C · Web viewBab II dalam buku ini membahas enam hal pokok tentang metode integrasi fungsi, antara...

BAB II

METODE INTEGRASI

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami

metode-metode dalam mengintergralkan fungsi serta dapat membedakan masing-

masing sifat-sifat integralnya.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi dengan menggunakan metode

substitusi.

2. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi-fungsi trigonometri.

3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan

metode substitusi fungsi trigonometri.


metode integral parsial.


metode integral fungsi rasional.


metode integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.

Bab II dalam buku ini membahas enam hal pokok tentang metode integrasi

fungsi, antara lain: (1) metode substitusi, (2) integral fungsi trigonometri, (3) metode

substitusi fungsi trigonometri, (4) integral parsial (5) integral fungsi rasional (6)

integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.

Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode-

metode yang digunakan bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan antiturunan

fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah integran dari bentuk integral yang

diberikan. Bab ini menyajikan 6 metode yang digunakan untuk menentukan integral

fungsi dan masing metode mempunyati ciri-ciri tertentu. Metode dalam integrasi

dimaksud adalah:

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 30

1) Metode substitusi,

2) Integral fungsi trigonometri,

3) Metode subtitusi fungsi trigonometri,

4) Integral parsial

5) Integral fungsi rasional, dan

6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri

2.1 Metode Substitusi

Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Metode ini pada umumnya

digunakan untuk memudahkan menentukan antiturunan fungsi sehingga bentuk

selesaiannya diubah dalam bentuk rumus dasar integral tak tentu dan rumus dasar yang

diperumum yaitu;

a. ∫ xn dx= xn+1

n+1+c ,

asalkan n ¿ -1

b. ∫ ( f ( x ))n f '( x ) dx=

( f ( x ))n+1

n+c ,

asalkan n ¿ -1

Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan jika

integran berbentuk fungsi berpangkat, misalnya ( f ( x ))n , n ≠−1 atau bentuk lain yaitu

variabel yang tidak sejenis dengan tanda diferensialnya, misalnya ∫sin (2x ) dx ,

variabelnya 2 x sedangkan tanda integrasinya dx . ∫ tan(2 x−1) dx variabelnya (2x−1)

sedangkan tanda diferensialnya dx dan jenis-jenis yang lainnya.

Jika integrannya berbentuk ( f ( x ))n , n bilangan bulat maka yang disubstitusi

adalah f ( x ) selanjutnya gunakan diferensial pada masing-masing bagian dan lakukan

substitusi pada persoalan yang diberikan. Jika integrannya ( f ( x ))n , n bilangan rasional

maka yang disubstitusi adalah ( f ( x ))n . Selanjutnya ubah pangkat f ( x ) menjadi bulat

dan gunakan diferensial sebagaimana dijelaskan di atas. Setelah substitusi dilakukan

selanjutnya masing-masing bagian didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan


rumus umum seperti yang telah disebutkan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya

perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

Tentukan integran berikut ini:

1. ∫ √1−x dx Jawab

Substitusikan u=√1−x

⇔u2=1−x

⇔d(u2)=d (1−x )

⇔2 u du=−dx

Substitusi bentuk terakhir ke ∫ √1−x dx , diperoleh

∫u (−2u )du=−2∫ u2du

Dengan rumus integral dasar di dapat

∫ √1−x dx=−2∫u2 du

⇔−2( u3

3 )+c

Karena u=√1−x

Sehingga ∫ √1−x dx =−2

3 √(1−x )3+c

2. ∫ √(1+2 x )3 dx

Jawab

Substitusi e=(1+2 x )32

⇔ e2=(1+2 x )3

⇔d (e2)=d (1+2 x )3

⇔2 e de=3 (1+2 x )2(2 )dx


⇔dx= e de3 (1+2 x )2

Sehingga ∫√(1+2 x )3 dx =∫ e e de

3(1+2 x )2

⇔∫ e2 de3e3/4

⇔ 13∫ e5/4 dE

⇔ 13 ( e9/4

4 /9 )+c

⇔ 3

4e9/4+c

Karena e=(1+2 x )32

Sehingga ∫√(1+2 x )3 dx = 3

4((1+2 x )3/2)9/4

+c

= 3

4( (1+2 x )27 /8)+c

3. ∫(3 x+12 )11dx

Substitusi A=(3 x+12)

⇔d( A )=d (3 x+12) ⇔dA=3 dx

⇔dx=dA3

Sehingga

∫ (3 x+12 )11 dx=∫ A11 dA3

⇔ 13∫ A11 dA

⇔ 13( A12

12)+c

⇔ 136

A12+c


Karena A=(3 x+12)

Sehingga ∫(3 x+12 )11 dx=(3 x+12 )12

12+c

4. ∫cos22 x dx

Jawab

Substitusikan A=2 x

⇔dA=2dx

⇔ dx=dA2

Sehingga

∫cos2 2 x dx =∫ cos2 A dA2

⇔ 1

2∫cos2 AdA

⇔ 1

2∫1+cos2 A

2dA

= 14∫dA+ 1

4∫cos2 AdA

= A4

+sin 2 A8

+c

Karena A=2 x

∫cos2 2 x=2 x4

+sin 4 x8

+c

Sehingga ∫cos2 2 x dx =1

2 (x+sin x4 )+c

5. ∫ ( 4 x+2 ) √4 x2+4 x dx

Jawab

Substitusikan A=√4 x2+4 x

⇔ A2=( 4 x2+4 x )

⇔d( A2)=d (4 x2+4 x )


⇔2 AdA=(8 x+4 )dx

⇔ AdA=(4 x+2 )dx

Sehingga

∫ ( 4 x+2 ) √4 x2+4 x dx=∫ A . A dA

=∫ A2 dA

=1

3A3+c

Karena A=√4 x2+4 x

Sehingga ∫ ( 4 x+2 ) √4 x2+4 x dx= 1

33√4 x2+4+c

6. ∫ t dt√3 t+4

Jawab

Substitusi Misal P=√3 t+4

⇔P2=3 t+4

⇔d( P2 )=d (3t +4 ) ⇔2 PdP=3 dt

⇔dt=2 PdP

3 Sehingga

∫ tdt√3 t+4

=∫( P2−4

3 )( 23

P)dP

P

⇔ 19∫ (2 P2−8 )dP

⇔ 227

P3−89

P+c

Karena P=√3 t+4

Sehingga ∫ tdt

√3 t+4= 2

27(3 t +4 ) √3 t+4+8

9 √3 t+4+c


7. ∫ x2dx√16−x2

Jawab

Substitusi w=√16−x2

⇔w2=(16−x2 )⇔2 wdw=−2xdx

⇔dx=−wx

dw

Sehingga

∫ x2 dx√16−x2

=−∫ (16−w2)w

−( wx )dw

⇔−∫16−w2

xdw

⇔−1x∫ (16−w2 )dw

⇔−16wx

+ w3

3 x+c

Karena w=√16−x2

Sehingga ∫ x2

√16−x2dx=−16 √16−x2

x+(16−x2 ) √16−x2

3 x+c

=−

16(16− x2 )1/2

x+

(16−x2 )3/2

3 x+c

Akhirnya diperoleh ∫ x2 dx

√16−x2=−

16(16−x2 )1/2

x+

(16−x2 )3/2

3 x+c

8. ∫ t ( t+2)3/2dt

Jawab

Substitusikan s= ( t+2 )32

⇔ s2=( t +2 )3


⇔2 sds=3 (t+2 )2 dt

⇔dt= 2 s

3 (t+2 )2ds

Sehingga

∫ t ( t+2)3/2dt=∫ t . s . 2 s

3 ( t+2 )2ds

⇔ 2t3( t+2)2∫ s2 ds

⇔− 2 t3( t+2)2

13

s3+c

⇔ 2t9( t +2)2 (t+2 )

92+c

⇔2 t( t +2)

52

9+c

Sehinggga ∫ t ( t+2)3/2 dt= 2 t( t +2)

