Tm 5,6,7 Aplikasi Integral

TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER

2011/2012

Adaptif

Oleh:Oleh:

Luluk HandayaniLuluk Handayani

TM – TM – 5,6,75,6,7MU 009 – KALKULUS 2 – 3 SKS – WAJIB

04/10/23 Aplikasi Integral Tertentu

Adaptif

INTEGRAL TERTENTU

Bentuk umum intergral tertentu

)()()( )( xfbfdxxfb

a

b

axF

04/10/23 Aplikasi Integral

a disebut batas bawah

b disebut batas bawah

F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)

F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b

F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a

Adaptif

INTEGRAL TERTENTU

Sifat-sifat intergral tertentu 1.

2.

3.

4.

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

c

a

b

a

c

b

cbadxxfdxxfdxxf ;)()()(


a

a

dxxf 0)(

b

a

b

a

Konsantakdxxfkdxxkf )(;)()(

Adaptif

INTEGRAL TERTENTU

Contoh :1.Tentukan nilai dari

2

1

3dxx

2

1

4

2

1

x


Penyelesaian

2

1

3dxx =

44 1

4

12.

4

1=

4 - 41

=

= 4

33

2. Tentukan nilai dari

Penyelesaian

dxxx )32(1

0

2

dxxx )32(1

0

2 = 1032 xx

=

=

= 3232 00311

011

2

Adaptif

LUAS DAERAH VOLUME BENDA PUTAR PANJANG KURVA LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR

USAHA atau KERJA MOMEN dan PUSAT MASSA (TITIK

BERAT)


Adaptif04/10/23 Aplikasi Integral

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-

partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan

menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.NextBack

Pendahuluan


Bola lampu di samping dapat

dipandang sebagai benda

putar jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan dipelajari

juga penggunaan integral

untuk menghitung volume

benda putar.

Pendahuluan


X

Y

xy sin

Menentukan luas daerah

dengan limit jumlah dapat

diilustrasikan oleh gambar

di samping. Langkah utama

yang dilakukan adalah

memartisi,

mengaproksimasi,

menjumlahkan, dan

menghitung limitnya.

Home NextBack

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah


Langkah menghitung luas

daerah dengan limit jumlah

adalah:

1. Bagilah interval menjadi

selang yang sama

panjang.

2. Partisilah daerah

tersebut.

3. Masing-masing partisi

buatlah persegi

panjang.

4. Perhatikan persegi

panjang pada interval

[xi-1 , xi].

y

a

x

0

Li

x

xi

)(xfy

)( ixf

NextBack Home



Langkah menghitung luas

daerah ( lanjutan ) :

5. Tentukan luas persegi

panjang ke-i (Li)

6. Jumlahkah luas semua

persegi panjang

7. Hitung nilai limit

jumlahnya

y

a

x

0

Li

x

xi

)(xfy

)( ixf

Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x

Jumlah luas persegi panjang :L f(xi) x

Limit jumlah : L = lim f(xi) x ( n ∞ ) NextBack Home



Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x =

3 dengan menggunakan cara limit jumlah.

Contoh 1.Contoh 1.

1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.

2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi

panjang pada interval [xi , xi+1]

dan hitunglah luasnya.

x0 = 0

x1 = 3/n

x2 = (3/n) × 2 = 6/n

Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n

y

0x

3

Li

3/n

21ix

2)( xxf

xi+1xix1 x2 x3

23i 1

27L i

n

nni

nix32)1(332

1iL

JawabJawab

NextBack Home



4. Jumlahkan luas semua

partisi

1

0

23

127

Ln

ii

n

2223

...2127

L nn

)12)(1(6127

L3

nnnn

)2)(1(29

L 11nn

5. Tentukan

limitnya )2)(1(

29

L 11lim nnn

9)02)(01(29

L

Jadi luas daerah = 9 satuan

6)12)(1(

1

2

nnnn

kk

0x

3

Li

3/n

21ix

2)( xxf

xi+1xix1 x2 x3

y

NextBack Home



Perhatikan gambar di bawah ini!

