www.pintarmatematika.web.id - 1

INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu 1. Rumus Integral Fungsi Aljabar

1. ∫ k x n dx = 1+n

k x 1+n + c ; n ≠ -1

2. ∫ + nbax )( dx =)1(

1

+na (ax+b) 1+n + c ; a≠ 0 dan

n ≠ -1

3. ∫ x

1dx = ln|x| + c

4. ∫ ± ))()(( dxxgdxxf = ∫ dxxf )( ± ∫ dxxg )(

2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri 1. ∫ xsin dx = - cos x dx + c

2. ∫ xcos dx = sin x dx + c

3. ∫ xtan dx =∫ x

x

cos

sindx =∫

−

x

xdx

d

cos

cosdx

= - ln |cos x| + c

4. ∫ ctgx dx =∫ x

x

sin

cosdx =∫ x

xdx

d

sin

sin dx = ln |sin x| + c

5. ∫ + )sin( bax dx = - a

1cos (ax+b) + c

6. ∫ + )cos( bax dx = a

1sin (ax+b) + c

7. ∫ + )tan( bax dx = - a

1 ln|cos(ax+b)| + c

8. ∫ + )( baxctg dx = a

1 ln|sin(ax+b)| + c

9. ∫nsin (ax+b) cos(ax+b) dx =

)1(

1

+nasin 1+n (ax+b) +c

10. ∫

ncos (ax+b)sin(ax+b) dx =)1(

1

+nacos 1+n (ax+b) +c

11.∫ axsin2 cos bx dx = xba

∫+2

)(sin dx +∫

−x

ba

2

)(sin dx

12. ∫2sec x dx = tan x + c

13. ∫2sec (ax+b)dx =

a

1tan (ax+b)+ c

14. ∫2secc x dx = - ctg x + c

15. ∫2secc (ax+b)dx = -

a

1ctg (ax+b)+ c

16. ∫ xtan secx dx = sec x + c

17. ∫ xc tan csecx dx = -csec x + c

3. Integral Parsial ∫u dv = uv - ∫v du

Didapat dari : y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x) y’ = u’ v + u v’ = v u’ + u v’

dx

dy= v.

dx

du + u .

dx

dv (dikalikan dx)

dy = v du + u dv d (u.v) = v du + u dv

∫ ).( vud = ∫v du + ∫u dv

u.v = ∫v du + ∫u dv

∫u dv = uv - ∫v du

www.pintarmatematika.web.id - 2

B. Integral Tertentu

∫b

a

xf )( dx = F(x)b

a| = F(b) – F(a)

1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu- sumbu Koordinat Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x =g(y), sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat dibedakan sbb a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)

L = ∫b

a

xf )( dx

b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)

L = - ∫b

a

xf )( dx = ∫a

b

xf )( dx

c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas sumbu x)

L = - ∫c

a

xf )( dx + ∫b

c

xf )( dx

= ∫a

c

xf )( dx + ∫b

c

xf )( dx

d. jika g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)

L = ∫b

a

yg )( dy

www.pintarmatematika.web.id - 3

e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y)

L = -∫b

a

yg )( dy = ∫a

b

yg )( dy

f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya berada sebelah kanan sumbu y)

i

L = -∫c

a

yg )( dy + ∫b

c

yg )( dy

= ∫a

c

yg )( dy + ∫b

c

yg )( dy

2. Luas Daerah Antara Dua Kurva a. Di atas sumbu x

L = ∫b

a

y2 dx - ∫b

a

y1dx = ∫ −b

a

yy )12( dx

b. Di bawah sumbu x

L = - ∫b

a

y2dx - { - ∫b

a

y1dx } = ∫b

a

y1dx - ∫b

a

y2 dx

= ∫ −b

a

yy )21( dx

www.pintarmatematika.web.id - 4

c. Di sebelah kanan sumbu y

L = ∫b

a

x2dy - ∫b

a

x1dy = ∫ −b

a

xx )12( dy

3. Volume Benda Putar a. Diputar terhadap sumbu x maka,

V= π dxyb

a∫

2

b. Diputar terhadap sumbu y maka,

V= π dyxb

a∫

2

www.pintarmatematika.web.id - 5

Contoh Soal:

UN2010 – UN2012

UN2010

1. Nilai dari dxxx∫−

+3

1

)43(2 = ….

