http://meetabied.wordpress.com SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut bahwa mereka akan melakukan kesalahan (Elbert Hubbad)

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]Vektor

================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com

http://meetabied.wordpress.com

2

A. Definisi Vektor

Vektor, adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor dinotasikan sebagai ruas garis

berarah. Misal : AB artinya

vektor AB, u,u,u

adalah notasi untuk vektor u, a artinya vektor a dan lain-lain. Dengan demikian penulisan vektor dengan huruf kecil garis di atas atau garis di bawah tidak menjadi soal.

B. Menyajikan Vektor (i) Vektor di R2

Jika a adalah sebuah vektor dan )a,a(a 21= berupa baris,

sedang

=

2

1

aa

a berupa vektor

kolom. atau dalam vektor basis jaiaa 21 +=

(ii) Vektor di R3 Jika a adalah sebuah vektor

dan )a,a,a(a 321= berupa

baris, sedang

=

3

2

1

aaa

a berupa

vektor kolom. atau dalam vektor basis

kajaiaa 321 ++=

C. Operasi Vektor (i) Penjumlahan , Pengurangan Dan Perkalian. (versi Geometri)

b

amaka :

ab

a +b

hasil penjumlahan vektor a dan b(cara segitiga)

a +b

hasil penjumlahan vektor a dan b(cara jajar genjang)

b

amaka : a

b-

bb-

hasil pengurangan vektor a dan b

a

a a2 ( dua kali vektor a)

(ii) Penjumlahan , Pengurangan Dan Perkalian. (versi Aljabar)

1 Penjumlahan dan Pengurangan .

Jika

=

2

1

aa

a dan

=

2

1

bb

b maka :

++

=+22

11baba

ba

--

=-22

11baba

ba

http://meetabied.wordpress.com

3

Jika

=

3

2

1

aaa

a dan

=

3

2

1

bbb

b maka :

1 Perkalian Skalar dengan vektor

Jika

=

3

2

1

aaa

a dan k skalar, maka :

Berlaku pula untuk vektor di R2 1 Perkalian Skalar dua vektor

Jika

=

3

2

1

aaa

a dan

=

3

2

1

bbb

b , maka :

D. Vektor Khusus 1 Vektor Nol (0) Adalah suatu vektor dimana titik

awal dan titik ujungnya berimpit. Elemen-elemen vektor semuanya

nol.

=

000

o

1 Vektor Satuan Adalah vektor yang panjangnya satu

satuan vektor. vektor satuan dari vektor a adalah : 1 Vektor Posisi Adalah vektor yang titik pangkalnya

adalah O. Penting untuk diingat, bahwa setiap

vektor dapat diganti dengan vektor posisi, dengan menggunakan prinsip kesamaan dua vektor.

Jika A(a1,a2) suatu titik, maka titik A tersebut juga bisa dituliskan sebagai

vektor posisi, sebagai aOA =

Jika )a,a,a(A 321= dan )b,b,b(B 321= maka vektor

posisi dari titik A dan B adalah :

+++

=+33

22

11

bababa

ba

---

=-33

22

11

bababa

ba

ka = k

=

3

2

1

3

2

1

kakaka

aaa

|a|a

e =

---

=-=

33

22

11

ababab

OAOBAB

332211 bababab.a ++=

http://meetabied.wordpress.com

4

1 Panjang Vektor

Jika

=

2

1

aa

a maka panjang dari

vektor a adalah :

Jika

=

3

2

1

aaa

a maka panjang dari vektor

a adalah : Jika a dan b dua buah vektor maka :

Gunakan Teori di atas untuk menyelesaikan soal-soal berikut ini : 1. Diberikan vektor-vektor sebagai

berikut :

a

cb

Gambarkan :

a) a +b b) a +c

c) a b d) c b e) a +b +c f) 2a +3c g) -3a +2b

2. Diketahui

=

421

a dan

=

045

b

Tentukan : a) a +b b) 2a +3b

3. Pada gambar di bawah, M adalah

titik tengah PQ. Nyatakan vektor-vektor berikut ini dengan a ,b ,dan

.PM

Q

RS

a c

b

a)

PR d)

SM

b)

QP e)

RM

c)

PM f)