52

9+c

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1.∫sin √x

√xdx

2.∫ 3 dt

√2t +1

3.∫ 1+cos2 x

sin2 2 xdx

4.∫ (6 t−1 )sin √3 t2−t−1

√3 t2−t−1dt

5.∫ 2 xdx

√ x2−9

6. ∫ x (3 x+2)3/2 dx


7.∫ x

√ x2+16dx

8.∫sin √x

3dx

9.∫sin xdx

16+cos2 x

10. ∫cos (2 x−4 )dx

11. ∫ x sin( x2+1)dx

12. ∫ x2cos ( x3+1)dx

13. ∫ x ( x2+3 )−12/7 dx

14.∫ √ x2+2x−3

x+1dx

15.∫ e2 x−e−2 x

e2 x+e−2 x dx

16.∫ e3 t

√4−e6 tdt

17.∫ x2

x4+4dx

18.∫ xdx

x4+4

19. ∫sin x √1−2 cos xdx

20.∫ xdx

1−2 x2dx

21. ∫ ( x+1 ) 3√1+2 x+ x2 dx

2.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih

mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang


menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan

antiturunannya. Bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri adalah:

1) ∫sin x dx =−cos x+c

2) ∫cos x dx =sin x+c

3) ∫ tan x dx=ln|sec x|+c =−ln|cos x|+c

4) ∫cot x dx=− ln|csc x|+c = ln|sin x|+c

5) ∫sec x dx=ln|sec x+ tan x|+c

6) ∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+c

Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas,

selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-

masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di bahas

adalah:

1. Bentuk ∫sinm x dx ,∫ cosm x dx

Integral fungsi trigonometri berbentuk ∫sinm x dx ,∫ cosm x dx dibedakan dalam

dua kasus, yaitu:

Kasus 1: m bilangan ganjil

Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m

digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas

sin2 x+cos2 x=1 dan diferensial d (sin x )=cos xdx atau d (cos x )=−sin xdx . Akhirnya

dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya,

sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.

Contoh:

Tentukan integral berikut:

1. ∫sin3 xdx

Jawab


∫sin3 xdx=∫sin(3−1)+1 xdx

⇔∫sin2 x sin xdx

⇔∫ (1−cos2 x )d(−cos x )

⇔∫1 d (−cos x )+∫cos2 d (cos x )

⇔−cos x+ 13

cos3 x+c

Sehingga ∫sin3 xdx=−cos x+ 1

3cos3 x+c

2. ∫cos5 x dx

Jawab

∫cos5 x dx=∫cos(5−1)+1 x dx

⇔∫cos4 xcos xdx

⇔∫ (1−sin2 x )2 d (sin x )

⇔∫(1− 2sin2 x+sin4 x )d (sin x )

⇔∫1 d (sin x )−2∫sin2 xd (sin x )+∫sin4 xd (sin x )

⇔sin x−23

sin3 x+ 15

sin5 x+c

Sehingga ∫cos5 x dx=sin x− 2

3sin3 x+ 1

5sin5 x+c

3. ∫sin5(2 x )dx

Jawab:

Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka gunakan

substitusi terlebih dahulu.

Substitusikan u=2 x dan du=2 dx atau dx=du

2

sehingga ∫sin5(2 x )dx=∫sin5 u du

2


⇔ 12∫sin5 udu

⇔ 12∫sin4 u sin udu

⇔ 12∫(1−cos2 u )2 d (−cosu )

⇔ 12∫(1−2cos2u+cos4 u)d (−cosu )

⇔−12

cosu+ 13

sin3 u− 110

sin5 u+c

⇔−12

cos2 x− 13

sin3 2 x− 110

sin5 2 x+c

Sehingga ∫sin5(2 x )dx=−1

2cos2 x+ 1

3sin3 2 x− 1

10sin5 2 x+c

Kasus 2: m bilangan genap

Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan

menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

cos2 x=cos2 x−sin2 x sehingga sin2 x=1−cos2x

2 atau cos2 x=1+cos2x

2

Contoh:

Tentukan pengintegralan berikut ini.

1. ∫sin2 xdx

Jawab

∫sin2 xdx=∫( 1

2−cos2 x

2 )dx

⇔∫ 1

2dx−∫ 1

2cos 2xdx

⇔ x2−sin 2x

4+c

Sehingga ∫sin2 xdx= x

2−sin 2 x

4+c


2. ∫cos4 xdx

Jawab

∫cos4 xdx=∫ (cos2 x)2dx

⇔∫ (1+cos2 x

2 )2

dx

⇔∫(1

4+cos2 x

2 cos 2 x4 )dx

⇔∫ 1

4dx+∫cos2 x

2dx+∫ 1

4cos2 2 xdx

⇔ x4+sin2 x

4+ 1

4∫( 1+cos 4 x2 )dx

⇔ x4+sin2 x

4+ x

8+sin 4 x

32+c

⇔ 3 x84

+sin 2 x4

+sin 4 x32

+c

Sehingga ∫cos4 xdx=3 x

8+sin 2x

4+sin 4 x

32+c

3. ∫sin4 2 xdx Jawab

Substitusikan Misal u=2 x

diperoleh du=2dx atau dx=du

2 , sehingga

∫sin4 2 xdx=∫sin 4 du2

⇔∫ ( sin2u )2 du2

⇔ 12∫( 1−cos2u

2 )2du

⇔ 12∫

14(1−2cos 2u+cos22 u)du


⇔∫ 18

du−∫ 14

cos2udu+∫ 18

cos2 2udu

⇔∫ 1

8du−∫ 1

4cos2 udu+∫ 1

8 (1+cos 4u2 )du

⇔∫ 1

8du−∫ 1

4cos2 udu+∫ 1

16du+∫ 1

16cos4 udu

⇔ 1

8u−1

8sin 2 u+ 1

16u+ 1

64sin 4u+c

Sehingga

∫sin4 2 xdx= 18(2 x )−1

8sin 2(2 x )+ 1

16(2 x )+ 1

64sin 4 (2x )+c

⇔ 3 x4

− 18

sin 4 x+ 164

sin 8 x+c

Soal-soal

Tentukan pengintegralan berikut ini.

1) ∫sin3( 4 x ) dx

2)∫sin4 ( x

2 ) dx

3)∫cos4 ( x

3 ) dx

4)∫cos3 (2 x

5 ) dx

5) ∫cos4 (3x ) dx

6) ∫cos4 (1−2 x )dx

7) ∫sin4 (1+3 x ) dx

8)∫cos2(1−2 x

5 )dx

9)∫sin 3( 3+2 x

5 )dx


10)∫cos2( 1+4 x

2 )dx

b. Bentuk ∫sinm x cosn xdx

Integral fungsi trigonometri berbentuk∫sinm x cosn xdx dibedakan dalam dua

kasus, yaitu:

Kasus 1 : m atau n ganjil

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih yang ganjil m atau n. Jika

dipilih m, ubah m menjadi (m−1 )+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n menjadi

(n−1)+1 . Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas

sin2 x+cos2 x=1 dan sifat diferensial d (sin x )=cos x dx dan d (cos x )=−sin x dx dan

akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara sebelumnya.

Contoh

Tentukan integral berikut ini.

