keliling lingkaran;

Gambarlah dan tuliskan beberapa sudut keliling lainnya:

Jawab:

d) Hubungan besar sudut pusat dan sudut keliling lungkaran.

Perhatikan OAB, besar AOB = ......... karena

...........................................................................................................................................

Besar BOD = 1800 - AOB = .............(karena ...........................................................

.............................................................................................................................................

AOB adalah samakaki karena

...........................................................................................

Jadi besar OAB = OBA = ............. (karena................................................................................................................................)

Jadi besar BOD = ............. dan besar OAB = ....................................................

Jadi besar sudut pusat BOD = .............. besar sudut keliling OAB = 300

Tariklah kesimpulan tentang hubungan besar sudut pusat dan sudut keliling

lingkaran.

Jawab:

e) Tunjukkan beberapa contoh lain yang menyatakan hubungan besar sudut pusat dan

besar sudut keliling lingkaran yang menghadapi busur lingkaran yang sama disertai

dengan penjelasan.

Jawab:

D. Kegiatan 4

Diskusikan uraian di bawah ini dan selesaikan dalam kelompok kerja masing-masing.

Rundingkan wakil kelompk yang akan menyajikan hasil kerja kelompok di depan kelas.

69

1. Gambarlah lingkaran (O, 5 cm). Kemudian tentukan titik-titik pada keliling

lingkaran sehingga membentuk:

a) Segitiga samasisi ABC. Amati gambar dan tulislah bagian mana dari lingkaran

tersebut yang merupakan:

a.1. Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, dan tentukan besar sudut masing-masing

disertai dengan penjelasan.

Jawab:

a.2. Tembereng lingkaran, juring lingkaran, dan apotema.

Jawab:

b) Trapesium sama kaki ABCD. Amati gambar dan tulislah bagian mana dari

lingkaran tersebut yang merupakan:

b.1 Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, dan tentukan besar sudut masing-masing

disertai dengan penjelasan.

Jawab:

b.2. Tembereng lingkaran, juring lingkaran, dan apotema.

Jawab:

2. Diberikan satu lingkaran (O, 6cm). Manakah di antara bangun datar sisi empat:

persegi, persegipanajang, trapesium sama kaki, jajaran genjang, belah ketupat, dan

layang-layang yang dapat dilukis sehingga titik-titik sudutnya pada keliling

lingkaran. Jelaskan atau sertakan alasan.

Jawab:

3. a. Sekarang diketahui sembarang segitiga ABC. Dapatkah dibuat lingkaran yang

melalui

titik-titik sudutnya? Coba gambar dan jelaskan cara menggambarnya.

Jawab:

70

b. Contoh lain, diberikan sembarang persegipanjang ABCD dan layang-layang PGRS.

Dapatkah dibuat lingkaran yang melalui titik-titik sudut kedua segiempat tersebut?

Tuliskan unsur utama yang harus dicari bila ingin menggambar sebuah lingkaran

yang mengelilingi suatu bangun datar sisi-3 atau sisi-4, disertai alasan atau

penjelasan.

Jawab:

71

CONTOH

RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN GENERATIF

“Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Berpikir Kritis, Serta Disposisi





integral tertentu,


integral tertentu,


integral tak tentu, dan integral tertentu,





tertentu,



c) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah dan




jawab atas perbuatannya;




d) Berani mengungkapkan pendapat dan memiliki dorongan untuk berprestasi;



a) Orientasi,




72

CONTOH


PERTEMUAN KE 1









tentu



Ranah Kognitif

a) Memahami dan menerapkan konsep integral tak tentu dan integral tak tentu;


integral tertentu,


integral tertentu,

d) Melaksanakan penalaran proporsional, tentang integral tak tentu dan integral

tertentu,



tertentu,

f) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu


g) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah

dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral

tertentu,

Ranah Afektif


jawab atas kegiatan yang dilakukannya;




d) Berani mengungkapkan pendapat dan memiliki dorongan untuk berprestasi;

e) Mengenal kelebihan dan kekurangan diri sendiri.

