Integral

Integral

Integral adalah proses kebalikan dari diferensial.Apabila pada diferensial kita mulai dengan fungsi dan memproses menemukan koefisien diferensialnya, pada integral kita mulai dengan koefisien diferensial dan kemudian menentukan fungsi awalnya.

Integral-integral Baku

1. xn dx = xn+1 + C {asalkan n≠ -1} n+1

2. dx = ln x + C

3. ex dx = ex + C

4. ekx dx = ekx + C k

5. ax dx = ax + C ln a

x1

Integral-integral Baku

6. sin x dx = -cos x + C

7. cos x dx = sin x + C

8. sec2x dx = tan x + C

9. sinh x dx = cosh x + C

10. cosh x dx = sinh x + C

Integral-integral Baku

11. √(1–x2) dx = sin-1x + C

12. √(1–x2) dx = cos-1x + C

13. 1+x2 dx = tan-1x + C

1 .

- 1 .

1 .

Integral-integral Baku

14. √(x2+1) dx = sinh-1x + C

15. √(x2–1) dx = cosh-1x + C

16. (1–x2) dx = tanh-1x + C 1 .

1 .

1 .

Latihan 1

1. e5x dx = ...

2. x7 dx = ...

3. √x dx = ...

4. sin x dx = ...

5. 2 sinh x dx = ...

6. dx = ...x 5 .

7. √(1–x2) dx = ...

8. 5x dx = ...

9. √(x2–1) dx = ...

10. 1+x2 dx = ...

1 .

1 .

1 .

Fungsi dari suatu fungsi linear dalam x

Misal diberikan persamaan sebagai berikut:

Bagaimana kita dapat menyelesaikannya?

x6 dx = x7 + C

(5x–4)6 dx = (5x–4)7 + C 35

cos x dx = sin x + C cos (2x+5) dx = sin (2x+5) + C

2 dx = ln x + C

2x+3 dx = ln (2x+3) + C 2

ex dx = ex + C e4x dx = e4x + C

4

1 .7

1 .x

1 .

Fungsi dari suatu fungsi linear dalam x

Latihan 2

1. (2x–7)3 dx

2. cos (7x+2) dx

3. e5x+4 dx

4. sinh 7x dx

5. 4x+3 dx

6. 1+(2x)2 dx

7. sec2(3x+1) dx

8. sin (2x–5) dx

9. cosh (1+4x) dx

10. 35x dx 1 .

1 .

Integrasi Parsial

Contoh

Latihan 3

1

2

3

4

Integral dalam bentuk f’(x) dan f’(x)∙f(x)

f(x)

Contoh: (2x+3) dx = ln (x2+3x–5) + C

(x2+3x–5)

3x2 dx = ln (x3–4) + C (x3–4)

f’(x) dx = ln {f(x)}

+C f(x)

Integral dalam bentuk f’(x) dan f’(x)∙f(x)

f(x)

Contoh lain: cot x dx = cos x dx = ln sin x + C

sin x

tan x dx = sin x dx = (-sin x) cos x cos x

= – ln cos x + C

4x–8 dx = 2 2x–4 dx x2–4x+5 x2–4x+5

= 2 ln (x2–4x+5) + C

-

Integral dalam bentuk f’(x) dan f’(x)∙f(x)

f(x)

Contoh: tan x ∙ sec2 x dx = tan x ∙ d(tan x)

= tan2 x + C2

ln x dx = ln x∙1dx= ln x ∙ d(ln x) x x

= (ln x)2 + C2

f’(x)∙f(x) dx = ½ {f(x)}2

+C

Latihan 41. sec2x dx = ...

tan x

2. 2x+4 dx = ... x2+4x–1

3. sinh x dx = ... cosh x

4. 2x–6 dx = ... x2–6x+2

5. (x2+7x – 4)(2x+7) dx = ...

uv = u dv dx + v du dx dx dx

Integrasi suatu perkalian

d (uv) = u dv + v du dx dx dx u dv dx = uv – v du dx dx dx

u dv = uv – v du

Prioritas u:•ln x•xn

•ekx

Latihan 5

1. x ln x dx = ...

2. x3 e2x dx = ...