1. ∫sin 3 xcos2 xdx

Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi

(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh

∫sin3 xcos2 xdx=∫sin(3−1)+1 xcos2 xdx

⇔∫sin2 x sin xcos2 xdx

⇔∫(1−cos2 x )cos2 x sin xdx

⇔∫(cos2 x−cos4 x )d (−cos x )

⇔∫cos2 xd (−cos x )−∫cos4 xd (−cos x )

⇔−∫cos2 xd (cos x )+∫cos4 xd (cos x )

⇔−13

cos3 x+ 15

cos5 x+c


⇔cos3 x ( 15

cos2 x−13 )+c

Sehingga ∫sin3 xcos2 xdx=cos3 x ( 1

5cos2 x−1

3 )+c

2. ∫sin2 x cos3 xdx

Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi

(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh

∫sin 2 xcos3 xdx=∫sin2 x cos2 x cos xdx

⇔∫sin2 x(1−sin2 x )cos xdx

⇔∫sin2 x(1−sin2 x )d (sin x )

⇔∫sin2 xd( sin x )−∫ sin4 xd (sin x )

⇔ 13

sin3 x−15

sin5 x+c

Sehingga ∫sin2 xcos3 xdx=1

3sin3 x−1

5sin5 x+c

3. ∫sin3 xcos3 xdx

Jawab

Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilih salah satu pangkat dan diubah

menjadi (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas diperoleh

∫sin3 xcos3 x dx=∫sin3 x cos2 x cos xdx

⇔∫sin3 x(1−sin2 x )d (sin x )

⇔∫sin3 xd (sin x )−∫sin5 xd (sin x )

⇔ 14

sin4 x−16

sin6 x+c

Atau

∫sin3 x cos3 xdx=∫sin2x sin xcos3 x dx


⇔∫(1−cos2 x )cos3 xd (−cos x )

⇔∫(cos3 x−cos5 x )d (−cos x )

⇔−14

cos4 x+ 16

cos6 x+c

Sehingga ∫sin3 xcos3 xdx=−1

4cos4 x+ 1

6cos6 x+c

Kasus 2 : m dan n genap sekaligus.

Jika m dan n genap sekaligus, digunakan kesamaan setengah sudut

sin2 x= 1−cos2 x2 dan

cos2 x=1+cos2 x2 . Selanjutnya substitusikan kesamaan pada

integran dan akhirnya diperoleh hasil pengintegralannya.

Contoh

Tentukan integral berikut ini:

1. ∫cos2 x sin2 x dx

Jawab

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

∫cos2 x sin2 xdx=∫( 1+cos2 x2 )(1−cos2 x

2 )dx

⇔ 14∫ (1−cos22 x )dx

⇔ 14∫(1−1+cos4 x

2 )dx

⇔ 14∫(1

2−cos 4 x

2 )dx

⇔ 14 ( x

2−cos 4 x

8 )+c

⇔ x

8−cos4 x

32+c

Sehingga ∫cos2 x sin2 x dx= x

8−cos 4 x

32+c


2

.∫sin4 x cos4 x dx

Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya

gunakan kesamaan setengah sudut sin2 x=1−cos2x

2 dan cos2 x=1+cos2x

2 .

∫sin4 x cos4 xdx=∫ (sin2 x )2 (cos2x )2 dx

⇔∫(1−cos2 x2 )

2

( 1+cos2 x2 )

2dx

⇔ 116 ∫(1−2 cos2 x+cos22 x )(1+2cos 2 x+cos2 2 x )dx

⇔ 116 ∫(1−2 cos22 x+cos4 2 x )dx

⇔ 116 ∫ dx−1

8∫cos2 2 x dx+ 116∫ cos4 2 xdx

⇔ 116 ∫ dx−1

8∫1+cos4 x

2+ 1

16∫( 1+cos 4 x2 )

2dx

⇔ 116 ∫ dx−1

8∫1+cos4 x

2+ 1

64 ∫(1+2 cos 4 x+cos2 4 x )2dx

⇔ 116 ∫ dx−1

8∫1+cos4 x

2+ 1

64 ∫dx+ 132∫ cos4 xdx+ 1

64 ∫( 1+cos8 x2 )dx

⇔ 116 ∫ dx−1

8∫1+cos4 x

2+ 1

64 ∫dx+ 132∫ cos4 xdx+ 1

128 ∫dx+ 1128 ∫cos8 x dx

⇔ 116 ∫ dx− 1

16∫ dx− 116 ∫cos 4 xdx+ 1

64 ∫ dx+ 132 ∫ cos4 xdx+ 1

128 ∫ dx+ 1128 ∫cos 8x dx

⇔ 3128 ∫dx− 1

32 ∫cos 4 xdx+ 1128 ∫cos8 xdx

⇔ 3x128

− 1128

sin 4 x+ 11024

sin 8 x+c

Sehingga ∫sin4 x cos4 x dx= 3 x

128−sin x

128+sin 8x

1024+c


c.∫ tann x dx , dan∫ cotn xdx

Integral fungsi trigonometri berbentuk ∫ tann x dx , dan∫ cotn xdx dibedakan

dalam dua kasus.

Kasus 1: n bilangan ganjil

Jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan

1+ tan2 x=sec2 x atau 1+cot2 x=csc2 x dan sifat diferensial d ( tan x )=sec2 xdx atau

d (cot x )=−csc2 xdx

Contoh

Tentukan integral berikut ini

1. ∫ tan3 xdx

Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan

kesamaan identitas 1+ tan2 x=sec2 x dand ( tan x )=sec2 xdx

Sehingga diperoleh

∫ tan3 xdx=∫ tan2 x tan xdx

⇔∫ (sec2 x−1) tan x dx

⇔∫sec2 x tan x dx−∫ tan x dx

⇔∫ tan x sec2 x dx−∫ tan xdx

⇔∫ tan x d ( tan x )−∫ tan xdx

⇔ 1

2tan2 x−ln|sec x|+c

Sehingga ∫ tan3 xdx=1

2tan2 x−ln|sec x|+c

2. ∫cot3 xdx

Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan


kesamaan identitas 1+cot2 x=csc2 x dand (−cot x )=csc2 xdx

diperoleh

∫cot 3 xdx=∫cot2 x cot dx

⇔∫(csc2 x−1)cot dx

⇔∫csc2 x cot x dx−∫ cot x dx

⇔∫cot x csc2 x dx−∫ cot xdx

⇔∫cot x d (−cot x )+∫cot x dx

⇔− 12

cot2 x+ln|csc x|+c

Sehingga ∫cot3 xdx=−1

2cot2 x+ ln|csc x|+c

Kasus 2: n bilangan genap

Jika n bilangan genap, maka digunakan kesamaan identitas 1+ tan2 x=sec2 x

dan 1+cot2 x=csc2 x . Selanjutnya dengan menggunakan sifat diferensial

d ( tan x )=sec2 xdx atau d (cot x )=−csc2 xdx

Contoh


1. ∫cot4 xdx

Jawab

∫cot4 xdx=∫ (cot2 x )2 dx

⇔∫(csc2 x−1)2 dx

⇔∫(csc4 x−2csc2 x+1 )dx

⇔∫ (csc2x csc2 x−2 csc2 x+1 )dx

⇔∫(1+cot2 x )csc2 x−2csc2 x+1 dx


⇔∫(1+cot2 x )d (−cot x )−2∫ d (−cot x )+∫ dx

⇔(−cot x )− 1

3cot3 x+2 cot x+x+c

⇔− 1

3cot3 x+cot x+x+c

Sehingga ∫cot 4 xdx=−1

3cot3 x+cot x+x+c

2. ∫ tan2 xdx

Jawab

∫ tan2 xdx=∫ (sec2 x−1 ) dx

⇔∫sec2 xdx−∫1 dx

⇔∫ d( tan x )−∫1 dx

⇔ tan x−x+c

Sehingga ∫ tan2 xdx= tan x−x+c

d. ∫ tanm x secn xdx , dan ∫cot m x cscn xdx

Integral fungsi trigonometri berbentuk ∫ tanm x secn x dx dan ∫cotm x cscn x dx

dibedakan menjadi dua kasus.

