MODUL MATEMATIKA

VEKTOR

Peta Konsep

Vektor dalam Ruang Dimensi Dua

Pengertian Vektor Operasi Vektor Sudut Antar Vektor Proyeksi Vektor

1. Pengertian Vektor

Vektor adalah Besaran yang mempunyai nilai dan arah.sebagai contoh, kecepatan

dan percepatan.Adapun notasi vektor adalah sebagai berikut :

a. Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil dan tebal.Misalnya, a, b, dan c

b. anak Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil menggunakan panah di

atasnya.Misalnya, a,⃗⃗ b,⃗⃗ dan c .

c. anak Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kapital menggunakan panah di

atasnya.Misalnya, AB,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ CD,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ dan EF⃗⃗ ⃗⃗ .

Contoh :

B

a

A

Vektor a atau vector AB⃗⃗⃗⃗ ⃗

2. Pengertian Vektor Dalam Ruang Dimensi Dua

Pengertian vektor dalam ruang dimensi dua adalah suatu vektor yang hanya memuat

dua komponen yaitu komponen mendatar( horizontal ) dan komponen tegak ( vertikal

).Dalam hal ini vektor dimensi dua berada pada bidang datar.Nilai x menyatakan

komponen mendatar dan nilai y menyatakan komponen tegak. Vektor Dalam Ruang

Dimensi Dua dapat disajikan dalam bentuk vektor baris ( x,y ), vektor kolom atau

vector basis xi +yj .

Contoh :

a = ( 2,3 ) Vektor dalam ruang dimensi dua disajikan dalam bentuk vektor posisi baris

b⃗ = (23) Vektor dalam ruang dimensi dua disajikan dalam bentuk vektor posisi kolom

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2i + 3j Vektor dalam ruang dimensi dua disajikan dalam bentuk vektor basis

3. Macam Macam Vektor

1. Vektor Posisi

Vektor yang disajikan dalam bentuk vector baris ( x, y) atau vektor kolom (𝐱𝐲).

Contoh :

a = ( -3,4 ) atau b⃗ = (−2−3

)

Jika dalam soal diketahui dua titik maka cara mencari vektor posisinya adalah

sebagai berikut :

Misal diketahui titik A( xa,ya ) dan titik B( xb,yb ) maka vektor posisi 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐁 − 𝐀.

Jadi vector 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝒙𝒃 − 𝒙𝒂, 𝒚𝒃 − 𝒚𝒂) 𝒂𝒕𝒂𝒖 (𝒙𝒃 − 𝒙𝒂

𝒚𝒃 − 𝒚𝒂)

Contoh :

Diketahui koordinat titik A( 3.4 ) dan B( -2,-3 ).Tentukan vektor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ !

Jawab :

Diketahui : A( 3.4 ) dan B( -2,-3 )

Ditanya : AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ ?

Alternatif penyelesaian :

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 , 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2 − 3,−3 − 4)

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−5, −7)

Jadi vector posisi adalah AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−5,−7).

2. Vektor Basis

Vektor yang disajikan dalam bentuk x𝐢 +y𝐣 .Dimana I dan j membangun vektor

vektor pada ruang dimensi dua, i( 1,0 ) dan J( 0,1 ) dengan |i | = |j | = 1.

Contoh :

Vektor a = ( 5,7 ) dapat ditulis sebagai vektor basis a = 5i +7j

Vektor b = ( 2,-3 ) dapat ditulis sebagai vektor basis b = 2I - 3j

Vektor c = ( -1,4 ) dapat ditulis sebagai vektor basis c = −I +4j

Vektor d = ( -2,-1 ) dapat ditulis sebagai vektor basis d = −2i -j

3. Vektor Nol

Vektor nol adalah suatu vector yang panjangnya sama dengan nol dan arahnya

sembarang.Vektor nol dapat dinyatakan dengan 0 = (00)

Contoh :

Vektor a = ( 0,0 )

Vektor 𝐛 = (00)

4. Vektor Negatif/Vektor Invers

Vektor negatif dari a adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor a tetapi

arahnya berlawanan.Vektor negatif dari vektor a ditulis – a.

Contoh :

Vektor a = ( 2,4 ) vektor negatif a adalah – a = ( - 2,- 4 )

Vektor a = ( - 2,3 ) vektor negatif a adalah – a = ( 2,- 3 )

Vektor a = ( 6,- 5 ) vektor negatif a adalah – a = ( - 6, 5 )

Vektor a = ( - 2,- 1 ) vektor negatif a adalah – a = ( 2,1 )

5. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vector yang besarnya atau panjangnya satu satuan.vektor

satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vector tersebut dengan panjang

vector semula.Misalnya e adalah vektor satuan dari vektor a.maka vector

satuannya dinyatakan dengan :

𝐞 =𝐚

|𝐚|

Contoh :

Tentukan vector satuan dari a = 2I - 3j

Alternatif Penyelesaian :

𝐞 =𝐚

|𝐚|

𝐞 =2I − 3j

√𝟐𝟐 + (−𝟑)𝟐

𝐞 =2I − 3j

√𝟒 + 𝟗

𝐞 =2I − 3j

√𝟏𝟑

e =2

13√13𝑖 −

3

13√13𝑗

6. Besar/Modulus Vektor

Misal diketahui a = xi +yj modulus atau panjang vector a dirumuskan sebagai berikut

|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

Contoh 1:

Tentukan panjang vektor a = 4I +3j !

Alternatif penyelesaian :

|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

|𝐚| = √𝟒𝟐 + 𝟑𝟐

|𝐚| = √𝟏𝟔 + 𝟗

|𝐚| = √𝟐𝟓 = 𝟓

Contoh 2 :

Diketahui vektor a = 𝑥I +3j .Jika panjang a adalah 5.Tentukan nilai x !

Alternatif penyelesaian :

|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐

5 = √𝐱𝟐 + 𝟑𝟐

5 = √𝐱𝟐 + 𝟗

𝟐5 = 𝒙𝟐 + 𝟗 kedua ruas dikuadratkan

x2 = 25 – 9

x2 = 16

x = √16 = 4

7. Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama jika besar dan arah kedua vector tersebut sama.

Contoh :

Diketahui 𝐚 = (5

−4) dan 𝐛 = (

𝑥−4

) jika a = b tentukan nilai x

Alternatif penyelesaian :

a = b

(5

−4) = (

𝑥−4

)

x = 5

8. Operasi Vektor

1. Penjumlahan Vektor

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (32) dan 𝐛 = (

4−3

).Tentukan a + b !

Alternatif penyelesaian :

a + b = (32) + (

4−3

).

a + b = (3 + 4

2 + (−3))

a + b = (7−1

)

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (−34

), 𝐛 = (23) dan 𝐜 = (

5−2

) .Tentukan a + b + c !

Alternatif penyelesaian :

a + b + c = (−34

) + (23) + (

5−2

)

a + b + c = (−3 + 2 + 54 + 3 − 2

)

a + b + c = (45)

2. Pengurangan Vektor

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (−21

) dan 𝐛 = (36).Tentukan a - b !

Alternatif penyelesaian :

a - b = (−21

) − (36).

a + b = (−2 − 31 − 6

)

a + b = (−5−5

)

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (3−4

), 𝐛 = (−23

) dan 𝐛 = (−52

) .Tentukan a - b - c !

Alternatif penyelesaian :

a - b - c = (3−4

) − (−23

) - (−52

)

a – b - c = (3 − 2 + 5−4 − 3 − 2

)

a – b - c = (6−9

)

3. Perkalian Vektor Dengan Dilangan Skalar

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (−21

) 2a dan -3a !

Alternatif penyelesaian :

2a = 𝟐 (−21

)

2a = (−42

)

-3a = −3(−21

)

-3a = (6

−3)

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j ⃗dan 𝐛 = 3i − 2j .Tentukan 3a - 2b !

Alternatif penyelesaian :

3a - 2b = 3(2i + 3j ) − 2(3i − 2j )

3a - 2b = (6i + 9j ) − (6i − 4j )

3a - 2b = 6i + 9j − 6i + 4j

3a - 2b = 6i − 6i + 9j + 4j

3a - 2b = 13j

4. Perkalian Vektor Dengan Vektor ( Dot )

Ada dua penyelesaian perkalian vektor dengan vektor ( Dot ), yaitu :

1. Jika soal tidak mengandung sudut.

Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 , b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 dan c = 𝒙𝒄𝐢 + 𝒚𝒄𝐣 maka a.b dirumuskan :

a.b = ( xa..xb + ya.yb )

a.b.c = ( xa..xb.xc + ya.yb.yc )

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j dan 𝐛 = 3i − 2j .Tentukan a.b !

Alternatif penyelesaian :

a.b = ( xa..xb + ya.yb )

a.b = 2(3) + 3(-2)

a.b = 6 – 6

a.b = 0

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = 3i + 4j , 𝐛 = 3i − 2j dan 𝐜 = 5i + 3j .Tentukan a.b.c !

Alternatif penyelesaian :

a.b.c = ( xa..xb.xc + ya.yb.yc )

a.b.c = 3(3)(5) + 4(-2)(3)

a.b = 45 – 24

a.b = 21

2. Jika soal mengandung sudut.

Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 dan b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 dan sudut yang dibentuk a dan b adalah

𝛼 maka a.b dirumuskan :

𝒂. 𝒃 = |𝒂||𝒃| 𝐜𝐨𝐬𝜶

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j , 𝐛 = 3i − 2j dan sudut yang dibentuk 600.

Tentukan a.b !

Alternatif penyelesaian :

a. b = |a||b| cos α

a. b = √22 + 32. √32 + (−2)2. cos 600

a. b = √4 + 9. √9 + 4. (1

2)

a. b = √13. √13. (1

2)

a. b = 13. (1

2)

a. b =13

2

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j , 𝐛 = 3i − yj , a.b = 13

2 dan sudut yang dibentuk

600. Tentukan vektor b !

Alternatif penyelesaian :

a. b = |a||b| cos α

13

2= √22 + 32. √x2 + y2. cos 600

13

2= √4 + 9.√32 + y2. (

1

2)

13

2. (

2

1) = √13.√9 + y2.

13 = √13. √9 + y2

169 = 13(9 + 𝑦2)

169

13= (9 + 𝑦2)

13 = 9 + 𝑦2

𝑦2 = 13 − 9

y2 = 4

y = √4 = ±2 , Jadi vektor b adalah b = 3i − 2j atau b = 3i + 2j

Contoh 3:

Diketahui vektor a dan bTentukan

1. a.a

2. ( a + b ) ( a + b )

Alternatif penyelesaian :

1. a. a = |a||a| cos 00

a. a = |a||a|. 1

a. a = |a||a|

a. a = |𝑎|2

Jadi 𝐚. 𝐚 = |𝒂|𝟐

2. (𝑎 + 𝑏)𝑎 + (𝑎 + 𝑏) = 𝑎(𝑎 + 𝑏) + 𝑏(𝑎 + 𝑏)

= 𝑎. 𝑎 + 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑏

= |𝑎|2 + 2. 𝑎. 𝑏 + |𝑏|2

9. Sudut Antara Vektor

Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 dan b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 dan sudut yang dibentuk a dan b adalah 𝛼

maka sudut antara dua vektor dirumuskan :

𝐂𝐨𝐬 𝛂 =𝐚. 𝐛

|𝐚||𝐛|

Contoh 1 :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j , dan 𝐛 = 3i − 2j .Tentukan besarnya sudut antara dua

vektor !

Alternatif penyelesaian :

Cos α =a. b

|a||b|

Cos α =2(3) + 3(−2)

√22 + 32√32 + (−2)2

Cos α =6 − 6

√4 + 9√9 + 4

Cos α =0

√13√13

Cos α =0

13= 0

Cos α = 0

Cos α = cos 900

𝛼 = 900

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = i + 2j , dan 𝐛 = −2i + 4j .Tentukan nilai sinus sudut antara

dua vektor !

Alternatif penyelesaian :

Cos α =a. b

|a||b|

Cos α =1(−2) + 2(4)

√12 + 22√(−2)2 + 42

Cos α =−2 + 8

√1 + 4√4 + 16

Cos α =6

√5√20

Cos α =6

√100

Cos α =6

10

Cos α =3

5

x 5

3

x2 = 52 – 32

x2 = 25 – 9

x2 = 16

𝑥 = √16

x = ± 4

Sin 𝛼 =sisi depan sudut

sisi miring

sin 𝛼 = ±4

5

Jadi nilai sin 𝛼 =4

5 𝑎𝑡𝑎𝑢 −

4

5

10. Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor ada dua jenis, yaitu :

1. Proyeksi skalar orthogonal.

Proyeksi skalar orthogonal dirumuskan :

a. Proyeksi skalar orthogonal a pada b

|𝐜| =𝐚. 𝐛

|𝐛|

Contoh :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j , dan 𝐛 = 3i − j .Tentukan proyeksi skalar

ortogonal vektor a pada vektor b !

Alternatif Penyelesaian :

|c| =a. b

|b|

|c| =2(3) + 1(−1)

√32 + (−1)2

|c| =6 − 1

√9 + 1

|c| =5

√10

|c| =5

√10×

√10

√10

|c| =5

10√10 =

1

2√10

b. Proyeksi skalar orthogonal b pada a

|𝐜| =𝐚. 𝐛

|𝐚|

Contoh :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j , dan 𝐛 = 3i − j .Tentukan proyeksi skalar

ortogonal vektor b pada vektor a !

Alternatif Penyelesaian :

|c| =a. b

|a|

|c| =2(3) + 1(−1)

√22 + 12

|c| =6 − 1

√4 + 1

|c| =5

√5

|c| =5

√5×

√5

√5

|c| =5

5√5 = √5

2. Proyeksi vektor orthogonal.

Proyeksi vektor orthogonal dirumuskan :

a. Proyeksi vektor orthogonal a pada b

|𝐜| =𝐚. 𝐛

|𝒃|𝟐. 𝒃

Contoh :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j , dan 𝐛 = 3i − j .Tentukan proyeksi vektor

orthogonal vektor a pada vektor b !

Alternatif Penyelesaian :

|c| =a. b

|b|2. b

|c| =2(3) + 1(−1)

(√32 + (−1)2)2 (3i − j )

|c| =6 − 1

(√9 + 1)2 (3i − j )

|c| =5

(√10)2 (3i − j )

|c| =5

10× (3i − j )

|c| =1

2(3i − j ) =

3

2i −

1

2j

b. Proyeksi vektor orthogonal a pada b

|𝐜| =𝐚. 𝐛

|𝒃|𝟐. 𝒃

Contoh :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j , dan 𝐛 = 3i − j .Tentukan proyeksi vektor

orthogonal vektor b pada vektor a !

