Mf113 kalkulus

Click here to load reader

  • date post

    08-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    700
  • download

    15

Embed Size (px)

Transcript of Mf113 kalkulus

KALKULUS

POLITEKNIK TELKOMBANDUNG 2009

PenyusunTeten Kustendi, Hanung N P, Heru Nugroho, Gelar Budiman

EditorAgus Pratondo

Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa izin tertulis dari Politeknik Telkom.

Hak cipta dilindungi undang-undang @ Politeknik Telkom 2009

No part of this document may be copied, reproduced, printed, distributed, modified, removed and amended in any form by any means without prior written authorization of Telkom Polytechnic.

Kata Pengantar

Assalamualaikum Wr. Wb

Segala puji bagi Allah SWT karena dengan karunia-Nya courseware ini dapat diselesaikan.

Atas nama Politeknik Telkom, kami sangat menghargai dan ingin menyampaikan terima kasih kepada penulis, penerjemah dan penyunting yang telah memberikan tenaga, pikiran, dan waktu sehingga courseware ini dapat tersusun.

Tak ada gading yang tak retak, di dunia ini tidak ada yang sempurna, oleh karena itu kami harapkan para pengguna buku ini dapat memberikan masukan perbaikan demi pengembangan selanjutnya.

Semoga courseware ini dapat memberikan manfaat dan membantu seluruh Sivitas Akademika Politeknik Telkom dalam memahami dan mengikuti materi perkuliahan di Politeknik Telkom.Amin.

Wassalamualaikum Wr. Wb.

Bandung, Agustus 2009

Christanto TriwibisonoWakil Direktur IBidang Akademik & Pengembangan

Daftar IsiKata PengantariiiDaftar Isiiv1Pendahuluan11.1Sistem Bilangan Riil21.1.1Bilangan Asli21.1.2Bilangan Bulat21.1.3Bilangan pecahan21.1.4Bilangan Rasional31.1.5Bilangan Irrasional41.1.6Bilangan Riil41.2Garis Bilangan Riil51.3Operasi Pada Bilangan Riil61.3.1Sifat Sifat Medan61.3.2Sifat Sifat Urutan61.4Rumus Rumus Dasar Aljabar61.5Rumus Rumus Perkalian Istimewa dan Pemfaktoran71.6Interval (Selang)72Persamaan dan Pertidaksamaan122.1Menyelesaikan Persamaan Linier dan Kuadrat132.2Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat182.3Teorema-teorema Nilai Mutlak35(6.) Menuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak dengan rumus :372.4Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai Mutlak403SISTEM KORDINAT KARTESIUS46Definisi Koordinat Kartesius474Vektor di Bidang dan di Ruang714.1. Pengertian skalar dan vektor724.2.Operasi pada Vektor735Matriks91SIFAT- SIFAT MATRIKS TRANSPOSE956FUNGSI1246.1Definisi Fungsi1256.2Menyatkan Fungsi1266.3Nilai Fungsi1266.4Daerah Asal, dan Daerah Hasil1276.5Jenis-Jenis Fungsi1296.5.1Fungsi Konstan1296.5.2Fungsi Identitas1296.5.3Fungsi Polinom1296.5.4Fungsi linear1306.5.5Fungsi Kuadrat1306.5.6Fungsi Nilai Mutlak (Modulus)1316.5.7Fungsi Tangga1326.5.8Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil1336.6Operasi Aljabar Pada Fungsi1346.7Komposisi Fungsi1366.8Invers Fungsi1376.9Menyelesaikan Soal dengan Matcad1397Limit dan Kekontinuan1437.1Definisi Limit Fungsi1447.2Limit Sepihak1457.3Teorema-Teorema dalam Limit1457.4Pemecahan Soal Limit1467.5Limit Takhingga1507.6Limit di Tak Hingga1537.7Limit Fungsi Trigonometri1567.8Kekontinuan Fungsi1577.9Menyelesaikan Soal Limit dengan MathCad1628TURUNAN FUNGSI1678.1Definisi Turunan di Satu Titik1688.2Turunan Sepihak1708.3Keterdiferensialan dan Kekontinuan1718.4Turunan Fungsi Pada Suatu Interval1728.5Rumus-Rumus Dasar Turunan1728.6Aturan Untuk Menentukan Turunan1758.7Turunan Tingkat Tinggi1798.8Menyelesaikan Soal Turunan dengan MathCad1819.Penggunaan Turunan18610.Integral Tak Tentu20210.2 PENULISAN SIMBOL UNTUK ANTI TURUNAN20310.3 METODE INTEGRASI20511.Integral Tentu21512.Penggunaan Integral229Daftar Pustakavi

Politeknik TelkomKalkulus

Politeknik TelkomKalkulus

iv Kalkulus PAGE 10

Kalkulus v PAGE 10Pendahuluan

Overview

Pada bab ini akan dijelaskan tentang sistem bilangan real yang mana merupakan bahan utama untuk materi kalkulus. Bab ini diawali dengan menjelaskan jenis-jenis dari bilangan real yang dilengkapi dengan struktur pohon bilangan real. Berikutnya akan dijelaskan tentang garis bilangan, menggambar interval (selang), operasi himpunan pada interval, dan akan diberikan rumus-rumus dasar operasi aljabar untuk bilangan real.

Tujuan

1. Memahami sistem bilangan real dan jenis-jenis serta ciri-cirinya.2. Memahami struktur sistem bilangan real secara diagram.3. Memahami definisi interval (selang) dan mampu menggambar berbagai jenis interval.4. Mahir melakukan operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi minus pada interval (selang).5. Mahir dalam menggunakan rumus-rumus dasar aljabar.

Sistem Bilangan RiilPada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur yang berbeda. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca a elemen S. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca a bukan elemen S.

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai Contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai: Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

Bilangan AsliBilangan asli adalah salah satu sistem bilangan yang paling sederhana, anggota-anggotanya adalah: 1, 2, 3, 4, Himpunan bilangan asli diberi nama N, jadi N = {1, 2, 3, 4, }. Bilangan BulatBilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol. Bilangan bulat diberi lambang Z, jadi Z = {.,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,}Dengan kata lain, bilangan bulat terdiri atas : bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif (Bilangan Asli)Bilangan pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan-bilangan yang berbentuk di mana m dan n adalah bilangan bulat, dan m tidak habis dibagi n. Bilangan pecahan diberi lambang C.

C = Bilangan RasionalBilangan rasional terdiri atas bilangan-bilangan bulat dan bilangan-bilangan pecahan. Definisi persis dari bilangan rasional adalah sebagai berikut.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk , di mana a dan b adalah bilangan bulat dan .

Contoh-1

Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai atau , dan sebagainya.

Bilangan negatif -2 dapat dinyatakan sebagai atau , dan sebagainya.

Bilangan 0 dapat dinyatakan sebagai atau , dan sebagainya.

Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanya desimal berulang. Sebagi Contoh merupakan bilangan rasional!Karena 3/7 = 0,428571428571428571 .

memiliki desimal berulang dengan pengulangan 428571. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan dengan desimal berulang adalah bilangan rasional.

Contoh-2Buktikan bahwa 0,753753753753. Adalah rasional

Bukti Misal x = 0,753753753753. 1000 x = 753,7537537531000 x x = 753 999 x = 753

(terbukti)

Contoh-3

Buktikan bahwa 3,7561561561561.. adalah rasional

BuktiMisal x = 3,7561561561561561.. 10000 x = 37561,561561561561.. 10 x = 37,561561561561.. 9990 x = 37424

jadi (terbukti)

Bilangan Rasional kita nyatakan dengan Q .

Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional, persisnya adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk di mana a dan b adalah bilangan bulat dan .

Contoh-4 = 3,141592653358.. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang)

e = 2,71828281284590.... (desimalnya tidak beraturan/ tidak berulang)

2 = 1,4142135623.. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang

Semua bilangan bentuk akar adalah irrasional. Bilangan Iraasional kita nyatakan dengan I

Bilangan RiilBilangan riil adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irrasional. Himpunan bilangan riil kita nyatakan dengan R

Garis Bilangan RiilSuatu garis bilangan adalah suatu penyajian bilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus. Untuk setiap bilangan riil terdapat satu dan hanya satu titik, dan sebaliknya. Dengan kata lain titik dan bilangan riil berkorespondensi satu-satu.

Cara menggambar garis bilangan (gambar 2)(1) Pilih sembarang titik pada suatu garis lurus sebagai titik asal beri label 0 (nol).(2) Pilih arah positif (umumnya ke kanan), dan ditunjukkan dengan sebuah ujung panah, kemudian(3) Dengan sembarang satuan ukuran yang cocok, tempatkan titik +1 pada jarak satu satuan dari 0 ke arah kanan.

Operasi Pada Bilangan Riil

Dengan dua bilangan riil x dan y, kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk mendapatkan bilangan riil baru dan . Sifat-Sifat penambahan dan pengalian pada bilangan riil dibagi menjadi dua, yaitu sifat-sifat medan dan sifat sifat urutan.Sifat Sifat Medana.

Hukum komutatif dan b.

Hukum asosiatif dan c. Hukum distributive d.

Elemen-elemen identitas : Terdapat dua bilangan riil 0 dan 1 yang memenuhi dan e. Balikan (invers) : setiap bilangan riil x mempunyai balikan penjumlahan (balikan aditif) atau disebut juga sebuah negatif yaitu x yang memenuhi Juga setiap bilangan riil x kecuali 0 (nol), mempunyai balikan perkalian

(atau kebalikan) x-1 yang memenuhi Sifat Sifat Urutana. Trikotomi: Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka salah satu harus berlaku x < y atau x = y atau x > yb. Ketrasitifan: Jika x < y dan y < z maka x < zc. Penambahan: x < y x + z < y + zd. Perkalian: Jika z > 0 dan x > y xz > yz Jika z < 0 dan x > y xz < yzRumus Rumus Dasar AljabarUntuk setiap bilangan real a, b, c, dan d berlaku :1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11.

12.

13.

14.

15.

Rumus Rumus Perkalian Istimewa dan PemfaktoranBerikut beberapa rumus perkalian istimewa dan pemfaktoran yang dapat membantu untuk mengerjakan soal-soal.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Interval (Selang)Interval atau selang adalah suatu himpunan bagian tidak kosong dari himpunan bilangan riil R yang memenuhi suatu ketidaksamaan tertentu Jika digambarkan pada garis bilangan (garis riil), maka interval akan berupa suatu segmen garis (ruas garis) yang batas batasnya jelas.Ada dua jenis selang, yaitu selang berhingga dan selang tak berhingga.

