Mf113 kalkulus

download Mf113 kalkulus

of 310

  • date post

    08-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    657
  • download

    10

Embed Size (px)

Transcript of Mf113 kalkulus

KALKULUS

POLITEKNIK TELKOMBANDUNG 2009

PenyusunTeten Kustendi, Hanung N P, Heru Nugroho, Gelar Budiman

EditorAgus Pratondo

Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa izin tertulis dari Politeknik Telkom.

Hak cipta dilindungi undang-undang @ Politeknik Telkom 2009

No part of this document may be copied, reproduced, printed, distributed, modified, removed and amended in any form by any means without prior written authorization of Telkom Polytechnic.

Kata Pengantar

Assalamualaikum Wr. Wb

Segala puji bagi Allah SWT karena dengan karunia-Nya courseware ini dapat diselesaikan.

Atas nama Politeknik Telkom, kami sangat menghargai dan ingin menyampaikan terima kasih kepada penulis, penerjemah dan penyunting yang telah memberikan tenaga, pikiran, dan waktu sehingga courseware ini dapat tersusun.

Tak ada gading yang tak retak, di dunia ini tidak ada yang sempurna, oleh karena itu kami harapkan para pengguna buku ini dapat memberikan masukan perbaikan demi pengembangan selanjutnya.

Semoga courseware ini dapat memberikan manfaat dan membantu seluruh Sivitas Akademika Politeknik Telkom dalam memahami dan mengikuti materi perkuliahan di Politeknik Telkom.Amin.

Wassalamualaikum Wr. Wb.

Bandung, Agustus 2009

Christanto TriwibisonoWakil Direktur IBidang Akademik & Pengembangan

Daftar IsiKata PengantariiiDaftar Isiiv1Pendahuluan11.1Sistem Bilangan Riil21.1.1Bilangan Asli21.1.2Bilangan Bulat21.1.3Bilangan pecahan21.1.4Bilangan Rasional31.1.5Bilangan Irrasional41.1.6Bilangan Riil41.2Garis Bilangan Riil51.3Operasi Pada Bilangan Riil61.3.1Sifat Sifat Medan61.3.2Sifat Sifat Urutan61.4Rumus Rumus Dasar Aljabar61.5Rumus Rumus Perkalian Istimewa dan Pemfaktoran71.6Interval (Selang)72Persamaan dan Pertidaksamaan122.1Menyelesaikan Persamaan Linier dan Kuadrat132.2Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat182.3Teorema-teorema Nilai Mutlak35(6.) Menuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak dengan rumus :372.4Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai Mutlak403SISTEM KORDINAT KARTESIUS46Definisi Koordinat Kartesius474Vektor di Bidang dan di Ruang714.1. Pengertian skalar dan vektor724.2.Operasi pada Vektor735Matriks91SIFAT- SIFAT MATRIKS TRANSPOSE956FUNGSI1246.1Definisi Fungsi1256.2Menyatkan Fungsi1266.3Nilai Fungsi1266.4Daerah Asal, dan Daerah Hasil1276.5Jenis-Jenis Fungsi1296.5.1Fungsi Konstan1296.5.2Fungsi Identitas1296.5.3Fungsi Polinom1296.5.4Fungsi linear1306.5.5Fungsi Kuadrat1306.5.6Fungsi Nilai Mutlak (Modulus)1316.5.7Fungsi Tangga1326.5.8Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil1336.6Operasi Aljabar Pada Fungsi1346.7Komposisi Fungsi1366.8Invers Fungsi1376.9Menyelesaikan Soal dengan Matcad1397Limit dan Kekontinuan1437.1Definisi Limit Fungsi1447.2Limit Sepihak1457.3Teorema-Teorema dalam Limit1457.4Pemecahan Soal Limit1467.5Limit Takhingga1507.6Limit di Tak Hingga1537.7Limit Fungsi Trigonometri1567.8Kekontinuan Fungsi1577.9Menyelesaikan Soal Limit dengan MathCad1628TURUNAN FUNGSI1678.1Definisi Turunan di Satu Titik1688.2Turunan Sepihak1708.3Keterdiferensialan dan Kekontinuan1718.4Turunan Fungsi Pada Suatu Interval1728.5Rumus-Rumus Dasar Turunan1728.6Aturan Untuk Menentukan Turunan1758.7Turunan Tingkat Tinggi1798.8Menyelesaikan Soal Turunan dengan MathCad1819.Penggunaan Turunan18610.Integral Tak Tentu20210.2 PENULISAN SIMBOL UNTUK ANTI TURUNAN20310.3 METODE INTEGRASI20511.Integral Tentu21512.Penggunaan Integral229Daftar Pustakavi

Politeknik TelkomKalkulus

Politeknik TelkomKalkulus

iv Kalkulus PAGE 10

Kalkulus v PAGE 10Pendahuluan

Overview

Pada bab ini akan dijelaskan tentang sistem bilangan real yang mana merupakan bahan utama untuk materi kalkulus. Bab ini diawali dengan menjelaskan jenis-jenis dari bilangan real yang dilengkapi dengan struktur pohon bilangan real. Berikutnya akan dijelaskan tentang garis bilangan, menggambar interval (selang), operasi himpunan pada interval, dan akan diberikan rumus-rumus dasar operasi aljabar untuk bilangan real.