Alternatif Penyelesaian :

|c| =a. b

|b|2. b

|c| =2(3) + 1(−1)

(√22 + 12)2 (2i + j )

|c| =6 − 1

(√4 + 1)2 (2i + j )

|c| =5

(√5)2 (2i + j )

|c| =5

5× (2i + j )

|c| = 2i + j

Peta Konsep

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Pengertian Vektor Operasi Vektor Sudut Antar Vektor Proyeksi Vektor

1. Pengertian Vektor Dalam Ruang Dimensi Dua

Pengertian Vektor Dalam Ruang Dimensi Dua adalah suatu vektor yang memuat tiga

komponen yaitu komponen depan belakang ( sumbu x ), komponen

mendatar/horizontal ( sumbu y ) dan komponen tegak / vertikal ( sumbu z )).Dalam

hal ini vektor dimensi tiga berada pada bidang ruang.. Vektor Dalam Ruang Dimensi

tiga dapat disajikan dalam bentuk vektor baris ( x,y,z ), vektor kolom (𝑥𝑦𝑧)atau vektor

basis xi +yj +zk⃗

Contoh :

a = ( 2,3,4 ) Vektor dalam ruang dimensi tiga disajikan dalam bentuk vektor posisi

baris

b⃗ = (234) Vektor dalam ruang dimensi tiga disajikan dalam bentuk vektor posisi kolom

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2i + 3j Vektor dalam ruang dimensi tiga disajikan dalam bentuk vektor basis

2. Macam Macam Vektor

3. Vektor Posisi

Vektor yang disajikan dalam bentuk vector baris ( x, y, z) atau vector kolom (𝒙𝒚𝒛).

Contoh :

a = ( -3,4,1 ) atau b⃗ = (−3−4−1

)

Jika dalam soal diketahui dua titik maka cara mencari vektor posisinya adalah

sebagai berikut :

Misal diketahui titik A( xa,ya,za ) dan titik B( xb,yb,zb ) maka vektor posisi 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =

𝐁 − 𝐀.

Jadi vector 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝒙𝒃 − 𝒙𝒂, 𝒚𝒃 − 𝒚𝒂, 𝒛𝒃 − 𝒛𝒂) 𝒂𝒕𝒂𝒖 (

𝒙𝒃 − 𝒙𝒂

𝒚𝒃 − 𝒚𝒂

𝒛𝒃 − 𝒛𝒂

)

Contoh :

Diketahui koordinat titik A( 3.4,1 ) dan B( -2,-3,3 ).Tentukan vektor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ !

Jawab :

Diketahui : A( 3.4,1) dan B( -2,-3,3 )

Ditanya : AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ ?

Alternatif penyelesaian :

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (xb − xa, yb − ya, zb − za)

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2 − 3,−3 − 4,3 − 1)

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−5, −7,2)

Jadi vector posisi adalah AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−5,−7,2).

4. Vektor Basis

Vektor yang disajikan dalam bentuk x𝐢 +y𝐣 +z𝐤 .Dimana I dan j membangun vektor

vektor pada ruang dimensi dua, 𝑖 ( 1,0,0 ), 𝑗 ( 0,1.0 ) dan ), �⃗� ( 0,0.1 ) dengan |i | =

|j | = �⃗� = 1.

Contoh :

Vektor a = ( 5,7,-2 ) dapat ditulis sebagai vektor basis a = 5i + 7𝑗 − 2�⃗�

Vektor b = ( 2,-3 , 1) dapat ditulis sebagai vektor basis b = 2I - 3j + �⃗�

Vektor c = ( -1,4.5 ) dapat ditulis sebagai vektor basis c = −I + 4j + 5𝑘⃗⃗⃗⃗

Vektor d = ( -2,-1,0 ) dapat ditulis sebagai vektor basis d = −2i - j

3. Vektor Nol

Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya sama dengan nol dan arahnya

sembarang.Vektor nol dapat dinyatakan dengan 0 = (000)

Contoh :

Vektor a = ( 0,0,0 )

Vektor 𝐛 = (000)

3. Vektor Negatif/Vektor Invers

Vektor negatif dari a adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor a tetapi

arahnya berlawanan.Vektor negatif dari vektor a ditulis – a.

Contoh :

Vektor a = ( 2,4,1 ) vektor negatif a adalah – a = ( - 2,- 4,-1 )

Vektor a = ( - 2,3,-1 ) vektor negatif a adalah – a = ( 2,- 3,1 )

Vektor a = ( 6,- 5,4 ) vektor negatif a adalah – a = ( - 6, 5,-4 )

Vektor a = ( - 2,- 1,5 ) vektor negatif a adalah – a = ( 2,1,-5 )

4. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vector yang besarnya atau panjangnya satu satuan.vektor

satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vector tersebut dengan panjang

vector semula.Misalnya e adalah vektor satuan dari vektor a.maka vector

satuannya dinyatakan dengan :

𝐞 =𝐚

|𝐚|

Contoh :

Tentukan vector satuan dari a = 2I - 3j + �⃗�

Alternatif Penyelesaian :

𝐞 =𝐚

|𝐚|

𝐞 =2I − 3j + �⃗�

√22 + (−3)2 + 12

𝐞 =2I − 3j + �⃗�

√4 + 9 + 1

𝐞 =2I − 3j + �⃗�

√14

e =2

14√14𝑖 −

3

14√14𝑗 +

1

14√14�⃗�

e =1

7√14𝑖 −

3

14√14𝑗 +

1

14√14�⃗�

5. Besar/Modulus Vektor

Misal diketahui a = xi +yj modulus atau panjang vector a dirumuskan sebagai berikut

|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝒛𝟐

Contoh 1:

Tentukan panjang vektor a = 4I +3j + �⃗� !

Alternatif penyelesaian :

|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝒛𝟐

|𝐚| = √𝟒𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐

|𝐚| = √𝟏𝟔 + 𝟗 + 𝟏

|𝐚| = √𝟐𝟔

Contoh 2 :

Diketahui vektor a = 𝑥I +3j + �⃗� .Jika panjang a adalah √26.Tentukan nilai x !