Selang Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batasNo Notasi HimpunanNotasi SelangGrafik

1

2

3

4

Selang Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batasNo Notasi HimpunanNotasi SelangGrafik

1

2

3

4

Contoh-5 : Menggambar Selang

1.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 2. -

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

3.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

4.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

5.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

6.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

7.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

I.7 Operasi Himpunan Pada Himpunan Bilangan Real

Operasi (Union), operasi (irisan), dan operasi minus (-) adalah operasi-operasi pada himpunan yang sering digunakan pada saat kita menyelesaikan suatu pertidaksamaan.

Operasi-operasi tersebut didefinisikan sebagai berikut

A B = { x | xA atau xB } A B = { x | xA dan xB } A - B = { x | xA dan xB }

Contoh-6 : Penggunaan Operasi himpunanDiketahui A = {x | x < -4 atau 1 x < 5 } B = {x | -2 x < 2 atau x 3 } C = {x | x < -3 atau -2 x < 4 }a. Gambarkan interval-interval tersebutb. Tentukanlah operasi-Operasi berikutA B, A B, A B , B A, (A - B) (B - A) Jawab

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6A

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6B

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6C

A B = { x | x < -4 atau x -2 }

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

A B = { x | 1 x < 2 atau 3 < x < 4 }

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

A - B = { x | x < -4 atau 2 x 3 }

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

B - A = { x | -2 x < 1 atau x 4 }

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

(A - B) (B - A) = { x | x < -4 V -2 x < 1 V 2 x 3 V x 4 }

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Rangkuman

1. Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda2. Himpunan Bilangan Asli N={1, 2, 3, 4, ....}3. Himpunan Bilangan Bulat Z={......, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .......}4. Himpunan Bilangan Bulat Positif (Asli) A = {1, 2, 3, 4, .......}5. Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk a/b di mana a dan b bilangan bulat dan b 06. Ciri lain dari bilangan rasional adalah bentuk desimal berulang misal 2,31456456456456456 ......7. Bilangan irrasional adalah bilangan riil selain bilangan rasional, misal e = 2,7182818285, = 3,1415926536, 2 = 1,414113562373

8. Tiga operasi Himpunan yang sering digunakan pada saat menyelesaikan pertidaksamaan adalah:

A B = { x | xA atau xB } A B = { x | xA dan xB } A - B = { x | xA dan xB }

10 Pendahuluan PAGE 10

Pendahuluan 11Persamaan dan Pertidaksamaan

Overview

Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu hal yang sangat fundamental dalam matematika. Sangatlah kecil kemungkinannya pertidaksamaan dapat diselesaikan jika tidak bisa menyelesaikan persamaan. Sehingga mutlak menyelesaikan persamaan merupakan syarat sebelum dapat menyelesaikan pertidaksamaan.

Tujuan

1. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan linier dengan satu variabel2. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan linier dengan dua variabel3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan satu variabel4. Mahasiswa mampu menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan satu variabel5. Mahasiswa mampu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan satu variabel6. Mahasiswa memahami penggunaan nilai mutlak7. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan nilai mutlak8. Mahasiswa mampu menggunakan Mathcad untuk melakukan perhitungan penyelesaian soal pada bab ini.

Menyelesaikan Persamaan Linier dan Kuadrat Menyelesaikan persamaan linier pada dasarnya hanyalah memindahkan variabel yang dicari nilainya ke ruas kiri sendirian, sehingga di ruas kanan hanya ada bilangan-bilangan konstanta yang tinggal dilakukan operasi matematika untuk mencari hasil akhirnya, dengan demikian dapat diketahui nilai dari variabel tersebut.

Contoh 1 :

Selesaikan persamaan berikut :

Penyelesaian :

Pindahkan semua variabel x ke ruas kiri dan pindahkan semua angka ke ruas kanan

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat diperlukan sedikit kejelian dalam mencari akar-akarnya. Ada beberapa cara penyelesaian persamaan kuadrat, mulai dengan pemfaktoran dan rumus. Yang memerlukan kejelian adalah pemfaktoran, sementara rumus hanya perlu dihapalkan.

Contoh 2 :

Selesaikan persamaan berikut :

Penyelesaian :Cara pemfaktoran

Jika diketahui persamaan , cari bilangan p dan q sedemikian sehingga dan , setelah p dan q ditemukan maka persamaan akan menjadi sehingga tinggal difaktorkan.

,

Maka dan Kemungkinan nilai p dan q :pqpqp+q

-110-109

-25-103

-52-10-3

-101-10-9

Maka nilai p=-5 dan q=2 karena memenuhi kriteria diatas, selanjutnya :

Dengan demikian Himpunan penyelesaian :

HP : Tabel diatas tidaklah perlu dibuat jika perhitungannya dilakukan langsung oleh kepala kita, disitulah gunanya kejelian untuk memfaktorkan persamaan kuadrat.Cara rumus

Jika diketahui persamaan , maka dapat dicari dengan rumus abc berikut :cari bilangan p dan q sedemikian sehingga dan , setelah p dan q ditemukan maka persamaan akan menjadi sehingga tinggal difaktorkan.

,

Maka ,

Sehingga :

Dengan demikian HP : Hasil akhirnya sama dengan cara sebelumnya.

Dalam rumus abc diatas tampak D, yang merupakan nilai Diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut. Ada 3 kemungkinan nilai D :

D>0D=0D 1 }

Kondisi 4x-3 0 dan x R) = (-,0)HP2= [0, ) n [-2,3] = [0,3] HP = HP1 U HP2 = (-,0) U [0,3] = (-,3]

Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai MutlakProses penyelesaian pertaksamaan yang membuat nilai mutlak adalah mengubah bentuk persamaan yang diketahui sehingga tidak memuat nilai mutlak lagi, kemudian, selesaikan pertaksamaan yang muncul pada setiap kasus. Untuk itu kita dapat menggunakan sifat nilai mutlak berikut.

Jika maka

Jika maka atau

Catatan Berdasarkan sifat pertama dan kedua, kita dapat mengkuadratkan bentuk pertaksamaan dengan nilai mutlak bila syaratnya telah dipenuhi. Untuk pertaksamaan yang memuat lebih dari satu bentuk nilai mutlak, sifat ketiga digunakan pada garis bilangan.

Contoh 1

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan .Penyelesaian

atau

atau

atau

Himpunan Jawab =

Contoh 2

Tentukan himpuinan jawab pertaksamaan Penyelesaian :

Himpunan jawab =

Contoh 3

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan Penyelesaian :

Himpunan jawab =

Contoh berikut memperlihatkan penyelesaian pertaksamaan nilai mutlak dengan memanfaatkan garis bilangan.

Contoh 4

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan Penyelesaian : Tuliskan pertaksamaannya tanpa bentuk mutlak dengan menggunakan sifat

dan Proses penyelesaian pada garis bilangan adalah sebagai berikut

Gantikan ke pertak- samaannya

Himpunan Jawab=

Gantikan ke pertak- samaannya

Himpunan jawab=

Gantikan ke pertak- samaannya

Himpunan jawab =

Perhatikan cara mencari himpunan jawab disetiap selang bagiannya, hasil perhitungan pada penyelesaian pertaksamaan harus selalu diiriskan dengan tempat berlakunya pertaksamaan tersebut. Disini himpunan jawab pertama harus diiriskan dengan selang , himpunan jawab kedua dengan dan himpunan jawab ketiga dengan selang . Karena proses penyelesaian pertaksamaan ini terbagi atas tiga kasus yang selang pemecahannya saling terasing, maka himpunan jawab pertaksamaanya adalah gabungan dari ketiga himpunan jawab di atas.

Himpunan jawab =

CatatanProses penyelesaian soal ini terbagi atas tiga kasus, diagram di atas bermanfaat untuk melihat setiap kasus yang muncul secara keseluruhan.

Pada Contoh berikut kita akan menyelesaikan pertaksamaan yang berbentuk pecahan linear yang memuat nilai mutlak. Prosesnya lebih cepat dengan cara mengkuadratkan kedua ruasnya, kemudian menggunakan sifat-sifat aljabar elementer. Contoh lainnya adalah tentang cara mencari batas sebuah bentuk pecahan dengan penyebut definit positif jika rentang nilai peubah x diketahui.

Contoh 5

tentukan himpunan jawab pertaksamaan Penyelesaian :

Penyelesaian masalah ini dikerjakan dengan mengkuadratkan kedua ruasnya, membuat ruas kannya nol, dan menggunakan rumus

.

Karena faktor definit positif, maka bentuk ini setara dengan Tentukan himpunan jawab pertaksamaan ini dengan bantuan garis bilangan.

Himpunan jawab =Contoh 6

Jika buktikan

Penyelesaian :

Karena penyebut bentuk pecahannya definit positif dengan Maka Ini mengakibatkan

Untuk kita akan menentukan batas dari Untuk ini, tulislah

Kemudian gunakan sifat nilai mutlak dan pertaksamaan, mka diperoleh hasil berikut.

Dengan menggunakan hasil ini diperoleh

Sehingga terbuktilah yang diinginkan.

Rangkuman

8. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan cara pemfaktoran dan cara rumus abc.9. Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah 10. Ada 3 kemungkinan nilai D (Diskriminan), jika D>0, ada 2 nilai x yang nyata, jika D=0,hanya ada satu nilai x yang nyata, dan jika D 0 maka ada 2 titik potong antara sb.x dengan garis y = ax2 + bx +c dan diperoleh 2 solusi unuk x.b. Jika D=0 maka garis y= ax2 + bx +c bersinggungan engan sumbu x dan diperoleh satu solusi untuk x.c. Jika D < 0 , maka garis y= ax2 + bx +c sama sekali tidak berpotongan/bersinggungan dengan sumbu x dan solusi untuk x bukan bilangan nyata. Y= 2x2 -2x -4

a b c D = (-2)2 -4.2 (-2) = 4 + 32 D = 36 D> 0

Maka persamaan y = 2x2 -2x -4 berpotongan dengan sumbu x menghasilkan 2 solusi x bilangan nyata

Contoh 17Diketahui persamaan kuadrat y=-3x2-2x+1. HItunglah koordinat titik kritis dari persamaan tersebut.

Penyelesaian :

a = -3, maka a < 0 sehingga titik kritisnya adalah titik max

Sehingga Koordinat titik puncak /max adalahContoh 18Diketahui persamaan kuadrat y=-4x+4x+3. Sketsalah persamaan parabola tersebut !

