kalkulus bab3

download kalkulus bab3

of 15

  • date post

    28-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    32
  • download

    0

Embed Size (px)

description

kalkulus

Transcript of kalkulus bab3

  • 1

    BAB I

    PENDAHULUAN

    A. Latar Belakang

    Kalkulus Lanjut (Advanced Calculuc) merupakan mata kuliah lanjutan dari

    Kalkulus I yang telah dipelajari pada semester sebelumnya. Proses perkuliahan di

    kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup dan banyak mahasiswa yang

    malas masuk kuliah. Sehingga mahasiswa sangat di tuntut untuk memiliki

    keterampilan di dalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan

    demikian mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun aktif mencari

    bahan materi yang akan di pelajari.

    Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau melakukan

    diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah bisa lebih

    menjadi maksimal. Insya Allah...

    B. Rumusan Masalah

    Bagaimanakah cara menyelesaikan turunan parsial fungsi secara implisit ?

    C. Tujuan

    Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit;

    D. Manfaat

    Dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel

    atau lebih;

  • 2

    BAB II

    PEMBAHASAN

    Turunan Parsial Fungsi Implisit

    Penurunan Secara Implisit

    Penurunan secara implisit secara tidak langsung telah di bahas dalam

    kalkulus. Salah satu manfaat dari aturan rantai adalah untuk menentukan turunan

    fungsi yang didefinisikan secara implisit. Misalkan y fungsi dari x yang didefinisikan

    secara implisit, dan diberikan oleh persamaan, F(x,y) = 0. Karena y fungsi dari,

    maka dengan aturan rantai dihasilkan,

    +

    = 0

    Karena, dxdx = 1, maka dihasilkan rumus :

    = -

    Dengan cara yang sama, misalkan x fungsi dari y yang didefinisikan secara implisit,

    dan diberikan oleh persamaan F(x,y) = 0, maka dihasilkan rumus :

    Contoh 1

    Bila y fungsi dari x yang didefinisikan oleh, 3xy2 + 3y3 = x3, hitunglah

    dy(dx.)

    Penyelesaian :

    Andaikan, F(x,y) = 3xy2 + 3y3 - x3 , dengan menurunkan F secara parsial

    terhadap x dan y dihasilkan :

    = 3y2 3x2 = 3(y2 x2) = 3(y + x)(y x)

    = 6xy + 6y2 = 6y(x + y)

    Jadi,

    = -

    = -

    =

    = -

  • 3

    Contoh 2

    Bila x fungsi dari y yang didefinisikan oleh, arc tan (xy) = ln (x2 + y2),

    hitunglah dxdy.

    Penyelesaian :

    Andaikan, F(x,y) = arc tan (xy) - ln (x2 + y2), dengan menurunkan F secara

    parsial terhadap x dan y dihasilkan :

    =

    =

    Jadi,

    Dari rumus penurunan secara implisit di atas, dapat dikembangkan untuk

    menentukan turunan-turunan parsial fungsi n variabel. Misalakan z adalah fungsi

    dari x dan y yang didefinisikan secara implisit, diberikan oleh persamaan F (x, y, z) =

    0. Dengan menurunkan secara parsial F terhadap x dengan asumsi y konstan dengan

    aturan rantai dihasilkan :

    +

    +

    = 0

    Karena y konstan, maka y/x = 0, dan mengingat dx/dx = 1, sehingga dihasilkan

    rumus,

    Dengan cara yang sama, dan jika di asumsikan y konstan dengan menurunkan

    secara parsial F terhadap y dengan asumsi x konstan, dengan aturan rantai

    dihasilkan:

    +

    +

    = 0

  • 4

    Karena x konstan, maka x/y = 0, dan mengingat dy/dy = 1, sehingga dihasilkan

    rumus,

    Contoh 3

    Tentukanlah,

    dan

    dari, x2 y + y3 z = 2xz4

    Penyelesaian :

    Andaikan, F (x, y, z) = x2 y + y3 z - 2xz4 . dengan menurunkan secara parsial F terhadap x,

    y dan z

    dihasilkan:

    = 2xy 2z4

    = x2 + 3y2z

    = y3 8xz3

    Jadi,

    = -

    =

    = -

    =

    .

    Adapun turunan fungsi untuk dua variabel atau lebih, yaitu :

    1. Turunan fungsi implisit dua variabel

    Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Andaikan F(x,y)=0,

    dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa dicari

    atau

    asalkan

    y

    Fx

    F

    dx

    dy

  • 5

    Contoh:

    Diketahui x3 + y2 x- 3= 0 tentukan

    ..!

    Jawab:

    x3 + y2 x- 3)=

    3x2 + 2xy

    + y2 = 0

    2xy

    = - 3x2 - y2

    (- 3x2 - y2) / 2xy

    - (3x2+ y2)/2xy

    2. Turunan fungsi implisit tiga variabel

    Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel

    sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka

    Contoh:

    Tentukan

    dari fungsi implisit xy z2 + 2xyz = 0

    Jawab:

    a.

    (xy z2 + 2xyz) =

    c.