Alternatif penyelesaian :

|𝐚| = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝒛𝟐

√26 = √𝐱𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐

√26 = √𝐱𝟐 + 𝟗 + 𝟏

𝟐6 = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎 kedua ruas dikuadratkan

x2 = 26 – 10

x2 = 16

x = √16 = 4

6. Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama jika besar dan arah kedua vector tersebut sama.

Contoh :

Diketahui 𝐚 = (5

−41

) dan 𝐛 = (𝑥−41

) jika a = b tentukan nilai x

Alternatif penyelesaian :

a = b

(5

−41

) = (𝑥−41

)

x = 5

7. Operasi Vektor

5. Penjumlahan Vektor

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (321) dan 𝐛 = (

4−30

).Tentukan a + b !

Alternatif penyelesaian :

a + b = (321) + (

4−30

).

a + b = (3 + 42 − 31 + 0

)

a + b = (7

−10

)

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (321), 𝐛 = (

4−30

) dan 𝐜 = (0−11

) .Tentukan a + b + c !

Alternatif penyelesaian :

a + b + c = (321) + (

4−30

) + (0−11

)

a + b + c = (3 + 4 + 02 − 3 − 11 + 0 + 1

)

a + b + c = (7−22

)

6. Pengurangan Vektor

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (−210

) dan 𝐛 = (36−1

).Tentukan a - b !

Alternatif penyelesaian :

a - b = (−210

) − (36−1

).

a + b = (−2 − 31 − 60 + 1

)

a + b = (−5−51

)

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (−210

), 𝐛 = (36−1

) dan 𝐛 = (111) .Tentukan a - b - c !

Alternatif penyelesaian :

a - b - c = (−210

) − (36

−1) - (

111)

a – b - c = (−2 − 3 − 11 − 6 − 10 + 1 − 1

)

a – b - c = (−6−60

)

7. Perkalian Vektor Dengan Dilangan Skalar

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 𝐚 = (−210

) 2a dan -3a !

Alternatif penyelesaian :

2a = 𝟐(−210

)

2a = (−420

)

-3a = −3(−210

)

-3a = (6

−30

)

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� dan 𝐛 = 3i − 2j + �⃗� .Tentukan 3a - 2b !

Alternatif penyelesaian :

3a - 2b = 3(2i + 3j + �⃗� ) − 2(3i − 2j + �⃗� )

3a - 2b = (6i + 9j + 3�⃗� ) − (6i − 4j + 2�⃗� )

3a - 2b = 6i + 9j + 3�⃗� − 6i + 4j + 2�⃗�

3a - 2b = 6i − 6i + 9j + 4j + 3�⃗� + 2�⃗�

3a - 2b = 13j + 5�⃗�

8. Perkalian Vektor Dengan Vektor ( Dot )

Ada dua penyelesaian perkalian vektor dengan vektor ( Dot ), yaitu :

2. Jika soal tidak mengandung sudut.

Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 + 𝒛𝒂𝐤 , b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 +𝒛𝒃𝐤 dan c = 𝒙𝒄𝐢 + 𝒚𝒄𝐣 + 𝒛𝒄𝐤 maka

a.b dirumuskan :

a.b = ( xa..xb + ya.yb + za.zb)

a.b.c = ( xa..xb.xc + ya.yb.yc ++ za.zb+ zc )

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 2i + 3j + �⃗� dan 𝐛 = 3i − 2j + �⃗� .Tentukan a.b !

Alternatif penyelesaian :

a.b = ( xa..xb + ya.yb )

a.b = 2(3)( 1)+ 3(-2)(1)

a.b = 6 – 6

a.b = 0

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� , 𝐛 = 3i − 2j + �⃗� dan 𝐜 = 5i + 3j +

2�⃗� .Tentukan a.b.c !

Alternatif penyelesaian :

a.b.c = ( xa..xb.xc + ya.yb.yc )

a.b.c = 3(3)(5) + 4(-2)(3) + 1(1)(2)

a.b = 45 – 24 + 2

a.b = 23

2. Jika soal mengandung sudut.

Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 + 𝒛𝒂𝐤 , b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 +𝒛𝒃𝐤 dan sudut yang dibentuk a dan

b adalah 𝛼 maka a.b dirumuskan :

𝒂. 𝒃 = |𝒂||𝒃| 𝐜𝐨𝐬𝜶

Contoh 1:

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� , 𝐛 = 3i − 2j + �⃗� dan sudut yang dibentuk

600. Tentukan a.b !

Alternatif penyelesaian :

a. b = |a||b| cos α

a. b = √22 + 32 + 12. √32 + (−2)2 + +12. cos 600

a. b = √4 + 9 + 1. √9 + 4 + 1. (1

2)

a. b = √14. √14. (1

2)

a. b = 14. (1

2)

a. b =14

2= 7

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� , 𝐛 = 3i − yj + �⃗� , a.b = 7 dan sudut yang

dibentuk 600. Tentukan vektor b !

Alternatif penyelesaian :

a. b = |a||b| cos α

7 = √22 + 32 + 12. √x2 + y2 + 12. cos 600

7 = √4 + 9 + 1.√32 + y2 + 1. (1

2)

7. (2

1) = √14.√9 + y2 + 1.

