PERANAN INTEGRAL DALAM DUNIA TEKNIK DAN EKONOMI

Pengaplikasian integral pada dunia nyata terbilang tidak sedikit, integral banyak digunakan seperti pada perhitungan menentukan volume air dan perubahan konsentrasi hasil suatu reaksi kimia pada waktu tertentu, juga bisa digunakan untuk menghitung laju pertumbhan suatu populasi. Sebelum kita masuk kedalam topik hari ini ada baiknya, kita terlebih dulu untuk mengenal apa itu integral.

A. Pengertian Integral

Kita mulai dari pengertian integral disini ada dua pengetian, yang pertama pengertian secara bahasa dan kedua pengertian secara matematis.

1. Integral Secara Bahasa

Pengertian integral menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah mengenai sesuatu yang meliputi seluruh bagian yang perlu untuk menjadikan lengkap; utuh; bulat; sempurna. (Depdikbud, 1990)

2. Integral Secara Matematis

Perhatikan pernyataan berikut :

F1(x) = x2 + 5x – 6 maka F1’(x) = 2x + 5

F2(x) = x2 + 5x + 12 maka F2’(x) = 2x + 5

F3(x) = x2 + 5x – maka F3’(x) = 2x + 5

Pada fungsi-fungsi yang berbeda konstanta diperoleh dari bentuk turunan/ derivatif yang sama.

Operasi dari F(x) menjadi F’(x) merupakan operasi turunan. Sedangkan untuk operasi sebaliknya dari F’(x) ke F(x) disebut operasi Integral. Jadi, secara sederhana dapat di katakan bahwa integral merupakan kebalikan dari differensial atau anti turunan.

( turunanturunanY Y’ Y” integralintegral)

Secara umum :

Jika y’ = atau dy = y’ dx maka

Operasi integral adalah menghilangkan tanda ‘ (aksen) dan dari 3 pernyataan di atas, nampak bahwa: dari F’(x) ke F(x) yang berdeda adalah nilai konsannta akhir ( -6, 12, - ).

Untuk y = F(x) + C maka y’ = F’(x) dan dapat dituliskan. (Anonim, 2012)

B. Macam-Macam Integral

Berdasarkan batas, pernyataan integral dibedakan atas:

a. Integral tak tentu

Integral tak tentu adalah integral tanpa disertai batas integrasi, dapat ditulis:

b. Integral tertentu

(ba) ()Integral tertentu adalah integral yang disertai batas integrasi, dapat ditulis: = F(b) – F(a) (Purcell, 1996)

C. Sifat Integral

Dalam pengoprasiannya integral memiliki sifat-sifat, yaitu : (Sulistiono, 2007)

1.

2.

3.

4.

D. Pengaplikasian Integral

Dalam pengaplikasian integral, disini saya akan membahas mengenai peranan integral di dunia teknik. Penggunaan integral sangat membantu dan mempermudah dalam perhitungan.

a. Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington

Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1 Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam. Untuk membangunnya kembali membutuhkan perhitungan yang tepat, agar tidak terjadi bencana yang sama.

Robohnya jembatan tersebut karena putusnya tali baja yang mengikat jembatan agar tidak roboh. Disini diperlukan seorang ahli teknik sipil agar tali dan luas daerah jembatan untuk menghubungkannya kembali. Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

· Penerapannya

Untuk penerapannya sang ahli teknik sipil menggunakan prinsip integral tertentu, Secara geometri dari bentuk jembatan seperti itu didefinisikan sebagai integral yang dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

Sebagai contohnya kita bisa misalkan talinya yang seperti kurva sebagai kurva

y = x2 yang dibatasi jembatan sebagai sumbu x, dan tiang jenmbatannya sebagai sumbu y, dimisalkan dibatasi oleh garis x=3. Sehingga dapat dilukskan pada gambar dibawah ini.

Dengan mengikuti langkah pokok dalam perhitungan luas daerah integral, di dapat persamaan integralnya , kemudian dihitung nilainya.

