KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X...

17
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 1 KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b Gambarkan vektor a) b a 2 b) b a Jawab: a) Untuk menggambar vektor b a 2 , gambar dahulu vektor a 2 , lalu disambung dengan vektor b . Vektor a 2 adalah vektor yang panjangnya 2 kali vektor a dan arahnya sama dengan arah vektor a . Gambar dulu yuk vektor a 2 : Kemudian, dilanjutkan dengan menggambar vektor b . Letakkan pangkal vektor b pada ujung vektor a 2 : Lalu mana vektor b a 2 ? Buat garis berarah (vektor) dari pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a 2 ) ke ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b ). Itulah vektor b a 2 . Gambarnye: a a 2 a 2 b

Transcript of KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X...

Page 1: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 1

KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X

MATEMATIKA PEMINATAN

Soal 1

Diberikan dua vektor sebagai berikut:

b

Gambarkan vektor a) ba

2 b) ba

Jawab:

a) Untuk menggambar vektor ba

2 , gambar dahulu vektor a

2 , lalu disambung dengan

vektor b

. Vektor a

2 adalah vektor yang panjangnya 2 kali vektor a

dan arahnya sama

dengan arah vektor a

. Gambar dulu yuk vektor a

2 :

Kemudian, dilanjutkan dengan menggambar vektor b

. Letakkan pangkal vektor b

pada

ujung vektor a

2 :

Lalu mana vektor ba

2 ?

Buat garis berarah (vektor) dari pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a

2 ) ke

ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b

). Itulah vektor ba

2 . Gambarnye:

a

a

2

a

2

b

Page 2: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 2

b) Untuk menggambar vektor ba

, gambar dahulu vektor a

, lalu disambung dengan

vektor b

. Pertama, gambar vektor a

:

Selanjutnya, vektor b

adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor

b

, tapi arahnya berlawanan dengan arah vektor b

.

Kalau vektor b

arahnya ke kanan atas:

Maka vektor b

arahnya ke kiri bawah:

Geser vektor b

ini ke vektor a

, pangkal vektor b

ditempelkan ke ujung vektor

a

.

a

2

b

ba

2

a

b

b

a

b

Page 3: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 3

Nah, hubungin pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a

) ke

ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b

), jadi deh vektor ba

.

Soal 2a

Diketahui 4a

, 61ba

, sudut apit antara vektor a

dan b

adalah 60o. Maka ....b

Jawab:

Untuk soal ini, gunakan rumus menawan berikut:

cos222

bababa

dengan adalah sudut apit antara vektor a

dan b

.

Masukkan nilai-nilai yang ada,

cos222

bababa

60cos4246122 bb

2

1421661

2 bb

kuadratkan

bb

416612

6116402

bb

45402

bb

a

b

ba

Hafalin rumus ini yuuuk…!!

Page 4: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 4

590 bb

09 b

atau 05 b

9b

atau 5b

Solusinya adalah 5b

sebab panjang vektor diasumsikan positif. Jadi, 5b

.

(Ternyata, memecahkan soal vektor tidak sesulit memecahkan batu karang dengan

gergaji!!)

Soal 2b

Diketahui persamaan cba

32 dengan

2

1

5

a

,

3

9

mb

dan

12

8

n

k

c

.

Maka nilai k + m + n = ….

Jawab:

Kita mulai dari persamaan:

cba

32 .

Masukkan nilai vektor cba

dan , , , sehingga menjadi:

12

8

3

9

3

2

1

5

2

n

k

m

12

8

9

3

27

4

2

10

n

k

m

129

83

27

4

2

10

n

m

k

Dari sini, kita peroleh:

k 2710 17k

832 m 2m

1294 n 7n

Sehingga 127217 nmk .

Page 5: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 5

Soal 3a

Titik D(4, 7), E(5, –1) dan F(p, 6) terletak pada satu garis lurus. Maka nilai 30p – 1 = …

Jawab:

Jika titik D, E dan F segaris, maka berlaku:

DEmDF

)( demdf

7

4

1

5

7

4

6m

p

8

1

1

4m

p

Dari sini,

14 mp dan m81

m8

1

18

14 p

48

1p

8

14p

8

33p

Maka nilai dari 4

3122

4

491

8

982

8

8

8

9901

8

33.30130 p .

Page 6: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 6

Soal 3b

Apakah syarat dua vektor sejajar? Jelaskan!

