BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kalkulus Lanjut (Advanced Calculuc) merupakan mata kuliah

lanjutan dari Kalkulus I yang telah dipelajari pada semester sebelumnya.

Proses perkuliahan di kampus sangatlah minim, karena waktu yang

tidak cukup dan banyak mahasiswa yang malas masuk kuliah. Sehingga

mahasiswa sangat di tuntut untuk memiliki keterampilan di dalam

mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan demikian

mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun aktif

mencari bahan materi yang akan di pelajari.

Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau

melakukan diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap

bahan kuliah bisa lebih menjadi maksimal. Insya Allah...

B. Rumusan Masalah

Bagaimanakah cara menyelesaikan turunan parsial fungsi secara

implisit ?

C. Tujuan

Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit;

D. Manfaat

Dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit

dua variabel atau lebih;

BAB II

PEMBAHASAN

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Penurunan Secara Implisit

1

Penurunan secara implisit secara tidak langsung telah di bahas dalam kalkulus. Salah satu manfaat dari aturan rantai adalah untuk menentukan turunan fungsi yang didefinisikan secara implisit. Misalkan y fungsi dari x yang didefinisikan secara implisit, dan diberikan oleh persamaan, F(x,y) = 0. Karena y fungsi dari, maka dengan aturan rantai dihasilkan,

∂F∂ x

dxdx +

∂F∂ x

dydx = 0

Karena, dx⁄dx = 1, maka dihasilkan rumus :

dydx = -

δF /δxδF /δy

Dengan cara yang sama, misalkan x fungsi dari y yang didefinisikan secara implisit, dan diberikan oleh persamaan F(x,y) = 0, maka dihasilkan rumus :

Contoh 1Bila y fungsi dari x yang didefinisikan oleh, 3xy2 + 3y3 = x3,

hitunglah dy⁄(dx.)Penyelesaian :

Andaikan, F(x,y) = 3xy2 + 3y3 - x3 , dengan menurunkan F secara parsial terhadap x dan y dihasilkan :

∂F∂ x = 3y2 – 3x2 = 3(y2 – x2) = 3(y + x)(y – x)

∂F∂ y = 6xy + 6y2 = 6y(x + y)

Jadi, dydx

= -δF /δxδF /δy = -

3 ( y+x )( y−x)6 y (x+ y)

= x− y2 y

Contoh 2Bila x fungsi dari y yang didefinisikan oleh, arc tan (x ⁄y) = ln (x2 +

y2), hitunglah dx⁄dy.Penyelesaian :

Andaikan, F(x,y) = arc tan (x⁄y) - ln (x2 + y2), dengan menurunkan F secara parsial terhadap x dan y dihasilkan :

∂F∂ x =

1

1+ ( x / y )2 1y –

2 x

x2+ y2= y

x2+ y2− 2 x

x2+ y2= y−2 x

x2+ y2

2

dydx

= -δF /δyδF /δx

∂F∂ y =

1

1+ ( x / y )2 −xy –

2 y

x2+ y2= −xx2+ y2

− 2 y

x2+ y2=−x+2 y

x2+ y2

Jadi,

dxdy

=−δF /δxδF /δy

=−−( x+2 y )x2+ y2

x2+ y2

y−2 x=¿

x+2 yy−2 x

Dari rumus penurunan secara implisit di atas, dapat dikembangkan untuk menentukan turunan-turunan parsial fungsi n variabel. Misalakan z adalah fungsi dari x dan y yang didefinisikan secara implisit, diberikan oleh persamaan F (x, y, z) = 0. Dengan menurunkan secara parsial F terhadap x dengan asumsi y konstan dengan aturan rantai dihasilkan :

∂F∂ x

dxdx +

∂F∂ y

∂ y∂ x +

∂F∂z

∂ z∂ x = 0

Karena y konstan, maka ∂y/∂x = 0, dan mengingat dx/dx = 1, sehingga dihasilkan rumus,

∂ z∂ x

=¿ −δF /δxδF /δz

Dengan cara yang sama, dan jika di asumsikan y konstan dengan menurunkan secara parsial F terhadap y dengan asumsi x konstan, dengan aturan rantai dihasilkan:

∂F∂ x

∂ x∂ y

+ ∂F∂ y

dydy

+ ∂F∂z

∂ z∂ y

= 0

Karena x konstan, maka ∂x/∂y = 0, dan mengingat dy/dy = 1, sehingga dihasilkan rumus,