C. Pendekatan Pembelajaran: Pendekatan Generatif dengan langkah-langkah:

orientasi, pengungkapan ide, tantangan dan restrukturisasi, penyerapan, dan melihat

kembali

73


E. Sumber belajar : Lembar Kerja Siswa (LKS), Buku Paket Matematika

Erlangga untuk

kelas X semester 2, Buku Paket Matematika Kementerian



Pertemuan 1:



b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali turunan

fungsi, rumus-rumusnya, arti geometri turunan fungsi, dan penerapan rumus

turunan fungsi;





Dalam rangka membangun rasa percaya diri, tidak cemas, dan bertanggung jawab

atas kegiatan yang dilakukannya, dan menunjukkan kerjasama dan dapat


a.1. Siswa berdiskusi dan mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS

mengenai rumus-rumus turunan fungsi dan invers dari proses tersebut dan

memberikan alasan yang dikerjakannya.

a.2. Siswa menelaah kaitan antara turunan fungsi dan invers proses mencari

turunan fungsi (mengenalkan istilah dan notasi anti derivatif atau integral tak

tentu, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) )

b.Tahap Pengungkapan Ide:

Untuk membina agar siswa berani mengungkapkan pendapatnya dan mendorong

agar mereka berprestasi, dalam kelompok kerja masing-masing:

b.1.Siswa mengidentifikasi rumus mencari turunan dan inversnya dan

menyelesaikan soal berkenaan integral tak tentu atau menentukan anti

derivatif (mencari persamaan fungsi bila diketahui persamaan garis

singgungnya) disertai alasan tiap langkah pengerjaan.

b.2.Melalui pengamatan pada tahap b.1 dan beberapa contoh siswa memahami

bahwa mencari turunan fungsi umumnya mudah diselesaikan. Namun tidak

sembarang fungsi dapat dicari anti derivatifnya (menyelesaikan integral tak

tentu)

c.Tahap Tantangan dan Restrukturisasi:


masing-masing:

c.1. Siswa didorong menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral

tak tentu, memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-

langkah penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak

tentu, mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral

tak tentu disertai alasan yang mendasarinya;

74

c.2. Siswa didorong mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses


dengan integral tak tentu dan penerapannya.

d. Penyerapan, dan Melihat Kembali







d.2. Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tak tentu dan atau

memilih sendiri soal latihan integral tak tentu dari sumber lain


3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tak tentu

dan penerapannya;

b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tak tentu

dan penerapannya;


yaitu integral tertentu dan penerapannya atau PR berkenaan integral tak tentu



kepada mereka yang memerlukan selama proses pembelajaran.

Mengetahui

Guru Kelas

__________________

NIP

Peneliti

__________________

NIP

75

CONTOH


Pertemuan 1


6. ..............................

7. ..............................

8. ..............................

9. ..............................


bersama-sama.

A. Kegiatan 1:

Mengingat kembali rumus fungsi turuan beragam fungsi.



Tabel 1


trigonometri


y = f(x) .................................

umum) y’ =

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = f’(x)

y = k ..............................(k

konstan)

....................................................................

y = x ....................................................................

y = kx ....................................................................

y = x n ....................................................................

y = f(x) + g(x) ....................................................................

y = f(x) - g(x) ....................................................................

y = f(x) . g(x) ....................................................................

y = f(x) /g(x) ....................................................................

y = sin x ....................................................................

y = cos x ....................................................................




a) y = 5 x3 – 7 x2 + 2 x + 4

Jawab:

b) y = (3x2 – 7x +1) (2x – 3)

Jawab:

76

c) y = (𝑥3−2 𝑥+1)

(2 𝑥+7)

Jawab:

d) y = sin (3x2 – 2x +7)

Jawab:

e) y = cos (2x3– 3x2 +7x -1)

Jawab:

f) Apa arti geometri turunan pertama suatu fungsi? Berdasarkan arti geometri

tersebut, tentukan dua persamaan garis singgung g dan h terhadap kurva

f(x) = x 2 + 1 dalam selang (-5, 5)

1) g yang sejajar dengan garis y = 2x -3. Ada berapa garis singgung g yang

memenuhi? Adakah data yang tidak relevan? Jelaskan.

2) h yang melalui titik (1,2). Ada berapa garis singgung h yang memenuhi?

Adakah data yang tidak relevan? Jelaskan.

Jawab:

B.Kegiatan 2

1. Pengertian integral tak tentu sebagai invers proses mencari fungsi turunan;






77



Sebaliknya proses dari f ‘(x) dan mencari fungsi asalnya yaitu f(x) dinamakan proses

anti derivatif suatu fungsi atau mengintegralkan.

Proses mencari anti derivatif atau mencari fungsi asal dinamakan juga

mengintegralkan di atas diberi notasi 𝑓(𝒙) = ∫ 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 ........... 1)

Sekarang perhatikan

f (x) = x maka f ‘(x) = 1

f (x) = x + 2 maka f ‘(x) = 1 (alasan: .......................................................................)

f (x) = x – 5 maka f ‘(x) = 1 (alasan: .......................................................................)