Penyelesaian :

HItunglah D, tentukanlah apakah persamaan tersebut berpotongan / bersinggungan atau tidak sama sekali terhadap sumbu x ?

D = b2-4ac = 42 4(-4)3 = 16 + 48 = 64 > 0y = -4x2+4x+3

cba maka persamaan tersebut berpotongan dengan sumbu x dan karena a < 0, maka titik kritisnya adalah titik puncak.

HItunglah akar-akar persamaan kuadrat tersebut atau hitung x pembuat y = 0

maka diperoleh dua titik yang dilalui persamaan garis tersebut yaitu dan

Hitunglah titik puncak / max persamaan parabola tersebut

maka titik puncaknya adalah

Hitunglah titik di sumbu y yang dilewati oleh persamaan tersebut, atau hitung y saat x = 0

y = -4(0)2+4.0+3 = 3maka koordinat (0,3) juga dilalui persamaan garis tersebut. Sehingga dari 4 modal diatas dapat langsung kita sketsa grafiknya berikut ini :

Contoh 19Diketahui persamaan kuadrat y = 3x2-2x-5. Sketsalah persamaan parabola tersebut !

Penyelesaian :

HItunglah D, tentukan apakah persamaan tersebut berpotongan / bersinggungan atau tidak sama sekali terhadap sumbu x !

D = b2-4ac = (-2)2 4.3.(-5) = 4 + 60 = 64 > 0y = 3x2 2x 5

cba

maka persamaan tersebut dengan sumbu x dan karena a > 0, maka titik kritisnya adalah titik minimum.

Hitunglah akar-akar x pembuat y = 0

y = 3x2 2x 5 = 0 = 3x2 5x + 3x 5 = 0 = x(3x - 5) + (3x - 5) = 0 = (x + 1)(3x - 5) = 0x1 = -1 x2 = maka persamaan kuadrat tersebut berpotongan dengan titik (-1,0) dan (,0)

Hitunglah titik minimum persamaan kuadrat tersebut

maka titik minimalnya adalah

Hitunglah titik potong grafik dengan sumbu y dimana x = 0

y = 3(0)2 - 2.0 - 5 = -5

maka titik potong dengan sumbu y adalah (0,-5)dengan demikian grafiknya dapat digambarkan berikut

Contoh 20 Diketahui persamaan kuadrat y = x2 - x 2 dan persamaan linier y = -x 1Apakah kedua garis ini berpotongan? Jika iya, tentukan titik potong kedua garis tersebut !Penyelesaian

Subtitusikan y dari persamaan linier ke persamaan kuadrat sehingga akan membentuk pesamaan kuadrat baru dengan variabel x.Dari persamaan kuadrat baru tersebut tentukanlah D, jika D > 0 , 2 garis tersebut berpotongan. Jika D = 0 , 2 garis tersebut bersinggungan. Jika D < 0, 2 garis tersebut tidak bersinggungan dan tidak berpotongan.Hitung akar-akar persamaan tersebut maka diperoleh x1 dan x2 (jika berpotongan)Masukkan nilai x1 dan x2 ke dalam persamaan linier untuk menentukan koordinatnya

Silakan dikerjakan sendiri !

Rangkuman

1. Sistem koordinat Kartesius terdiri dari dua sumbu, garis horizontal (sumbu x) dan garis vertikal (sumbu y) berpotongan tegak lurus di titik O (titik asal)2. Suatu titik (a,b), a disebut absis (koordinat x) dan b disebut ordinat (koordinat y)3. Panjang ruas garis lurus di titik P(x1,y1) ke titik Q(x2,y2) adalah PQ=4. Bentuk umum persamaan garis lurus adalah5. Jika gradien garis g adalah m dan gradien garis l adalah p, garis g dan l tegak lurus jika mp=-1, garis g dan garis l sejajar jika m=p.6. Jarak titik P(x0, y0) ke garis g:

70Sistem Koordinat

Sistem Koordinat 69Vektor di Bidang dan di Ruang

Overview

Bab ini akan menjelaskan tentang vektor di bidang(R-2) dan di ruang(R-3). Diawali dengan penjelasan tentang definisi skalar dan vektor, menyatakan vektor, memberi nama vektor, menggambar vektor di bi bidang. Kemudian akan dijelaskan tentang operasi-operasi yang dapat diberlakukan terhadap vektor seperti menjumlahkan dua vektor, perkalian skalar dengan vektor, mementukan panjang vektor, perkalian titik dan perkalian silang antara dua vektor, sudut antara dua vektor. Terakhir akan dibahas cara menentukan luas segitiga dengan vector apabila tiga titik sudutnya diketahui di R-3.

Tujuan

1. Memahami definisi skalar dan vektor2. Memahami cara memberi nama dan menggambar vektor di bidang3. Memahami cara menyatakan vektor dalam beberapa notasi4. Mampu menentukan jumlah dan selisih dua vektor5. Mampu menentukan perkalian titik dan perkalian silang.6. Mampu menentukan sudut antara dua vektor 7. Mampu menghitung luas segitiga dengan vector apabila tiga titik sudutnya diketahui di R-3.

4.1. Pengertian skalar dan vektor

Banyak besaran yang kita jumpai dalam ilmu pengetahuan, seperti luas, panjang, massa, temperatur, volume, muatan listrik, dan sebagainya dapat dinyatakan oleh suatu bilangan. Besaran demikian dinamakan skalar. Ada besaran lain, seperti kecepatan, gaya, dan pergeseran, untuk menggambarkannya memerlukan tidak hanya bilangan, tetapi juga arah. Besaran demikian dinamakan vektor. Vektorvektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau anak panah; arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya, perhatikan gambar-1.

ABGambar 4.1 (a) Vektor AB. (b) Vektor-vektor ekivalen(a)(b)vabcw

Ekor panah dinamakan titik awal (initial point ) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal ( terminal point ). Vektor umumnya dinyatakan dengan huruf kecil tebal misalnya a, v, w, u, x. Vektor dapat pula dinyatakan dengan huruf kecil tipis dengan tanda garis atau anak panah di atas huruf tersebut seperti , , dan . Satu cara lagi menyatakan vektor adalah dengan menulis dua huruf besar berdampingan yang di atasnya diberi garis atau anak panah seperti di mana A adalah titik awal vektor dan B adalah titk ujung vektor. Untuk menyatakan skalar akan digunakan huruf kecil tipis tanpa garis atau anak panah di atasnya seperti a, b, c, k, m, dan sebagainya. Jika seperti pada gambar 4.1a. titik awal vektor v adalah A dan titik ujungnya adalah B, maka kita dapat menuliskan bahwa

v = .Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti vektor-vektor pada gambar 4.1b, dinamakan ekivalen. Vektor-vektor yang ekivalen dianggap sama walaupun vektor-vektor tersebut diletakkan pada kedudukan yang berbeda-beda. Jika v dan w ekivalen maka kita tuliskan v = w 4.2. Operasi pada Vektor Penjumlahan dua vektorDefinisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka jumlah v+w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkan vektor w sehingga titik awalnya berimpit dengan titik ujung v. Vektor v+w dinyatakan oleh panah dari titik awal v terhadap titik ujung w(gbr 4.2a)

vwv+wvwv+wvwGambar 4.2 (a)(b)w+v

Dalam gambar 4.2b telah dibentuk dua jumlah, yakni v+w dan w+v. Jelas bahwa v+w = w+v

dan bahwa jumlah tersebut berimpit dengan diagonal jajaran genjang yang ditentukan oleh v dan w bila vektor-vektor ini diatur lokasinya sehingga vektor -vektor tersebut mempunyai titik awal yang sama.

Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol (zero vektor) dan dinyatakan dengan o . Kita definisikan

o + v = v + o = v

untuk tiap vektor v. Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka -v adalah negatif v, didefinisikan bagi vektor yang mempunyai besaran sama seperti v, tetapi arahnya berlawanan dengan v (gambar 4.3). Vektor ini mempunyai sifat

v + (- v) = 0

v

- v

Gambar 4.3

Pengurangan dua vektorDefinisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan w dari v didefinisikan oleh

v - w = v + ( - w)

(Gambar 4.4a)

- wwvv- wwvv-wGambar 4.4 (a)(b)

Untuk mendapatkan selisih vw tanpa menggambarkan -w, maka tempatkanlah v dan w sedemikian sehingga titik awalnya berimpit; vektor dari titik ujung w ke titik ujung v adalah vektor v- w (gambar 4.4b)

Definisi. Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0. Kita definisikan kv = o, jika k=0 atau v = o

v2v(-1)v(1)v(-3)vGambar 4.5 melukiskan hubungan di antara vektor v dan vektor-vektor 2v, (-1)v, (1)v, dan (-3)v

Gambar 4.5

Perhatikan bahwa vektor (-1)v mempunyai panjang yang sama dengan vektor v tetapi arahnya berlawanan dengan vektor v.

4.3. Vektor di Bidang, Komponen vektorMisalkan v adalah sebarang vektor pada bidang, dan anggaplah seperti pada gambar 4.6, bahwa vektor v telah ditempatkan sehingga titik awalnya berimpit dengan titik asal system koordinat kartesius. Koordinat-koordinat (v1, v2) dari titk ujung v dinamakan komponen-komponen v, dan kita tuliskan sebagai v = (v1, v2)

(v1, v2)xyGambar 4.6 vJika vektor-vektor ekivalen, v dan w, keduanya digambarkan sedemikian sehingga kedua titik awalnya terletak di titik asal system koordinat, maka jelas bahwa titik-titik ujung kedua vektor ini akan

berimpit (karena kedua vektor ini mempunyai panjang dan arah yang sama). Jadi vektor-vektor tersebut mempunyai komponen-komponen yang sama. Sebagai akibatnya adalah bahwa vektor dengan komponen yang sama harus mempunyai panjang dan arah yang sama dan vektor-vektor tersebut adalah ekivalen, sehingga kita dapat mengatakan bahwa dua vektor

v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)

ekivalen jika dan hanya jika

v1 = w1 dan v2 = w2

Operasi penambahan vektor dan operasi perkalian oleh skalar sangat mudah dilakukan dalam bentuk komponen-komponen seperti yang diperlihatkan pada gambar 4.7 di bawah ini. Jika

v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)

(4.1 a)v + w = (v1 + w1, v2 + w2) maka

y

(v1 + w1, v2 + w2)

( w1, w2 )

v + w

w

(v1, v2)

v

Gambar 4.7 x

Jadi, misalnya, jika v = ( 2, -3) dan w = ( 4, 7) maka

v + w = ( 2, -3) + ( 4, 7) = ( 6, 4)