∂ z∂ y

=¿ −δF /δyδF /δz

Contoh 3

Tentukanlah, ∂ z∂ x

dan ∂ z∂ y

dari, x2 y + y3 z = 2xz4

Penyelesaian :

Andaikan, F (x, y, z) = x2 y + y3 z - 2xz4 . dengan menurunkan secara parsial F terhadap x, y dan z

dihasilkan:

3

∂F∂ x

= 2xy – 2z4 ∂F∂ y

= x2 + 3y2z ∂F∂z

= y3 – 8xz3

Jadi, ∂ z∂ x

=¿ −δF /δxδF /δz = -

2xy –2 z4

y3– 8 x z3 = 2 z4 – 2xyy3– 8 x z3

∂ z∂ y

=¿ −δF /δyδF /δz = -

x2–3 y2 zy3– 8 x z3 =

x2+3 y2 z8 x z3− y3 .

Adapun turunan fungsi untuk dua variabel atau lebih, yaitu :

1. Turunan fungsi implisit dua variabel

Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit.

Andaikan F(x,y)=0, dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa

dicari dxdydFdx

+ dFdydydx

=0 atau

asalkan dFdy≠0

Contoh:

Diketahui x3 + y2 x- 3= 0 tentukan dydx

..!

Jawab: ddx

¿x3 + y2 x- 3)= d 0dx

3x2 + 2xydydx

+ y2 = 0

2xydydx

= - 3x2 - y2

dydx

=¿(- 3x2 - y2) / 2xy

dydx

=¿ - (3x2+ y2)/2xy

4

dydx

=−

∂F∂ x∂F∂ y

2. Turunan fungsi implisit tiga variabel

Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y

differensiabel sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam

domain fungsi, maka

Contoh:

Tentukan dzdxdan

dzdy

dari fungsi implisit xy – z2 + 2xyz = 0

Jawab:

a.ddx

(xy – z2 + 2xyz) =d 0dx

c. ddz

(xy – z2 + 2xyz) = dodz

= 2xy –

2z

y+ 2yz

b. ddy

(xy – z2 + 2xyz) = d 0dy

= x + 2xz

Jadi dzdx

=− y+2 yz2xy−2 z

dandzdy

=−x+2xz2xy−2 z

Contoh:

Misalkan f(x,y,z) = x3 ey+z – ysin (x-z)=0 maka tentukan dzdx

Jawab:

ddx

(x3 ey+z – ysin (x-z))=d 0dx

= 3x2 ey+z – ycos (x-z)

ddz

(x3 ey+z – ysin (x-z))=d 0dz

= x3 ey+z + ycos (x-z)

Jadi dzdx

=−¿(3x2 ey+z – ycos (x-z))/ x3 ey+z + ycos (x-z)

5

∂ z∂ y

=−F y( x , y , z )F z( x , y , z )

∂ z∂ x

=−F x( x , y , z )F z ( x , y , z )

3. Turunan fungsi implisit empat variabel

Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z

diferensiabel sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z

dalam domain fungsi, maka

Contoh:

Tentukan dwdx,dwdy,dan

dwdz

dari fungsi implisit 2x2w + 3y2z + zwyx +

w2 = 0

Jawab:

ddx

(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= dodx

= 4 xw+zwy

ddy

(2x2w + 3y2z + zwyx + w2) = dodx

=6 yz+zwx

ddz

(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= d 0dz

= 3y2 + wyx

ddw

(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)=d 0dw

= 2x2 + zyx +2w

Jadi:

dwdx

= −(4 xw+zwy) / 2x2 + zyx +2w

dwdy

= −(6 yz+zwx)/ 2x2 + zyx +2w

dwdz

= - ( 3y2 + wyx)/2x2 + zyx +2w

Pendiferensialan Implisit

Jika kita dihadapkan dengan fungsi

y3 + 5y = x3.

6

∂w∂ x

=−F x( x , y , z ,w )Fw ( x , y , z ,w )

∂w∂ y

=−F y( x , y , z ,w )Fw ( x , y , z ,w )

∂w∂ z

=−F z ( x , y , z ,w )Fw ( x , y , z ,w )

Tentu kita akan sulit untuk menggambarkan grafiknya. Tetapi

ketika kita ingin mencari gradien/kemiringan garis singgungdi

suatu titik pada kurva, kita akan kebingungan. Masalahnya, kita

harus mencari turunan dari fungsi tersebut.

Hal baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi

sebuah persamaan yang secara gamblang (eksplisit) tidak

terselesaikan untuk y. Apakah mungkin untuk mencari dy/dx

dalam keadaan seperti ini?

Ya, diferensialkan kedua ruas persamaan

y3 + 5y = 3

terhadap x, dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan ini,

kita anggap bahwa persamaan yang diberikan memang

menentukan y sebagai suatu fungsi x (hanya saja kita tidak tahu

bagaimana mencarinya secara eksplisit). Jadi, setelah memakai

aturan rantai pada suku pertama, kita peroleh :

3 y2 .dydx

+5dydx

=3 x2

Yang terakhir dapat diselesaikan untuk dy/dx sebagai berikut :

dydx

(3 y2+5 )=3x2

dydx

= 3x2

3 y2+5

Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk dy /dx ,m , x dan y , suatu

kenyataan yang sering menyusahkan. Tetapi, jika kita hanya ingin

mencari kemiringan pada sebuah titik di mana koordinatnya

diketahui tidaklah sulit. Di (1,2)

dydx

=3(1)2

3 (2)2+5 =

317

.

Jadi, kemiringannya adalah 3/17.

Metode yang baru saja digambarkan untuk mencari dy /dx tanpa

terlebih dahulu menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk y

7

secara gamblang dalam bentuk x disebut Pendiferensialan

Implisit. Tetapi apakah metode tersebut dapat memberikan

jawaban yang benar?

Contoh.

Carilah dy /dx jika x2 y−2 y=x2 – 3 !

Penyelesaian :

Cara 1 : Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan

secara gamblang untuk y sebagai berikut.

y (x¿¿2−2)=x2−3¿

y= x3−3x2−2

Jadi, dydx

=(x2−2 ) ( 3x2 )− (x3−3 )(2 x)

¿¿

Cara 2 : (Pendiferensialan Implisit).

Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari :

x2 y−2 y=x2 – 3

Setelah memakai Aturan Hasilkali pada suku pertama, kita

dapatkan

x2 .dydx

+ y .2 x−2.dydx

=3 x2

dydx

(x2−2 )=3 x2−2xy

dydx

=3 x2−2 xyx2−2

Walaupun jawaban ini kelihatan berlainan dari jawab yang

diperoleh terdahulu, tetapi keduanya sama. Untuk melihat ini,

gantikan y= x3−3x2−2

dalam ungkapan untuk dy/dx yang baru saja

diperoleh.

dydx

=3 x2−2 xy

x2−2=

3 x2−2 x ( x3−3x2−2 )

x2−2

8

Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi

y = f(x) dan fungsi ini terdiferensialkan, maka metode

pendiferensialan implisit akan menghasilkan sebuah ungkapan

yang benar untuk dy/dx. Terdapat dua hal besar dalam

pernyataan ini.

Pertama perhatikan persamaan

x2+ y2=1

Ia tidak mempunyai penyelesaian, karena itu tidak menentukan

suatu fungsi. Sebaliknya,

x2+ y2=25

menentukan fungsi-fungsi y = f(x) = √25−x2, dan fungsi y = g(x) =

−√25 - x2. Grafik-grafik tersebut diperlihatkan dalam gambar

berikut:

Untungnya, kedua fungsi ini terdiferensialkan pada (-5,5). Pertama

perhatikan f, ia memenuhi :

x2 + [f (x)]2 = 25

Bilamana kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan un f

`(x), kita peroleh:

2x + 2f(x) f’(x) = 0

f’(x) = −xg (x)

= x

√25−x2

perlakuan serupa secara lengkap terhadap g(x) menghasilkan :

g’(x) = −xg (x)

= x

√25−x2

9

-5

Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini

secara serempak dengan pendiferensialan secara implisit dari

x2+ y2=25.Ini memberikan

2x + 2ydydx

= 0

dydx

=−xy

={ −x√25−x2

jika y=f (x)

−x

√25−x2jika y=g (x)

Secara wajar, hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.

Pehatikan bahwa adalah cukup untuk mengetahui dy/dx = -x/y

agar dapat menerapkan hasil-hasil kita. Andaikan kita ingin

mengetahui kemiringan garis singgung pada lingkaran x2+ y2=25

bilamana x = 3. Nilai-nilai y yang berpadanan adalah 4 dan -4.

Kemiringan di (3,4) dan (3,-4). Masing-masing diperoleh dari

pergantian –x/y adalah -3/4 dan 3/4.