Secara umum dari f (x)= x + k maka f ‘(x) = 1 (alasan: .................................................)

Jadi, untuk fungsi turunannya f ‘x) = 1 maka fungsi asalnya adalah f (x) = x +k (k

bilangan konstan sembarang). Hal tersebut menunjukkan bahwa dari satu fungsi turunan

atau derivatif akan diperoleh banyak sekali fungsi asalnya atau anti derivatifnya.

Keadaan tersebut menunjukkan bahwa bentuk 1) yaitu ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 mempunyai banyak

jawab, oleh karena itu bentuk ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 dinamakan integral tak tentu.

C. Kegiatan 3:

Rumus-rumus dasar anti derivatif (integral tak tentu)

1. Berdasarkan rumus-rumus fungsi turunan dan invernya (mencari anti turunan/anti

derivatif/mengintegralkan), perhatikan kasus-kasus berikut dengan seksama dan

tuliskan rumus yang digunakan untuk pernyataan/kalimat di bawah ini.

a) y = x , maka y’ = 1 .

Inversnya y’ = 1 maka y = ∫ 1 𝑑𝑥 = x + k (rumus yang digunakan:

............................................................................................................................................)

b) y = x2 , maka y’ = 2 x


1+1 x 1+1 + k =

2

2 x2 + k = x2 +k (rumus yang

digunakan: .........................................................................................................................)

c) Dari Contoh a) dan Contoh b) kemudian diperumum untuk xn



𝑛−1+1 𝑥𝑛−1+1 + 𝑘 = xn +k


𝑛+1 𝑥𝑛+1 + k (asalkan n -1. Mengapa? Tulis

alasannya...........................................................................................................................)

Berdasarkan proses pada Kegiatan 2, lengkapi rumus integral tak tentu berikut pada

kolom kanan:

78

Fungsi Turunan Fungsi anti turunan (anti derivatif, integral tak

tentu)

y ‘ = f ‘(x)

...........................(umum) 5. y = ∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 = f (x) + k

y’ = c ............................(c


y ‘= x 3. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =.................................................

y ‘ = kx 4. ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = ..............................................

y ‘ = x n 10. y = ∫( 𝐱𝐧) 𝑑𝑥 = (

1)

𝑛+1 x(n+ 1) +

k (n -1)

y ‘ = f ‘(x) + g ‘(x) 6.y = ∫(𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)) dx

= ∫ 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥 +∫ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + k

y’ = f ‘(x) – g ‘(x) 7. ...................................................................

y ‘ = k.f ‘(x) 8. y = ∫ 𝑘 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = k ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥

y ‘ = sin x 9. y = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = ........................................ y ‘ = cos x 10. y = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = ......................................

2. Contoh soal latihan menentukan integral tak tentu.

Diskusikan dalam kelompok kerja masing-masing, kemudian tentukan integral tak tentu

berikut dan sertakan rumus yang digunakan. Rundingkan wakil dari kelompok yang

akan menyajikan hasil kerja kelompok di depan kelas.

𝑎) ∫(5 𝑥3- 2 𝑥2+ 7 x + 1) dx =


Jawab:


2.)


Jawab di atas tidak benar karena soal di atas tidak memenuhi rumus dasar, yaitu

variabel (2x) dalam fungsi integran-nya (sin 2x) tidak sesuai dengan perubahan

variabelnya (dx).




2 du


2 du =

1

2 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = -

1

2cos 𝑢 +k = -

1

2cos 2𝑥 +k

c). Coba susun soal latihan integral tak tentu yang baru dalam kelompokmu. Kemudian

selesaikan disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.

79

Jawab:

d) Dari contoh-contoh pada Kegiatan1, Kegiatan 2, dan Kegiatan 3 dapat disimpulkan

bahwa mencari turunan sembarang fungsi pada umumnya dapat diselesaikan

dengan relatif lebih mudah. Sebaliknya mencari anti derivatif atau menyelesaikan

integral tak tentu sembarang fungsi khususnya yang tidak memenuhi rumus dasar

tidak mudah bahkan kadang-kadang tidak dapat diselesaikan secara manual.

D.. Kegiatan 4:

Contoh soal penerapan anti derivatif.

1. Diketahui fungsi derivatif adalah f ‘(x) = 3x2 -2x +1. Fungsi f melalui titik (2,5).

Tentukan fungsi f yaitu anti turunan (anti derivatif, integral) fungsi f ‘(x) di atas dan

tuliskan rumus yang digunakan.

