Teorema Dasar Integral Garis - unri.ac.id
Transcript of Teorema Dasar Integral Garis - unri.ac.id
ISBN: 978-979-792-552-9
Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah
FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014
6
Teorema Dasar Integral Garis
Erdawati Nurdin
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UIR
Abstrak
Salah satu generalisasi integral tentu (definite integral) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎 diperoleh dengan
mengganti himpunan [a,b] dengan kurva C pada bidang xy (R2). Integral yang
dihasilkan C dxF disebut dengan integral garis (line integral), juga sering disebut
integral kurva (curve integral). Seperti halnya pada integral biasa, pada integral garis
juga terdapat teorema yang mendasar dalam perhitungan integral garis. Teorema
tersebut sering disebut Teorema Dasar untuk Integral Garis. Dalam makalah ini
dibuktikan teorema dasar untuk integral garis tersebut.
Kata kunci: Integral tentu, teorema dasar integral, integral garis.
1 Pendahuluan
Salah satu jenis generalisasi integral tentu (definite integral) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎 diperoleh
dengan mengganti himpunan [a,b] yang diintegralkan menjadi himpunan berdimensi
dua dan berdimensi tiga. Hal ini menuntun ke integral lipat-dua atau integral lipat-tiga.
Generalisasi yang benar-benar berbeda diperoleh dengan menggantikan [a,b] dengan
kurva C pada bidang xy (R2). Integral yang dihasilkan C dxF . disebut dengan integral
garis (line integral), juga sering disebut integral kurva (curve integral).
Cara yang paling mendasar dalam menghitung integral tentu biasa adalah teorema
dasar kalkulus dua. Dalam bentuk simbol dapat dinyatakan dengan
b
adxxf )( = f(b) – f(a)
Analog dengan hal tesebut, pada integral garis juga terdapat teorema yang
mendasar dalam perhitungan integral garis. Teorema tersebut sering disebut “Teorema
Dasar untuk Integral Garis”, yang berbunyi :
Misalkan C adalah sebuah kurva mulus sepotong-sepotong yang dinyatakan
dengan (x(t), y(t)) untuk t [a, b] , yang berawal di a dan berakhir di b.
ISBN: 978-979-792-552-9
Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah
FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014
7
misalkan f(x, y) : R2R
2 terdiferensial secara kontinu pada himpunan
terbuka yang mengandung C, maka
Cdxf . = f(b) – f(a)
Dalam makalah ini akan dibuktikan Teorema Dasar untuk Integral Garis. Namun
sebelum itu, akan dibahas beberapa hal yang mendukung pembuktian tersebut,
diantaranya fungsi vektor, hasil kali titik (dot product), medan vektor, fungsi vektor
yang kontinu, operator diferensial vektor dan aturan rantai.
Definisi 2.1. Misalkan f dan g adalah dua fungsi bernilai rill dengan peubah t. Maka
untuk setiap bilangan t dalam daerah definisi bersama dari f dan g terdapat suatu vektor
F yang didefinisikan oleh
F(t) = f(t) i + g(t) j
Dan F dinamakan fungsi vektor.
Definisi 2.2. Jika A = (a1,a2) dan B = (b1,b2) adalah dua vektor di V, maka hasil kali titik
dari A dan B dinyatakan dengan
A.B = (a1,a2).(b1,b2)
= a1b1 + a2b2
Definisi 2.3. Jika F suatu fungsi vektor yang didefinisikan di R2 sehingga
F(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j
maka F mengaitkan setiap titik (x,y) dengan suatu vektor. F disebut medan vektor.
Definisi 2.4. Operator diferensial vektor dilambangkan dengan (dibaca: del),
didefinisikan dengan
= jy
ix
Operator diferensial vektor juga disebut nabla.
Definisi 2.5. Fungsi F(t) = f(t)i + g(t)j dikatakan kontinu di titik t = c, jika memenuhi
ketiga syarat berikut:
1. F(t) terdefinisi di t = c (F(c) ada)
2. )(lim tFct
ada
3. F(c) = )(lim tFct
ISBN: 978-979-792-552-9
Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah
FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014
8
Teorema 2.6. Misalkan x = x(t) dan y = y(t) dapat didiferensialkan di t, dan misalkan z
= f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(t),y(t)), maka z = f(x(t),y(t)) dapat didiferensialkan
di t, dan
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
Bukti: Misalkan p = (x,y)
p = ( x, y)
z = f(p + p) – f(p)
Karena f dapat terdiferensialkan maka,
z = f(p + p) – f(p)
= f(p). p + ( p). p
= fx(p) x + fy(p) y + ( p). p
Dengan ( p) 0 dan p 0
Jika kedua ruas dibagi dengan t, maka diperoleh
t
z
=
t
y
t
xp
t
ypf
t
xpf yx ,).()()(
Selanjutnya,
t
y
t
x, mendekati
dt
dy
dt
dx, ketika t0. dan ketika t0, x dan
y mendekati 0 (karena x(t) dan y(t) kontinu, dapat didiferensialkan). Jadi p0,
sehingga ( p)0 ketika t0. Dengan demikian, ketika t0 diperoleh :
dt
dz=
dt
dypf
dt
dxpf yx )()(
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
▄
2 Pembahasan
Definisi 3.1. Misalkan F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) : R2 R
2 sebuah medan vektor yang
kontinu dan misalkan kurva C dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t [a,b]. Maka
integral garis F sepanjang C dinotasikan dengan :
C dxF . atau C
dyQdxP
dan dinyatakan dengan
ISBN: 978-979-792-552-9
Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah
FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014
9
C dxF . = b
adtytxtytxQtytxP ))),((.))(),(()),(),((( ''
= b
adttytytxQtxtytxP )())(),(()())(),(( '' (12)
Contoh 3.1. Hitunglah integral garis (P(x, y), Q(x, y)) = (x + y, xy) sepanjang parabola
seperti pada Gambar 3. 1, dimana x(t) = t dan y(t) = t2, t [0 , 2].