QS 4) Diketahui balok ABCD.EFGH

diperlihatkan pada gambar di bawah, dengan AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan AE = 4 cm. Ruas-ruas garis

berarah AB ,

AD , dan

AE berturut

turut mewakili vektor p , q dan r

A B

CD

EF

GH

r q

p

22

21 aa|a| +=

23

22

21 aaa|a| ++=

2222 |ba||b|2|a|2|ba| --+=+

http://meetabied.wordpress.com

5

Tentukan :

a) Panjang vektor-vektor p ,

q dan r

b) | p + q |

c) | p + r |

d) | q + r |

e) | p + q + r | 5. Diketahui vektor-vektor : k4j3i2a -+= dan

k2j5ib --= . Tentukan

a) a +b b) a b c) 2a +5b d) |a +b| e) |3a -2b| 6. Diketahui vektor-vektor : k4j3i2a -+= dan

k2j5ib --= .

k2ji3c +-= Tentukan panjang

vektor d = 2a +b c 7. Diketahui titik A(0, 6) dan B(-2, 4) Tentukan panjang ruas garis

(jarak) AB ! 8. Tentukan x dan y dari :

-

-=

+

18

3y3

44x

2

9. Diketahui vektor-vektor : k4j3i2a -+= dan

k2j5ib --= .

k2ji3c +-=

Tentukan :

a) a . b b) a . c c) b . c d) (3a)( 2b) e) (-2a).(3c)

10. Carilah nilai a, b dan c jika :

=

-+

+

111

101

c012

b120

a

11. Diketahui titik A(5, 4, 6) dan B(-2,

5,1). Tentukan jarak antara titik A dan B !

12. Diketahui segitiga ABC dengan A(3,

-1, 5), B(4, 2, -5) dan C(-4,0,3). Jika D merupakan titik tengah sisi BC, hitunglah panjang garis AD.

13. Diketahui | a | = 4 cm , | b | = 5 dan | a b| = 19 . Tentukan | a +b| 14. Diketahui | a | = 7 cm , | b | = 3

dan | a +b| = 23 . Tentukan | a -b| 15. Diketahui j2i3a -= ,

j4ib +-= dan j8i7r -= . Jika

bmakr += , tentukan nilai k +m !

http://meetabied.wordpress.com

6

A. Perbandingan Bagian

(1) Titik P membagi Ruas garis AB

a) Jika P di dalam garis AB

AP dan

PB memunyai

arah yang sama dan n dan m mempunyai tanda yang sama.

A P B

mn

Rumus :

a) Jika P di luar garis AB

AP dan

PB memunyai

arah yang berlawanan dan n dan m mempunyai tanda yang berlawanan.

A B P

m

n Rumus :

(2) Pembagian dalam vektor Jika p menyatakan vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n

O A

B

n

m

b

a

p

Rumus :

(3) Tiga titik Segaris (kolinier) Jika terdapat titik A, B dan C maka ketiga titik tersebut akan segaris, jika : Dengan k konstan (riel)

(4) Dua vektor segaris (kolinier) Jika a adalah vektor posisi titik A dan b vektor posisi titik B, maka a dan b akan segaris jika memenuhi : Dengan k konstan.

AP : PB = m : n AP : AB = m :(m +n)

AP : PB = m :- n AP : AB = m :(m -n)

nmanbm

p++

=

= ACkAB

bka =

http://meetabied.wordpress.com

7

B. Sudut antara dua vektor

q

b

a Maka berlaku : Perhatikan gambar diatas, jika:

(i) a dan b membentuk sudut 900, artinya vektor a dan b tegak lurus , maka :

(ii) a dan b membentuk sudut 1800, artinya vektor a dan b berlawanan , maka :

(iii) a dan b membentuk sudut 00, artinya vektor a dan b sejajar atau berimpit , maka :

C. Proyeksi Orthogonal vektor

b

a

c Vektor proyeksi dari vektor a pada

vektor b adalah :

Panjang proyeksi dari vektor a pada

vektor b adalah :

Gunakan Teori di atas untuk menyelesaikan soal-soal berikut ini : 1. Vektor posisi titik A dan B masing-

masing dinyatakan dengan a dan b Nyatakan vektor posisi titik P dengan a dan b Jika :

a) titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 3 : 2

b) titik P membagi AB di luar dengan perbandingan 3 : 2

2. Diketahui titik A(2, 3, 4) dan B(9,-

11,18). Tentukan koordinat titik P, jika titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 5 : 2

1. qcos|b|.|a|b.a =

2. |b|.|a|

b.acos =q

3. qcos|b|.|a||a|)ba(a 2 +=+

4. qcos|b|.|a||a|)ba(a 2 -=-

5. qcos|b||a|2|b||a||ba| 222 ++=+

6. qcos|b||a|2|b||a||ba| 222 -+=-

a .b = 0

a .b = -|a|.|b|

a .b = |a|.|b|

|b|

b.a|c| =

b.|b|

b.ac

2=

http://meetabied.wordpress.com

8

3. Diketahui titik A(2, 1, -1) dan B(7,3,8). Tentukan koordinat titik P, jika titik P membagi AB diluar dengan perbandingan 3 : 2