Kasus 1: m atau n genap

Jika m atau n genap, pilih salah satu yang genap dan selanjutnya digunakan

kesamaan1+ tan2 x=sec2 x atau 1+cot2 x=csc2 x dan sifat diferensial

d ( tan x )=sec2 x atau d (−cot )=csc2 x

Contoh


1. ∫ tan5 x sec4 x dx

Jawab

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan


kesamaan identitas 1+tan2 x=sec2 x , sehingga diperoleh

∫ tan5 x sec4 x dx =∫ tan5 x sec2 x sec2 x dx

⇔∫ tan5 x (1+ tan2 x )sec2 x dx

⇔∫ ( tan5 x+ tan7 x ) d ( tan x )

⇔ 16

tan6 x+ 18

tan8 x+c

Sehingga ∫ tan5 x sec4 x dx=1

6tan6 x+ 1

8tan 8 x+c

2. ∫cot 4 x csc4 x dx

Jawab

Karena keduanya genap, pilih salah satu pangkat bilangan genap dan

digunakan kesamaan1+ tan2 x=sec2 x atau 1+cot2 x=csc2 x dan sifat

diferensial d ( tan x )=sec2 x atau d (−cot )=csc2 x , sehingga diperoleh

∫cot4 x csc4 x dx=∫cot4 x (csc2 x )(csc2 x )dx

⇔∫cot4 x (cot2−1 )d (−cot x )

⇔∫(cot6 x−cot4 x )d (−cot x )

⇔−17

cot7 x+ 15

cot5 x+c

Sehingga ∫cot4 x csc4 x dx=−1

7cot7 x+1

5cot5 x+c

Kasus 2: m atau n ganjil

Dalam kasus ini pilih yang ganjil dan gunakan d (sec x )=sec x tan x atau

d (−csc x )=csc x cot x dan digunakan kesamaan1+ tan2 x=sec2 x atau

1+cot2 x=csc2 x .

Contoh:


1. ∫ tan3 x sec3 xdx


Jawab

∫ tan3 x sec3 xdx=∫ tan2 x tan x sec2 x sec xdx

⇔∫ tan2 x sec2 d (sec x )

⇔∫(sec2 x−1)sec2 x d (sec x )

⇔∫ (sec4 x−sec2 x )d (sec x )

⇔−17

cot7 x+ 15

cot5 x+c

Sehingga ∫ tan3 x sec3 xdx=−1

7cot7 x+ 1

5cot 5 x+c

2. ∫ tan3 x sec−1 /2 xdx

Jawab

∫ tan3 x sec−1 /2 xdx=∫ tan2 x tan xsec−3

2 x sec xdx

⇔∫(sec2 x−1)sec−3

2 x d (sec x )

⇔ 23

sec3/2 x+2 sec−1/2 x+c

Sehingga ∫ tan3 x sec−1 /2 xdx=2

3sec3 /2 x+2sec−1/2 x+c

e. ∫sin mx cosnxdx , ∫sin mx sin nxdx ,∫cos mx cosnxdx

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan

rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx=12 (sin(m+n )x+sin(m−n) x )

sin mx sin nx=−12 ( cos(m+n )x−cos(m−n) x)

cos mx cosnx=12 (cos (m+n) x+cos(m−n) x )

Contoh



1. ∫sin 3 x cos4 x dx

Jawab

∫sin 3 x cos4 x dx=∫ 12 (sin(3+4 )x+sin(3−4 ) x ) dx

⇔ 12∫ (sin 7 x+sin(−x )) dx

⇔ 12∫sin 7 x dx−1

2∫ sin x dx

⇔− 114

cos7 x+ 12

cos x+c

Sehingga ∫sin 3 x cos4 xdx=− 1

14cos7 x+ 1

2cos x+c

2. ∫sin 3 x sin2 x dx

Jawab

∫sin 3 x sin2 x dx=∫−12 (cos (3+2) x−cos (3−2 )x ) dx

⇔−12∫ (cos5 x−cos x ) dx

⇔−12∫ cos5 x dx + 1

2∫ cos x dx

⇔− 110

sin 5 x+ 12

sin x+c

Sehingga ∫sin 3 x sin2 xdx=− 1

10sin 5 x+1

2sin x+c

3. ∫cos ycos 4 y dy=12 ( cos(1+4 ) y−cos(1−4 ) y ) dy

Jawab

∫cos ycos 4 y dy=12 ( cos(1+4 ) y−cos(1−4 ) y ) dy

⇔ 1

2∫ (cos (5 y )+cos (−3 y )) dy


⇔ 1

2∫cos5 y dy+ 12∫cos (−3 y ) dy

⇔ 1

10sin 5 y−1

6sin 3 y+c

Sehingga ∫cos ycos 4 ydy= 1

10sin 5 y−1

6sin 3 y+c

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini.

1. ∫sin2(2 x )cos4 (2 x )dx

2.∫sin3( x

5 )cos3 ( x5 )dx

3. ∫sin12 3 xcos3 3 x dx

4. ∫(sin3 2 t )√cos2 t dt

5. ∫ tan6 xdx

6. ∫cot4 (3 x )dx

7. ∫cot x csc4 x dx

8. ∫ tan 2x sec2 2xdx

9. ∫( tan x+cot x )2 dx

10. ∫sin 3 x sin xdx

11. ∫csc4 4 ydy

12. ∫ tan−4 q sec2 qdq

13. ∫cos 2 x sin 3 xdx

14.∫cot 4 ( x

3 )dx


15. ∫sin12 zcos3 zdz

16. ∫ tan5 x sec−3 /2xdx

17. ∫cos xcos3 xdx

18.∫sin ( x

2 )sin( 5 x2 )dx

19.∫cos ( 2x

3 )sin(5 x4 )dx

20.∫cos ( 3 x

4 )cos ( 5x6 )dx

2.3 Metode Substitusi Fungsi Trigonometri

Metode substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral

fungsi jika integran memuat bentuk-bentuk:

1. √a2−x2 , a∈real

2. √ x2+a2=√a2+x2 , a∈real

3. √ x2−a2 , a∈real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

1.√a2−b2 x2=√( a

b )2−x2

2.√a2+b2 x=√( a

b )2+x2

3.√a2 x2−b2=√ x2−(b

a )2

4. √ax2+bx+c yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Untuk memudahkan memahami, dalam bab ini dibahas tiap-tiap kasus yang ada.


1. Integrannya memuat √a2−x2atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi

sejenisnya.

Selesaiannya menggunakan substitusi x=a sin t ⇔ sin t= x

a

dengan −π

2≤t≤π

2 .

Karena x=a sin t ⇔dx=a cos t dt

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena x=a sin t maka √a2−x2=√a2−(a sin t )2

=√a2(1−sin2 t ) =acos t

Selanjutnya bentuk √a2−x2=ccos t dan dx=acos tdt substitusikan ke dalam

integral semula, sehingga dapat ditentukan antiturunannya.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. ∫ √4−x2 dx

Jawab

substitusi x=2 sin t ⇔sin t= x

2

dx=a cos t dt

√4−x2=√4−4 sin2 t=2 cos tSehingga


ax

t√a2−x2

2x

t

√4−x2

∫√4−x2 dx=∫2 cos t (2 cos t dt ) =4∫cos t cos t dt

=4∫cos2 t dt=4∫ (1+cos2 t )

2dt

=2∫dt +2∫ cos 2t dt =2 t+2sin t cos t+c

=2 arcsin ( x2 )+2( x

2 )(√4−x2

2 )+c

Sehingga ∫√4−x2 dx=2arcsin( x

2 )+( x √4−x2

2 )+c

Atau 4∫ cos2 tdt=4 (cotsin t

2+ 1

2t)+c

=2 cos t sin t+2 t+c

=2( x2 )(√4−x2

2 )+2arcsin ( x2 )+c

= x √4−x2

2+2 arcsin ( x

2 )+C

2.∫ dx

√4 x−x2

Jawab

∫ dx

√4 x−x2=∫ dx

√4−( x−2)2

Substitusikan ( x−2 )=2 sin t

sin t=( x−2 )

2

dx=2cos t dt


2

x−2

t

√4−( x−2)2=2 cos t , sehingga

∫ dx

√4−(x−2)2=∫ 2 cos t dt

2cos t

=∫ dt

=t +c

=arcsin( x−2

2 )+c

Sehingga ∫ dx

√4 x−x2=arcsin ( x−2

2 )+c

3.∫ dx

√16+6 x−x2

Jawab

∫ dx

√16+6 x−x2=∫ dx

√25−(x−3)2

Substitusikan ( x−3 )=5sin t

sin t= x−3

5 dan dx=5 cos t dt

√25−( x−3 )2=5 cos t ∫ dx

√16+6 x−x2=∫ 5cos t

5cos tdt

=∫ dt

=t +c

=arcsin( x−3

5 )+c

4. ∫ x2√3−x2 dx

Jawab

Substitusi x=√3 sin t


√4 x−x2

5x−3

√16+6 x−x2

t

√3x

sin t= x

√3 s

dx=√3 cos t dt

√3−x2=√3−(√3sin A )2

=√3cos A , sehingga

∫ x2√3−x2 dx=∫ 3 sin2 t √3 cos t √3 cot dt

=9∫ sin2 t cos2 t dt

=9∫( 1−cos2 t

2 )( 1+cos2t2 )dt

= 9

4∫(1−cos2 2t )dt

= 9

4∫1−( 1+cos4 t2

)dt

= 9

4∫1 dt−98∫dt−9

8∫ cos4 t dt

= 9

4t− 9

8t− 9

32sin 4 t+c

=9

8arcsin ( x

√3 )− 932

sin 4 t +c

=98

arcsin ( x√3 )− 9

32(4 sin t cos t )(cos2 t−sin2 t )+c

=98 (arcsin ( x

√3 )− (sin t cos t ) ( cos2 t−sin2 t ))+c

=98 (arc( x

√3 )−( x√3 )(√3−x2

√3 )( (3−x2 )3 )( x2

3 ))+c

= 98 (arc( x

√3 )− x3(3−x2)√3−x2

27 )+c

Soal-soal


t

√3−x2

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca

1.∫ dx

(1−x2 )√1−x2

2.∫ √25−x2

xdx

3. ∫dx

x2 √9−x2

4.

∫ dx

( 4 x−x2)32

5.∫ dx

√2+2 x−x2

6. ∫√2−x2 dx

7. ∫√1−2 x−x2 dx

8.∫ xdx

√5−3 x2

9.∫ dx

√4 x−x2

2. Integrannya memuat √a2+ x2=√ x2+a2atau bentuk lain yang dapat diubah

menjadi sejenisnya.

Selesaiannya menggunakan substitusi x=a tan t atau tan t= x

a sehingga didapatkan

dan dx=a sec2 t dt , dengan −π

2≤ t≤π

2



√ x2+a2

x

t

Karena x= tan t maka √a2+ x2=√a2+( a tan t )2

=√a2(1+ tan2 t ) =a sec t

Selanjutnya bentuk √a2+ x2=asec t dan dx=a sec2 t dt substitusikan ke dalam

integral semula dan akhirnya dapat ditentukan selesaian integral yang diketahui.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.

1.∫ dx

√9+x2

Jawab

Substitusikan x=3 tan t

dx=3sec2 t dt

√9+x2=3 sec t , sehingga

∫ dx

√9+x2=∫ 3 sec2 t dt

3 sec t

=∫ sec tdt

=ln|sec t +tan t|+c

=ln|√9+x2

3+ x

3|+c

= ln|√9+x2+x|+c

2. ∫ (2 x−1)dx

√ x2+4 x+5

Jawab

∫ (2 x−1)dx

√ x2+4 x+5dx=∫( 2 x

√x2+4 x+5− 1

√x2+4 x+5)dx


a

√9+x2

x

3t

=∫ 2xdx

√( x+2)2+1−∫ dx

√( x+2)2+1

Substitusikan ( x+2)= tan t

x= tan t−2

dx=sec2 t dt

√( x+2)2+1 = sec t,

sehingga

∫ 2 xdx

√( x+2)2+1−∫ dx

√( x+2)2+1

=∫ 2( tan t−2 ). sec2 tdt

sec t−∫ sec2 tdt

sec t

=2∫ tan t sec tdt−4∫sec tdt−∫sec t dt

=2 sec t−5 ln|sec t +tan t|+c

=√x2+4 x+5−5 ln|√x2+4 x+5+( x+2)|+c

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan

1.∫ dx

(9+x2 )2

2. ∫ √3+x2dx

3.∫ √ x2+1

xdx

4.∫ dx

√ x2−4 x+13

5.∫ 3 xdx

√ x2+2 x+5


√ x2+4 x+5x+2

t

1

6.∫ t

√ t2+4dt

7. ∫ √2+ y2 dy

3. Integrannya memuat √ x2−a2atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi

sejenisnya.

Selesaiannya menggunakan substitusi x=a sec t sehingga dx=a sec t tan t dt ,

dengan −π

2≤t≤π

2 .


Karena x=a sec t maka √ x2−a2=√(a sec t )2−a2

=√a2(sec2 t−1)=a tan t

Selanjutnya bentuk √ x2−a2=a tan t dan dx=a sec t tan tdt disubtitsusikan ke dalam

integral semula sehingga dapat ditentukan antiturunannya.

Contoh:


1.∫ √ x2−9

xdx

Jawab

Substitusikan x=3sec t


√ x2−a2 x

t

x

√ x2−9

dx=3 sec t tan tdt

√ x2−9=√(3sec t )2−9=3 tan t sehingga

∫ √ x2−9

xdx=∫ 3 tan t

3sec t3 sec t tan tdt

=3∫ tan2 tdt

=3∫(sec2 t−1 )dt

=3∫sec2 tdt−3∫ dt

=3 tan t−3t+c

=3 √ x2−9

3−3 arc sec x

3+c

=√x2−9−3 arc sec( x

3 )+c

2. ∫ dx

√ x2−2 x−8

Jawab

∫ dx

√ x2−2 x−8=∫ dx

√( x−1 )2−9

Substitusikan ( x−1)=3 sec t

dx=3 sec t tan tdt

√( x−1 )2−9=3 tan t Sehingga

∫ dx

√( x−1 )2−9=∫ 3 sec t tan tdt

sec t

=∫ sec tdt

= ln|sec t +tan t|+c


t3

x−1

√ x2−2 x−8

t3

= ln|x−1

3+ √x2−2 x−8

3|+c

Sehingga ∫ dx

√ x2−2 x−8=ln|x−1

3+ √x2−2 x−8

3|+c

Soal-soal

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.

1. ∫ √x2−1 dx

2.∫ x2 dx

√ x2−25

3.∫ √ t2−4

t 3dt

4.∫ dx

√ x2+16 x−65

5.∫ dx

x √x2−6

6.∫ dt

t2√t2−1

7.∫ zdt

√ z2+2 z−24

8. ∫√ y2−3dy

2.4 Integral Parsial

Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral

fungsi yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv dan u=f ( x ) , v=g ( x )

Karena y=uv , maka menurut definisi diferensial dan turunan fungsi y=uv diperoleh

dy=d (uv )

dy=udv+vdu


d (uv )=udv+vdu

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

∫ d (uv )=∫udv+∫ vdu

⇔∫udv=∫ d (uv )−∫ vdu

⇔∫udv=uv−∫ vduBentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan

dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi udv dan

dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit

dibandingkan dengan ∫udv tersebut.

Contoh

Tentukan integral persial berikut ini

1. ∫ x cos xdx

Jawab

Bentuk ∫ x cos xdx diubah menjadi ∫udv

misal u=x dan dv=cos xdx sehingga

du=1 dx dan v=∫ cos xdx=sin x

Akibatnya ∫ x cos xdx=∫ xd (sin x )

Dengan rumus integral parsial

∫udv=uv−∫ vdu , diperoleh

∫ xd (sin x )=x(sin x )−∫ sin xd (x )

⇔∫udv=uv−∫ vdu

⇔ x (sin x )−∫sin xdx

Sehingga ∫ x cos xdx=x sin x+cos x+c

2. ∫ x √1+x dx


Jawab

Bentuk ∫ x √1+x dx diubah menjadi ∫udv

misal u=x dan dv=√1+x sehingga

du=1 dx dan v=∫√1+xdx=∫ (1+ x )

12 dx=1

2(1+x )

32=1

2 √(1+x )3

Sehingga ∫ x √1+x dx = ∫ xd ( 2

33√1+x )

Berdasarkan rumus integral parsial

∫udv=uv−∫ vdu , diperoleh

∫ x √1+x=∫ xd (2

33√1+x )