Nah, jika vektor

q

ps 2

12

sejajar dengan vektor

2

1

3

t

.maka nilai ....22 qp

Jawab:

Dua vektor sejajar jika vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang lain.

Jika vektor s

sejajar dengan vektor t

, maka dapat ditulis

tms

(dengan m suatu bilangan riil)

Masukkan nilai vektor s

dan t

pada soal, didapatkan:

2

1

3

2

12

m

q

p

Dari komponen pertama,

12 = m . 3

m = 4

Dari komponen kedua,

12 mp

142 p

p = 2

Dari komponen ketiga,

)2( mq

)2(4 q

8q

Maka nilai .68644)8(2 2222 qp

Soal 3c

Jika jip

2 dan kjiq

maka ....3 qp

Jawab:

Page 7: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 7

kjikjijikjijiqp

3253332)(3)2(3 .

Maka 3894253253 222 qp

.

Soal 4a

Diberikan

0

2

6

a

dan

2

5

3

b

.

Tentukan: (i) hasil kali skalar ....ba

(ii) vektor satuan searah vektor b

(iii) panjang proyeksi vektor a

pada b

(iv) proyeksi vektor orthogonal a

pada b

Jawab:

(i) Hasil kali 801018

2

5

3

0

2

6

ba

.

(ii) Vektor satuan searah vektor b

adalah b

b

.

38

238

538

3

222 38

2

5

3

4259

2

5

3

25)3(

2

5

3

b

b

.

(iii) Panjang proyeksi vektor a

pada b

adalah b

ba

.

38

8

38

01018

25)3(

2

5

3

0

2

6

222

b

ba

.

Kalau mau dirasionalkan penyebutnya juga boleh!!

3819

438

38

8

38

38

38

8

38

8

.

Page 8: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 8

(iv) Proyeksi vektor orthogonal a

pada b

adalah b

b

ba

2.

2

5

3

25)3(

2

5

3

0

2

6

2222

2b

b

ba

2

5

3

25)3(

01018

222

2

5

3

38

8

2

5

3

19

4

Kalau bilangan 19

4dimasukin ke dalam komponen-komponen vektor juga boleh, nggak

dimarahin kok!

198

1920

1912

2

5

3

19

4.

Soal 4b

Diberikan titik-titik P(3, 1, 2), Q(4, 1, –2) dan R(0, 2, 2). Tentukan:

(i) Jarak PQ

(ii) Jika adalah sudut yang dibentuk antara vektor

PQ dan

PR , tentukan nilai cos .

Jawab:

(i) Cari dulu vektor

PQ , kemudian hitung panjangnya (yaitu PQ).

4

0

1

2

1

3

2

1

4

pqPQ

.

Maka 171601)4(01 222

PQPQ .

Page 9: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 9

(ii) Gunakan rumus

PRPQ

PRPQcos

Dari soal (i) sudah didapatkan

4

0

1

PQ dan 17

PQ . Sekarang kita cari

PR dan

PR .

0

1

3

2

1

3

2

2

0

prPR

,

sehingga 1001901)3( 222

PR .

Maka 170

3

170

003

1017

0

1

3

4

0

1

cos

PRPQ

PRPQ.

Soal Matematika ada 2 macam:

1. Soal yang singkat, mudah dan simpel.

2. Soal yang mengasyikkan …

Soal 5

Di suatu bidang terletak titik A(7, 0) dan titik B(–14, 7). Titik P terletak pada ruas garis AB

sehingga AP : PB = 4 : 3. Sedangkan titik Q terletak pada perpanjangan AB sedemikian

sehingga AB : BQ = 7 : 2. Tentukan koordinat titik P dan titik Q!

Jawab:

Page 10: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 10

Perhatikan gambar!

Titik P terletak di dalam ruas garis AB. Vektor posisi titik P dapat dicari dengan persamaan:

4

5

7

28

35

7

0

21

28

56

7

0

73

7

144

34

34 abp

.

sehingga koordinat titik P adalah (–5, 4).

Untuk titik Q, perhatikan bahwa titik Q terletak di luar ruas garis AB.

Perhatikan gambar di atas! Karena AB : BQ = 7 : 2 , maka AQ : QB = 9 : –2 sehingga vektor

posisi titik Q dapat dinyatakan dengan persamaan

9

20

7

63

140

7

0

14

63

126

7

0

72

7

149

29

29 abq

Sehingga koordinat titik Q adalah (–20, 9).

Soal 6a

Vektor

4

3

9

a

tegak lurus vektor

13

4

1

m

b

. Tentukan nilai m.

