BAB VIIAPLIKASI INTEGRAL

Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Berikut merupakan aplikasi-aplikasi integral yang telah dikelompokkan dalam beberapa kelompok perhitungan. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada keterangan yang diberikan.

1. Panjang Kurva

Panjang sebuah kurva f(x) sepanjang selang dapat ditemukan menggunakan persamaan

Panjang sebuah kurva w(y) sepanjang selang dapat ditemukan menggunakan persamaan

Sedangkan bila persamaan dinyatakan dengan persamaan parameter, maka panjang kurva =

atau

Contoh:

Hitung panjang kurva dari titik sampai titik

Jawab:

Panjang kurva adalah:

2. Aplikasi Integral pada sistem elektronik

Besarnya tegangan pada komponen elektronik dinyatakan sebagai berikut:

Karena komponen elektronik memiliki karakteristik seperti di atas maka analisis dari beberapa rangkaian elektronis harus diselesaikan menggunakan turunan maupun integral.

Pada arus DC

Contoh :

Carilah persamaan tanggapan rangkaian berikut:

Pada arus AC Biasa

Sebuah arus sinusoidal biasa direpresentasikan sebagai berikut:

Maka besarnya tegangan pada komponen elektronik menjadi

Maka pada rangkaian berikut tanggapannya adalah:

3. Transformasi-Transformasi

Transformasi yang akan dibahas di sini merupakan transformasi yang ada kaitannya dengan integral, yaitu transformasi Fourier dan Transformasi Laplace. Banyak transformasi dilakukan dengan prinsip integrasi terhadap bagian-bagian gelombang yang ada.

Mengapa perlu transformasi ?

Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974] Transformasi dilakukan agar domain penelitian dapat diubah ke dalam domain penelitian yang lebih gampang sehingga dapat diselesaikan secara matematis dengan mudah. Contohnya transformasi Fourier dan Laplace mengubah sinyal dalam kawasan waktu ke kawasan frekuensi.Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yangtidak tersedia sebelumnya

Contoh :

-jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier

a. Transformasi Fourier

Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus.

Penjelasan:

1 gelombang sinus dgn frek 50Hz dikatakan memiliki 1 frekuensi atau 1 spektrum frekuensi sinyal sinus dengan formula : 5sinus(50Hz) + 4sinus(20Hz) + 2 sinus(10Hz) dikatakan memiliki 3 spektrum frekuensi. Penjumlahan sinyal-sinyal tersebut nantinya akan membentuk sebuah sinyal baru.sinyal kotak adalah penjumlahan banyak sinyal sinus yang memiliki frekuensi berbeda, dan banyaknya adalah infinity: tak terbatas.

Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut f(x) = sin(x) +sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …, hasilnya sebagai berikut:

Kita dapat menyatakan semua sinyal periodik dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus- cosinus, dengan cara:

Rumus FT kontinu 1 dimensi

x(t) 1 2 X ( )e j t d

X ( ) x(t)e j t dt

x(t) X ( )

X(ʘ) : Transformasi Fourier atas x(t)

x(t) : Invers transformasi Fourier

Rumus sinyal kontinyu berhubungan erat dengan aplikasi integral

� Rumus FT diskret 1 dimensi

N F (u)

1

N1

f ( x) exp[

x 0

N 1

2 j ux / N ]

f ( x)N

F (u) exp[2 j

x 0

ux / N ]

Contoh:

ü x(t) e at u(t) ; a>0 x(t) X ( )

X ( ) u(t )e j t dt

e ate0

j t dt

=

ü x(t) x(t) X ( )

X ( ) (t)e j t dt

= 1

ü x(t) x(t) X ( )

X ( ) x(t)e j t dt

T

= e j t dtT

=

b. Transformasi Laplace

X (s) x(t ).e

0

j

st dt

x(t)1

2 j

s j

X (s).est dsj

Bila transformasi Fourier direpresentasikan dalam kawasan frekuensi berlambangkan ( ) ,

maka representasi gelombang/sinyal pada transformasi Laplace diubah ke dalam kawasanfrekuensi X(s), di mana s j . Transformasi Laplace merupakan jabaran dari

transformasi Fourier. Penjabaran ini dilakukan agar hitungan yang dihasilkan lebih sederhana dan lebih mudah. Tranformasi Laplace merupakan transformasi yang mengandung pasangan Transformasi Fourier kompleks yaitu X(s). Juga biasa disebut transformasi Laplace bilateral atau transformasi Laplace dua sisi (two-sided).

Contoh soal:

4. Aplikasi Integral untuk menghitung Volume, Luas Permukaan, dan Pusat Massa

Volume

Misal diberikan permukaan z=f(x,y) dan R merupakan daerah terletak pada bidang XOY atau bisa merupakan proyeksi dari permukaan z=f(x,y), maka volume benda ruang yang dibatasi diatas oleh permukaan z=f(x,y) dan di bawah dibatasi oleh R dituliskan :

Contoh:

Hitung volume bangun ruang yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang2x+3y+Z-6 = 0.

Jawab:

Dilihat dari gambar setelah bidang diproyeksikan terhadap bidang XOY diperoleh:

Maka volume bangun ruang dinyatakan sebagai berikut:

7

Luas Permukaan

Misal diberikan sebuah persamaan z=f(x,y) maka untuk mendapatkan luas sepotong permukaan (D) yang proyeksinya pada bidang XOY adalah R dilakukan sebagai berikut. Daerah R dapat berupa segi empat atau daerah sembarang.

Bagi daerah R menjadi n buah persegipanjang misalnya R1,R2,…,Rn yang masing-masing

mempunyai panjang dan lebar . Bila merupakan proyeksi dari luasan subpartisi

dari D, maka luas dari D didekati oleh jumlah luas subpartisinya yaitu:

Selanjutnya berdasarkan teorema bahwa bila R berukuran dan merupakan proyeksi pada

bidang XOY dari sebuah potongan permukaan S dengan persamaan maka luas

dari potongan permukaan S dinyatakan dengan

Misalkan merupakan sembarang titik pada , maka ( titik pada dengan

. Persamaan bidang singgung dari permukaan di titik (

dinyatakan dengan:

Bila ukuran dari cukup kecil maka akan merupakan bidang yang mendekati bidang

singgung dari di titik ( , sehingga berdasarkan teorema di atas luas dari

dinyatakan sebagai berikut:

Dengan dan

Jadi luasan dari D akan didekati oleh luasan: