INTEGRAL PART 2 -...
27
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
-
Upload
nguyendien -
Category
Documents
-
view
237 -
download
1
Transcript of INTEGRAL PART 2 -...
Integral Tak Tentu
dan
Integral Tertentu
Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang
bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau
integral dari f(x).
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x
dinotasikan sebagai berikut :
• notasi integral (yang diperkenalkan oleh
Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f(x) fungsi integran
• F(x) fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) f(x)
• c konstanta pengintegralan
cxFdxxf
• Jika f ‘(x) = xn, maka , n
≠ -1, dengan c sebagai konstanta
cxn
xf n
1
1
1
Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
didiferensialkan pada interval sedemikian
hingga maka antiturunan dari f(x) adalah
F(x) + c
• Secara matematis, ditulis
cxFdxxf
• di mana
• Lambang integral yang
menyatakan operasi antiturunan
• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya
• c Konstanta
dx
Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
, c adalah konstanta. cxn
dxx nn
1
1
1
Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka
dxxfkdxxkf
Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
dxxgdxxfdxxgxf
Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
dxxgdxxfdxxgxf
Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan
rasional tak nol maka
, dimana c adalah konstanta dan r
≠ -1.
cxur
dxxuxutr 1
1
1'
Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
vduuvudv
Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
• dimana c adalah konstanta.
cxx
cxxdx
cxxdx
tancos
1
cossin
sincos
2
...)4( 2.1 52 dxxx
x
dudx
2
cxcuduu 62655 )4(6
1
6
1
2x
du2x u
) ...(1
2.2
3
2
latihanbuatx
dxx
METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita
mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar
dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
Jawab :
u = x2 + 4 du = 2x dx
duvvuddvu .).(.
duvvudvu ...
duv dvu.
INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
harus lebih mudah dari
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :
(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).
dxx ln dvu.
ln x u dxdux
1
dxx ln dx
Contoh :
=
Jawab :
dv = dx v = x
Jadi :
= xln x -
= x ln x – x + c
nn
nnn axaxaxaxa
1
2
2
1
10 ......
)(
)()(
xQ
xPxH
22
22)(
23
2
xxx
xxxH
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom
Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x)
disebut “Rasional Sejati”
Contoh :
Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
4
2336
4
1310)(
2
2
2
24
x
xx
x
xxxxH
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
)(
)(
xQ
xP : ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
)).....()(()( 21 naxaxaxxQ
)(.....
)()()(
)(
2
2
1
1
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
naxxQ )()(
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
)(.....
)()()(
)(2
21
))(()( 22 fexdxcbxaxxQ
)()()(
)(22 fexdx
DCx
cbxax
BAx
xQ
xP
1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
, maka :
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
, maka :
3. Q(x) adalah kuadratis,
, maka :
....
2
)1(.1
2dx
xx
x
)1)(2(
)2()1(
12)1)(2(
1
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
dx
xx
x
2
)1(2 23
1
x
dx 13
2
x
dx
cxx |1|ln3
2|2|ln
3
1
contoh :
jawab :
x = 2 2 – 1 = A(2+1)
1 = 3A A = 1/3
x = -1 -1 – 1 = B(-1-2)
-2= -3B B = 2/3
Jadi,
+
=
....
12
)1(.2
2dx
xx
x
222 )1(
)1(
)1(1)1(
1
x
BxA
x
B
x
A
x
x
dx
xx
x
12
)1(2 1x
dx 2)1(
2x
dx
cx
x
)1(
2|1|ln
x = 1 1 + 1 = B B = 2
mis, x = 0 0 +1 = A(0 – 1) + B
1 = - A + 2 A = 1
Jadi,
+
,222 xba atauxba ,222 222 axb
222 xba zb
ax sin zaxba cos 222
222 xba ztg
b
ax zaxba sec 222
222 axb z
b
ax sec ztgaaxb 222
SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk : ,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat
ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan
menggunakan variabel baru :
Bentuk Subtitusi Memperoleh
....49
.12
dxx
x
zx sin2
3 zdzdx cos
2
3 cos 349 2 zx
dzz
zdzz
z
zdx
x
x
sin
cos3) cos
2
3(
sin2
3
cos349 22
dzzdzzec sin3 cos3
cxx
x
2
2
49|2
493|ln3
contoh :
jawab :
,
Jadi,
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
dzz
z
sin
sin13
2
....4
.222 xx
dx
ztgx 2 zdzdx 2sec2 sec24 2 zx
22 4 xx
dx dz
zztg
z
)sec2)(4(
sec22
2
dzz
z2sin4
cos
z
zd2sin
)(sin
4
1c
z
sin4
1c
x
x
4
4 2
jawab :
,
Jadi,
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :
• Dimana :
• f(x) : integran
a : batas bawah
b : batas atas
Integral TerTentu
b
a
dxxf )(
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
6,6183231255
1
255
1
5
1
5
555
2
5
5
2
5
2
54
x
xdxx
a
a
dxxf 0)(
032325
1
225
1
5
1
5
552
2
5
2
2
2
2
54
x
xdxx
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
6,6183125325
1
525
1
5
1
5
552
5
5
2
5
2
5
54
x
xdxx
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
3093323125
5
1.5
555
5
2
5
5
2
5
2
54
x
xdxx
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
6,7111.330936,618
55
5
2
5
2
5
2
4444
dxxdxxdxxx
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( 6,618
3
2
5
3
5
2
444 dxxdxxdxx