A. 88 C. 56 E. 46

B. 84 D. 48

Jawab:

dxxx∫−

+3

1

)43(2 = dxxx∫−

+3

1

2 )86( = 2x3

+ 4x2

3

1|

−

= 2 (27-(-1)) + 4 (9-1)

= 56 + 32 = 88

Jawabannya adalah A

UN2010

2. Hasil dari ∫ =

−

− dxxx ππ2

1cos

2

1sin = ….

A. –2 cos (x – 2π) + C D. cos (x – 2π) + C

B. -2

1 cos (x – 2π) + C E. 2 cos (x – 2π) + C

C. 2

1 cos (x – 2π) + C

Jawab:

sin 2A = 2 sin A cosA � sin A cosA = 2

1 sin 2A

∫

−

− dxxx ππ2

1cos

2

1sin = ∫

− dxx π2

12sin

2

1

= ( )∫ − dxx π2sin2

1 = )2cos(

2

1 π−− x +C

Jawabannya adalah B

UN2010

3. ( )∫ =π

2

1

0

cossin2 dxxx …

A. –1 C. 2

1 E. 1

B. - 32

1 D. 3

2

1

Jawab:

sin 2A = 2 sin A cosA

( )∫ =π

2

1

0

cossin2 dxxx ( )∫ =π

2

1

0

2sin dxx

π2

1

0|2cos

2

1x−

= }0cos2

1.2{cos

2

1 −− π

= }0cos{cos2

1 −− π = =−−− }11{2

1 =−− }2{2

1 1

Jawabannya adalah E

UN2010

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 - x2

, y = 3x,

sumbu Y, dan x = 2 adalah ….

A. 6 Satuan luas D. 33

1 Satuan luas

B. 5 3

113 Satuan luas E. 2

3

2satuan luas

C. 5 Satuan luas

Jawab:

Buat grafiknya dengan memasukkan nilai x dan y :

Kurva y = 4 - x2

Jika x = 0 � y = 4

x = 1 � y = 4 -1 = 3

dst

www.pintarmatematika.web.id - 6

kurva y = 3x

jika x = 0 � y = 0

x = 1 � y = 3

dst

Titk potong kurva y=4-x2

dengan garis y=3x

4-x2

= 3x

x2

+3x – 4 = 0

(x + 4) (x - 1)= 0

x = -4 atau x = 1

pada gambar terlihat titik potong yang masuk dalam

perhitungan adalah di x = 1

L = L I + L II

L I = dxxx }3)4{(1

0

2 −−∫ = 4x-1

0

23 |2

3

3

1xx − = 4.1 -

1.2

31.

3

1 − = 4 - 2

3

3

1 − = 6

9224 −−=

6

13

L II = dxxx })4(3{2

1

2∫ −− =

2

1

32 |3

14

2

3xxx +− =

)18(3

1)12(4)14(

2

3 −+−−−

= )7(3

1)1(4)3(

2

3 +− = 6

142427 +−=

6

17

L = L I + L II = 6

13+

6

17 =

6

30= 5 satuan luas

Jawabannya adalah C

UN2010

5. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

oleh kurva y=x2

, garis y=2x di kuadran I diputar 3600

terhadap sumbu X adalah ….

A. 15

20 π Satuan volume D. 15

64 π Satuan volume

B. 15

30 π Satuan volume E. 15

144π Satuan volume

C. 15

54 π Satuan volume

Jawab:

Titik potongnya:

x2

= 2x

x2

- 2x = 0

x(x-2) = 0

x = 0 atau x =2

Volume = π ∫ −2

0

21

22 )( dxyy

= π ∫ −2

0

222 ))()2( dxxx = π ∫ −2

0

42 )4( dxxx

= π (53

5

1

3

4xx − )

2

0|

www.pintarmatematika.web.id - 7

= π (53 2

5

12

3

4 − )=π ( 325

18

3

4 − )=π (5

32

3

32 − )

= π15

96160− = π

15

64

Jawabannya adalah D

UN2011

6. Hasil � ���� � 6� � 8� ��� ......

A. � B.

�� C.