14 = √14. √10 + y2

196 = 14(10 + 𝑦2)

196

14= (10 + 𝑦2)

14 = 10 + 𝑦2

𝑦2 = 14 − 10

y2 = 4

y = ±√4 = ±2, Jadi vector b adalah b = 3i − 2j + �⃗� atau b = 3i + 2j + �⃗�

Contoh 3:

Buktikan bahwa |𝑎 + 𝑏| = √|𝑎|2 + |𝑏|2 + 2|𝑎||𝑏| cos 𝛼

Alternatif penyelesaian :

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = |𝑎 + 𝑏||𝑎 + 𝑏| cos 00

a.a + a.b + a.b + b.b = |𝑎 + 𝑏|2(1)

|𝑎|2 + 2. 𝑎. 𝑏 + |𝑏|2 = |𝑎 + 𝑏|2

|𝑎 + 𝑏|2 = |𝑎|2 + 2. 𝑎. 𝑏 + |𝑏|2

|𝑎 + 𝑏|2 = |𝑎|2 + |𝑏|2 + 2. 𝑎. 𝑏

|𝑎 + 𝑏| = √|𝑎|2 + |𝑏|2 + 2. 𝑎. 𝑏 terbukti

8. Sudut Antara Vektor

Misal : a = 𝒙𝒂𝐢 + 𝒚𝒂𝐣 + 𝒛𝒂𝐤 , b = 𝒙𝒃𝐢 + 𝒚𝒃𝐣 +𝒛𝒃𝐤 dan sudut yang dibentuk a dan b

adalah 𝛼 maka sudut antara dua vektor dirumuskan :

𝐂𝐨𝐬 𝛂 =𝐚. 𝐛

|𝐚||𝐛|

Contoh 1 :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + 3j + �⃗� , 𝐛 = 3i − yj + �⃗� .Tentukan besarnya sudut antara

dua vektor !

Alternatif penyelesaian :

Cos α =a. b

|a||b|

Cos α =2(3) + 3(−2) + 1(1)

√22 + 32 + 12√32 + (−2)212

Cos α =6 − 6 + 1

√4 + +9 + 1√9 + 4 + 1

Cos α =1

√14√14

Cos α =1

14

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 cos1

14

Contoh 2:

Diketahui Diketahui 𝐚 = i + 2j + 3�⃗� , dan 𝐛 = −2i + 4j + �⃗� .Tentukan nilai sinus sudut

antara dua vektor !

Alternatif penyelesaian :

Cos α =a. b

|a||b|

Cos α =1(−2) + 2(4) + 3(1)

√12 + 22 + 32√(−2)2 + 42 + 12

Cos α =−2 + 8 + 3

√1 + 4 + 3√4 + 16 + 1

Cos α =9

√8√21

Cos α =9

√168

x √168

9

x2 = (√168)2 – ( 9 )2

x2 = 168 – 81

x2 = 87

𝑥 = √87

Sin 𝛼 =sisi depan sudut

sisi miring

sin 𝛼 =√87

√168

Jadi nilai sin 𝛼 =√87

√168

9. Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor ada dua jenis, yaitu :

1. Proyeksi skalar orthogonal.

Proyeksi skalar orthogonal dirumuskan :

a. Proyeksi skalar orthogonal a pada b

|𝐜| =𝐚. 𝐛

|𝐛|

Contoh :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j + k⃗ , dan 𝐛 = 3i − j + k⃗ .Tentukan proyeksi

skalar ortogonal vector a pada vektor b !

Alternatif Penyelesaian :

|c| =a. b

|b|

|c| =2(3) + 1(−1) + 1(1)

√32 + (−1)2 + 12

|c| =6 − 1 + 1

√9 + 1 + 1

|c| =6

√11

|c| =5

√11×

√11

√11

|c| =5

11√11

b. Proyeksi skalar orthogonal b pada a

|𝐜| =𝐚. 𝐛

|𝐚|

Contoh :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j − 2k⃗ , dan 𝐛 = 3i − j + k⃗ .Tentukan proyeksi

skalar ortogonal vector b pada vektor a !

Alternatif Penyelesaian :

|c| =a. b

|a|

|c| =2(3) + 1(−1) + (−2)(1)

√22 + 12 + (−2)2

|c| =6 − 1 − 2

√4 + 1 + 4

|c| =3

√9

|c| =3

3

|c| = 1

2. Proyeksi vektor orthogonal.

Proyeksi vektor orthogonal dirumuskan :

a. Proyeksi vektor orthogonal a pada b

|𝐜| =𝐚. 𝐛

|𝒃|𝟐. 𝒃

Contoh :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i⃗⃗ ⃗ + j + k⃗ , dan 𝐛 = 3i − j + k⃗ .Tentukan proyeksi

vektor orthogonal vektor a pada vektor b !