Tujuan

1. Memahami sistem bilangan real dan jenis-jenis serta ciri-cirinya.2. Memahami struktur sistem bilangan real secara diagram.3. Memahami definisi interval (selang) dan mampu menggambar berbagai jenis interval.4. Mahir melakukan operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi minus pada interval (selang).5. Mahir dalam menggunakan rumus-rumus dasar aljabar.

Sistem Bilangan RiilPada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur yang berbeda. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca a elemen S. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca a bukan elemen S.

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai Contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai: Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

Bilangan AsliBilangan asli adalah salah satu sistem bilangan yang paling sederhana, anggota-anggotanya adalah: 1, 2, 3, 4, Himpunan bilangan asli diberi nama N, jadi N = {1, 2, 3, 4, }. Bilangan BulatBilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol. Bilangan bulat diberi lambang Z, jadi Z = {.,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,}Dengan kata lain, bilangan bulat terdiri atas : bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif (Bilangan Asli)Bilangan pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan-bilangan yang berbentuk di mana m dan n adalah bilangan bulat, dan m tidak habis dibagi n. Bilangan pecahan diberi lambang C.

C = Bilangan RasionalBilangan rasional terdiri atas bilangan-bilangan bulat dan bilangan-bilangan pecahan. Definisi persis dari bilangan rasional adalah sebagai berikut.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk , di mana a dan b adalah bilangan bulat dan .

Contoh-1

Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai atau , dan sebagainya.

Bilangan negatif -2 dapat dinyatakan sebagai atau , dan sebagainya.

Bilangan 0 dapat dinyatakan sebagai atau , dan sebagainya.

Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanya desimal berulang. Sebagi Contoh merupakan bilangan rasional!Karena 3/7 = 0,428571428571428571 .

memiliki desimal berulang dengan pengulangan 428571. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan dengan desimal berulang adalah bilangan rasional.

Contoh-2Buktikan bahwa 0,753753753753. Adalah rasional

Bukti Misal x = 0,753753753753. 1000 x = 753,7537537531000 x x = 753 999 x = 753

(terbukti)

Contoh-3

Buktikan bahwa 3,7561561561561.. adalah rasional

BuktiMisal x = 3,7561561561561561.. 10000 x = 37561,561561561561.. 10 x = 37,561561561561.. 9990 x = 37424

jadi (terbukti)

Bilangan Rasional kita nyatakan dengan Q .

Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional, persisnya adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk di mana a dan b adalah bilangan bulat dan .

Contoh-4 = 3,141592653358.. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang)

e = 2,71828281284590.... (desimalnya tidak beraturan/ tidak berulang)

2 = 1,4142135623.. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang

Semua bilangan bentuk akar adalah irrasional. Bilangan Iraasional kita nyatakan dengan I

Bilangan RiilBilangan riil adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irrasional. Himpunan bilangan riil kita nyatakan dengan R

Garis Bilangan RiilSuatu garis bilangan adalah suatu penyajian bilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus. Untuk setiap bilangan riil terdapat satu dan hanya satu titik, dan sebaliknya. Dengan kata lain titik dan bilangan riil berkorespondensi satu-satu.

Cara menggambar garis bilangan (gambar 2)(1) Pilih sembarang titik pada suatu garis lurus sebagai titik asal beri label 0 (nol).(2) Pilih arah positif (umumnya ke kanan), dan ditunjukkan dengan sebuah ujung panah, kemudian(3) Dengan sembarang satuan ukuran yang cocok, tempatkan titik +1 pada jarak satu satuan dari 0 ke arah kanan.

Operasi Pada Bilangan Riil

Dengan dua bilangan riil x dan y, kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk mendapatkan bilangan riil baru dan . Sifat-Sifat penambahan dan pengalian pada bilangan riil dibagi menjadi dua, yaitu sifat-sifat medan dan sifat sifat urutan.Sifat Sifat Medana.

Hukum komutatif dan b.

Hukum asosiatif dan c. Hukum distributive d.

Elemen-elemen identitas : Terdapat dua bilangan riil 0 dan 1 yang memenuhi dan e. Balikan (invers) : setiap bilangan riil x mempunyai balikan penjumlahan (balikan aditif) atau disebut juga sebuah negatif yaitu x yang memenuhi Juga setiap bilangan riil x kecuali 0 (nol), mempunyai balikan perkalian

(atau kebalikan) x-1 yang memenuhi Sifat Sifat Urutana. Trikotomi: Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka salah