Jika v = (v1, v2) dan k adalah sebarang skalar, maka

kv = (k v1, k v2)

(4.1 b)

(v1, v2)xyGambar 4.8 vkv( kv1, kv2)

Jadi, 5v = 5(2, -3) = (10, -15)

Merujuk pada rumus (4.1 a) dan (4.1 b) dan karena v w = v + (-1)w maka

v w = (v1 - w1, v2 - w2)

misalnya untuk Contoh di atas,

v w = (v1 - w1, v2 - w2) = ( 2, -3) + ( 4, 7) = ( -2, -10)

Vektor di ruang-3Seperti halnya vektor-vektor pada bidang(ruang-2) dapat digambarkan oleh pasangan dua bilangan real, maka vektor-vektor di ruang dapat digambarkan oleh tripel bilangan real, dengan menggunakan sistem koordinat siku-siku .

xzyOyzxPZXYO

(b)(a)

Gambar 4.9

Setiap pasang sumbu koordinat membentuk bidang yang dinamakan bidang koordinat (gambar 4.9a). Bidang-bidang ini disebut sebagai bidang-xy, bidang-xz, dan bidang-yz. Untuk setiap titik P di dalam ruang kita tetapkan tripel bilangan (x, y, z) yang dinamakan koordinat-koordinat PKoordinat-koordinat P didefinisikan sebagai panjang bertanda (gambar 4.9b) x = OXy = OYz = OZ

xzyOP ( 2, 5, 3 )325Q ( 2, 5, 0 )R ( 0, 5, 3 )S ( 2, 0, 3 )Gambar 4.10

Jika vektor v di dalam ruang dilokasikan sedemikian sehingga titik awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-siku (gambar 4.11), maka koordinat titik ujungnya adalah komponen-komponen v, dan dituliskan sebagai v = ( v1, v2, v3 )

xzyO( v1, v2, v3 )Gambar 4.11vv1v2v3

Jika v = ( v1, v2, v3 ) dan w = ( w1, w2, w3 ) adalah dua vektor di ruang-3, maka:

(1) v dan w ekivalen jika dan hanya jika v1= w1 , v2 = w2, dan v3 = w3(2) v + w = ( v1+ w1, v2+ w2, v3 +w3 ) (3) kv = ( kv1, kv2, kv3 ) di mana k adalah sembarang skalar.

Contoh-1Jika v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1). maka

v + w = (5, -1, 3), 2v = (2, -6, 4), -w = (-4, -2, -1),

v w = v + (-w) = (-3, -5,1)

Kadang-kadang suatu vektor ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya tidak di titik asal sistem koordinat. Jika vektor vektor mempunyai titik awal (x1, y1, z1) dan titik ujung (x2, y2, z2), maka

= (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)

Yakni, komponen-komponen diperoleh dengan mengurangkan koordinat titik awal dari koordinat titik ujung. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan gambar 4.12; vektor adalah selisih vektor dan vektor , sehingga

= - = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1) = (x2 x1, y2 y1, z2 z1)

z

Q(x2, y2, z2)

P(x1, y1, z1)

v2

y

O

x

Gambar 4.12

Contoh-2

Komponen-komponen vektor v = dengan titik awal P(-3, 1, 7) dan titik ujung Q(2, -3, 1) adalah

v = (2 (-3), -3 - 1, 1 - 7) = (5, -4, -6)

Analog dengan itu, maka di ruang-2, vektor dengan titik awal P(x1, y1) dan titik ujungnya Q(x2, y2) adalah:

= (x2- x1, y2 - y1)

4.4. Norma Vektor (Panjang Vektor)

Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan |v|

xzyOP( v1, v2, v3 )|v|Qv3RSGambar 4.13b

|v|(v1, v2)Gambar 4.13a

Berdasarkan teorema Phytagoras, maka norma vektor v = (v1, v2) di ruang-2 adalah (perhatikan gambar-4.13a)

|v| =

Misalkan v = (v1, v2, v3) adalah vektor di ruang-3. Dengan menggunakan gambar-413b dan dengan dua penerapan teorema Phytagoras, maka kita peroleh

|v|2 = (OR)2 + (RP)2 = (OQ)2 + (OS)2 + (RP)2

= Jadi

|v| = (4-2)

Jika P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2) adalah dua titik di ruang-3, maka jarak d di antara kedua titik tersebut adalah norma vektor PQ (Gambar-4.14). Karena

= (x2 x1, y2 y1, z2 z1)

z

Q( x2, y2, z2 )

P( x1, y1, z1 )

y

O

Gambar 4.14x

maka berdasarkan (4-2) jelas bahwa jarak d di antara kedua titik tersebut adalah

d

Demikian juga, jika P(x1, y1) dan Q(x2, y2) adalah dua titik di ruang-2, maka jarak d di antara kedua titik tersebut diberikan oleh

d

Contoh-3

Norma vektor v = (2, -3, 4) adalah

|v |

Jarak d di antara titik P(-3, 2, 1) dan titik Q(4,1,-2) adalah

4.5. Hasil kali titik (dot product)

Misalkan u dan v adalah dua vector tak nol di ruang-2 atau di ruang-3, yang titik awalnya berimpit. Hasil kali titik (dot product) dinotasikan u.v didefinisikan oleh

u.v (4-3)

di mana adalah sudut antara vector u dan vector v , dengan

Gambar 4.15

Contoh- 4Tentukan hasilkali titik antara vector u dan vector v jikau = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2) dan sudut antar vector u dan vector v adalah = 60o

Jawab

|u |

|v | Cos 60o =

Jadi, u.v = | u |.| v |. Cos 60o = (6) (6) = 3

Bentuk Lain Rumus Hasil Kali TitikSelain bentuk rumus (4-3), hasil kali titk dirumuskan dalam bentuk lain yang lebih praktis (dapat diturunkan dari rumus cosinus pada segitiga)

Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vector-vektor di R3 maka

u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 (4-4)

Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah vector-vektor di R2 maka

u.v = u1 v1 + u2 v2

(4-5)

Contoh- 5Tentukan hasilkali titik antara vector u dan vector v jikau = (2, - 3, - 4) dan v = (1, 5, - 6)

Jawab: u.v = (2)(1) + (-3)(5) + (-4)(-6) = 2 15 +24 = 11

Dari rumus (4-3) dapat diturunkan rumus untuk mencari sudut antara dua vektor yaitu

(4-6) Contoh- 6 Tentukan besar sudut antara vector u dan vector v jikau = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)

Jawab: u.v = (2)(1) + (-1)(1) +(1)(2) = 3

| u |

| v |

, jadi = 60o

Hubungan antara hasil u.v dan sudut antara u dan v

Teorema. Misalkan u dan v adalah vektor di R-2 atau R-3, dan adalah sudut di antara kedua vector tersebut, maka

lancip jika dan hanya jika u.v > 0 tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 = jika dan hanya jika u.v = 0

Contoh-7: jika u = (2,5), v = (6, 5) dan w = (-5, 2), maka

u.v = (2)(6) + (5)(5) = 12 + 25 = 37 > 0 u.w = (2)(-5) + (5)(2) = -10 + 10 = 0 v.w = (6)(-5) + (5)(2) = -30 + 10 = - 20 < 0

u

w

v

Gambar 4.16

Maka: u dan v membentuk sudut lancip ( < 90o ) u dan w membentuk sudut = 90o v dan w membentuk sudut tumpul ( > 90o )PERKALIAN SILANG DUA VEKTORPerkalian silang (Cross Product) antara dua vector hanya didefinisikan pada vector di R3.

Definisi : Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vector-vektor di R3, maka hasilkali silang u x v adalah vector yang didefinisikan oleh u x v = (u2 v3 u3 v2, u3 v1 u1 v3, u1 v2 u2 v1)Atau dalam notasi determinan u x v =

Contoh-8

Jika u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), maka

u x v = =

VEKTOR SATUAN

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu koordinat (gambar-4.17)

Gambar 4.17( 1, 0, 0 )( 0, 1, 0 )( 0, 0, 1 )ijkZYX

i = ( 1, 0, 0 )j = ( 0, 1, 0 )k = ( 0, 0, 1 )

Setiap vektor v = (v1, v2, v3) di R-3 dapat dinyatakan dengan I, j, dan k yaitu v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k

misal: ( 3, -4, 7 ) = 3i + -4j + 7k

Hasilkali silang dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk determinan 3x3:

u x v =

Untuk Contoh di atas, u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), maka

u x v =

= 13 i +11j 18k = (13, 11, -18 ) =

4. 6 Menyelesaikan Soal Vektor Dengan MathcadJika u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), tentukan :a.

b.

Solusi Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut

Ketikan u := kemudian akan muncul Pilih tombol Matriks dan Vector Toolbars sehingga akan muncul

Tekan tombol akan muncul , Isikan vektor yang bersesuaian dengan soal Dengan cara yang sama buat vektor v sehingga diperoleh:

Untuk memperoleh Perkalian Titik dan Perkalian Silang kedua matriks tersbut, pada toolbars matriks pilih tombol dan disertai tanda sehingga akan muncul:

Rangkuman

1. Skalar adalah besaran tanpa arah. Contoh: luas, suhu, jarak, dll.2. Vektor adalah besaran yang memiliki arah. Contoh: Kecepatan, Gaya dorong, dll.3. Menyatakan vektor: v = ( 2, -3, 5 ) = 2i 3j + 5 k =

4. Panjang vektor u = (u1, u2, u3) adalah |u | =

5. Perkalian titik (Dot Product) antara u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 Perkalian titik menghasilkan skalar (bilangan real)

6. Sudut antara vektor u dan v diperoleh dari rumus

7. lancip jika dan hanya jika u.v > 0 tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 = jika dan hanya jika u.v = 0

8. Perkalian silang antara u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah u x v =

= (u2 v3 u3 v2, u3 v1 u1 v3, u1 v2 u2 v1) Perkalian silang menghasilkan vektor lagi

90Vektor

Vektor 89Matriks

Overview

Pada bab ini akan dijelaskan tentang matriks dan operasinya. Diawali dengan definisi matriks, ukuran matriks(ordo), memberi nama sebuah matriks, dan menentukan elemen-elemen matriks. Berikutnya akan dijelaskan operasi-operasi yang berlaku pada matriks, di antaranya: menjumlahkan dua matriks, mengalikan skalar dengan matriks, mengalikan dua matriks, mentranspose matriks. Jenis-jenis matriks adalah hal yang harus segera diketahui, karena operasi-operasi berikutnya akan tergantung pada jenis matriks tertentu. Selanjutnya akan diperkenalkan operasi baris elementer (OBE), yang mana merupakan operasi yang sangat ampuh untuk memecahkan berbagai kasus yang berhubungan dengan matriks. Materi berikutnya adalah Determinan dari suatu Matriks persegi, diawali dengan definisi determinan, kemudian cara-cara memperoleh determinan, sifat-sifat determinan. Salah satu penggunaan determinan adalah untuk menentukan Matriks balikan dan menentukan solusi sistem persamaan linear yang akan dijelaskan di bagian akhir dari materi matriks ini.