Alternatif Penyelesaian :

|c| =a. b

|b|2. b

|c| =2(3) + 1(−1) + 1(1)

(√32 + (−1)2 + 12)2 (3i − j + k⃗ )

|c| =6 − 1 + 1

(√9 + 1 + 1)2 (3i − j + k⃗ )

|c| =6

(√11)2 (3i − j + k⃗ )

|c| =5

11× (3i − j + k⃗ )

|c| =15

11i −

5

11j +

5

11k⃗

b. Proyeksi vektor orthogonal a pada b

|𝐜| =𝐚. 𝐛

|𝒃|𝟐. 𝒃

Contoh :

Diketahui Diketahui 𝐚 = 2i + j − 2k⃗ , dan 𝐛 = 3i − j + k⃗ .Tentukan proyeksi

vektor orthogonal vektor b pada vektor a !

Alternatif Penyelesaian :

|c| =a. b

|b|2. b

|c| =2(3) + 1(−1) + (−2)(1)

(√22 + 12 + (−2)2)2 (2i + j − 2k⃗ )

|c| =6 − 1 − 2

(√4 + 1 + 4)2 (2i + j − 2k⃗ )

|c| =3

(√9)2 (2i + j − 2k⃗ )

|c| =3

3× (2i + j − 2k⃗ )

|c| = 2i + j − 2k⃗

LATIHAN SOAL VEKTOR DAN PEMBAHASAN

I. Isilah titik titik di bawah ini dengan benar !

1. Diketahui 𝑎 = (3−21

) maka vektor basis dari 𝑎 adalah....

a. 3i − 2j + k

b. −3i − 2j

c. 3i + 2j

d. −3i + 2j

e. 2i − 3j

Pembahasan :

Vektor basis adalah : xi + yj + zk sehingga menajdi menjadi 3i – 2j + k ( A)

2. Diketahui b⃗ = i − j + k maka vector posisi dari �⃗� adalah….

a. b⃗ = (111)

b. b⃗ = (1

−11

)

c. b⃗ = (−111

)

d. b⃗ = (11

−1)

e. b⃗ = (−1−1−1

)

Pembahasan :

Vektor posisi adalah vector basis dengan menghilangkan unsur i ; j ; k atau ( x, y, z ) b⃗ = (1

−11

) (𝐁)

3. Diketahui P = ( 3,- 2,1 ) dan Q = ( 5,- 4.-1 ) maka PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ adalah....

a. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−7,6.2)

b. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (7, −6, −2)

c. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, −2, −2)

d. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,2,2)

e. PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2, −2,6)

Pembahasan :

Vektor diketahui tiga titik : PQ menjadi Q – P menjadi ( 5 – 3, - 4 – (-2),- 1 – 1 ) = ( 2,-2,-2 ) ( C )

4. Diketahui a⃗ = 2i + j − k dan b⃗ = i − j + 𝑘 maka hasil dari 2 a⃗ + b⃗ adalah ....

a. 5i − j + k

b. −5i + j + k

c. −5i − j + k

d. 5i + j – k

e. 5i − 5j – k

Pembahasan :

a⃗ = 2i + j − k

2a⃗ = 4i + 2j − 2k

b⃗ = i − j + 𝑘

Maka 2a + b = 4i + 2j − 2k + i − j + 𝑘 = 5i + j – k ( D )

5. Diketahui a⃗ = 3i + 2j + k dan b⃗ = i + j + 𝑘 maka hasil dari a⃗ − 3b⃗ adalah ....

a. i − j

b. −i − j

c. −i + j

d. i + j

e. −j − 2𝑘

Pembahasan :

a⃗ = 3i + 2j + k

b⃗ = i + j + 𝑘

3b⃗ = 3i + 3j + 3𝑘

Maka a – 3b = 3i + 2j + k − (3i + 3j + 3𝑘) = −𝑗 − 2𝑘 ( E )

6. Diketahui S = ( 4,- 1,2 ) dan T = ( -3,4,2 ) maka -2.TS⃗⃗⃗⃗ adalah....

a. ( 7,- 5,0 )

b. ( - 7, 5 ,0 )

c. ( 14,10, 0 )

d. ( - 14, - 10, 0 )

e. ( - 14, 10, 0 )

Pembahasan :

Vektor TS = S – T = ( 4,- 1,2 ) - ( -3,4,2 ) = ( 4 - (-3), -1 – 4 , 2 – 2 ) = ( 7, - 5, 0 )

2TS = 2( 7,- 5, 0 ) = ( 14, - 10, 0 ) ( E )

7. Diketahui r = 2i + 3j + k maka vector satuan 𝑟 adalah….

a. 2

15√13i +

3

15√13j +

1

15√15𝑘

b. 2

15√13i −

3

15√13j +

1

15√15𝑘

c. −2

13√13i +

3

13√13j + 12k

d. −2

13√13i −

3

13√13j – 12k

e. √13i + √13j – 13k

Pembahasan :

Vektor satuan c = 𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘

√𝑥2+𝑦2+𝑧2

r = 2i + 3j + k

c = 2𝑖+3𝑗+𝑘

√22+32+12=

2𝑖+3𝑗+𝑘

√4+9+1=

2𝑖+3𝑗+𝑘

√15=

2

15√13i +

3

15√13j +

1

15√15𝑘 ( A )

8. Diketahui A = ( 1,- 2,1 ) , B = ( 4,- 5,-1 ) vektor satuan AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ adalah....