Misalkan selang [a, b] dibagi

menjadi n bagian (lebar tidak

harus sama) dengan lebar selang

ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada

selang [xi-1, xi] diambil titik

sampel xk maka jumlah Riemann

dituliskan sebagai : kn

kk xxf Δ )(

1

y

ax

0 b

xi-1 xixk

xi

NextBack Home

Selanjutnya didefinisikan

bahwa:

kn

kk

nxxfdxxf Δ )( lim )(

1

b

a

Bentukb

a )( dxxf disebut dengan integral tertentu (Integral

Riemann)

Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah


=

= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-

1)2]

= 16 – 8 + 2 + 2 = 12

2

1

2 dx 46 xx 2123 22 xx

Hitunglah nilai dari

2

1

2 dx 46 xx

Contoh 2.Contoh 2.

JawabJawab

NextBack Home

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang [a, b]

dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang [a, b]

dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus

)(F)(F )( abdxxfb

a

bax)(F

Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah


Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat

diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada

interval [a, b]. y

x0 a bx

y

ax

0 b

b

adxxf )(

Jumlah Luas Partisi

Berubah Menjadi

Integral

Tentukan limitnya

n

)(xf

n

iii xxf

1)(

)(xf

in

ii

n

b

axxfdxxfL

1)()( lim

NextBack Home

Menghitung Luas dengan Integral


Kegiatan pokok dalam

menghitung luas daerah dengan

integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah

partisi Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi)

xi

6. Nyatakan dalam integral

x0

y)(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi

a

dxxf0

)(L

NextBack Home



Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,

dan garis x = 3

Contoh 3.Contoh 3.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya


3. Aproksimasi luasnya Li xi2

xi

4. Jumlahkan luasnya L

xi2 xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi


dan hitung nilainya

y

0x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix

JawabJawab

NextBack Home



Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan

Aj -(4xj - xj2)xj

4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan

A -(4xj - xj2)xj

5. Ambil limitnya L = lim (4xi -

xi2)xi dan A = lim -(4xj - xj

2)xj


y

0x54

24)( xxxf

dxxx 4

0

2)4(L dxxx 5

4

2)4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5

Contoh Contoh 44..

JawabJawab

NextBack Home



dxxx 4

0

2)4(L

dxxx 5

4

2)4(A

y

0x54

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

40

33122L xx

3643

312 320)4()4(2L

54

33122A xx

33123

312 )4()4(2)5()5(2A

364

3125 3250A

18A 361

1832 daerah Luas 361

364

13 daerah Luas NextBack Home



LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVAPerhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x)

pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara

: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,

integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua

kurva tersebut.Langkah penyelesaian:


2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ]

x

4. Jumlahkan : L [ f(x) –

g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) – g(x) ] x


tertentu

y

ba

dxxgxfb

a )()(L

)(xfy

)(xgy

0x

Li

x

x

)()( xgxf

NextBack Home



Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan

garis y = 2 - x

Contoh 5.Contoh 5.

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 13. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x

4. Jumlahkan luasnya

L (2 - x - x2)x

5. Tentukan limit jumlah luasnyaL = lim (2 - x - x2)x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1

-2

-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

JawabJawab

NextBack Home

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah


dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1

-2

-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1

23

3

22L

xxx

3

3)2(2

2)2(3

312

21 )2(2)1(2L

38

31

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L

NextBack Home



Untuk kasus tertentu

pemartisian secara vertikal

menyebabkan ada dua

bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama

untuk menghitungnya.

)(xfy y

a b

Lix

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai

0x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

adxxgxf )()(

NextBack Home



Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan

diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas

daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih

sederhana dari sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

cdyyfyg )()(

Li y

c

d

)()( yfyg

NextBack Home



Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,

dan sumbu x

Contoh Contoh 66..

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y

– 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 23. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y

4. Jumlahkan luasnya

L (6 - y - y2)y

5. Tentukan limitnyaL = lim (6 - y - y2)y

6. Nyatakan dalam integral tertentu

Luas daerah =

2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

06

Liy

y

2)6( yy

JawabJawab

NextBack Home



Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

06

Li yy

2)6( yy

Luas daerah = 2

03

3

26

yyy

Luas daerah = 0332

22)2(6

Luas daerah =

38112

Luas daerah = 325

Home Back Next



Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu

sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar.

Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda

putar dengan integral adalah:

partisi, aproksimasi,

penjumlahan, pengambilan

limit, dan menyatakan dalam

integral tentu.