Tujuan

1. Memahami Definisi Matriks dan kegunaannya.2. Mampu menjumlahkan dan mengurangkan dua matriks3. Mahir melakukan perkalian dua matriks4. Mahir dalam melakukan Operasi Baris Elementer (OBE)5. Mampu menentukan determinan matriks dengan beberapa metode6. Mampu mencari Invers Matriks dengan beberapa metode7. Mampu menentukan solusi Sistem Persamaan Linear dengan beberapa metode.

5.1 Definisi MatriksSebuah matriks adalah susunan dari bilanganbilangan berbentuk persegi panjang yang diapit oleh dua buah tanada kurung biasa atau kurung siku. Bilanganbilangan di dalam susunan tersebut disebut elemen matriks.

Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut

5.2 Ordo MatriksUkuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut

(a) (b) (c) (d) (e)

Ordo Matriks a : 3 X 3, Ordo Matriks b: 3 X 4Ordo Matriks c: 1 X 3, Ordo Matriks d: 3 X 1Ordo Matriks e: 1 X 1

5.3 Notasi MatriksMatriks dinotasikan dengan huruf besar sedangkan unsur-unsurnya dinyatakan dengan huruf kecil.

Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga menggunakan aij untuk menyatakan entri/unsur yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A sehinga A = [aij]

5.4 Jenis-jenis MatriksMatriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilangan pada entrinya.

Matriks Nol Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol.

Matriks nol

Matriks SatuMatriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah 1.

Matriks BarisMatriks baris didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu baris.

Matriks KolomMatriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu kolom.

Matriks satuMatriks kolomMatriks baris

Matriks PersegiMatriks persegi didefinisikan sebagai matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama,

Matriks Segitiga AtasMatriks segitiga atas adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: aij = 0 untuk i > j.

Matriks segitiga bawahMatriks segitiga atas

Matriks Segitiga BawahMatriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: aij = 0 untuk j < i.

Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: aij = 0 untuk i j.

Matriks IdentitasMatriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: aij = 0 untuk i j dan aij = 1 untuk i = j

Matriks TransposeMatriks transpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris menjadi kolom atau sebaliknya.

Contoh 5-1

SIFAT- SIFAT MATRIKS TRANSPOSE1) ( A + B )T = AT + BT ; A dan B berordo sama2) (AT)T = A3)

(AT) = (A)T; Suatu skalar4) (A B)T = BTAT; A dan B harus memenuhi sifat perkalian. 5). Setiap Matriks Dapat Dikalikan Dengan Transposenya

Contoh Contoh :

A =dan B = BT =

AT = ( AT )T = = = A

A B = =

(A B)T =

BT . AT = = = (A B)T

AT . BT = = ? Tidak dapat dikalikan.

5.5 Kesamaan dua matriksDefinisi: Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :aij = bij,yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama.

Contoh 5-2 Jika

Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

5.6 OPERASI PADA MATRIKS

1. Penjumlahan Dua MatriksJika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ordonya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut

Contoh 5-3

maka

2. Pengurangan Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ordonya sama maka selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A

untuk matriks pada Contoh 5-3, 3. Perkalian Skalar Pada MatriksJika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masingentri dari A oleh c.

Contoh 5-4

maka:

4. Perkalian Dua Matriks

Jika A = [ aij ]berordo m x p danB = [ bij ]berordo p x n , maka

Perkalian AB adalah suatu matriks C = [ Cij ] berordo m x n dimana :

Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + aip bpj

Untuk setiap i = 1, 2, , m dan j = 1, 2, , n.

Contoh 5-5

Maka AxB =

B(2x4).A(3x4) = Tidak dapat dilaksanakan, karena syarat perkalian tidak dipenuhi, yaitu banyak kolom matriks kiri banyak baris matriks kanan

Sifat-Sifat Perkalian Dua MatriksJika A, B, dan C matriks matriks yang memenihi syarat perkalian matriks yang diperlukan , maka :1. A ( B + C ) = AB + AC2. ( B + C ) A = BA + CA( distribitif )3. A ( BC ) = ( AB ) C( asosiatif )4. Perkalian tidak komutatif , AB BA5. Jika AB = 0 ( matriks nol ) yaitu matriks yang semua elemennya nol, maka kemungkinan kemungkinannya adalah : A = 0 dan B = 0 ; A = 0 dan B 0 ; A 0 dan B 06. Bila AB = AC belum tentu B = C

5.7 OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) Ada 3 macam OBE yang dapat dilakukan yaitu: (1). Mempertukarkan baris-I dan baris-j ( bi bj ) (2). Mengalikan skalar k terhadap suatu baris ( k.bi ) (3). Baris-I ditambah dengan k x Baris-j ( bi + k.bj )

CONTOH-5.6 : Menukar Baris

A = , maka :

b1 b3 baris ke-1 dan baris ke-3 Dipertukarkan

b2 b3 baris ke-2 dan baris ke-3 Dipertukarkan

CONTOH-5.7 : Mengalikan skalar k terhadap baris ( k.bi )

A = (-3).b2 Baris ke-2 dikali (-3)

(1/2).b3 Baris ke-3 dikali (1/2)CONTOH-5.8 : Menambah Baris Ke-I Dengan K Kali Baris Ke-J

b2 + 2.b1 Baris ke-2 ditambah 2 kali baris ke-1

b3 + 4.b2 Baris ke-3 ditambah 4 kali baris ke-2

5.8 DETERMINAN SUATU MATRIKS PERSEGISetiap Matriks persegi A selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut DETERMINAN matriks tersebut.

Determinan dari matriks A ditulis dengan :det ( A ) atau Determinan dari matriks persegi berordo ( 2 x 2 ) dan (3 x 3) didefinisikan sebagai berikut :

Jika A = maka det ( A ) = = = ad - bcContoh 5.9

Jika A = maka det ( A ) = = = 10 12 = -2

Jika A = maka det ( A ) = = = 4 4 = 0

Determinan Matriks Persegi ( 3 X 3 )

Jika : A = , maka determinan dari A adalah

det ( A ) = | A | = a11 . a22 . a13 . + a12 . a23 . a31 + a13 . a22 . a31 . a12 . a21 . a33 a11 . a23 . a32

-

Metode Sarrus+

CONTOH 5.10: hitunglah Determinan dari matriks

M =

det(M) = = (45)+(84)+(96)(105)(-48) (-72) = 240

Metode di atas tidak berlaku untuk matriks persegi berordo (4x4) atau yang lebih besar.

5.9 SIFAT-SIFAT DETERMINAN

det (A) = det (AT )Sifat-1 :

Sifat-2: Tanda Determinan berubah jika dua baris atau kolom situkar tempatnya

= - = +

Jika dua baris / kolom suatu matriks A sama, maka det (A) = 0

Contoh 5.11

= 0 ; = 0 ; = 0Sifat-3 : Harga Determinan menjadi k kali, bila suatu baris / kolom dikalikan dengan k (Suatu Skalar ).

Contoh 5-12

Misalkan : A = Det (A) =

misalkan baris ke-1 dikalikan 5 maka :

= 5 = 5

Jadi, kita dapat memasukkan atau mengeluarkan skalar dari suatu determinan secara bebas pada tiap-tiap baris atau kolom, misalnya :

Contoh 5-13

= 2 = =

Catatan : Jika dilakukan satu kali transformasi elementer Bj() (A) terhadap matriks A, maka determinannya menjadi kali.

Akibat : Kalau dalam suatu matriks A salah satu baris/ kolom nol semua maka det (A) = 0

Contoh 5-14

= 0 , = 0

Sifat-4 : Harga determinan tidak berubah apabila suatu baris diberikan perintah OBE yaitu bi + (k).bj

Contoh 5-15:

b2+(-1).b1b3+(-2).b1b3+ (-2).b2

Jadi, bila dilakukan operasi baris elementer Bij () (A) pada matriks A, maka harga determinan A tidak berubah.

Akibat : Bila pada sustu matriks A terdapat baris / kolom berkelipatan, maka harga determinan yaitu det (A) =0

Catatan : Sebuah determinan selalu dapat dituliskan sebagai penjumlahan dua determinan atau lebih.

Contoh 5-16

= = +

5.10 MINOR dan KOFAKTOR

Definisi : jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A.

Bilangan (-1) i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.

Contoh 5-17 A = ,maka

Baris-1 dan kolom-1 dihapusMinor Entri a11 adalah M11 = = = 45 48 = -3

Kofaktor a11 adalah: c11 = (-1 ) 1+1 M11 = (-1)2 (-3) = -3

Demikian juga, minor entri a32 adalah :

Baris-3 dan kolom-2 dihapusM32 = = = 6 12 = -6 Kofaktor a32 adalah : c32 = (-1) 3+2 M32 = (-1) 5 .M32 = (-1) (-6) = 6

5.11 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR

TEOREMA LAPLACEJika A suatu matriks persegi A [aij].maka determinan matriks A adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Dengan perkataan lain :

= aij . cij = ai 1 ci 1 + ai 2 . ci 2 + . . .+ ai n . ci

Atau

= aij . cij = a1 j c1 j + a2 j . c2 j + . . .+ an j . cn

Contoh 5-18

Misalkan A = Hitung det (A) dengan metoda ekspansi sepanjang kolom-1Jawab : det (A) = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31

= 3 -(-2 ) + 5 = 3 (-4) (-2) (-2) + 5 (3) = -1Det (A) akan dihitung dengan ekspansi sepanjang baris-1

A = = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13

= 3 - 1 + 0

= 3 (-4) (1) (-11) +0 = -12 + 11 = -1

Det (A) akan dihitung dengan ekspansi sepanjang baris-3Det (A) = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33

= 5-4+(-2)

= 5 (3) (4) (9) + (-2) (-10)= +15 36 +20 = 35 - 36 = -1Untuk menyederhanakan perhitungan determinan, ekspansikan sepanjang baris atau kolom yang banyak mengandung elemen 0 (nol), karena suku-suku ini hasilnya nol.