��

D. �� E.

�

Jawab:

����� � 6� � 8��

�

� � � � � 3�� � 8�|��

= � � �4 � 2 � 3�4� � 2� � 8�4 � 2

= � � �64 � 8 � 3�16 � 4 � 8�2

= � �� + 36 – 16 =

���������� =

�

Jawabannya adalah E

UN2011

7. Hasil � �sin 3� � cos �� �!� ......

A. �� B.

� C.

� D.

�

E. �� Jawab: Integral

� �sin 3� � cos �� �!� -� cos 3x + sin x|�!

= -� (cos 3π – cos 00 ) + (sin π – sin 0

0)

= -� (-1 – 1 ) + (0 – 0)

= �

Jawabannya adalah D

UN2011

8. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 , y = -x + 2,

dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah....

A. � satuan luas C. �� satuan luas E.

�� satuan luas

B. �� satuan luas D.

�� satuan luas

Jawab:

y = 4 – x2 , y = -x + 2, dan 0 ≤ x ≤ 2

titik potong � 4 – x2 = -x + 2

x2-x – 2 = 0

(x – 2 )(x +1) = 0

x = 2 atau x = -1

x = -1 untuk perhitungan tidak berlaku karena

syarat 0 ≤ x ≤ 2 sehingga batas atas adalah 2 dan batas

bawah = 0 posisi atas adalah y = 4 – x2 dan bawah adalah y = -x + 2

maka Luasnya adalah = � "�4 � �� � ��� � 2#���

= � �2 � �� � ����

= 2x - � � +

����|��

= 2. 2 - � . 2 +

�� . 2 = 4 -

� + 1

= �����

= �� satuan luas

Jawabannya adalah B

www.pintarmatematika.web.id - 8

UN2011

9. Hasil dari � $%&� 2x sin 2x dx = ....

A. � ��� &'(�2� � ) D. �� $%&�2� � )

B. � ��� $%&�2� � ) E. ��� &'(�2� � )

C. � �� $%&�2� � )

Jawab: misal: u = cos 2x du = - 2 sin 2x dx

� $%&� 2x sin 2x dx =� �� �*� dx = � �

� . �� *�

= � ���. *� + C

= � ���. $%&�2� + C

Jawabannya adalah B

UN2011

10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = 2x di kuadran I diputar 3600 terhadap sumbu X adalah.....

A. ���� π satuan volume D. ���� π satuan volume

B. ��� π satuan volume E.

����� π satuan volume

C. ���� π satuan volume

Jawab:

y1 = x2 ; y2 = 2x � diputar terhadap sumbu x titik potong � y1 = y2 x2 = 2x x2 – 2x = 0 x(x -2) = 0 x = 0 atau x = 2 Volume benda putar diputar terhadap sumbu x :

V= π dxyb

a∫

2

V= π dxyy∫ −2

0

21

22 )(

= π dxxx∫ −2

0

222 )()2((

= π dxxx∫ −2

0

42 )4(

= π (� � - �� ��) |��

= π (� 2 - �� 2�) = π (

� -

�� )

= π (����+�

�� ) =

���� π satuan volume

Jawabannya adalah D

www.pintarmatematika.web.id - 9

UN2011

11. Hasil � �,� √ ,.�+,��� =....

A. 2 √3�� + 9� − 1 + )

B. �

√3�� + 9� − 1 + )

C. �

√3�� + 9� − 1 + )

D. �

� √3�� + 9� − 1 + )

E.

� √3�� + 9� − 1 + )

Jawab: misal: u = 3x2 + 9x – 1 du = (6x + 9) dx

du = 3 (2x+3) dx � �

du =(2x+3) dx

��,�

√ ,.�+,��� = �

�

01

√1 = �

�*�

2. du

= �

.

�

��(�2.) *��

2. + C

= �

.2 √* + C =

�

√3�� + 9� − 1 + )

Jawabannya adalah C UN2012

12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y= x2 - 4x + 3 dan y = 3 – x adalah ....

A. ��

� satuan luas D.

�

satuan luas

B. �+

satuan luas E.