Jawab:

Lengkapi uraian berikut.

Diketahui f ‘ (x) = 3x2 -2x +1. Maka anti derivatif f atau integral tak tentu

∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 adalah

f (x) = ∫( 3x2 − 2x + 1) 𝑑𝑥 (alasan:.........................................................................)

= 3

3 x3 -

2

3 x2 + x + k (alasan:.........................................................................)

= x3 - 2

3 x2 + x + k (alasan .......................................................................

. ..................................................................................)

f melalui titik (2,5), jadi (2,5) memenuhi persamaan fungsi f (alasan ........................

........................................................................................................................................)

f(2) = 5 = 23 - 2

3 22 + 2 + k (alasan .......................................................................)

5 = 8 - 8

3 + 2 + k

Jadi k = 8

3 - 5 = -

7

3 (alasan..........................................................................)


3 x2 + x -

7

3



Jawab:

80

E.Kegiatan 5:

Memeriksa kebenaran langkah-langkah penyelesaian integral tak tentu disertai alasan.

Diskusikan dalam kelompok kerjamu dan rundingkan wakil dari kelompok untuk tampil

mewakili kelompok ke depan kelas.


langkahnya. Bila terdapat langkah yang salah, tuliskan pada langkah mana kesalahan

tersebut dan tuliskan yang langkah yang seharusnya disertai alasan.

∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx ........................1).(rumus ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx )

= 4. 1

3+1 (3x + 2)3 +1 + k ....................2).(rumus ∫ 𝑥𝑛 dx =

1

𝑛+1 xn+ 1 + k)

= 4

4 (3x + 2)4 + k ........................3).(penyederhanaan)

= (3x + 2)4 + k ....................................4) (penyederhanaan)

Jawab:


Seharusnya ada pemisalan variabel baru, misal u = (3x + 2), jadi du = 3 dx atau

dx = 1

3 du

Jadi ∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx

= 4 ∫ 𝑢3 (1

3 du) (alasan ..................................................................)

= 4. 1

3 ∫ 𝑢3du (alasan ..................................................................)

= 4

3 .

1

4 u4 + k (alasan ..................................................................)

= 1

3 (3x + 2)4 + k (alasan .................................................................)

2. Periksalah kebenaran pernyataan di bawah ini, dan sertakan alasannya atau rumus

yang digunakan.




Jawab:

3. Susun beberapa soal latihan sendiri tentang mencari anti derivatif atau menyelesaikan

integral tak tentu dan kemudian selesaikan.

Jawab:

81

F. Kegiatan 6:


siswa


dalam tiap kegiatan dan tuliskan kesulitan yang dialami dalam melaksanakan kegiatan-

kegiatan di atas.

Jawab:


Pertemuan 2:



b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali rumus-

rumus dasar dan penerapan integral tak tentu (anti derivatif);





Dalam rangka membangun rasa percaya diri, tidak cemas, dan bertanggung

jawab atas kegiatan yang dilakukannya, dan menunjukkan kerjasama dan dapat


a.1. Siswa mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS mengenalkan

konsep integral tertentu melalui masalah luas daerah yang dibatasi sumbu

X, kurva f(x), x = a dan x = b, dan melengkapi dengan alasan yang

mendasari pengerjaan yang bersangkutan;

a.2. Siswa menelaah kaitan antara integral tak tentu dan integral tertentu dan

memberi penjelasan yang relevan .

b. Tahap Pengungkapan Ide:

Untuk membina agar siswa berani mengungkapkan pendapatnya dan

mendorong agar mereka berprestasi, dalam kelompok kerja masing-masing:


menuliskannya dalam tabel yang tersedia. Kemudian siswa berlatih

menerapkan rumus dasar integral tertentu disertai dengan menuliskan rumus

yang digunakan.

c. Tahap Tantangan dan Restrukturisasi,


masing-masing:

82



penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tertentu,

disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan;

c.2. Siswa mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah

integral tertentu, dan mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses


dengan integral tertentu dan penerapannya dan menuliskan rumus yang

mendasari pengerjaan yang bersangkutan.

d.Penyerapan, dan Melihat Kembali







d.2.Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tertentu atau

memilih sendiri soal latihan integral tertentu dari sumber lain.


3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tertentu

dan penerapannya;

b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tertentu

dan penerapannya;


yaitu tentang penerapan integral tertentu masalah luas daerah antara dua

kurva, dan tugas (PR) berkenaan integral tertentu (kalau ada)




Mengetahui

Guru Kelas

_____________

NIP

Peneliti

__________________

NIP

83

CONTOH


Pertemuan 2


1. ..............................