Gb. 4

Home NextBack

Volume Benda Putar


Dalam menentukan volume benda putar yang harus

diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika

diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode

yang digunakan untuk menentukan volume benda putar

dibagi menjadi : 1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabungy

0 x

y

x

0x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

NextBack Home

Volume Benda Putar


Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume mentimun

dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk

cakram.

NextBack Home

Volume Benda Putar Metode Cakram


Bentuk cakram di samping

dapat dianggap sebagai tabung

dengan jari-jari r = f(x), tinggi h

= x. Sehingga volumenya dapat

diaproksimasi sebagai V r2h

atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

integral diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 xdxxfa0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfr

NextBack Home



Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.Contoh 7.



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan

nyatakan dalam

bentuk integral.

y

2x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

JawabJawab

NextBack Home



y

h=x

x

x

12 xr

V r2h

V (x2 + 1)2 x

V (x2 + 1)2 x

V = lim (x2 + 1)2

x dxxV 2

0

22 )1(

dxxxV 2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

NextBack Home



Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh

360º.

Contoh 8.Contoh 8.



2. Buatlah sebuah partisi


bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

2

yy

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

JawabJawab

NextBack Home



V r2h

V (y)2 y

V y y

V = lim y y

dyyV 2

0

20221yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV 2

0

2VNextBack Home



Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan memotong-

motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

NextBack Home

Volume Benda Putar Metode Cincin


Menghitung volume benda

putar dengan menggunakan

metode cincin dilakukan

dengan memanfaatkan

rumus volume cincin seperti

gambar di samping, yaitu V=

(R2 – r2)h

hr

R

Gb. 5

NextBack Home



Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.Contoh 9.



2. Buat sebuah partisi


bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan

nyatakan dalam

bentuk integral.

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

JawabJawab

NextBack Home



y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

V (R2 – r2) h

V [ (2x)2 – (x2)2 ] x

V (4x2 – x4) x

V (4x2 – x4) x

V = lim (4x2 – x4) x

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)( 532

332 V

)( 1596160V

1564V

NextBack Home



Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan

volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar

disamping.

NextBack Home

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung


rr

h

h

2rΔr

V = 2rhΔr

NextBack Home



Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar

mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 10.Contoh 10.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi.

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

JawabJawab

NextBack Home



0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = xx

h = x2

0

x

1 21 2

y

1

2

3

4

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = lim 2x3x

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

NextBack Home



Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara

horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,

maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda

putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai

berikut.

0

x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

V (R2 – r2)y

V (4 - x2)y

V (4 – y)y

V = lim (4 –

y)y dxyV 4

04

4

0

2214 yyV

)816( V

8V

0

x

1 2x

2xy y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

Home Back Next



Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

Home NextBack

Penggunaan Integral Latihan


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat

dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....



0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

Soal 1.Soal 1.

A

B

C

D

E

Home Back Next







Soal 1.Soal 1.

0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Benar

Home NextBack







Soal 1.Soal 1.

dxx2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

0X

Y 2xy

2

4

x

x

4 - x2

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

Home NextBack



Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

Home Back Next




A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Benar

Home NextBack




A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

2-2

x

x

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Salah

Home NextBack




A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

Home Back Next




A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

L (8 – x2 -2x)

x dxxx )28(L2

0

2 ( Jawaban D )

319L

3

28

20

23318L xxx

416L 38

0X

Y

28 xy

xy 2

2

Jawaban Anda Benar

Home NextBack




A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

2

L (8 – x2 -2x)

x dxxx )28(L2

0

2 ( Jawaban D )

319L

3

28

20

23318L xxx

416L 38

Jawaban Anda Salah

Home NextBack



Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2

adalah ….


adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

Home Back Next




adalah ….


adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,429

L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21

0X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Benar

Home NextBack



( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,429

L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21


adalah ….


adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas 0X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Salah

Home NextBack



Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....




adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next






adalah ....




adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V

Jawaban Anda Benar

Home NextBack



( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V




adalah ....




adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home NextBack




sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….



A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next







A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40

221V x

8V

Jawaban Anda Benar

Home Back Next



( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40

221V x

8V





A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home Back Next



APLIKASI INTEGRAL

Selesai

Terima Kasih

Tm 5,6,7 Aplikasi Integral

Documents

Transcript of Tm 5,6,7 Aplikasi Integral