Gambar 3.1. Parabola y(t) = t
2
Penyelesaian :
Karena x(t) = t maka x’(t) = 1
y(t) = t2 maka y
’(t) = 2t
t [0 , 2].
sehingga
C
dyQdxP = 2
0
32 )2,1(.),( dttttt
= 2
0
42 2 dtttt
=
2
0
532
5
3
3
1
2
1ttt
= )0()2(5
3)2(
3
1)2(
2
1 532
=15
715
Definisi 3.2. Misalkan C adalah kurva mulus sepotong-sepotong, yaitu terdiri dari
beberapa kurva mulus C1, C2, … , Cn. Maka integral garis F(x, y) sepanjang C
didefinisikan sebagai jumlah dari integral-integral pada masing-masing kurva. Dapat
dinotasikan dengan
C dxF . = 1
.C
dxF + 2
.C
dxF + … + nC
dxF .
=
n
iCi
dxF1
.
3
2
4 t = 2
t = 0 1
1 2
C
4
ISBN: 978-979-792-552-9
Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah
FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014
10
Teorema 3.1. Misalkan C adalah sebuah kurva mulus sepotong-sepotong yang
dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t [a, b] , yang berawal di a dan berakhir di b.
misalkan f(x, y) : R2R
2 terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka yang
mengandung C, maka
Cdxf . = f(b) – f(a)
Teorema ini biasa disebut sebagai teorema dasar untuk integral garis.
Bukti: Karena C adalah kurva yang dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t [a, b] maka
Cdxf . =
b
adtytxtytxf ))),((.)(),(( '' (1)
Berdasarkan Teorema 2.6, karena f dan C fungsi yang terdiferensial, maka f(x(t), y(t))
juga terdiferensial, maka
))(),(( tytxfdt
d= )(),((.))(),(( '' tytxtytxf (2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh
Cdxf . =
b
adttytxf
dt
d)(),((
= f(x(b), y(b)) – f(x(a), y(a))
= f(b) – f(a),
karena C berawal di a = (x(a), y(a)) dan berakhir di b = (x(b), y(b)). Ini merupakan
pembuktian untuk kurva tunggal.
Selanjutnya misalkan C merupakan kurva mulus sepotong-sepotong yang terdiri atas
kurva-kurva C1, C2, … , Cn , dimana C1 bergerak dari a = a0 ke a1, C2 bergerak dari a1
ke a2, … , dan Cn bergerak dari an-1 ke an = b. Berdasarkan Definisi 3.2 untuk kurva
mulus sepotong-sepotong dan hasil yang diperoleh untuk masing-masing kurva Ci,
maka
Cdxf . =
n
iCi
dxf1
.
=
n
i
ii afaf1
1)()(
= ( f(a1) + f(a2) + … + f(an-1) + f(an)) – (f(a0) + f(a1) +
f(a2) + … + f(an-1) )
= f(an) – f(a0)
= f(b) – f(a) ▄
ISBN: 978-979-792-552-9
Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah
FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014
11
Contoh 3.2. Misalkan f(x,y) = xy2 – 2x. hitunglah C
dxf . untuk kurva C yang
dinyatakan dengan
9,
4
5 2
2t
t
t, untuk t [0, 4].
Penyelesaian: Karena t [0, 4] maka a =
9)0(,
4)0(
)0(5 2
2 = (0,3)
b =
9)4(,
4)4(
)4(5 2
2= (1,5)
Cdxf . = f(b) – f(a)
= f(1,5) – f(0,3)
= (1(5)2 – 2(5)) – (0(3)
2 – 2(3))
= 23
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa untuk sebuah
kurva C yang mulus sepotong-sepotong yang dinyatakan dengan (x(t), y(t)) dimana t
[a, b] , yang berawal di a dan berakhir di b. misalkan f(x, y) : R2R
2 terdiferensial
secara kontinu pada himpunan terbuka yang mengandung C, berlaku
Cdxf . = f(b) – f(a)
Daftar Pustaka
[1] Belding, D. F & Kevin, J. 1991. Foundation of Analysis. Prentice Hall, New Jersey.
[2] Leithold, L. 1991. Kalkulus dan Ilmu Analitik, terj. S. M. Nababan. Erlangga,
Jakarta.
[3] Marsden, J. E & Anthony, J. T. 1996. Vector Calculus. W.H. Freeman and
Company, New York.
[4] Mursita, D. 2006. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Rekayasa Sains,
Bandung.
[5] Parcell, E. J & Steven E. R. 2004. Kalkulus. Erlangga, Jakarta.