2. ..............................

3. ..............................

4. ..............................


bersama-sama.

A. Kegiatan 1:

Mengingat kembali rumus-rumus dasar integral tak tentu dan penerapannya.


Jawab:

1. ∫ k dx =

2. ∫ x dx =

3. ∫ kx dx =

4. ∫ 𝑥𝑛 dx =

5. ∫(f(x) + g(x)) dx =

6. ∫(f(x) − g(x)) dx =

7. ∫ sin𝑥 𝑑𝑥 =

8. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =

B. Kegiatan 2

Mengenalkan konsep integral tertentu dan notasinya.

Pelajari uraian di bawah ini dalam kelompok kerja masing-masing. Bila ada yang

kurang dipahami diskusikan dan atau tanyakan kepada guru.

1.Perhatikan gambar dan uraian di bawah ini

Y J I f(x)

F E H

D C

O X

Daerah D dibatasi oleh sumbu X, kurva y = f(x) > 0,






dan BGIJ).

a x x b

A B G b

84




Jadi Luas daerah D (LD) sama dengan limit jumlah tiap partisi.

LD = l i m ∑ f(xi) x𝑛𝑖=1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

n




𝑎 > 0




Didefinisikan Luas D = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂 = F(x) ]a


derivatif f.

Pertanyaan:


Jawab:

C. Kegiatan 3:

Perhatikan beberapa catatan penting berikut.



2. Rumus-rumus dasar integral tertentu berikut.

a) Penukaran batas integral: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂= − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒂

𝒃



𝒄

𝒂+


𝒄




𝒂


sumbu X, x = a dan x = b, harus ditentukan dulu pada selang mana f > 0 dan pada

selang mana f < 0. Untuk itu perlu digambar dulu sketsa kurva f tersebut.

85

4. Contoh:

Menentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a dan x = b

Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2, sumbu X, x = -2

dan x = 3.


penyelesaiannya.

Jawab:

a) Gambar dulu sketsa f(x) = x2 - 2 dalam selang [-2,3]

Y

b) Titik potong f dengan sumbu X, f(x)


x2 – 2 = 0

(x-2)(x + 2) = 0




c) Jadi luas daerah D yang dibatasi f(x) = x2 – 2, sumbu X, x= -2 dan x = 3

LD = ∫ |3

−2 x2 – 2| dx = ∫ (

−2

−2 x2 – 2) dx - ∫ (

2

−2 x2 – 2) dx +∫ (

3

2 x2 – 2) dx

(alasan: .....................................................................................................................)

= ( 1

2 x3- 2)]-2

-2 - ( 1

2 x3- 2)]-2

2 +( 1

2 x3- 2)]2

3

(alasan: ....................................................................................................................)

= ..................................................................................................................................

...................................................................................................................................

(alasan: ...................................................................................................................)

= ................................................................................................................................


D. Kegiatan 4


Diskusikan dalam kelompok kerja masing-masing dan pilih wakil kelompok untuk

tampil menjelaskan hasil kerja kelompok di depan kelas.


Proses dan hasil perhitungan integral tertentu dan masalah luas daerah.

x -2 -1 0 1 2 3

f(x) 2 -1 -2 -1 2 7

-2 -1 0 1 2 3

86

a) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = x3, sumbu X, x = 0 dan x = 3 sama

dengan

∫ 𝑥33

0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya, dan selesaikan disertai



b) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = sin x, sumbu X, x = 0 dan x = 2 sama dengan

∫ sin 𝑥2

0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya dan selesaikan disertai


Jawab:

2.. Susun beberapa soal latihan tentang integral tertentu dan luas daerah yang baru.


pengerjaan.

Jawab:

G. Kegiatan 5

a) Tuliskan hal-hal penting dalam Kegiatan 1, Kegiatan 2, Kegiatan 3, dan Kegiatan 4

Jawab:

b). Tuliskan kesulitan yang dialami dalam LKS ini.

Jawab:

87

CONTOH

RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN SAINTIFIK

Judul Penelitian:

Meningkatkan Kemampuan Komunikasi, Pemecahan Masalah dan Disposisi

Matematik Siswa SMP melalui Pembelajaran Sainstifik


1. Komunikasi matematik adalah kemampuan yang meliputi:



menyelesaikannya;

b) Menyatakan suatu model matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau

ekspresi aljabar) ke dalam bentuk soal ceritera dan menyelesaikannya;


menjawabnya;

d) Menjelaskan dan membaca secara bermakna, menyatakan, menginterpretasi,


secara lisan, tulisan, atau secara visual dan mendengarkan, mendiskusikan, dan

menulis tentang matematika.

