Matematika Dasar 2

Vektor 2

Nugroho Imam Setiawan, Ph.D

2004 O

B

P n

m

𝑎

𝑏 𝑝

Perbandingan ruas garis

• Titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n

A

P

B

AP : PB = m : n

m n

• Bila P di dalam AB, maka AP dan PB mempunyai arah yang sama.

• Sehingga m dan n tandanya sama.

A

P

B

m n

AP : PB = m : n

• Bila P di luar AB, maka AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan.

• Sehingga m dan n tandanya berbeda.

A

P

B

AP : PB = m : (-n)

m

-n

Contoh Soal

• Ruas garis PQ dibagi menjadi lima bagian yang sama oleh titik A, B, C, dan D. Hitunglah nilai-nilai perbandingan:

a. PA : PD

b. PB : BQ

c. AQ : QD

d. AC : QP

6

Jawaban:

A

P

Q

B

C

D

a. PA : PD = 1 : 4

b. PB : BQ = 2 : 3

c. AQ : QD = 4 : (-1)

d. AC : QP = 2 : (-5)

Pembagian dalam bentuk vektor

O

B

A

P n

m

𝑎

𝑏 𝑝

• 𝑎 , 𝑏, dan 𝑝 berturut-turut adalah vektor posisi dari titik A, B, dan P.

• Titik P membagi garis AB dengan perbandingan m : n

𝑝 =𝑚𝑏 + 𝑛𝑎

𝑚 + 𝑛

Contoh Soal 1

O

B

A

P n

m

𝑎

𝑏 𝑝

• 𝑎 , 𝑏, dan 𝑝 berturut-turut adalah vektor posisi dari titik A, B, dan P.

• Titik P membagi garis AB dengan perbandingan 3 : 1

• Maka vektor 𝑝 adalah?

Contoh Soal 2

• Titip P membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan AP : PB = 9 : 4.

• Jika titik A (4,3,1) dan B (-6,8,1), maka koordinat titik P adalah?

Contoh Soal 3

• P adalah titik (-1,1,3), Q adalah (2,0,1), dan R adalah (-7,3,7).

• Tunjukkan bahwa P, Q, R adalah segaris (kolinier) dan tentukan perbandingan PQ : QR.

Contoh Soal 4

• Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1), dan C (7,p-1,-5) yang segaris.

• Tentukanlah nilai P?

Contoh soal perkalian skalar 1

• 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃

• 𝜃 adalah sudut

antara vektor 𝑎 dan 𝑏

• Jika 𝑎 = 4, 𝑏 = 6

sudut antara kedua vektor adalah 60 °.

• Maka 𝑎 ∙ 𝑏 ?

𝑏

𝑎

Contoh perkalian skalar 2

• Jika 𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3𝑘 dan 𝑏 = 𝑏1𝑖 + 𝑏2𝑗 +

𝑏3𝑘. Maka 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3

• 𝑎 = −2𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘,

𝑏 = −3𝑖 − 5𝑗 + 4𝑘,

𝑑𝑎𝑛 𝑐 = −7𝑗 + 𝑘

• Tentukan 𝑎 (𝑏 − 𝑐 )

Contoh soal perkalian skalar 3

• Jika vektor 𝑎 dan 𝑏 membentuk sudut 60 °,

dimana 𝑎 = 4, 𝑏 = 3.

• Maka 𝑎 𝑎 + 𝑏 =?

Contoh perkalian skalar 4

• Dua vektor 𝑢 = 63

−2dan 𝑣 =

0𝑥

−3saling

tegak lurus.

• Tentukan nilai x pada vektor tersebut.

• Perkalian skalar (titik) antara 𝑎 dengan 𝑏,

dituliskan dengan 𝑎 ∙ 𝑏 adalah suatu bilangan yang didefinisikan sebagai

𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃 cos 𝜃 =𝑎∙𝑏

𝑎 𝑏

• Dengan 𝜃 adalah sudut yang dibentuk oleh 𝑎

dengan 𝑏 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

Sudut antara dua vektor

Contoh soal sudut antara vektor 1

• Tentukan besar sudut antara vektor

• 𝑎 = −2𝑖 + 𝑗 − 2𝑘,

𝑏 = −𝑗 + 𝑘

Contoh soal sudut antara vektor 2

• Diketahui titik-titik A (3,2,4), B (5,1,5), dan C (4,3,6).

• AB wakil dari 𝑢 dan AC wakil dari 𝑣 .

• Kosinus sudut yang dibentuk oleh vektor 𝑢 dan 𝑣 adalah?

Proyeksi orthogonal suatu vektor pada vektor lain

• Proyeksi skalar orthogonal 𝑎 pada 𝑏:

𝑐 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑎 ∙ 𝑏

𝑏

𝑐 =𝑎 ∙ 𝑏

𝑏

• Panjang proyeksi vektor orthogonal 𝑎 pada 𝑏:

𝑐 =𝑎 ∙ 𝑏

𝑏 → hasilnya positif

• Proyeksi vektor 𝑎 pada 𝑏:

𝑐 =𝑎 ∙ 𝑏

𝑏2 ∙ 𝑏

A

o CB

a

c

θ

b

.b pada a vektor Proyeksi d.

.a pada b orthogonalskalar Proyeksi c.

.b pada a orthogonalskalar Proyeksi b.

.b pada a proyeksi Panjang a.

: tentukank4-j2i4bdan

k3-j6-i2a Diketahui