��

� satuan luas

C. +

� satuan luas

Jawab:

tanpa gambar :

kurva y= x2 - 4x + 3 � ax

2 – 4x + 3 � a > 0 , kurva terbuka ke

atas

sehingga garis y = 3 – x berada di atas.

Titik potong kurva dan garis yang merupakan batasnya:

masukkan persamaan garis ke dalam kurva:

3 – x = x2 - 4x + 3

x2 - 4x + 3 + x – 3 = 0

x2 - 3x = 0

x (x – 3) = 0

x = 0 dan x = 3 � batas atas dan bawah

L = ∫ −b

a

dxyy )( 22 dx

= ∫ +−−−3

0

2 ))34(3( xxx dx

= ∫ −+−−3

0

2 )343( xxx dx

= ∫ −3

0

2 )3( xx dx

=

� x

2 - �

x

3 |�

= �3

� - 9

= �3���

� =

+

� satuan luas

Jawabannya C

UN2012

13. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi

oleh kurva y= x2 dan y = 4x -3 diputar 360° mengelilingi

sumbu X adalah ....

A. 13 ��

�� π satuan volume D. 12

3

�� π satuan volume

B. 13 �

�� π satuan volume E. 12

�

�� π satuan volume

C. 12 ��

�� π satuan volume

www.pintarmatematika.web.id - 10

Jawab:

Volume benda diputar terhadap sumbu x maka,

V= π dxyb

a∫

2

y= x2 � a > 0 , kurva terbuka ke atas

garis y = 4x -3 berada di atas kurva

titik potong/batas:

subsitusikan persamaan y = 4x -3 ke dalam persamaan

y= x2 :

4x -3 = x2

x2 – 4x + 3 =0

(x – 3) (x- 1) = 0

x = 3 dan x = 1 � batas atas dan bawah

V= π dxyb

a∫

2

= π dxxx∫ −−3

1

222 ))()34((

=π dxxxx∫ −+−3

1

42 ))92416((

= π (�� x

3 – 12x

2 + 9x -

�� x

5) |�

= π (��

(3

3 – 1) – 12(3

2 – 1) + 9(3-1) -

�

� (3

5-1) )

= π (��

. 26 – 12. 8 + 9. 2 -

�

� . 242 )

= π ( ���

– 96 + 18 -

���

� )

= π ( ���

– 78 -

���

� )

= π ( �������3��3��

�� )

= ���

�� π = 12

�

�� π

Jawabannya E

UN2012

14. Nilai � (2 sin 2� − 3 cos �)�2.!

� = ....

A. -5 C. 0 E. 2

B. -1 D. 1

Jawab:

∫ + )sin( bax dx = - a

1cos (ax+b) + c

∫ + )cos( bax dx = a

1sin (ax+b) + c

� (2 sin 2� − 3 cos �)�2.!

�= ( −2.

�

�cos 2� − 3 sin � )|�

5.

= - (cos π – cos 0) – 3 (sin !

� - sin0)

= - (-1 – 1) – 3 (1 – 0)

= 2 – 3 = -1

Jawabannya B

UN20-12

15. Hasil dari � ,��

( ,.��,�3)6� =......

A. �

( ,.��,�3)7 + C C.

�

�( ,.��,�3)7 + C

E. ��

��( ,.��,�3)6 + C

B. �

�( ,.��,�3)7 + C D.

��

��( ,.��,�3)7 + C

Jawab:

misal : u = 3�� − 2� + 7

du = (6x – 2) dx

= 2 (3x – 1) dx � (3x – 1) dx = �

� du

� ,��

( ,.��,�3)6� = �

2.

16* = �

�

�*�3*

= �

� .

�

�� u

- 6 + C

= ��

��17 + C

= ��

��( ,.��,�3)7 + C

Jawabannya D

www.pintarmatematika.web.id - 11

UN2012

16. Nilai dari � �4�� − � + 5)���

= ....

A.

� B.

��

� C.

��

�

D. ��

� E.

33

�

Jawab:

� (4�� − � + 5)���

= �

x

3 - �

� x

2 + 5x |�

�

= �

(2

3 – 1 ) -

�

� (2

2 -1) + 5(2 – 1)

= �

. 7 -

�

� . 3 + 5. 1

= ��

-

� + 5

= ���+� �

� =

33

�

Jawabannya E