Catatan:

a) Seluruh indikator komunikasi matematik di atas merupakan pedoman dalam

mengembangkan kemampuan komunikasi matematik selama pembelajaran,

sedangkan indikator Butir a), Butir b) dan Butir c) merupakan pedoman menyusun

butir tes komunikasi matematik.

b) Butir soal untuk tes dapat disusun untuk masing-masing indikator a), b), dan c).

2. Pemecahan masalah matematik adalah kemampuan yang meliputi:


unsur;



bersangkutan;



3. Indikator Disposisi Matematik

a) Rasa percaya diri






.

Langkah-langkah pendekatan Saintifik

a) Mengamati;

b) Mengumpulkan informasi;

c) Mengasosiasikan;

d) Mengkomunikasikan

88

CONTOH


DALAM PEMBELAJARAN SAINTIFIK



Pokok Bahasan : Lingkaran

Sub-pokok Bahasan : Unsur-unsur lingkaran; hubungan sudut pusat dan sudut

keliling, nilai (baca phi), rumus keliling dan luas lingkaran, dan menyelesaikan masalah berkenaan lingkaran.

Alokasi Waktu : 2x 2 x 45 menit (2 pertemuan)


1. Memahami pengertian lingkaran dan unsur-unsurnya, hubungan sudut pusat dan

sudut keliling, nilai (baca phi), rumus keliling dan luas lingkaran;

2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran, dan unsur-unsurnya.

B.Tujuan Pembelajaran dan Indikator keberhasilan


Ranah Kognitif

a) Memahami dan menerapkan konsep lingkaran dan unsur-unsurnya, hubungan

sudut pusat dan sudut keliling; keliling dan luas lingkaran;

b) Menyatakan suatu situasi ke dalam model matematika dan menyelesaikannya

berkenaan dengan lingkaran dan unsur-unsurnya;

c) Menyatakan suatu model matematik ke dalam bentuk soal ceritera dan

menyelesai-kannya berkenaan dengan lingkaran dan unsur-unsurnya;

d) Menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi berkenaan dengan lingkaran

dan unsur-unsurnya dan menjawabnya;

e) Menyelesaikan masalah: mengidentifikasi data diketahui, ditanyakan, dan

memeriksa kecukupan data berkenaan lingkaran dan unsur-unsurnya

Ranah Afektif (Disposisi Matematik)

a) Rasa percaya diri,






.

C. Pendekatan Pembelajaran:

Pendekatan Saintifik dengan langkah-langkah: mengamati, menanya, mengumpulkan

informasi, mengasosiasikan, mengkomunikasikan.

D. Materi Ajar: Lingkaran dan unsur-unsurnya

Sumber belajar : Lembar Kerja Siswa (LKS), Buku Paket Matematika Erlangga untuk

kelas VIII, Buku Paket Matematika Kementerian

Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas VIII

89


Pertemuan 1:

No Kegiatan Pendahuluan/Apersepsi (sekitar 10 Menit)


b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali bangun

datar (segitiga, segiempat, luas dan kelilingnya);



2. Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)

a. Tahap Mengamati:

Dalam rangka membina rasa percaya diri, tekun, menunjukkan minat dan rasa

ingin tahu, dalam kelompok kerjanya masing-masing:

a.1. Siswa mengamati situasi kontekstual gambar jam besar sseperti tersaji dalam

LKS mengenai lingkaran dan unsur-unsurnya;

a.2. Siswa mengamati dan menelaah kaitan antara unsur-unsur lingkaran, nama

dan notasinya.

b. Tahap Menanyakan:

Untuk mengembangkan kebiasaan memonitor, dan berpikir metakognitif, dalam


b.1. Melalui pertanyaan yang diajukan dalam LKS, siswa mengidentifikasi sifat-

sifat unsur lingkaran dan menyelesaikan masalah sederhana berkenaan unsur-

unsur lingkaran disertai alasan tiap langkah pengerjaan;

b.2. Melalui pengamatan pada Tahap b.1 dan beberapa contoh, siswa menyusun

model matematika (gambar, diagram, ekspresi aljabar) suatu situasi

berkenaan unsur-unsur lingkaran dan menyelesaikannya ;

b.3. Siswa menyusun pertanyaan berkenaan unsur-unsur lingkaran dan

menjawabnya;

c. Tahap Mengumpulkan informasi dan mengasosiasikan:

Untuk membina sifat fleksibel/terbuka dalam mencari beragam strategi

memecahkan masalah, dalam kelompok kerja masing-masing:

c.1. Siswa mengumpulkan informasi mengenai data yang diketahui, yang

ditanyakan, dan memeriksa kecukupan unsur; Kemudian dari data yang

terkumpul siswa dengan cara beragam menyusun model matematika

masalah dan menyelesaikan, memeriksa kebenaran solusi) berkenaan dengan

unsur-unsur lingkaran;

c.2. Berdasarkan data dalam bentuk model matematika (gambar, diagram,

ekspresi aljabar) siswa mengasosiasikan dan menyatakannya ke dalam

bentuk ceritera dan menyelesaikannya.

90

d.. Tahap Mengkomunikasikan:

Untuk menumbuhkan rasa percaya diri, menunjukkan apresiasi peran

matematika, dan menerapkan matematika dalam beragam konteks, dalam


d.1. Siswa mengkomunikasikan hasil pengujian kebenaran proses yang telah

dilakukan pada langkah-langkah kegiatan sebelumnya dan mengidentifikasi

rumus dan atau konsep yang terlibat pada tiap langkah pengerjaan;

d.2. Kelompok belajar siswa mendiskusikan satu perwakilan siswa untuk

menyampaikan hasil kerja kelompok di depan kelas, sementara teman

lainnya menelaah dan memberikan komentar/pendapat mereka.

d.3.Siswa menyusun/memilih soal latihan sendiri berkenaan lingkaran dan unsur-

unsurnya dari sumber lain.

3. Kegiatan Penutup

a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan dan hal-hal penting

tentang lingkaran dan unsur-unsurnya;

b. Siswa mengidentifikasi kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan

masalah lingkaran dan unsur-unsurnya;


yaitu tentang luas dan keliling lingkaran dan bagian-bagiannya serta

penerapannya dan atau tugas (PR) berkenaan lingkaran dan unsur-unsurnya.




Mengetahui

Guru Kelas

__________________

NIP

Peneliti

____________________

NIP

91

CONTOH


Pertemuan 1


1. ...................................

2. ..................................

3. ..................................

4. ..................................


bersama-sama.

A. Kegiatan 1:

a. Mengingat kembali gambar dan sifat-sifat beragam segitiga dan segiempat (segitiga

sembarang, segitiga sama-kaki, segitiga sama-sisi, segitga lancip, segtiga tumpul,

persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang, trapesium)

b. Gambar beberapa jenis segitiga dan segiempat dan tuliskan sifat-sifat khususnya.

Jawab:

c. Berdasarkan sifat-sifat khusus segitiga dan segiempat pada butir a, carilah

panjang/besar unsur-unsurnya, luas dan keliling segitiga dan segiempat serta

bagian-bagiannya.

Jawab:

B. Kegiatan 2

Mengenal dan memahami pengertian serta notasi lingkaran dan unsur-unsurnya

melalui situasi/masalah kontekstual

a. Perhatikan gambar sebuah jam besar di

sebelah kiri. Pada gambar jam tersebut jarak

tiap titik pada keliling lingkaran terhadap satu

titik tertentu adalah sama yaitu R. Jadi

lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.

Titik tersebut dinamakan titik pusat lingkaran

dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-

jari. Lingkaran tersebut diberi simbol

(O,R) (baca lingkaran dengan pusat titik O

dan berjari-jari R)

Gambar 1: Lingkaran (O, R) dan unsur-unsurnya

12

E

F

6

R

R

3

11

O

A B

C

4

2

8

D

9

92

b.Titik A, titik B, dan titik C berada pada keliling lingkaran pada angka 8, angka 4, dan

angka 11, membentuk segitiga ABC.

c. Garis OA dinamakan jari-jari lingkaran dan panjangnya R. Perpanjangan garis OA

memotong lingkaran di D, dan garis AD dinamakan diameter dan panjangnya 2R;

d. Garis lurus AB, garis lurus BC, dan garis lurus CA masing-masing dinamakan tali

busur AB, BC, dan CA lingkaran. Garis lengkung yang melalui titik A, E, dan B

pada lingkaran dinamakan busur kecil lingkaran AEB, dan dinotasikan dengan

simbol AEB;

e. Daerah yang dibatasi tali busur AB dan AEB dinamakan tembereng AEB;

f. Daerah yang dibatasi dua jari-jari OA dan OB dan AEB, dinamakan juring OAEB;

g. Garis OE AB dan memotong AB di titik F. Garis OF dinamakan apotema;

h. Berdasarkan uraian pada butir-butir di atas, gambarkan dan tulis jari-jari,

diameter, tali busur, temberang, juring, dan apotema lingkaran yang lainnya.