4. R adalah titik pada garis PQ.

Tentukan koordinat R jika : a) P(1,0,2), Q(5,4,10) dan PR : RQ = 3 : -2

b) P(-3,-2,-1), Q(0,-5,2) dan PR : RQ = 4 : -2

5. Diketahui vektor

-=

312

a dan

-

-=

231

b . Tentukan besar sudut

yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

6. Diketahui vektor

-=

333

a dan

=

312

b . Tentukan sinus sudut

yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

7. Diketahui vektor

-=22

1a dan

--

=424

b . Tentukan kosinus sudut

yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,-3,2), B(-1,0,2) dan C(0,1,4). Dengan menggunakan rumus sudut antara dua vektor, tentukan besar setiap sudut dalam segitiga itu.

9. Diketahui vektor

=

12

a dan

=43

b . Tentukan :

a) Proyeksi vektor a pada b b) Proyeksi vektor b pada a c) Panjang Proyeksi vektor a pada d) Panjang Proyeksi vektor b pada

10. Diketahui vektor

--=

36

2a dan

-=

212

b . Tentukan :

a) Proyeksi vektor a pada b b) Proyeksi vektor b pada a c) Panjang Proyeksi vektor a pada d) Panjang Proyeksi vektor b pada 11. Diketahui segitiga ABC dengan

A(1,-1,2), B(5,-6,2), dan C(1,3,-1) Tentukan :

a) Panjang proyeksi vektor AB pada

vaektor

AC

b) Panjang proyeksi vektor

CA pada

vaektor

CB 12. Diketahui A(2,3,-1), B(5,4,0) dan

C(x,6,2). Tentukan x agar A, B dan C segaris.

http://meetabied.wordpress.com

9

13. Diketahui vektor u = (4 ,x , 1) dan vektor v = (2,x-1,y) . Tentukan nilai x dan y agar kedua vektor segaris.

14. Diketahui k4j3i2u +-= dan

k2jiv ++-= . Tentukan tangens sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

15. Diketahui |u| = 3 dan |v| = 5. Jika

sudut yang dibentuk oleh vektor u

dan v sebesar 3p

. Tentukan nilai :

a) u(u +v) b) u(u -v)

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui a = 3i +2j +k ; b = 2i +j dan c = 3a -4b , maka | c | = ..... A. 7 B. 5 C. 14 D. 10 E. 15

2. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui a = 3i -2j ; b = -i +4j dan r = 7i -8j, jika r = ka +mb, maka k +m =.... A. 3 B. 2 C. 1 D. -1 E. -2

3. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui Z adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2 ,3 ,-2), B(4, 1, 2) dan C(8 ,5 ,-3), maka panjang vektor posisi Z adalah... A. 7 B. 15 C. 11 D. 14 E. 17

4. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui A(2 ,-1, 4), dan B(3 ,-,0). Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga : AP = -2PB. Jika p vektor posisi titik P, maka p A. (1 ,3 ,5) B. (3 ,5, 4) C. (8 ,-5 ,4) D. (4 ,-3 ,-4) E. (8 ,5, -4)

5. PREDIKSI UAN 2006 Jika P(1 , 2 ,1), Q(1, 0, 0) dan R(2 ,5, a) terletak pada satu garis lurus, maka a adalah.... A. 0 B. C. 1 D. 2 E. 2

6. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui | a | = 3, | b | = 5 dan | + b | = 6, maka |a b| = .... A. 32 B. 42 C. 23 D. 32 E. 42

http://meetabied.wordpress.com

10

7. PREDIKSI UAN 2006

Jika

-

=2

3a ,

=01

b dan

-=

45

c . Maka panjang vektor d

= a + b c adalah.... A. 5 B. 213 C. 17 D. 313 E. 241

8. PREDIKSI UAN 2006

Panjang vektor a , b dan (a +b) berturut turut adalah 12 , 8 dan 47. Besar sudut antara a dan b adalah.... A. 45o B. 60o C. 90o D. 120o E. 150o

9. PREDIKSI UAN 2006

Jika a = (1 ,2 ,3) dan b = (3 ,2 ,1), maka (2a).(3b) = .... A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 E. 70

10. PREDIKSI UAN 2006 Jika vektor a dan b membentuk sudut 60o, | a | = 4 , | b | = 3, maka a (a b) = .... A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

11. PREDIKSI UAN 2006

Besar sudut antara vektor a = 2i +3k dan b = i +3j -2k adalah...

