BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI 8.1. Integral dengan Substitusi · PDF fileSoal-Soal Latihan...
Transcript of BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI 8.1. Integral dengan Substitusi · PDF fileSoal-Soal Latihan...
92
BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI
8.1. Integral dengan Substitusi
Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Jika ini bentuk baku
maka cukup tuliskan jawabannya. Jika tidak, cari tahu substitusi yang akan
mengubahnya ke dalam bentuk baku. Jika substitusi pertama yang anda coba tidak
berhasil, cobalah yang lain. Keterampilan dalam hal ini akan terlatih bila anda
banyak latihan.
Contoh 1:
Carilah ∫ dxx
x
)(cos 22
Jawab:
Perhatikan integral tersebut sejenak, karena )(sec)(cos
1 2
2x
x= maka anda
diingatkan pada bentuk baku ∫ duu)(sec2 .
Andaikan u = x2 maka du = 2x dx
∫ dxx
x
)(cos 22= ∫ duu)(sec
2
1 2 = CxCu +=+ )tan(2
1)tan(
2
1 2
Dengan Derive:
Int_subst(y(x), x, u(x)) adalah integrasi substitusi y = f(x) dengan
mensubstitusikan x oleh u(x)..
Tulislah: Int_subst()(cos 22
x
x, x, x
2 ) enter, sama dengan.
Klik f4, lalu tulis: + C enter.
93
Contoh 2:
Carilah ∫−
dxx 295
3
Jawab:
Ingatlah bentuk ∫−
duua
du
22
Andaikan u = 3x maka du = 3 dx
∫−
dxx 295
3= C
xC
u
u
du+=+=
−
−−
∫ )5
3(sin)
5(sin
5
11
2
Dengan Derive:
Tulislah: Int_subst( xxx
3,,95
3
2−) enter, sama dengan.
Klik f4, lalu tulis: +C enter
94
Contoh 3:
Hitunglah dttt∫ −5
2
2 4
Jawab:
Andaikan u = t2-4 maka du = t dt
Perhatikan untuk t = 2 maka u = 0 dan t = 5 maka u = 21
dttt∫ −5
2
2 4 = 08,32)21(3
1)
3
2(
2
1
2
1 2/321
0
2/3
21
0
][ ===∫ uduu
Dengan Derve:
Tulislah: 42 −tt enter,
95
Klik icon integral, aktifkan definite, masukkan lower limitnya 2 dan upper
limitnya 5, lalu klik OK.
Soal-Soal Latihan
Hitunglah integral yang ditunjukkan.
1. ∫ + dxx 5)2(
2. ∫ + dxxx 52 )1(
3. ∫ + 42x
dx
4. ∫ + dzzz246
5. dxy
y∫
− 4916
96
6. dte
e
t
t
∫− 6
3
4
7. dxx
exx
∫+
)sec(
)(sec )sin(3
8. dxz
z∫ )(cos
)tan(2
9. dtt
t∫
)sin(
10. dxx
xx∫ +
+
1
23 2
11. dxx
x∫
))4sin(ln( 2
12. dxe
e
x
x
∫− 21
6
13. ∫ +
4/3
0
2 )(sin1
)cos(dx
x
x
14. ∫1
0
23. dttt
15. ∫6/
0
)cos(2
π
dxx
16. ∫ +
2/
0
2 )(cos16
)sin(π
dxx
x
17. ∫ −
−
+
−1
0
22
22
dxee
eexx
xx
97
8.2. Beberapa Intergral Trigonometri
Bila kita mengkombinasikan metode substitusi dengan pemakaian esamaan
trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk
trigonometri. Tinjaulah jenis integral berikut.
1. dxxdandxxnn
∫∫ )(cos)(sin
2. dxxx nm
∫ )(sin)(sin
3. dxnxmxdandxnxmxdxnxmx ∫∫∫ )cos()cos(,)sin()sin(,)cos()sin(
Contoh 4:
Carilah ∫ dxx)(sin 5
Jawab:
∫ dxx)(sin 5 = ∫∫ −= dxxxdxxx )sin())(cos1()sin()(sin 224
= ∫ +− dxxxx )sin())(cos)(cos21( 42
Misalkan u = cos(x) maka du = -sin(x) dx
∫ dxx)(sin 5 = ∫ +− dxxxx )sin())(cos)(cos21( 42 = ∫ +−− duuu )21( 4
2
= CxxxCuuu +−+−=+−+− )(cos5
1)(cos
3
2)cos(
5
1
3
2 5353
Dengan Derive: Int_subst(sin5(x), x, cos(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.
98
Contoh 5:
Carilah ∫ dxx)(sin 4
Jawab:
∫ dxx)(sin 4 = ∫∫ ++=
−dxxxdx
x))2(cos)2cos(21(
4
1
2
)2cos(1 2
2
= ∫ ∫ ∫ +++ dxxdxxdx ))4cos(1(8
1)2cos(2
4
1
4
1
= ∫ ∫ ∫++ dxxdxxdx ))4cos(432
1)2cos(2
4
1
8
3
= Cxxx +++ )4sin(32
1)2sin(
4
1
8
3
Dengan Derive: Int_subst(sin4(x), x, cos(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.