Kemudian kita tunjukkan bahwa:

x2+ y2=25

Menentukan banyak fungsi lainnya. Pandang fungsi h yang

didefenisikan oleh:

h(x) = {√25−x2 jika−5≤ x≤3

−√25−x2 jika3<x ≤5

10

Ia juga memenuhi x2+ y2=25, karena x+¿.Tetapi ia bahkan tidak

kontinu di x=3, sehingga tidak saja mempunyai turunan di sana

(lihat gambar disamping).

Sementara subyek fungsi implisit menuju ke masalah teknis yang

sukar (ditangani dalam kalkulus lanjut), masalah-masalah yang

kita pelajari mempunyai penyelesaian lansung.

Dalam contoh-contoh berikut,kita anggap bahwa persamaan yang

diberikan menentukan satu atau lebih fungsi-fungsi

terdiferengsialkan yang turunan-turunannya dapat dicari dengan

menerapkan pendiferensialan implisit.

Contoh

Carilah dy /dx jika x2−4 y3=x+5 !

Penyelesaian :

ddx

(x2−4 y2 )= ddx

(x+5)

2 x−12 y2 ddx

=1

dydx

=1−2x

12 y2

Contoh

Carilah D1 y jika 2 t3−3 t2+5 y5=0

Penyelesaian :

Dt (2 t 3−3 t2+5 y5 )=D t(0)

6 t 2−3 t2D1 y− y (6 t )+25 y4D1 y=0

D1 y (−3 t2+25 y4 )=−6 t 2+6 ty

D1 y = −6 t 2+6 ty−3 t2+25 y4

Contoh

Cari persamaan garis singgung pada kurva

y3−x y2+cos xy=2dititik (0,1).

11

Penyelesaian :

Untuk menyederhanakan, kita gunakan cara penulisan y’ untuk

Dy /Dx.Bilamana kita mendiferensialkan kedua ruas dan

menyamakan hasilnya,kita peroleh :

3 y2 y '−x (2 y y ' )− y2−¿

y '¿

y '= y2+ y sin xy3 y2−2xy−x sin xy

Di (0,1), y '=1/3.Sehingga, persamaan garis singgung di (0,1)

adalah:

y−1=13(x−0)

Kita telah mempelajari bahwa D x (xn )=nxn−1 di manan adalah

sembarang bilangan bulat.Sekarang ini kita perluas pada kasus di

mana n adalah bilangan rasional sembarang.

TEOREMA M :

Aturan Pangkat

Andaikan r adalah bilangan rasional sembarang,maka:

D x (x ' )=nxr−1

12

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Turunan fungsi implisit dua variable

Turunan fungsi implisit tiga variable

Turunan fungsi implisit empat variable

B. Saran

Saran dari kelompok kami buat Dosen, agar kiranya

mengajarkan atau menjelaskan kembali dasar – dasar materi yang

ada dalam makalah ini, karena masih banyak mahasiswa yang

belum memahami dasar – dasar yang mestinya diketahui sebelum

mempelajari makalah ini, termasuk kami juga. Sehingga sulit buat

mahasiswa yang lain menguasai materi yang ada dalam makalah

ini.

Saran buat teman – teman mahasiswa, supaya kiranya lebih

banyak belajar sendiri mengenai isi makalah ini karena waktu yang

kita gunakan tidak akan cukup untuk kita menguasai seluruh isi

makalah ini. Dan juga di saat proses perkuliahan berlangsung

kiranya teman – teman memperhatikan dengan sungguh –sungguh

13

dydx

=−

∂F∂ x∂F∂ y

∂ z∂ y

=−F y( x , y , z )F z( x , y , z )

∂ z∂ x

=−F x( x , y , z )F z ( x , y , z )

∂w∂ z

=−F z ( x , y , z ,w )Fw ( x , y , z ,w )

∂w∂ y

=−F y( x , y , z ,w )Fw ( x , y , z ,w )

∂w∂ x

=−F x( x , y , z ,w )Fw ( x , y , z ,w )

agar apa yang kita pelajari saat itu bisa kita pahami secara

maksimal.

DAFTAR PUSTAKA

Prayudi.Kalkulus Lanjut, Edisi Pertama.Penerbit Graha Ilmu.Yogyakarta.2009

Purwanto, Heri.Kalkulus 1. Ercontara Rajawali.Jakarta.2005

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial.html

http://www.mascipul.com/2009/11/free-download-materi-kalkulus-

materi-matematika.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus.html

http://www.mediafire.com/?2y5izytydnq

http://www.mediafire.com/?zzk1qmdwx1y

14