A. 6

1 o

B. 4

1o D.

2

1o

C. 31o E.

3

2o

12. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui titik P(-3 ,-1 ,-5), Q(-1 ,2

,0) dan R(1 ,2 ,-2). Jika aPQ = dan

bQR = , maka a . b =.. A. -6 B. -8 C. -10 D. -12 E. -14

13. PREDIKSI UAN 2006

Vektor-vektor p = 2i +aj +k danq = 4i -2j -2k saling tegak lurus untuk a sama dengan... A. 3 B. 4 C. 4,5 D. 5 E. 6

14. PREDIKSI UAN 2006 Vektor z = adalah proyeksi vektor = (-3, 3 ,1) pada vektor y = (3 , 2 , 3). Panjang vektor z adalah... A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 2 E. 5/2

http://meetabied.wordpress.com

11

15. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui

-=12

3a dan

=

2y2

b .

Bila panjang proyeksi a pada b

sama dengan 2

1panjang vektor b,

maka nilai y adalah... A. 2 -23 atau 2 +23 B. 1 -3 atau -1 +3 C. -2 -23 atau -2 +23 D. -4(1 -3) atau 4(1 -3) E. 43 atau -4

16. PREDIKSI UAN 2006

Vektor yang merupakan proyeksi vektor (3 ,1 ,-1) pada vektor (2 ,5 ,1) adalah....

A. 2

1(2 ,5 ,1)

B. 31

(2 ,5 ,1)

C. 3130(2 ,5 ,1)

D. 30

1(2 ,5, 1)

E. 4

1(2 ,5 ,1)

17. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui | a | = 5 , | b | = 9 dan

tg(a ,b) = 4

3, maka a (a +b) = ....

A. 51 B. 52 C. 61 D. 108 E. 117

18. PREDIKSI UAN 2006

Bila ketiga titik (-5 ,4 ,4), (4 ,-2,1) dan (x ,2 ,y) segaris, maka nilai (x +y ) = ... A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3

19. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui P = (a ,0 ,3) , Q = (0 ,6 ,5) dan R = (2 ,7 ,c) . Agar vektor

PQ tegak lurus pada QR , haruslah nilai a c = .... A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 E. 5

20. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui panjang proyeksi

-=

321

a pada

=

3p3

b adalah

1. Nilai p = ... A. 4 B. 2

C. 2

1

D. 41

-

E. - 2

1

21. PREDIKSI UAN 2006

http://meetabied.wordpress.com

12

Jika a = 7i -6j -8k dan b = -2i +j +5k , maka proyeksi orthogonal a pada b adalah... A. -14i +2j +10k

B. -3

4i +

3

2j +

310

k

C. 3

4i -

3

2j -

310

k

D. 4i -2j -10k E. 6i -3j -15k

22. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui vektor a = 3i +j -5k dan b = -i +2j -2k, proyeksi vektor orthogonal a dan b adalah c. Vektor c adalah... A. -i -2j -2k B. -i -2j +2k C. -i +2j -2k D. i +2j -2k E. i +2j +2k

23. PREDIKSI UAN 2006

Diketahu titik A(-4 ,1 ,3) dan B(1 ,-4,3). Titik P(x,y ,z) pada AB sehingga AP : PB = 3 : 5. Vektor posisi titik P adalah....

A.

--

15101

B.

-

-

2

232

72

17

C.

--

321

D.

- 341

E.

-

-

8

248

78

17

24. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui titik-titik A(2 ,-1, 4), B(4, 1 ,3) dan C(2 ,0 ,5). Kosinus sudut

antara AB dan AC adalah....

A. 6

1

B. 6

12 D.

312

C. 31

E. 2

12

http://meetabied.wordpress.com

13

Materi -1 : 2 kali pertemuan (4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-1dituntaskan

dengan tugas individu)

Materi -2 : 2 kali pertemuan (4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-2 dituntaskan

dengan tugas individu)

Aplikasi-3 : 1 kali pertemuan (2 jam pelajaran, dituntaskan dengan tugas individu)

Evaluasi-1 : 1 kali pertemuan

(2 jam pelajaran, soal terdiri dari 15 pilihan ganda dan 3 soal essay. 2 versi dengan bobot sama)

-------------------------------------------------

Total : 1,5 minggu (12 jam pelajaran)

------------------------------------------------