Misal B =

Kita ekspansi sepanjang baris-2 (karena banyak nol nya),

Det (B) = - 4 + 0 - 0 =-4(16)=-64

5.12 MATRIKS INVERSE

Definisi : Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n :

A = Disebut mempunyai inverse (invertible) bila ada suatu matrik B sedemikian sehingga : AB = BA = In Matrik B disebut invers dari matrik A, ditulis A-1 , adalah juga matriks bujur sangkar berordo n.

Contoh 5-19

Carilah invers dari A =

Penyelesaian misalkan A-1 = maka berlaku

.=

Bila dikalikan : = , atau 2a1 + a3 = 1 , 2a2 + a4 = 0 dan bila kita selesaikan 4a + 3a = 0 , 4a + 3a = 1 diperoleh

a1 = 3/2 , a2 = -1/2 , a3 = -2 ,a4 = 1. Jadi A-1 =

5.13 Menentukan Invers Matriks A dengan Matriks Adjoin Matriks KofaktorMatriks kofaktor dari matriks A adalah matriks C seperti di bawah ini

C = Di mana cij = (-1)i+j.Mij dengan Mij adalah minor baris-I kolom-j yaitu determinan dari matriks A di mana baris-I dan kolom-j dihilangkan.

Matriks AdjoinMatriks Adjoin adalah Transpose dari matriks kofaktor, jadi

Adj(A) = CT = Contoh 5-19

Tentukan matrik Invers dari A = , jika ada.Langkah-1: Menentukan Determinan Matriks A (metode bebas)

Det(A) = = 2 + = - 36 - 10 = -46Catatan: Jika Det(A) = 0, maka A tidak punya invers, dan proses stop.Langkah-2: Menentukan Matriks KofaktorMaka kofaktor dari ke 9 elemen dari A adalah sebagai berikut :

c11 = + = -18 ; c12 = - = 2 , c13 = + = 4 ,

c21 = - = -11 , c22 = + = 14 , c23 = - = 5,

c31 = + = -10 , c32 = - = -4 , c33 = + = - 8 ,

Matriks Kofaktornya adalah : C = = Langkah-3 : Menentukan Matriks Adjoin

Jadi, adj(A) = CT =

Langkah-4: Menentukan Invers A dengan Rumus:

A-1 = , dengan syarat det (A) 0

Jadi, A-1 = =

5.14 Menentukan Invers Matriks A dengan OBE AA : II OBE I : A-1

Lakukan OBE pada matriks A : I sedemikian sehingga matriks A menjadi matriks identitas, dan secara otomatis matriks Identitas yang ada di sebelah kanan A akan menjadi matriks invers dari A.

Contoh 5-20

Tentukan invers dari matriks A =

Penyelesaian : A I

B21(-2)

Baris-2 ditambah -2 kali baris-1, dan Baris-3 ditambah 1 kali baris-1B31(-1)

Baris-3 ditambah 2 kali baris-2 B32(2)

Baris-3 dikalikan -1B3(-1)

B23(3) dan B13(-3) menghasilkan

Baris-2 tambah 3 kali baris-3, dan Baris-1 ditambah 3 kali baris-3

Baris-1 ditambah -2 kali baris-2 B12(-2)

Jadi, Invers dari A adalah A-1 =

Tidak semua matriks persegi mempunyai invers.

Suatu matriks yang DETERMINAN-nya NoL , disebut MATRIKS SINGULIR, dan matriks yang demikian Tidak mempunyai Invers.

Berikut ini adalah Contoh matriks yang tidak mempunyai invers.

A = B21(-2) B31(1)

Setelah dilakukan beberapa Operasi Baris, Terlihat bahwa ada dua baris yang sama/ berkelipatan, maka sudah pasti determinannya = 0 , dan oleh karena itu Matriks A tidak mempunyai Invers, atau tidak dapat dibalik.

Jika dilakukan pencarian invers seperti pada Contoh-1, maka hasilnya adalah sbb:

A I

B21(-1) dan B31(1)

B32(-1)

Karena terdapat satu baris nol pada matrik kiri, maka matriks A tidak dapat dibalik.

5.15 Sitem Persamaan LinearPersamaan LinearDefinisi:Secara umum persamaan linear untuk n peubah x1, x2, , xn dapat dinyatakan dalam bentuk:

dimana a1, a2, , an dan b adalah konstanta-konstanta real.Contoh:

Sistem Persamaan Linear

Definisi:Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1, x2, , xn dinamakan system persamaan liniear atau system linear. Sebuah system sembarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam bentuk:

dimana x1, x2, , xn adalah bilangan-bilangan tak diketahui dan a, b adalah konstanta.

Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

atau AX = Bdimana:A dinamakan matriks koefisien X dinamakan matriks peubahB dinamakan matriks konstanta

Augmented MatrixSintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix) sebagai berikut:

Contoh:

Solusi Sistem Persamaan LinearSolusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.Contoh: x 2y = 72x + 3y = 7 {x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut

Kemungkinan solusi dari sebuah sistem persamaan linear (SPL) adalah: SPL mempunyai solusi tunggal Artinya :SPL 2x y = 2 x y = 0 Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2

SPL mempunyai solusi tak hingga banyak Perhatikan SPL x y = 02x 2y = 0

Jika digambar dalam kartesius Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut Artinya SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak SPL tidak mempunyai solusiPerhatikan SPL x y = 02x 2y = 2Jika digambar dalam kartesius Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi

Sistem Persamaan Linear Konsisten dan Tak KonsistenBerdasarkan pemecahannya, Sistem Persamaan Linear dikelompokkan menjadi dua, yaitu:1. Sistem Persamaan Linear konsistenMerupakan system persamaan linear yang memiliki sebuah pemecahan atau tak hingga banyaknya pemecahan.Contoh:

memiliki tak hingga banyaknya pemecahan

2. Sistem Persamaan Linear tak konsistenMerupakan system persamaan linear yang tidak memiliki pemecahanContoh:

Contoh:Selesaikanlah sitem persamaan linear berikut ini!

Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan untuk memecahkan system persamaan linear. Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar (augmented marrix) menjadi bentuk yang sederhana. Langkah-langkah dalam prosedur ini di antaranya adalah:1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan ini 1 utama)2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka kelompokkan baris seperti ini di bawah matriks.3. Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari satu utama dalam baris yang lebih tinggi.4. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di bawah satu utamanya.5. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di atas satu utamanya.

Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4 dikatakan berada dalam bentuk eselon baris (Eliminasi Gauss). Jika matriks tersebut juga memiliki sifat 5 maka dikatakan berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. (Eliminasi Gaus Jordan)

Contoh:Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris

Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris tereduksi

Contoh:Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eliminasi Gaus-Jordan

Solusi:

Aturan CramerUntuk mencari solusi suatu Sitem Persaman Linear selain menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan juga dapat menggunakan aturan cramer.Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :

Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah ke-i, xi)Langkah-langkah menentukan solusi SPL dengan Aturan Cramer adalah sebagai berikut:1. Hitung determinan A (|A|)2. Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B. Contoh :

3. Hitung |Ai|4. Solusi SPL untuk peubah xi adalah ContohPecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan cramer

Solusi: Bentuk SPL menjadi AX = B

, , det (A) = |A|(ekspansi baris ke-1)

Tentukan Ai

, , Hitung |Ai|

Menyelesaikan Soal Matriks dengan Mathcad

Jika diketahui matriks dan matriks, tentukan:a.

b. det (A) dan det (B)c.

Solusi

Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut

Ketikan A := kemudian akan muncul Pilih tombol Matriks dan Vector Toolbars sehingga akan muncul

Tekan tombol akan muncul

Isikan matriks yang bersesuaian yang bersesuaian dengan soal

Ketikan A*B 2*A [enter] sehingga akan muncul

Untuk menentukan det(A) dan det(B), pilih tombol pada toolbar matrix. Sehingga muncul |A| kemudian [enter] sehingga muncul:

Untuk mencari A-1 , ketik A pilih tombol pada toolbars matrix.

Rangkuman

1. Sebuah matriks adalah susunan dari bilanganbilangan berbentuk persegi panjang yang diapit oleh dua buah tanada kurung biasa atau kurung siku. Bilanganbilangan di dalam susunan tersebut disebut elemen matriks. 2. Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut 3. Matriks dinotasikan dengan huruf besar sedangkan unsur-unsurnya dinyatakan dengan huruf kecil.4. Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :aij = bij,yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama.5. Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ordonya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut6. Ada 3 macam OBE yang dapat dilakukan yaitu: (1). Mempertukarkan baris-I dan baris-j ( bi bj ) (2). Mengalikan skalar k terhadap suatu baris ( k.bi ) (3). Baris-I ditambah dengan k x Baris-j ( bi + k.bj )7. jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A.8. Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1, x2, , xn dinamakan system persamaan liniear atau system linear 9. Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut 10. Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan untuk memecahkan system persamaan linear.

122Matriks

Matriks123 PAGE 10

142Fungsi

Fungsi 141FUNGSI

Overview

Setiap pemain sepakbola mengenakan kaos tim dengan nomor punggung yang berbeda-beda. Misalkan himpunan A terdiri dari 11 pemain Tim Nasional Indonesia dan himpunan B merupakan 11 kaos Tim yang digunakan oleh Timnas untuk bertanding. Jika diperhatikan setaip pemain mengenakan tepat satu kaos tim untuk sebuah pertandingan. Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B kita sebut fungsi. Pada bab ini akan dipelajari definisi fungi, menyatakan fungsi, nilai fungsi, daerah asal dan daerah hasil, jenis-jenis fungsi, operasi aljabar pada fungsi, fungsi komposisi, dan invers fungsi.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami konsep fungsi2. Mahasiswa mempu menentukan daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi3. Mahasiswa mengatahui jenis-jenis fungsi4. Mahasiswa mampu melakukan operasi aljabar pada fungsi5. Mahasiswa memahami konsep fungsi komposisi6. Mahasiswa mampu menentukan invers dari sebuah fungsi

Definisi FungsiPembahasan mengenai fungi tidak dapat dilepaskan dari masalah pemetaan atau pengaitan. Suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Perhatikan gambar berikut!

Setiap anggota himpunan A = {1, 2, 3, 4} dipetakan tepat satu pada anggota di himpunan B.

Contoh

Misalkan . Himpunan merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota himpunan X dikaitkan atau dipetakan dengan tepat satu anggota himpunan Y.