a. 1

2√2i +

1

2√2j + k

b. 3

√22𝑖 −

3

√22𝑗 −

2

√22𝑘

c. −1

2√2i +

1

2√2j + 3k

d. −1

2√2i −

1

2√2j – 4k

e. √2i + √2j - k

Pembahasan :

AB = B – A

AB = ( 4,- 5,-1 ) - ( 1,- 2,1 ) = ( 3, - 3, - 2 )

Vektor satuan c = 𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘

√𝑥2+𝑦2+𝑧2

AB = 3𝑖−3𝑗−2𝑘

√32+(−3)2+(−2)1=

3𝑖−3𝑗−2𝑘

√9+9+4=

3𝑖−3𝑗−2𝑘

√22=

3

√22i −

3

√22j −

2

√22k ( B )

9. Diketahui a⃗ = 3i − 4j − 𝑘 maka |a⃗ | adalah....

a. √23

b. √24

c. 5

d. √26

e. 7

Pembahasan :

|a⃗ | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

|a⃗ | = √32 + (−4)2 + (−1)2

|a⃗ | = √9 + 16 + 1 = √26 ( D )

10. Diketahui a⃗ = 2i + 3j + k dan b⃗ = 3i − j − 𝑘 maka hasil dari |2b⃗⃗ ⃗⃗ − a⃗ | adalah ....

a. 5√3

b. √42

c. 4√3

d. 4√2

e. 5

Pembahasan :

b⃗ = 3i − j − 𝑘

2b⃗ = 6i − 2j − 2𝑘

a⃗ = 2i + 3j + k

2b – a = 6i − 2j − 2𝑘 − ( 2i + 3j + k ) = 4i − 5j − k

|2b⃗⃗ ⃗⃗ − a⃗ | = √42 + (−5)2 + (−1)2 = √16 + 25 + 1 = √42 ( B )

11. Diketahui r = 2i + j + 2k dan s = i − j + 𝑘 maka hasil dari r . s adalah ...

a. 5

b. 4

c. 3

d. 2

e. 1

Pembahsan :

r . s = 2(1) + 1( −1) + 2(1) = 2 − 1 + 2 = 3 ( C )

12. Diketahui a⃗ = 2i − j + k dan b⃗ = 3i − 2j − 𝑘 sudut antara a⃗ dan b⃗ adalah 600 maka hasil dari a⃗ . b⃗ adalah

....

a. 1

8√85

b. 1

4√85

c. 1

3√84

d. 1

2√84

e. √85

Pembahasan :

a⃗ . b⃗ = |𝑎||𝑏| cos 𝛼

a⃗ . b⃗ = √22 + (−1)2 + 12√32 + (−2)2 + (−1)2 cos 600

a⃗ . b⃗ = √4 + 1 + 1√9 + 4 + 1(1

2)

a⃗ . b⃗ = √6√14 (1

2) = (

1

2)√84 ( D )

13. Diketahui p⃗ = 2i + j + k dan q⃗ = i − 2j maka besarnya sudut antara p⃗ dan q⃗ adalah ...

a. 00

b. 300

c. 450

d. 600

e. 900

Pembahasan :

𝐶𝑜𝑠 𝛼 =𝑎.𝑏

|𝑎||𝑏|=

2(1)+1(−2)+1(0)

√22+12+12√12+(−2)2+(0)2=

2−2+0

√2+1+1√1+2+0=

0

√4√3=

0

2√3= 0 = 900( E )

14. Diketahui a⃗ = 3i + j + k dan b⃗ = i − 2j − 𝑘 maka proyeksi skalar ortogonal a⃗ pada b⃗ adalah ...

a. 1

4√5

b. 0

c. 1

6√5

d. 1

7√5

e. 1

8√5

Pembahasan :

c =a. b

|b|

𝑐 =3(1)+1(−2)+1(−1)

√12+(−2)2+(−1)2=

3−2−1

√1+4+1=

0

√6= 0 ( B )

15. Diketahui a⃗ = 2i + j + k dan b⃗ = i − j + 𝑘 maka proyeksi vektor ortogonal b⃗ pada a⃗ adalah ...

a. 1

4i −

1

4j + 4k

b. 4

3𝑖 +

4

6𝑗 +

4

6𝑘

c. 1

6i −

1

6j + 2k

d. 2

7i −

1

7j – 3k

e. 1

8i −

1

8j – 5k

Pembahasan :

c =a. b

|𝑎|2× 𝑎

c =2(1) + 1(−1) + 1(1)

(√22 + 12 + 12)2 × 2i + j + k

c =2 + 1 + 1

(√4 + 1 + 1)2 × 2i + j + k

c =4

(√6)2 × 2i + j + k =

4

6× 2i + j + k =

4

3𝑖 +

4

6𝑗 +

4

6𝑘 ( B )

16. Vektor a mempunyai panjang 2√3.Jika a.( a + b ) = 15 sudut antara a dan b = 𝜋

6, maka |𝑏| adalah….

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

Pembahasa :

a.( a + b ) = 15

a.a + a.b = 15

|a|2 + a. b = 15

|a|2 + |𝑎||𝑏| cos𝜋

6= 15

(2√3)2+ 2√3|𝑏|

1

2√3 = 15

12 + 3.|𝑏| = 15

3.|𝑏| = 15 − 12

3.|𝑏| = 3

|𝑏| = 𝟏 ( A )