SA-2201 Matematika Rekayasa IIVektor dalam Ruang19 Januari 2015

(Dr. Dhemi Harlan, ST, MT, MSc)

Tujuan PerkuliahanMahasiswa memiliki pengetahuan matematika,pengetahuan rekayasa, serta teknik, kemampuan, dan metoda modern untuk praktek kerekayasaanMata Kuliah TerkaitSA-2204 Hidrologi SA-2203 HidraulikaSA-210x Mekanika Fluida

Percentage

Activity (hour/week)

Assessment/Penilaian

References/BibliographyKnowledge = 20 %Skill = 40 %Attitude = 40 %

Course = 3Tutorial = 3Mandiri = 3

UAS UTSKuisTugas

Kreyszig, E,Advanced Engineering Mathematics, 8th edition, John Wiley, 2006Chapra, S and Canale, R.P.,Numerical Methods for Engineers, 6th edition, McGraw-Hill, 2009Ang, A.H.S and Tang, W.H,Probability Concepts in Engineering, 2th edition, Wiley, 2006

Rincian KuliahMg 1 Vektor

Mg 2 Persamaan Integral

Mg 3 Persamaan Differensial

Mg 4 Bilangan Kompleks

Mg 5 Deret Pangkat dan Deret TaylorVektor dalam Ruang

Integral garis Integral permukaanIntegral volume

Konsep Dasar PDESolusi PDE

Turunan KompleksIntegral Kompleks

Deret PangkatDeret Taylor

Mg 6 Solusi Numerik Persamaan Differensial Biasa

Mg 7 Solusi Numerik Persamaan Differensial Partial

Mg 8 UTS

Mg 9 Konsep Dasar Optimasi

Mg 10 Metode Simpleks

ODE tingkat 1Sistem Persamaan LinierODE tingkat tinggi

PDP ElliptikPDP ParabolikPDP Hiperbolik

Metode Steepest DescentPemograman Linier

Metode SimpleksMetode Simpleks dua faseAnalisis Sensitivitas

Mg 11 Konsep Dasar Statistika

Mg 12 Konsep Dasar Statistika

Mg 13 Distribusi

Mg 14 Distribusi

Representasi DataProbabilitasPermutasi dan Kombinasi

Varibael AcakRata-rataVarians

Distribusi NormalDistribusi BinomialDistribusi Poisson

HipergeometrikSampel AcakCinfidence interval

Mg 15 Analisis Regressi dan Korelasi

Mg 16 UAS

Analisis RegresiAnalisis Korelasi

1. PendahuluanDua faktor utama yang mempengaruhi perkembangan matematik rekayasa selama 50 tahun terakhir. Faktor-faktor tersebut adalah penerapan secara luas komputer untuk masalah rekayasa dan penggunaan yang meningkat dari aljabar linier.

Yang pertama terdiri dari teori dan aplikasi vektor-vektor, dan ruang vektor serta matriks. Ini termasuk penerapan matriks dalam penyelesaian sistem persamaan diferensial.

Yang kedua adalah kalkulus vektor. Ini termasuk kalkulus differensial yang terdiri dari: bidang vektor, kurva, kecepatan, turunan berarah, gradien, divergence, dan curl. Juga meliputi kalkulus integral seperti: integral garis, permukaan, dan triple dan transformasinya dengan teorema Green, Gauss, dan Stokes.

1. Vektor dan Skalar Vektor merupakan besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti: perpindahan, kecepatan, gaya, dan percepatan.

Vektor digambarkan dengan sebuah anak panah OP (Gambar) dimana mempunyai arah, sementara besar diwakili oleh panjang anak panah. Titik O disebut sebagai titik asal/titik pangkal vektor dan titik P sebagai titik terminal.

Vektor dilambangkan oleh sebuah huruf dengan anak panah diatasnya A atau A dan besarnya dinyatakan | A | atau A. Vektor OP juga dinyatakan sebagai OP atau OP . Besarnya dapat dinyatakan dengan OP , | OP | atau | OP |A atau AOP

Skalar merupakan besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, seperti: massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang bilangan riil. Skalar dinyatakan oleh huruf-huruf biasa.

Aljabar vektor merupakan operasi-operasi perluasan dari bilangan2 atau skalar-skalar yang lazim dalam aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, atau perkalian dengan definisi yang sesuai kedalam aljabar dari vektor2.