Himpunan bukan merupakan fungsi, karena ada anggota himpunan X, yaitu 1, yang dikaitkan lebih dari satu pada anggota himpunan Y.Menyatkan FungsiSuatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf tunggal, boleh huruf kecil ataupun huruf besar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dan sebagainya.Untuk menyatakan bahwa f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan :

(2 1)

Jika dan , maka notasi pernyataan fungsi tersebut dapat diganti dengan:

y adalah peta dari x oleh f, atau y adalah fungsi dari x dan umumnya ditulis sebagai:

Bentuk terakhir ini disebut dengan rumus fungsi. x disebut variabel bebas dan y disebut variabel tak bebas karena nilainya tergantung pada x.Nilai Fungsi

Nilai fungsi adalah nilai y yang diperoleh dari rumus fungsi jika x diberi suatu harga (nilai). Misal diberikan rumus fungsi , maka :

Nilai fungsi untuk : x = -3 adalah

: x = -1 adalah

: x = 0 adalah

: x = a adalah

: x = a + 3 adalah

: x = adalah

: x = adalah

: x = t2 adalah Daerah Asal, dan Daerah Hasil Jika f : A B maka dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.

Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam sehingga f terdefinisikan atau ada.

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis atau Im(f).

Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan y merupakan bayangan x oleh f atau y merupakan nilai fungsi f di x dan ditulis y = f(x).

Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

ContohTentukan daerah asal (Domain) dan daerah hasil (Range) dari fungsi berikut ini:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Jawab

1.

Untuk setiap nilai dari selalu ada dan . sehingga dan

2.

Untuk setiap nilai dari selalu ada dan memiliki nilai positif () sehingga dan

3.

Jika kita memasukan nilai x = 1 maka (tak terdefinisi), karena akar hanya didefinisikan untuk bilangan yang lebih dari atau sama dengan nol.

.

Jadi daerah asalnya dalah:

Daerah hasil diperoleh dengan cara memasukan nilai x pada daerah asal.

4.

f(x) akan terdefinisi jika bilangan dibawah tanda akar lebih dari atau sama dengan nol, sehingga

-3 0 3

Dan nilainilai x yang memenuhi pertidak samaan terakhir adalah atau jadi daerah asalnya adalah .

5.

Suatu pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Jadi agar f(x) terdefinisi maka sehingga

4

Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga :

6.

24f(x) akan terdefinisi jika . Nilai x yang menyebabkan nol adalah x = 2 atau x = 4. Jadi daerah asalnya adalah :

Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga : Jenis-Jenis Fungsi

x = kFungsi Konstan

Gambar 6.5 Fungsi konstan adalah sebuah fungsi yang dirumuskan dengan f(x) = k, dengan k adalah konstanta riil. Grafiknya berupa sebuah garis mendatar yang berjarak k satuan dari sumbu x

y = f(x)Fungsi Identitas

Gambar 6.6 Gambar 6.6 Fungsi Identitas adalah sebuah fungsi yang dirumuskan dengan f(x) = x. Grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik asal (0,0) dengan gradien (tanjakan) =1 Fungsi PolinomFungsi Polinom adalah sebarang fungsi yang dapat dibangun dari fungsi identitas dengan memakai operasi operasi, penambahan, pengurangan, dan perkalian.

Bentuk umum dari polinom adalah:

di mana koefisien a adalah bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak negatif (0,1,2,3, n). Jika an 0, maka n adalah derajat dari fungsi polinom tersebut.

Fungsi linearFungsi Linear adalah fungsi polinom berderajat satu.

f(x) = ax + bBentuk umum fungsi linear adalah :

b

a dan b adalah konstan riil grafiknya berupa garis yang melalui titik titik

Gambar 6.7 jika a > 0 dan b < 0, maka grafiknya seperti pada gambar disamping.

f(x) = ax + bKoefisien x yaitu a, adalah gradien atau tanjakan atau kemiringan dari garis tersebut. Jika a > 0 (positif). Grafik naik ke kanan, jika a < 0 (negatif) grafik turun kekanan. Jika b = 0, maka garis melalui titik asal O(0,0). Jika a =1 dan b = 0, maka adalah fungsi identitas Gambar 6.8 Jika a = 0 dan b 0, maka adalah fungsi konstan Fungsi Kuadrat

a > 0a < 0Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat dua. Bentuk umumnya adalah :

; a 0Gafiknya berbentuk parabola.

Gambar 6.9Parabola terbuka keatas jika a > 0, dan terbuka ke bawah jika a < 0. Fungsi Nilai Mutlak (Modulus)

x ; jika x 0 x ; jika x < 0Nilai mutlak dari suatu bilangan riil x dilambangkan dengan , didefinisikan sebagai :

Fungsi yang dirumuskan oleh : , disebut fungsi nilai mutlak. Karena |x| selalu lebih dari atau sama dengan nol, maka grafik fungsi nilai mutlak selalu berada di atas atau pada sumbu x.

Gambar 6.10Grafik dari adalah seperti pada gambar. Grafik dari y = |x| dapat diperoleh dengan cara menggambar y = x, kemudian bagian grafik yang berada dibawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x.

ContohDiberikan rumus fungsi f(x) = | x 2 |a. Tentukanlah nilai nilai dari : f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2), f(3), f(4)b. Gambarkan grafiknyaJawabf(x) = |x 2|a) f(-2) = |-2 2| = |-4| = 4b) Grafik dari f(x) = |x 2| f(-1) = |-1 2| = |-3| = 3 f(0) = |0 2| = |-2| = 2 f(1) = |1 2| = |-1| = 1 f(2) = |2 2| = |0| = 0 f(3) = |3 2| = |1| = 1 f(4) = |4 2| = |2| = 2

Gambar 6.11

Grafiknya dapat diperoleh dengan cara menggambar y = x 2, kemudian bagian grafik dibawah sumbu x dicerminkan pada sumbu x.Fungsi TanggaFungsi tangga atau fungsi bilangan bulat terbesar adalah fungsi yang dilambangkan dengan :f (x) = ||x||Didefinisikan sebagai : Bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.

Gambar 6.12 Garis BilanganDengan bantuan gambar di atas kita dapat dengan mudah menentukan nilai-nilai fungsi bilangan bulat terbesar pada 7 x 7. Perhatikan uraian berikut!

|| -3 || = 3; || 2 || = 2; || || = 0; || || = 1; || 5 || = 5|| -3 || = -3; || -3 || = -4; || - || = || -1||; || -6 || = -7

|| || = 1; || || = || 3,14 || = || 3 ||; || || = || -1,732 || = -2Pada selang :-2 x < -1 f(x) = -2-1 x < 0 f(x) = -10 x < 1 f(x) = 01 x < 2 f(x) = 12 x < 3 f(x) = 2

sehingga grafiknya adalah seperti pada gambar berikut.

Gambar 6.13

Fungsi Genap dan Fungsi GanjilSuatu fungsi yang didefinisikan oleh y = f(x) dikatakan :(1) Fungsi Genap, Jika dipenuhi (2) Fungsi Ganjil, Jika dipenuhi

Jika (1) dan (2) tidak dipenuhi, dikatakan bahwa fungsi tak genap dan tak ganjil.

ContohPeriksalah apakah fungsi-fungsi berikut ini genap, ganjil atau tak genap dan tak ganjil.

a. f(x) = xd. f(x) = 4xg. f(x) = x4 3x2b. f(x) = x2e. f(x) = x2 4h. f(x) = 2x3 5xc. f(x) = x3f. f(x) = |x|I. f(x) = x2 + 2x 8Jawaba. f(x) = xf. f(x) = |x|f(-x) = -x = -f(x) f(-x) = |-x| = |-1| |x| = 1 |x| = |x|Jadi f Ganjil Jadi f Genapb. f(x) = x2g. f(x) = x4 3x2f(-x) = (-x)2= x2= f(x) f(-x) = (-x)4 3(-x)2= x4 3x2Jadi f Genap Jadi f Genapc. f(x) = x3h. f(x) = 2x3 5xf(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x) f(-x) = 2(-x)3 5(-x) = -2x3 + 5xJadi f Ganjil = -[2x3 5x] = -f(x) Jadi f Ganjild. f(x) = 4xi. f(x) = x2 + 2x - 8f(-x) = 4(-x) = -4x = -f(x) f(-x) = (-x)2 + 2(-x) 8 Jadi f Ganjil = x2 2x - 8 = -[-x2 + 2x + 8] f(x) -f(x) Jadi f tak Genap dan tak Ganjile. f(x) = x2 4 j. f(x) = ;x 0

f(-x) = (-x)2 4 f(-x) = (tak terdefinisi) = x2 4 = f(x) Jadi f tak Genap dan tak GanjilJadi f GenapOperasi Aljabar Pada Fungsi

Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan , selisih , hasil kali skalar , hasil kali , dan hasil bagi masing-masing didefinisikan sebagai berikut:a.

b.

c. d.

e.

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, yaitu . Sedangkan untuk , .

ContohJika f dan g masing-masing:

maka tentukan: , , , dan beserta domainnya.Jawab

dan

Contoh

Jika f dan g masing-masing: dan

maka tentukan: , , , dan beserta domainnya.Jawab

Karena , maka , , , dan masing-masing mempunyai domain: .

Komposisi FungsiKomposisi fungsi dari f dan g didefinisikan sebagai:

Dengan domain

Dengan domain

Contoh Jika f(x) = x2 dan g(x) = x1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut beserta domainnya.

a. b. c. d. Jawab

a. , dengan domain .

b. , dengan domain .

c. , dengan domain .

d., dengan domain .

Contoh

Jika dan maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta domainnya.

a. b. Jawab

a. , dengan domain:

.

b. , dengan domain:

.Invers FungsiFungsi f memetakan x pada y, dirumuskan dengan y = f(x), fungsi f1 memetakan y pada x, dirumuskan dengan x = f 1 (y).Rumus untuk fungsi invers dari f diperoleh dengan cara mengganti x dengan y dan y dengan x pada bentuk x = f 1 (y) sehingga diperoleh rumus : y = f 1 (x)Langkah-langkah menentukan Fungsi Invers adalah sebagai berikut.1. Dari bentuk y = f(x) ubahlah menjadi bentuk x = f(y) (x sebagai fungsi dari y)2. Namakanlah x sebagai f 1 (y), sehingga f 1 (y) = f(y)3. Gantilah huruf y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers f 1 (x)ContohTentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut dan gambarkan fungsi tersebut dan inversnya pada satu salib sumbu.

a).

b). Jawab

a.