⇔ 2 x3

3√1+1−∫ 23

3√1+x d ( x )

⇔ 2 x3

3√1+1−∫ 23

3√1+x dx

⇔ 2 x3

3√1+x−23( 2

55√1+x )+c

⇔ 2x3

3√1+1− 415

5√1+x+c

Sehingga ∫ x √1+x dx= 2x

33√1+1− 4

155√1+x+c

3. ∫sin x ex dx

Jawab

Pilih u=sin x maka du=d (sin x )=cos x dx

dv=ex dx , v=∫ ex dx=ex+c , sehingga:

∫sin x ex dx=∫ sin x d ( ex)

⇔ ex sin x−∫ ex d (sin x )

⇔ ex sin x−∫ ex cos xdx

Diperoleh bentuk ∫ ex cos xdx yang juga diselesaikan dengan metode parsial


Pilih u=cos x maka du=d (cos x )=−sin x

dv=ex dx , v=∫ ex dx=ex+c , sehingga:

∫cos x e x dx=∫cos x d (ex )

⇔ ex cos x−∫e x d (cos x )

⇔ ex cos x−∫e x(−sin x )dx

⇔ ex cos x+∫ ex sin x dx ,

Akhirnya diperoleh

∫sin x ex dx=ex sin x−∫ex cos xdx

∫ ex sin xdx=ex sin x−ex cos x−∫e xsin xdx

2∫ sin x e x dx=ex sin x−ex cos x

∫sin x ex dx=12

( ex sin x−e xcos x )

4. ∫cosn xdx

Jawab

∫cosn xdx=∫ cosn−1 x cos x dx

Pilih u=cosn−1 x maka du=d (cosn−1 x )=(n−1)cosn−2 x (−sin x )dx

dv=cosdx , v=∫ cos xdx=sin x+c , sehingga:

∫cosn xdx=∫ cosn−1 xd (sin x )

⇔sin x cosn−1 x−∫(sin x )d (cosn−1 x )

⇔sin x cosn−1 x−∫ sin x (n−1 ) cosn−2 x(−sin x )dx

⇔sin x cosn−1 x+(n−1 )∫sin2 xcosn−2 xdx

⇔sin x cosn−1 x+(n−1 )∫ (1−cos2 x )cosn−2 xdx

⇔sin x cosn−1 x+(n−1 )∫ cosn−2 xdx−(n−1)∫ cosn xdx

Selanjutnya diperoleh


∫cosn xdx=sin x cosn−1 x+(n−1)∫ cosn−2 xdx−( n−1)∫cosn xdx

⇔n∫cosn xdx=sin x cosn−1 x+(n−1 )∫ cosn−2 xdx

∫cosn xdx=sin x cosn−1 xn

+ n−1n ∫cosn−2 xdx

5. ∫sinn xdx

Jawab

∫sinn xdx=∫sinn−1 x sin x dx

Pilih u=sinn−1 x maka du=d (sinn−1 x )=(n−1 )sinn−2 x (cos x )dx

dv=sin dx , v=∫ sin xdx=−cos x+c , sehingga:

∫sinn xdx=∫sinn−1 xd (−cos x )

⇔−cos x sinn−1 x−∫(−cos x )d (sinn−1 x )

⇔−cos x sinn−1x+∫cos x (n−1 )sinn−2 x (cos x )dx

⇔−cos x sinn−1x+(n−1 )∫cos2 x sinn−2 xdx

⇔−cos x sinn−1 x+(n−1 )∫(1−sin2 x )sinn−2 xdx

⇔−cos x sinn−1x+(n−1 )∫sinn−2 xdx−(n−1 )∫sinn xdx

Selanjutnya diperoleh

∫sinn xdx=−cos x sinn−1 x+(n−1 )∫sinn−2 xdx−(n−1 )∫sin2 xdx

⇔n∫sin n xdx=−cos x sinn−1x+(n−1 )∫sin n−2 xdx

∫sinn xdx=−cos x sinn−1 xn

+ n−1n ∫sinn−2 xdx

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

1. ∫ x sec2 xdx

2. ∫sec x tan x dx


3. ∫sin3 x dx

4. ∫ x tan x dx

5. ∫ arc tan x dx

6. ∫ √x ln x dx

7. ∫ x 3√2 x+7dx

8. ∫ arc cos2 x dx

9. ∫ x2 e−2 x dx

10.∫ xdx

√1+2 xdx

11. ∫cos 3x sin 3 x dx

12. ∫ ex √1+x dx

13. ∫ tan5 x sec2 xdx

14. ∫( x−2)cos (x−2) dx

15. ∫ xe x2dx

16. ∫(2 x−1 )e−3 x dx

17. ∫sec3 x dx

18. ∫ x3√4−x2 dx

19. ∫ ln3 x dx

20. ∫ x2sin x dx

21. ∫ x2√1−x dx

22. ∫ x2sec2 x dx

23. ∫ x e2 x dx


24. ∫ x2sec2 x dx

25. ∫sin 2 x cos 2 x dx

26. ∫2 x √1−x2 dx

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah fungsi yang bentuk umumnya dinyatakan dalam bentuk

F (x )=f ( x )g ( x ) , dimana f ( x ) dan g ( x ) adalah fungsi pangkat banyak (polinomial) dan

g( x )≠0 .

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang secara umum dinyatakan dalam

bentuk:

f ( x )=ao+a1 x+a2 x2+a3 x3+⋯+an xn dengan n=1,2,3 ,. .. sehingga fungsi rasional

adalah fungsi berbentuk

f ( x )g ( x ) yang pembilang dan penyebutnya polinomial.

Contoh

F (x )= 1−xx2−3 x+2 .......... fungsi rasional sejati

F (x )= x2−4x2−4 x+4 .......... fungsi rasional tidak sejati

F (x )= x5+2x3−x+1x3+5 x .......... fungsi rasional tidak sejati

Berdasarkan contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat

pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, (2) dinamakan fungsi rasional tidak sejati

karena derajat pembikang dan penyebu sama, dan (3) disebut fungsi rasional tidak

sejati, karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka

fungsi tersebut diubah menjadi fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang

akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:


F (x )= x5+2x3−x+1x3+5 x

=x2−3+(14 x+1

x3+5 x )

Dalam menentukan integral fungsi rasional F (x )=

f ( x )g ( x )

, g( x )≠0, langkah yang

ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F (x )=

f ( x )g ( x )

, g( x )≠0sampai tidak

dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:

1. fungsi linear berbeda, g( x )=( x−a )( x−b )( x−c ) . .. .. .( x−t )

2. fungsi linear berulang, g( x )=( x−a )n=( x−a)( x−a) .. . .. .( x−a )

3. fungsi liner dan kuadrat, g( x )=( x−a )(ax 2+bx+c )

4. fungsi kuadrat berbeda, g( x )=(ax 2+bx+c )( px2+qx+c )

5. fungsi kuadrat berulang, g( x )=(ax 2+bx+c )ndan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran

dapat ditentukan antiturunannya,

Misal :

f ( x )g ( x )

=A 1

(ax1+b1 )+

A2

(ax 2+b2)+. ..

(penyebut kombinasi liner berbeda)

f ( x )g ( x )

=A1

(ax+b )+

A2

(ax+b )2 +A3

(ax+b )3 +.. .(kombinasi lenear berulang)

f ( x )g ( x )

=A1x+B1

a1 x2+b1 x+c1

+A2 x+B2

a2 x2+b2 x+c 2+. . .

(kombinasi kuadrat berbeda)

f ( x )g ( x )

=A1

a1 x+b1+

A2 x+B2

a2 x2+b2 x+c 1+. . .

(kombinasi linear dan kuadrat)


Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang

merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta

A1 , A2 , A3 ,. . .. An dan B1 , B2 ,B3 ,. .. . BnBerdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada

integran, maka hasil integralnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode

sebelumnya setelah diperoleh masing-masing konstanta.

Untuk lebih jelasnya integral fungsi rasional dibedakan dalam beberapa kasus.