Dibawah diberikan definisi-definisi mendasar 1. Dua buah vektor A dan B sama (A = B) jika memiliki besar dan arah yang sama tanpa melihat titik-titik awalnya. 2. Sebuah vektor dimana arahnya berlawanan dengan vektor A dan memiliki besar yang sama dinyatakan dengan A.

ABA-A

3. Jumlah/resultan dari vektor-vektor A dan B adalah vektor C , dituliskan sebagai A + B = C .

4. Selisih dari vektor-vektor A dan B dinyatakan oleh A B adalah vektor C . Secara ekuivalen dapat ditulis A + (-B).

5. Hasil kali sebuah vektor A dengan sebuah skalar m adalah sebuah vektor mA yang besarnya |m| kali besarnya A dan memiliki arah sama atu berlawanan dengan A , bergantung nilai m apakah posiif atau negatif. Jika m=0, maka mA adalah vektor nol.ABC

Hukum-hukum aljabar vektorJika A, B, dan C adalah vektor-vektor dan m dan n skalar-skalar, maka 1. A + B = B + A Hukum komutatif penjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C Hukum asosiatif penjumlahan 3. mA = Am Hukum komutatif perkalian 4. m (nA) = (mn) A Hukum asosiatif perkalian 5. (m + n) A = mA + nA Hukum distributif 6. m (A + B) = mA + mB Hukum distributif

Vektor satuan adalah sebuah vektor yang besarnya satu. Jika A adalah sebuah vektor yang besarnya A 0 , maka A/A adalah vektor satuan yang arahnya sama dengan A.

Vektor-vektor satuan tegak lurus i, j, kHimpunan vektor-vektor satuan yang penting adalah yang arahnya menurut sumbu-sumbu x, y, dan z positif dari sistem koordinat tegak lurus ruang tiga dimensi. Masing-masing dinyatakan dengan i, j, dan k (gambar).

xyzOijk

Komponen-komponen sebuah vektorSetiap vektor A dalam ruang tiga dimensi dapat digambarkan dengan titik pangkal pada titik asal O dari sistem koordinat tegak lurus (gambar).

Misalkan (Ai , A2 , A3) koordinat2 tegak lurus dimana titik terminal vektor A dengan titik asal O. Vektor-vektor A1i, A2j, dan A3k disebut vektor-vektor komponen tegak lurus atau disingkat vektor-vektor komponen dari A berturut2 dalam arah x, y, dan z.xyzA2jA1iA3k

Jumlah/resultan dari A1i, A2j, dan A3k adalah vektor A , yg ditulis sbb:

A = A1i + A2j + A3k

dengan besar A adalah

Medan skalarJika pada tiap-tiap titik (x, y, z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan dg sebuah bilangan/skalar (x, y, z), maka disebut fungsi skalar dari kedudukan atau fungsi titik skalar dan dikatakan bahwa sebuah medan skalar telah didefinisikan dalam R.Contoh: (1) Temperatur pada setiap titik di dalam atau diatas permukaan bumi pada suatu saat tertentu menedefinisikan sebuah medan skalar. (2) (x, y, z) = x3y z3 mendefinisikan sebuah medan skalar.

Jika medan skalar tidak bergantung waktu disebut medan skalar stasioner atau keadaan tunak.

Medan VektorJika pada tiap-tiap titik (x, y, z) dari suatu derah R dalam ruang dikaitkan sebuh vektor V(x, y, z), maka V disebut fungsi vektor dari kedudukan atau fungsi titik vektor (vector point function) dan dapat dikatakan bahwa sebuah medan vektor V telah didefinisikan dalam R.

Contoh-contoh: (1) Jika kecepatan pada setiap titik (x, y, z) dalam sebuah fluida yang sedang bergerak diketahui pada suatu saat tertentu, maka sebuah medan vektor terdefinisikan. (2) V(x, y, z) = xy2i 2yz3j + x3zk mendefinisikan sebuah medan vektor.

Sebuah medan vektor tang tidak bergantung pada waktu disebut medan vektor stasioner atau keadaan tunak (steady).