Langkah (1)

.Langkah (2)

..Langkah (3)

Jadi fungsi invers dari adalah

Gambar 6.14

Pada gambar tampak jelas bahwa grafik merupakan pencerminan dari grafik terhadap garis dan sebaliknya.

b.

Langkah (1)

..Langkah (2)

Langkah (3)

Jadi fungsi invers dari adalah

Gambar 6.15Pada gambar tampak jelas bahwa grafik merupakan pencerminan dari grafik terhadap garis dan sebaliknya.

Contoh

Tentukan fungsi invers dari !Jawab

(langkah 1) .(langkah 2)

.(langkah 2)

Menyelesaikan Soal dengan Matcad1.

Jika diketahui , tentukan nilai Buka software mathcad

Akan muncul halaman awal mathcad berikut

Pilih tombol evaluation toolbars akan muncul Pilih := dan akan muncul Definisikan fungsi sehingga akan munculkemudian enter sehingga pada mathcad muncul tanda + Ketikan disertai = yang ada pada tombol evaluation toolbars kemudian enter sehingga akan muncul

Dengan cara yang sama kita akan mudah menghitung nilai dari

Rangkuman

1. Suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota dari himpunan B2. Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf tunggal, boleh huruf kecil ataupun huruf besar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dan sebagainya.3. Untuk menyatakan bahwa f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan :

4. Nilai fungsi adalah nilai y yang diperoleh dari rumus fungsi jika x diberi suatu harga (nilai).5. Jika f : A B maka dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.6. Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis atau Im(f).7. Fungsi konstan adalah sebuah fungsi yang dirumuskan dengan f(x) = k, dengan k adalah konstanta riil.8. Fungsi Identitas adalah sebuah fungsi yang dirumuskan dengan f(x) = x. Grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik asal (0,0) dengan gradien (tanjakan) =19. Fungsi Polinom adalah sebarang fungsi yang dapat dibangun dari fungsi identitas dengan memakai operasi operasi, penambahan, pengurangan, dan perkalian10. Fungsi Linear adalah fungsi polinom berderajat satu.11. Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat dua.12. Fungsi yang dirumuskan oleh : , disebut fungsi nilai mutlak.13. Fungsi tangga atau fungsi bilangan bulat terbesar adalah fungsi yang dilambangkan dengan f (x) = ||x|| Didefinisikan sebagai : Bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.14. Suatu fungsi yang didefinisikan oleh y = f(x) dikatakan : Fungsi Genap, Jika dipenuhi Fungsi Ganjil, Jika dipenuhi 15.

Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan , selisih , hasil kali skalar , hasil kali , dan hasil bagi masing-masing didefinisikan sebagai berikut:a.

b.

c. d.

e.

16.

Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis , didefinisikan sebagai dengan domain 17. Fungsi f memetakan x pada y, dirumuskan dengan y = f(x), fungsi f1 memetakan y pada x, dirumuskan dengan x = f 1 (y).18. Langkah-langkah menentukan Fungsi Invers adalah sebagai berikut.1. Dari bentuk y = f(x) ubahlah menjadi bentuk x = f(y) (x sebagai fungsi dari y)2. Namakanlah x sebagai f 1 (y), sehingga f 1 (y) = f(y)3. Gantilah huruf y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers f 1 (x)

Limit dan Kekontinuan

Overview

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar perkataan hampir. Seorang pembalap Moto Gp Valentino Rossi yang dijuluki The Doctor memacu motornya dengan kecepatan hampir (mendekati) 150 km/jam di sebuah tikungan. Dalam matematika permasalahan tersebut ditemukan pada pembahasan mengenai limit. Pada bab ini akah dipelajari definisi limit, limit sepihak, teorema-teorema dalam limit, pemecahan soal limit, limit tak hingga, limit di tak hingga, limit fungsi trigonimetri dan kekontinuan fungsi.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami definisi limit2. Mahasiswa memahami konsep limit kiri dan limit kanan3. Mahasiswa memahami teorema-teorema dalam limit4. Mahasiwa memhami pemecahan soal limit5. Mahasiswa memahami limit tak hingga dan limit di takhingga6. Mahasiswa memahami limit fungsi trigonometri7. Mahasiwa memahami konsep kekontinuan suatu fungsi

Definisi Limit Fungsi

Konsep limit merupakan dasar dari kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Perhatikan fungsi yang didefinisikan oleh .Untuk x 4, f(x) dapat ditulis sebagai:

Yang grafiknya adalah seperti di bawah ini.

Dari grafik terlihat, bahwa jika nilai x cukup mendekati 4, maka nilai f(x) akan mendekati 6.

Hal tersebut dapat dilihat pada tabel berikut!

X3.53.89944.0014.0114.14.2

f(x)5.55.9996.0016.0116.16.2

Sehingga secara intuisi, limit di satu titik dapat didefinisikan sebagai berikut : Misal f(x) terdefinisi pada interval I yang memuat c, dan tidak terdefinisi di c, nilai f(x) akan mendekati L, bila x mendekati c.

Limit SepihakMisalkan f(x) adalah fungsi yang terdefinisikan pada suatu interval buka (a, b), yang memuat titik c, dan tidak terdefinisi di c, maka : Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan, Nilai f(x) mendekati L. Notasi disebut limit kanan

Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan, Nilai f(x) mendekati G. Notasi disebut limit kanan

Dari definisi limit kiri dan limit kanan di atas, diperoleh suatu teorema sebagai berikut:

Teorema-Teorema dalam LimitSifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit.1.

, 2.

Jika dan keduanya ada dan maka berlaku pernyataan-pernyataan berikut:1 2

3

4

, asalkan 5 Untuk :

(a).

(b)., asalkan

(c). , asalkan untuk n genap Pemecahan Soal LimitUntukl menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa cara. di antaranya adalah sebagai berikut.1. Substitusi langsung2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar)3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)ContohHitunglah nilai limit berikut ini!(Subtitusi Langsung)a.

b.

c.

d.

Jawaba.

b.

c.

d.

ContohHitunglah nilai limit berikut ini!(Pemfaktoran)a.

b.

c.

Jawaba. . Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.

b. . Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.

c. . Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.

ContohHitunglah nilai limit berikut ini!(Perasionalan Akar)a.

b. Jawaba.

. Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara perasionalan akar sebagai berikut.

b. . Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara perasionalan akar sebagai berikut.

Contoh

Diketahui fungsi berikut: . Tentukanlah:a.

b.

Jawaba.

Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang digunakan adalah sedangkan untuk x menuju -1 dari kanan aturan fungsi yang digunakan adalah . Oleh karena itu, untuk mencari digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan)

b.

Perhatikan untuk x menuju 2dari kiri aturan fungsi yang digunakan adalah sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan aturan fungsi yang digunakan adalah . Oleh karena itu, untuk mencari digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan)

Limit Takhingga

Sebelum membahas mengenai limit takhingga perhatikan masalah perhitungan . Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada tabel berikut ini.x

x

11- 11

0,54- 0,54

0,0110.000- 0,0110.000

0,0001100.000.000- 0,0001100.000.000

0,00000540.000.000.000- 0,00000540.000.000.000

Dari Tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai menjadi semakin besar. Bahkan nilai akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi dapat dilihat pada gambar berikut

Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:a.

jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif.b.

jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.Contoh

Diketahui beserta grafiknya. Tentukan:a.

b.

c.

Jawaba.

Perhatikan grafik ! Jika maka

b.

Perhatikan grafik ! Jika maka

c.

ContohHitunglah limit berikut ini!a.

b.

c.

d.

e.

f. Jawaba.

b.

c.

d.

e.

f.

Limit di Tak Hingga

Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan pengertian limit untuk , dengan c suatu bilangan berhingga. Lalu bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar. Untuk memahami permasalahan tersebut perhatikan bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar. Perhatikan tabel berikut!

x

100,1

1.000.0000,000001

5.000.0000,0000002

100.000.0000,00000001

Pada tabel di atas terlihat jelas bahwa semakin besar nilai x (arah positif) nilai semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:

Bagaimana jika x semakin besar tak terbatas (arah negatif). Perhatikan tabel berikut ini! x

- 1 - 1

- 1.000.000- 0,000001

- 5.000.000- 0,0000002

- 100.000.000- 0,00000001

Pada tabel di atas terlihat jelas bahwa semakin besar nilai x (arah negatif) nilai semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:

Dari penjelasan tersebut diperoleh pengertian limit menuju tak hingga sabagai berikut.a.

jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka mendekati L.b.

jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka mendekati L.ContohHitunglah limit berikut ini!a.

b.

c. d. e. f. g. Jawaba. b. . Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:

c. Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya, yaitu sehingga diperoleh:

d. Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya, yaitu sehingga diperoleh:

e. Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:

f.

g.

Limit Fungsi TrigonometriBeberapa rumus limit fungsi trigonometri di antaranya adalah sebagai berikut:(i) (ii) ContohHitung !Jawab

untuk berakibat dan , sehingga:

Kekontinuan FungsiFungsi kontinu di jika memenuhi syarat-syarat berikut ini:1. f(a) ada atau terdefinisikan,2. ada3. Jika minimal salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di .

af tidak ada tidak kontinu di

a tidak kontinu di f

af tidak kontinu di

fa kontinu di

ContohPeriksa apakah fungsi berikut kontinu di , jika tidak sebutkan alasannya!a. b. c. Jawaba. tidak terdefinisi (ada) . tidak kontinu di b. (ada) tidak kontinu di c. (ada) kontinu di

ContohDiketahui fungsi . Selidiki apakah kontinu di a. b. Jawaba. kontinu di b. tidak kontinu di

ContohDiketahui fungsi . Tentukan nilai a agar kontinu !Jawab Jadi agar kontinu di maka , sehingga diperoleh ContohDiketahui fungsi . Tentukan nilai a dan b agar kontinu!JawabPerhatikan batas fungsi adalah maka :

Eliminasi * dan **

Jadi

Menyelesaikan Soal Limit dengan MathCadHitunglah llimit berikut ini!a.

b.

c. Solusi Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut

Pilih tombol calculus toolbars sehingga muncul.

Tekan tombol atau tekan [ctrl] L untuk memunculkan

operator limit Untuk memperoleh operator limit kiri dan kanan tekan tombol atau . Operator limit kiri dan kanan juga bias dimunculkan dengan menekan [Ctrl][Shift] B dan [Ctrl][Shift] A Masukan ekspresi sesuai dengan soal

Untuk mendapatkan hasil, tekan tombol evaluation toolbar , pilih tombol kemudian Enter