Kasus 1: Penyebut dapat difaktorkan menjadi fungsi linear berbeda.

Contoh:

Tentukan integral di bawah ini

1. ∫ 2x2−1

dx

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

∫ 2x2−1

dx=∫ 2( x−1)( x+1)

dx

⇔∫ A( x−1 )

+ B( x+1)

dx

⇔∫ A ( x+1)+B( x−1)( x−1 )(x+1 )

dx

⇔∫ ( A+B )x+( A−B)(x−1)( x+1)

dx

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

∫ 2x2−1

dx=∫ 1x−1

dx+∫ −1x+1

dx

⇔∫ dxx−1

−∫ dxx+1

⇔ ln|x−1|− ln|x+1|+c

⇔ ln|x−1x+1

|+c

Sehingga

∫ 2x2−1

dx= ln|x−1x+1

|+c


2. ∫ x+1x−1

dx

Jawab

Karena integran fungsi rasional tidak sejati, maka disederhanakan terlebih

dahulu sehingga diperoleh:

∫ x+1x−1

dx=∫(1+ 2x−1 )dx

⇔∫1 dx+∫ 2x−1

dx

⇔ x+2 ln|x−1|+c⇔ x+ln (x−1)2+c

Sehingga

∫ x+1x−1

dx=x ln ( x−1 )2+c

3. ∫ x+1( x3+x2−6 x )

dx

Jawab

∫ x+1( x3+x2−6 x )

dx=∫ x+1x ( x−2 )( x+3 )

dx

⇔∫ Ax+ B

( x−2)+ C

( x+3 )dx

⇔∫ A ( x−2 )(x+3 )+B ( x )( x+3 )+C (x )( x−2)x3+x2−6 x

dx

⇔∫ ( A+B+C ) x2+( A+3 B−2C ) x−6 Ax3+x2−6 x

dx

Diperoleh

A + B + C = 0

A + 3B – 2C = 1

-6A = 1

Atau A=− 1

6,B= 3

10, dan C=− 2

15


Sehingga

∫ x+1

( x3+x2−6 x )dx=∫−1

6dxx

+∫ 310

dxx−2

−∫ 215

dxx+3

⇔− 16∫

dxx

+ 310 ∫ dx

x−2− 2

15 ∫ dxx+3

⇔−16

ln|x|+ 310

ln|x−2|− 215

ln|x+3|+c

∫ x+1x3+x2−6 x

dx=−16

ln|x|+ 310

ln|x−2|− 215

ln|x+3|+c

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut:

1.∫ dx

x2−9

2.∫ x2−1

x2+1dx

3.∫ dx

x2+7 x+6

4.∫ x2+3 x−4

x2−2x−8dx

5.∫ xdx

x2−3 x−4

6.∫ x2−3 x−1

x3+x2−2 xdx

7.∫ x3

x2−5 x−6dx

8.∫ 2x3

x2−x−2dx

9.∫ x3 dx

( x−1 )( x+1 )( x+3 )( x+2)

10.∫ 2 x4 dx

( x+2)( x+1)( x+6 )


Kasus 2: Penyebut dapat difaktorkan menjadi fungsi linear berulang.

Contoh

Tentukan integral fungsi rasional berikut ini.

1. ∫ x+1x2−4 x+4

dx

Jawab

∫ x+1

x2−4 x+4dx=∫ x+1

(x−2)( x−2 )dx

⇔∫ x+1

( x−2 )2dx

⇔∫ A( x−2 )

+ B( x−2 )2

dx

⇔∫ A ( x−2 )+B( x−2)2 dx

⇔∫ Ax+( B−2 A )

(x−2)2 dx

Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga

∫ x+1x2−4 x+4

dx=∫ Ax−2

+ B( x−2)2

dx

⇔∫ dx

( x−2 )+∫ 3

( x−1 )2dx

⇔ ln|x−2|− 3

( x−2 )+c

∫ x+1x2−4 x+4

dx= ln|x−2|− 3x−2

+c

2. ∫ x2−1x2+4 x+4

dx

Jawab

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan selesaiannya


ubah integran menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:

∫ x2−1x2+4 x+4

dx=∫1+(−5x−4 )x2+4 x+4

dx

⇔∫ dx−∫ 5 x+4x2+4 x+4

dx

Selanjuntnya ∫ 5 x+4

x2+4 x+4dx=∫ 5 x+4

( x+2)2dx

⇔∫ A( x+2)

+ B( x+2)2

dx

⇔∫ A ( x+2)+B( x+2 )2

dx

⇔∫ Ax+(2 A+B)(x+2 )2 dx

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:

∫ 5 x+4( x+2)2

dx=∫ 5( x+2)

−∫ 6( x+2)2

dx

⇔5 ln|x+2|+ 6( x+2)

+c

∫ 5 x+4( x+2)2

dx=5 ln|x+2|+ 6x+2

+c

3. ∫ (3 x+5 )x3−x2−x+1

dx

Jawab

∫ (3 x+5 )dxx3−x2−x+1

dx=∫ 3 x+5( x+1)( x−1 )2 dx

⇔∫ A( x+1)

+ B( x−1)

+ C( x−1)2

dx

⇔∫ A ( x−1 )2+B ( x−1)( x+1)+C ( x+1 )(x+1 )(x−1)2 dx

⇔∫ ( A+B )x2+(C−2 A ) x+( A−B+C )( x+1)( x−2 )2 dx

Diperoleh


A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

∫ (3 x+5 )dxx3−x2−x+1

dx=∫ Ax+1

+ Bx−1

+ C(x−2)2 dx

⇔∫ A

( x+1)+ B( x−1)

+ C( x−1)2

dx

⇔ 12∫

dx( x+1)

− 12∫

dx( x−2)

+4∫ dx( x−2)2

⇔ 12

ln|x+1|−12

ln|x−2|− 4(x−2)

+c

∫ 3 x−5x3−x2−x+1

dx=12

ln|x+1|−12

ln|x−2|− 4x−2

+c

4. ∫ x6+4 x3+4x3−4 x2 dx

Jawab

Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari pembilang

integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati

∫ x6+4 x3+4x3−4 x2 dx=∫(x3+4 x2+16 x+68+272 x2+4

x3−4 x2 ) dx

⇔∫ ( x3+4 x2+16 x+68 )dx+∫ 272 x2+4x3−4 x2 dx

⇔ 14

x4+ 43

x3+8 x2+68 x+∫ 272 x2+4x3−4 x2 dx

Selanjutnya dicari ∫272 x2+4

x3−4 x2 dx=∫272 x2+4x2( x−4 )

dx

⇔∫ Ax2

+ Bx+ C

(x−4 )dx

⇔∫ A ( x−4 )+B( x )(x−4 )+C (x2 )x3−4 x2 dx

⇔∫ Ax−4 A+Bx2−4 Bx+Cx2

x3−4 x2 dx

Sehingga didapat B+C=272 , A−4 B=0 ,−4 A=4 .


atau A=−1 , B=−1

4,C=1089

4

Hasil akhir pengintegralan

∫ x6+4 x3+4

x3−4 x2 dx=14

x4+ 43

x3+8 x2+68 x−1x+ 1

4ln|x−4|+1089

4ln|x−4|+c

Soal-soal

Tentukan

1.∫ x+1

( x−3 )2dx

2.∫ x8

( x−2 )2(1−x )5 dx

3.∫ x2+19 x+10

2 x4+5 x3 dx

4.∫ 1−2 x

( x+2)( x+4 )2dx

Kasus 3: Penyebut dapat difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat.

Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan

kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

f ( x )g ( x )

= Aax+b

+ Bx+Cpx2+qx+r , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan konstanta

A,B, dan C.