2. Dot Product dan Cross ProductDot product/inner product/scalar product (hasil perkalian skalar) dari dua vektor A dan B dalam ruang tiga dimensi ditulis dengan A . B (A titik B) dan didefinisikan sebagai

A . B = |A||B| cos = A B cos , untuk 0 (1)

Hukum-hukum yang berlaku pada hasil perkalian skalar sbb: 1. A . B = B . A Hukum komutatif 2. A . (B + C) = A . B + A . C Hukum distributif 3. m(A . B) = (mA) . B = (A . B)m , m sebuah skalar 4. i . i = j . j = k . k = 1 , i . j = j . k = k . i = 0 5. Jika A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k , maka: A . B = A1B1 + A2B2 + A3B3 A . A = A2 = A12 + A22 + A32 B . B = B2 = B12 + B22 + B33 6. Jika A . B = 0 , dimana A 0 dan B 0 , maka A dan B adalah tegak lurus

Vector product/cross product dari dua vektor A dan B ditulis dengan A x B (A cross B) dan didefinisikan sebagai

A x B = |A||B| sin = A B sin , untuk 0 (2)

A x B tegak lurus pada bidang vektor A dan B yang membentuk sistem tangan kanan seperti pada gambar dibawah. A x BAB

Hukum-hukum yang berlaku pada cross product sebagai berikut. 1. A x B = -B x A Hukum komutatif tidak berlaku pada cross product 2. A x (B + C) = A x B + A x C Hukum distributif 3. m(A x B) = (mA) x B = A x (mB) = (A x B)m , dimana m sebuah skalar 4. i x i = j x j = k x k = 0 , i x j = k , j x k = i , k x i = j 5. Jika A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k , maka:

i j k A x B = A1 A2 A3 B1 B2 B3

6. Besarnya A x B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B 7. Jika A x B = 0, dimana A 0 dan B 0 , maka A dan B adalah sejajar

Triple product merupakan scalar dan cross product dari vektor A, B, dan C yang dapat dinyatakan dengan

(A . B)C atau A . (B x C) atau A x (B x C)

Hukum-hukumyang berlaku pada tripleproduct sbb. 1. (A . B) C A(B . C) 2. A . (B x C) = B . (C x A) = C . (A x B) volume sebuah jajaran genjang dengan sisi A, B, dab C atau negatif dari volume ini, dimana A, B, dan C membentuk sistem tanan kanan. Jika A = A1i + A2j + A3k , B = B1i + B2j + B3k , dan C = C1i + C2j + C3k , maka

A1 A2 A3 A x B x C= B1 B2 B3 C1 C2 C3

3. A x (B x C) (A x B) x C Hukum asosisatif tidak berlaku 4. A x (B x C) = (A . C) B (A . B) C (A x B) x C = (A . C) B (B . C) A

Hasil kali A . (B . C) disebut triple scalar product, dapat dinyatakan dengan [ ABC ]. Sementara A x (B x C) disebut vector triple product

Tugas 1Soal 1Diketahui vektor-vektor A , B , C , dan D (gambar). Bentuklah (a) 3A 2B (C D) (b) (1/2)C +(2/3)(A B + 2D)

ABCD

Soal 2Jika A = 3i j 4k , B = -2i + 4j 3k , C = i + 2j k , tentukan (a) 2A B + 3C (b) |A + B + C| (c) |3A 2B + 4C| (d) Vektor satuan yang sejajar dengan 3A 2B + 4C

Soal 3Diketahui medan skalar didefinisikan oleh (x,y,z) = 4yz3 + 3xyz z2 + 2. Tentukan (a) (1,-1,-2) (b) (0,-3,1)Lukiskan medan-medan vektor yang didefinisikan oleh: (c) V(x,y) = xi yj (d) V(x,y) = yi - xj

Soal 4Hitunglah: (a) k . (i + j) (b) (i 2k) . (j + 3k) (c) (2i j + 3k) . (3i + 2j k)Jika A = i + 3j 2k dan B = 4i 2j + 4k, tentukan: (d) A . B (e) A (f) B (g) |3A + 2B| (h) (2A + B) . (A 2B)Tentukan sudut antara: (i) A = 3i + 2j -6k dan B = 4i 3j + k (j) C = 4i 2j + 4k dan D = 3i 6j -2k

Soal 5Jika A = i 2j -3k , B = 2i + j k , dan C = i + 3j 2k, tentukan: (a) |(A x B) x C| (b) |A x (B x C)| (c) A . (B x C) (d) (A x B) x (B x C) (e) (A x B) (B . C)