Jawab:

Jika vektor a

tegak lurus b

maka berlaku persamaan: 0ba

Page 11: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 11

(Bukti: Jika vektor a

tegak lurus b

maka sudut apitnya 90 , sehingga

0090coscos babababa

, terbukti)

Jadi, 0ba

0

13

4

1

4

3

9

m

0)13(44.31.9 m

0412129 m

0112 m

112 m

12

1m

Soal 6b

Diberikan vektor a = –2i + j + xk dan vektor b = 4i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a

pada b adalah 8, maka x = ....

Jawab:

INGAT! Panjang proyeksi vektor a pada b adalah b

ba .

Dalam bentuk vektor kolom, vektor a dan b bisa juga ditulis:

a = –2i + j + xk

x

1

2

b = 4i – 2j + 6k

6

2

4

Karena panjang proyeksinya 8, maka:

b

ba = 8

8

6)2(4

6

2

4

1

2

222

x

-

836416

628

x

856

610

x

Page 12: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 12

8142

610

x

1416610 x

1014166 x

6

101416 x

3

5148 x (Pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 2)

Soal 7a

Diketahui vektor-vektor satuan arah sumbu X, Y dan Z berturut-turut adalah kji

dan , , .

Tentukan: (a) i

(ii) k

(iii) kk (d) ji

Jawab:

(a) 1i

(Alasan: Karena i

adalah vektor satuan, panjangnya tentu 1 satuan dong!)

(b) 1k

(Alasan: k

juga vektor satuan)

(c) 11.1.10cos kkkk

(INGAT! Sudut antara vektor k

dengan k

adalah 0o. INGAT juga nilai 10cos )

(d) 00.1.190cos jiji

(INGAT! Sudut antara vektor i

dan j

adalah 90 .

INGAT juga )090cos

Soal 7b

Diketahui 8a

dan 32b

. Sudut apit antara vektor a

dan b

adalah 30o. Nilai dari

....ba

Page 13: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 13

Jawab:

Gunakan definisi perkalian skalar cosbaba

. Maka:

.243832

131630cos328cos baba

Soal 8

Pada jajargenjang PQRS, vektor uQP

dan vQR

.

Titik X adalah titik tengah SR, sedangkan titik Y adalah titik tengah PS. Nyatakan vektor:

(a)

QX

(b)

XY

dalam u

dan v

!

Jawab:

(a) Perhatikan gambar!

.

(b) Perhatikan gambar!

(Lihat vektor

SY dan v

berlawanan arah)

8

uvRXQRQX

2

1

vuSYXSXY

2

1

2

1

Page 14: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 14

Soal 9

Perhatikan skema vektor-vektor berikut ini! Tentukan hubungan antara vektor-vektor berikut

ini:

(a)

(b)

Jawab:

(a) Perhatikan vektor w, y dan z!

Kalau ketiga vektor ini ditambah, maka hasilnya apa?

Page 15: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 15

Hasilnya adalah vektor x ! Lihat gambar berikut:

Jadi, hubungannya dapat dinyatakan dengan persamaan:

w + y + z = x

(b) Perhatikan gambar!

Jika vektor

,KL

,LM

,MP

,PQ

,QR dan

RK ditambah, ternyata posisinya balik lagi

ke posisi semula. Karena balik ke posisi semula, maka vektor resultannya adalah vektor

.0

Sehingga hubungannya dapat kita tulis sebagai:

0

RKQRPQMPLMKL

Soal 10

Aku sebuah vektor dalam dua dimensi. Panjangku 170 satuan. Aku tegak lurus vektor

11

7. Komponen x-ku lebih besar daripada komponen y-ku. Siapakah aku?

Jawab:

Page 16: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 16

Misalkan aku =

y

x. Karena panjangku 170 , maka

17022 yx

170 22 yx ……. (*)

Karena aku tegak lurus vektor

11

7, maka:

0117 yx

xy 711

xy11

7 …….(**)

Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*),

17011

72

2

xx

170121

49 22 xx

170121

49

121

121 22 xx

170121

170 2 x

1212 x

11atau 11 xx

Jika 11x maka 71111

7

11

7 xy .

Jika 11x maka 7)11(11

7

11

7 xy .

Karena pada soal disebutkan “komponen x-ku lebih besar daripada komponen y-ku”, maka

kita pilih 11x dan 7y .

Jadi, aku adalah vektor

7

11.

011

7

y

x

Page 17: KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA … · KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut: b & Gambarkan vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 17