Contoh


1. ∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1)

dx

Jawab

Karena integran fungsi rasional sejati maka


∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1)

dx=∫ A4 x−1

+ Bx+Cx2+1

dx

⇔∫ A ( x2+1 )+(Bx+C )(4 x+1 )( 4 x+1)( x2+1)

dx

⇔∫ ( A+4 B) x2+( B+4 C )x+( A+C )(4 x+1 )(x2+1)

dx

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1)

dx=∫ 24 x+1

+ x−1x2+1

dx

⇔∫ 2( 4 x+1)

dx+∫ xx2+1

dx−∫ 1

x 2 +1dx

⇔ 24

ln|4 x+1|+ 12

ln|x2+1|−arctan x+C

2. ∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2

dx

Jawab

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2

dx=∫ x3+x2+x+2( x2+1)( x2+2 )

dx

⇔∫ Ax+Bx2+1

+ Cx+Dx2+2

dx

⇔∫ ( Ax+B )(x2+2)+(Cx+D)( x2+1 )( x2+1)( x2+2 )

dx

⇔∫ ( A+C ) x3+(B+D )x2+(2 A+C )x+(2 B+D)( x2+1)( x2+2 )

dx

Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:

∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2

dx=∫ 1x2+1

+ xx2+2

dx


=∫ 1x2+1

dx+∫ xx2+2

dx

=arctan x+ 12

ln|x2+1|+c

3. ∫ x3−8 x2−1( x+3 )(x−2)( x2+1 )

dx

Jawab

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda ( x+3) dan ( x−3 )

dengan kuadrat ( x2+1) sehingga:

∫ x3−8 x2−1( x+3 )(x−2)( x2+1 )

dx=∫ Ax+3

+ Bx−2

+ Cx+Dx2+1

dx

⇔∫ A ( x−2 )(x2+1)+B( x+3 )( x2+1 )+ (Cx+D )( x+3)( x−2 )( x+3)( x−2 )( x2+1)

dx

⇔∫ ( A+B+C ) x3+(−2 A+3 B+C+D )x2+( A+B+D−6C ) x+(−2 A+3 B−6 D)( x+3 )( x−2)( x2+1 )

dx

Maka diperoleh

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau

A = 2, B = -1, C = 0, D = -1

∫ A( x+3 )

+ B( x−2 )

+ Cx+D( x2+1 )

dx=∫ 2x+3

+ −1x−2

+ −1x2+1

dx

⇔2 ln|x+3|−ln|x−2|−arctan x+c

⇔ ln ( x+3 )2− ln|x−2|−arctan x+c

⇔ ln|( x+3 )2

x−2|−arctan x+c

Jadi ∫ x3−8 x2−1

( x+3 )(x−2)( x2+1 )dx=ln|( x+3 )2

x−2|−arctan x+c

4. ∫ 2 x2+ x−8x3+4 x

dx

Jawab


∫ 2 x2+ x−8x3+4 x

dx=∫ 2 x2+x−8x ( x2+4 )

dx

⇔∫ ( Ax

+ Bx+Cx2+4

)dx

⇔∫ A ( x2+4 )+( Bx+C ) xx3+4 x

dx

⇔∫ ( A+B )x2+Cx+4 Ax3+4 x

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1

∫( Ax

+ Bx+Cx2+4

)dx=∫−2x

dx+∫ 4 x+1x2+4

dx

⇔∫−2

xdx+∫ 4 x

x2+4dx+∫ 1

x2+4dx

⇔ ln|x−2|+2 ln|x2+4|−1

2arctan( x

2 )+c

Didapat ∫ 2 x2+ x−8

x3+4 xdx=ln|x−2|+2 ln|x2+4|− 1

2arctan ( x

2 )+c

5. ∫ x3−4 x( x2+1)

dx

∫ x3−4 x( x2+1)

dx=∫(x− 5 xx2+1 )dx

⇔∫ xdx−∫ 5 xx2+1

dx

⇔ 12

x2−5∫ xx2+1

dx

⇔ 12

x2−5. 12∫

2 xx2+1

dx

⇔ 12

x2−52

ln|x2+1|+c

⇔ 12

x2−ln √( x2+1 )5+c


Didapat ∫ x3−4 x

x2+1dx=1

2x2−ln√ ( x2+1 )5+c

Soal-soal


1.∫ 2 x3+5 x2+16 x

x5+8 x3+16 xdx

2.∫ x3+x2+x+2

x4+3 x2+2dx

3.∫ x3+x−1

( x2+1 )2 dx

4.∫ x3+x2−5 x+15

( x2+5 )( x2+2 x+3 )dx

5.∫ x3

( x3−1)dx

6.∫ 2x−4

( x−1 )( x2+3)dx

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri

Fungsi F (x )=

f ( x )g ( x )

, g( x )≠0 , f ( x ) dan g ( x ) mememuat fungsi trigonometri dapat

juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau

tidak sejati. Hal ini dikarenakan f ( x )=sin x dan f ( x )=cos x tidak mempunyai derajat

seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan metode

substitusi.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya

memuat f ( x )=sin x atau f ( x )=cos x


1.F (x )= 1−sin x

cos x

2.F (x )=1+2sin+cos x

sin x

3.F (x )= 5 sin x+2

cos x

4.F (x )= 1

3−2 sin x

5.F (x )= 2

1+sin x−cos x

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.∫ dx

1+sin x−cos x

2.∫ dx

2+cos x

3.∫ dx

1+sin x+cos x

4.∫ 1+2 sin x+cos x

sin xdx

5.∫ 1

3−2sin xdx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

x=2 arctan z sehingga dx= 2

1+z2dz

.

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.

Karena x=2 arctan z maka diperoleh tan( x

2 )=z

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri


1+ tan2( x2 )=sec2 ( x

2 )⇔1+z2=sec2( x

2 )

⇔cos2( x2 )= 1

1+z2

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

sin2 x+cos2 x=1

⇔sin2( x2 )+cos2( x

2 )=1, sehingga didapat

sin2 ( x2 )=1− 1

1+z2

= z2

1+z2

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

cos2 x=cos2 x−sin2 x

⇔cos x=cos2 ( x2 )−sin2 ( x

2 )⇔cos x= 1

1+z2−z2

1+z2

=1−z2

1+z2

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

sin 2 x=2sin x cos x

⇔sin x=2 sin( x2 )cos( x

2 )

=2√ z2

1+z2 √ 11+z2

= 2 z

1+z2

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat

diselesaikan dengan menggunakan substitusi


x=2 arctan z , sin x= 2 z

1+ z2, cos x=1−z2

1+z2

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh


1. ∫ dx1+sin x+cos x

Jawab

Dengan menggunakan substitusi yang telah dijelaskan sebelumnya, diperoleh

∫ dx1+sin x+cos x

=∫( 21+z2 )dz

1+( 2 z1+z2 )+(1−z2

1+z2 )

⇔∫( 21+z2 )dz

( 1+z2

1+z2)+( 2 z1+z2 )+( 1−z2

1+z2 )⇔∫ 2dz

2+2 z

⇔∫ dz1+z

⇔ ln|1+z|+c

⇔ ln|1+ tan( x2 )|+c

Didapat ∫ dx

1+sin x+cos x=ln|1+tan( x

2 )|+c

2. ∫ dx2−cos x

Jawab



∫ dx2−cos x

=∫( 21+ z2 )dz

2−( 1−z2

1+z2 )

⇔∫( 2

1+ z2 )dz

2(1+ z2

1+ z2 )−( 1−z2

1−z2)⇔∫ 2 dz

1+3 z2

⇔ 23∫

dz13+z2

⇔ 23∫

dz

( 1√3 )

2+ z2

⇔ 2

3 ( 11 /√3 )arctan ( z

1/√3 )+c

⇔ 2

3 √3arctan ( z √3 )+c

⇔ 2

3 √3 arctan (tan x2 )√3+c

Didapat ∫ dx

2−cos x=2

3 √3 arctan ( tan x2 )√3+c

3. ∫ dx3+5 sin x

Jawab


∫ dx3+5sin x

=∫( 21+z2 )dz

3+5( 2 z1+z2 )


C · Web viewBab II dalam buku ini membahas enam hal pokok tentang metode integrasi fungsi, antara...

Documents

Transcript of C · Web viewBab II dalam buku ini membahas enam hal pokok tentang metode integrasi fungsi, antara...