    (xy z2 + 2xyz) =

    = 2xy 2z

    y+ 2yz

    b.

    (xy z2 + 2xyz) =

    = x + 2xz

    Jadi

    ),,(

    ),,(

    zyxF

    zyxF

    x

    z

    z

    x

    ),,(

    ),,(

    zyxF

    zyxF

    y

    z

    z

    y

  • 6

    Contoh:

    Misalkan f(x,y,z) = x3 ey+z ysin (x-z)=0 maka tentukan

    Jawab:

    (x3 ey+z ysin (x-z))=

    = 3x2 ey+z ycos (x-z)

    (x3 ey+z ysin (x-z))=

    = x3 ey+z + ycos (x-z)

    Jadi

    (3x2 ey+z ycos (x-z))/ x3 ey+z + ycos (x-z)

    3. Turunan fungsi implisit empat variabel

    Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel

    sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi,

    maka

    Contoh:

    Tentukan

    dari fungsi implisit 2x2w + 3y2z + zwyx + w2 = 0

    Jawab:

    (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)=

    =

    (2x2w + 3y2z + zwyx + w2) =

    ),,,(

    ),,,(

    wzyxF

    wzyxF

    x

    w

    w

    x

    ),,,(

    ),,,(

    wzyxF

    wzyxF

    y

    w

    w

    y

    ),,,(

    ),,,(

    wzyxF

    wzyxF

    z

    w

    w

    z

  • 7

    (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)=

    = 3y2 + wyx

    (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)=

    = 2x2 + zyx +2w

    Jadi:

    = / 2x2 + zyx +2w

    = / 2x2 + zyx +2w

    = - ( 3y2 + wyx)/2x2 + zyx +2w

    Pendiferensialan Implisit

    Jika kita dihadapkan dengan fungsi

    y3 + 5y = x3.

    Tentu kita akan sulit untuk menggambarkan grafiknya. Tetapi ketika kita ingin

    mencari gradien/kemiringan garis singgungdi suatu titik pada kurva, kita akan

    kebingungan. Masalahnya, kita harus mencari turunan dari fungsi tersebut.

    Hal baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan

    yang secara gamblang (eksplisit) tidak terselesaikan untuk y. Apakah mungkin

    untuk mencari dy/dx dalam keadaan seperti ini?

    Ya, diferensialkan kedua ruas persamaan

    y3 + 5y = 3

    terhadap x, dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan ini, kita anggap

    bahwa persamaan yang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsi

    x (hanya saja kita tidak tahu bagaimana mencarinya secara eksplisit). Jadi,

    setelah memakai aturan rantai pada suku pertama, kita peroleh :

  • 8

    Yang terakhir dapat diselesaikan untuk dy/dx sebagai berikut :

    Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk suatu kenyataan

    yang sering menyusahkan. Tetapi, jika kita hanya ingin mencari kemiringan

    pada sebuah titik di mana koordinatnya diketahui tidaklah sulit. Di (1,2)

    =

    .

    Jadi, kemiringannya adalah 3/17.

    Metode yang baru saja digambarkan untuk mencari tanpa terlebih

    dahulu menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk secara gamblang

    dalam bentuk disebut Pendiferensialan Implisit. Tetapi apakah metode

    tersebut dapat memberikan jawaban yang benar?

    Contoh.

    Carilah jika 3 !

    Penyelesaian :

    Cara 1 : Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan secara gamblang

    untuk sebagai berikut.

    Jadi,

    Cara 2 : (Pendiferensialan Implisit).

    Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari :

    3

  • 9

    Setelah memakai Aturan Hasilkali pada suku pertama, kita dapatkan

    Walaupun jawaban ini kelihatan berlainan dari jawab yang diperoleh

    terdahulu, tetapi keduanya sama. Untuk melihat ini, gantikan

    dalam

    ungkapan untuk dy/dx yang baru saja diperoleh.

    Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi y = f(x) dan

    fungsi ini terdiferensialkan, maka metode pendiferensialan implisit akan

    menghasilkan sebuah ungkapan yang benar untuk dy/dx. Terdapat dua hal

    besar dalam pernyataan ini.

    Pertama perhatikan persamaan

    Ia tidak mempunyai penyelesaian, karena itu tidak menentukan suatu fungsi.

    Sebaliknya,

    menentukan fungsi-fungsi y = f(x) = , dan fungsi y = g(x) =

    - . Grafik-grafik tersebut diperlihatkan dalam gambar berikut:

  • 10

    Untungnya, kedua fungsi ini terdiferensialkan pada (-5,5). Pertama perhatikan

    f, ia memenuhi :

    x2 + [f (x)]2 = 25

    Bilamana kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan un f `(x), kita

    peroleh:

    2x + 2f(x) f(x) = 0

    f(x) =

    perlakuan serupa secara lengkap terhadap g(x) menghasilkan :

    g(x) =

    Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempak

    dengan pendiferensialan secara implisit dari Ini memberikan

    2x + 2y

    = 0

    Secara wajar, hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.

    Pehatikan bahwa adalah cukup untuk mengetahui dy/dx = -x/y agar dapat

    m