Jadi, dengan menggunakan oprasi integral dapat mempermudah perhitungan luas daerah yang ingin diketahui meskipun bentuknya tidak geometris.

Penggunaan integral yang lain adalah pada perhitungan volume benda putar, seperti pada bola lampu. Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar.

E. Menghitung Volume Benda putar

· Kurva y = f(x) diputar 3600 terhadap sumbu x, batas x, sumbu putar x. Dapat dirumuskan sebagai berikut:

· Kurva x = f(y) diputar 3600 terhadap sumbu y, batas y, sumbu putar y. Dapat dirumuskan sebagai berikut:

(Bintang, 2011)

F. Integral dalam Dunia Ekonomi

Dalam bidang ekonomi integral digunakan dalam perhitungan yang berkaitan dengan surplus konsumen dan surplus produsen.

a. Contoh pengaplikasiannya

Pada kondisi ekuilibrium QS=QD=QE atau PS=PD=PE, Misalnya supplier dan petani

· Jumlah yang ditawarkan QF & haraga yang diterima PF

· Jadi, fungsi penawarannya dapat ditulskan sebagai berikut PF = b + βQF

· Haraga yang diterima petani tergantung pada jumlah yang ditawarkan (inverse supply), karena biasanya jumlah yang diproduksi tidak fleksible, sangat tergantung dengan musim misalnya, Di samping itu, produk tidak bisa ditahan ketika harga jatuh karena bersifat perishable.

· Sedangkan pada pembeli dan pedagang, jumlah yang diminta di simbolkan segabai QR & harga yang diterima PR. Sehingga fungsi permintaannya adalah QR = a - αPR

b. Kondisi Keseimbangan

· QS = QD = Q atau PS = PD = P

· PF = b + βQF QF = (PF-b)/β

· QS = QD

· a – αP = (P-b)/β

· β(a – αP) = P-b βa – βaP = P – b

· Ba+b = P+βαP Ba+b = (1+βα)P

· P = Ba+b / (1+βα)

· Q = a – αP atau Q = (P-b)/β

· Q = a – αP Q = a – α (Ba+b / (1+βα))

c. Dari contoh tersebut diketahui jumlah dan harga kesimbangan: (Chiang, 2006)

d. Grafik Hasil Perhitungan contoh

Dengan menggunakan integral grafik tersebut dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut: (Chiang, 2006)

Perlu di ingat aturan mengenai penggunaan Integral, terutama mengenai aturan penambahan dan pengurangan dan aturan eksponensial

· Aturan Penambahan/ Penguranagan

· Aturan eksponensial

(Purcell, 1996)

Daftar Pustaka :

Anonim. 2012. Buku Teori: Step By Step. Surabaya: SSC.

Bintang, E. W. 2011. Matematika XII SMA Program IPA. Surakarta: Suara Media Sejahtera.

Chiang, Alpha C. 2006. Dasar – Dasar Matematika Ekonomi Edisi 4. Jakarta: Erlangga.

Departemen Pendidikan dan Kedudayaan. 1990. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai Pustaka.

Purcell, Edwin J. 1996. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Sudiana, Agus. Ppt Penggunaan Integral

www. mathdemos.gcsu.edu

Disusun Oleh:

Disusun untuk memenuhi tugas akhir Matematika Industri pada semester 1

Andu Rijal Muttaqin

125100301111034/ Kelas P

TIP/ FTP/ Universitas Brawijaya Malang 2012

7

Peranan Integral dalam Dunia Teknik dan Ekonomi | Andu Rijal M (125100301111034)/ Universitas Brawijaya Malang

i

n

i

i

n

b

a

x

x

f

dx

x

f

L

D

=

=

å

ò

=

¥

®

1

)

(

)

(

lim

ò

=

a

dx

x

f

0

)

(

L

[

]

9

0

3

3

3

0

3

3

3

L

=

-

=

=

x

dx

x

ò

=

3

0

2

L