Jawab:

C. Kegiatan 3:

Jenis sudut- sudut dalam lingkaran.

.

E

F

6

R

R

3

11

O

A B

C

4

2

8

D

9

Amati gambar jam besar di sebelah kiri.

a) Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari,

misal-nya AOE dinamakan sudut pusat

lingkaran;

Gambar dan tuliskan sudut pusat lingkaran

lainnya;

Jawab:

Gambar 2: Lingkaran (O, R) dan

unsur-unsurnya

93

b) Besar sudut pusat satu lingkaran penuh adalah 360o. Pada keliling lingkaran angka-

angka 1, 2. 3, .... 12, membagi keliling lingkaran sama panjang. Jadi tiap sudut pusat

lingkaran antara dua jari-jari pada angka jam yang berurutan membentuk sudut pusat

yang sama besar yaitu 1

12 x 360o = 30o (karena: ..................................)

Jadi besar AOE = 2 x 30o = 60o (karena: ...............................................................) Gambar sudut pusat lain dan tentukan besar sudutnya.

Jawab:

c ) Sudut keliling lingkaran

Sudut yang dibentuk oleh dua buah tali busur yang berpotongan, misalnya ACB

dinamakan sudut keliling lingkaran;

Gambarlah dan tuliskan beberapa sudut keliling lainnya:

Jawab:

d) Hubungan besar sudut pusat dan sudut keliling lungkaran.

Perhatikan OAB, besar AOB = karena ........................................................... ......................................................................................................................................

Besar BOD = 1800 - AOB = (karena ...........................................................

......................................................................................................................................

AOB adalah samakaki karena .................................................................................

Jadi besar OAB = OBA = ............. (karena...................................................

.....................................................................................................................................)

Jadi besar BOD = ............ dan besar OAB = .................................................

Jadi besar sudut pusat BOD = .............. besar sudut keliling OAB = 300

Tariklah kesimpulan tentang hubungan besar sudut pusat dan sudut keliling

lingkaran.

Jawab:

f) Tunjukkan beberapa contoh lain yang menyatakan hubungan besar sudut pusat dan

besar sudut keliling lingkaran yang menghadapi busur lingkaran yang sama disertai

dengan penjelasan.

Jawab:

94

D. Kegiatan 4

Diskusikan uraian di bawah ini dan selesaikan dalam kelompok kerja masing-masing.

Rundingkan wakil kelompk yang akan menyajikan hasil kerja kelompok di depan kelas.

1. Gambarlah lingkaran (O, 5 cm). Kemudian tentukan titik-titik pada keliling lingkaran

sehingga membentuk:

a) Segitiga samasisi ABC. Amati gambar dan tulislah bagian mana dari lingkaran

tersebut yang merupakan:

a.1 Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, dan tentukan besar sudut masing-

masing disertai dengan penjelasan.

Jawab:


Jawab:

2. Trapesium sama kaki ABCD. Amati gambar dan tulislah bagian mana dari

lingkaran tersebut yang merupakan:

a.1 Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, dan tentukan besar sudut masing-

masing disertai dengan penjelasan.

Jawab:


Jawab:

3. Diberikan satu lingkaran (O, 6cm). Manakah di antara bangun datar sisi empat:

persegi, persegipanajang, trapesium sama kaki, jajaran genjang, belah ketupat, dan

layang-layang yang dapat dilukis sehingga titik-titik sudutnya pada keliling

lingkaran. Jelaskan atau sertakan alasan.

Jawab:

95

4. Sekarang diketahui sembarang segitiga ABC. Dapatkah dibuat lingkaran yang

melalui titik-titik sudutnya? Coba gambar dan jelaskan cara menggambarnya.

Jawab:

5. Contoh lain, diberikan sembarang persegipanjang ABCD dan layang-layang PGRS.

Dapatkah dibuat lingkaran yang melalui titik-titik sudut kedua segiempat tersebut?

Tuliskan unsur utama yang harus dicari bila ingin menggambar sebuah lingkaran

yang mengelilingi suatu bangun datar sisi-3 atau sisi-4, disertai alasan atau

penjelasan.

Jawab:

MENGEMBANGKAN ALTERNATIF RPP DAN LKS MATEMATIKA...

Documents

Transcript of MENGEMBANGKAN ALTERNATIF RPP DAN LKS MATEMATIKA...