99
Contoh 6:
Carilah ∫ dxxx )(cos)(sin 42
Jawab:
∫ dxxx )(cos)(sin 42 =
∫∫ −−+=
++
−dxxxxdx
xx))2(cos)2(cos)2cos(1(
8
1
2
)2cos(1
2
)2cos(1 32
22
∫ −−+−+= dxxxxx ))2cos())2(sin1())4cos(1(2
1)2cos(21(
8
1 2
∫ +−= dxxxx ))2cos()2(sin)4cos(2
1
2
1
8
1 2
Cxxx +
+−= )2(sin
6
1)4sin(
8
1
2
1
8
1 3
100
Dengan Derive:Int(sin2(x)cos
4(x), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Tunjukkan bahwa
1.
+−−=−+−
3
1
3
)(sin2)cos(
5
)(cos)(cos
5
1)(cos
3
2)cos(
2553 x
xx
xxx
2. )4sin(32
1)2sin(
4
1
8
3xxx ++ =
8
3
8
)cos()sin(3
4
)(cos)sin( 3xxxxx
++
3.
+− )2(sin
6
1)4sin(
8
1
2
1
8
1 3xxx =
1616
)cos()sin(
24
)(cos)sin(
6
)(cos)sin( 35xxxxxxx
+++−
101
Soal-Soal Latihan
Dalam soal-soal 1-8, hitunglah integral yang ditunjukkan.
1. ∫ dxx)(sin 2
2. ∫ dxx)(sin 3
3. ∫2/
0
)cos(
π
θθ d
4. ∫−
10
10
)10
2sin()
10
3sin( dx
xx ππ
5. ∫ dxxx )4(cos)4(sin 25
6. ∫− θθθ d)3(sin)3(cos 23
7. ∫ dyyy )5cos()4sin(
8. ∫ dwww
)2
(cos)2
(sin 24
Dalam soal-soal 9-10, Carilah volume benda putar bila,
9. y = x + sin(x), y = 0, x = π diputar mengelilingi sumbu-x
10. y = sin2(x
2), y = 0, x =
2
π diputar menglilingi sumbu-y
102
8.3. Substitusi yang Merasionalkan
Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan dan biasanya kita
berusaha menghindarinya, seringkali substitusi yang tepat akan merasionalka
integran tersebut.
Integral yang Melibatkan n bax +
Contoh 7:
Carilah ∫− xx
dx
Jawab:
Misalkan u = √x maka u2 = x dan 2u du = dx
∫− xx
dx= ∫ −
duuu
u2
2= 2ln(u-1) + C = 2ln(√x + 1) + C
Dengan Derive: Int( cxxx
,,1
−) enter, lalu klik tanda sama dengan.
103
Integral yang melibatkan 22xa − , 22
xa + , dan 22ax −
1. jika bentuknya 22xa − maka substitusi x = a sin(t)
2. jika bentuknya 22xa + maka substitusi x = a tan(x)
3. jika bentuknya 22ax − maka substitusi x = a sec(t)
Contoh 8:
Carilah dxx∫−
−2
2
22
Jawab:
Misalkan x = √2 sin(t) maka dx = √2 cos(t) dt
dxx∫−
−2
2
22 = dttt∫−
−2
2
2 )cos(2.)(sin22 = dtt∫−
2
2
2 )(cos2
= 2
2
2
2
2
2
)]cos()sin([)]2sin(2
1[)2cos(1(
−−
−
+=+=+∫ tttttdtt
Dari pemisalan dipeoleh t = sin-1
(2
x) sehingga
cos(t) = cos(sin-1
(2
x)) = 2)
2(1
x− = 22
2
1x−
Jadi:
dxx∫−
−2
2
22 = 2
2
212
2
21 ]22
)2
([sin]22
1.
2)
2([sin
−
−
−
− −+=−+ xxx
xxx
= sin-1
(1) - sin-1
(-1) = πππ
=+22
104
Dengan Derive: Int( 22 x− , x, √-2, √2) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Untuk gambar: Plotint( 22 x− , x, √-2, √2)
Contoh 9:
Carilah ∫+ 29 x
dx
Jawab:
Misalkan x = 3 tan(t) maka dx = 3 sec2(t) dt
dtt
x∫ )sec(
)(sec2
= dtt
x∫
+ )(tan99
)(sec3
2
2
= dtt
x∫ )sec(
)(sec2
= dtt∫ )sec(
= ln(sec(t) + tan(t)) + C
105
Dari pemisalan dipeoleh tan(t) =x/3 sehingga sec(t) = 3
9 2x+
Jadi,
dtt
x∫ )sec(
)(sec2
= ln (33
9 2xx
++
) + C = ln ( xx ++ 29 ) - ln(3) + C
= ln ( xx ++ 29 ) + K
Dengan Derive: Int(29
1
x+, x, c) enter, lalu klik tanda sama dengan.
106
Contoh 10:
Carilah dxx
x∫
−4
2
2 4
Jawab:
Misalkan x = 2sec(t) maka dx = 2sec(t)tan(t) dt
Untuk x = 2 maka t = 0 dan untuk x = 4 maka t = π/3
dxx
x∫
−4
2
2 4 = dxtt
t
t∫
3/
0
)tan()sec(2.)sec(2
)tan(2π
= dxt∫3/
0
2 )(tan2
π
= dxt∫3/
0
2 )(tan2
π
= dxt∫ −3/
0
2 1)(sec2
π
= 3/
0])[tan(2 πtt − = 2√3 -
3
2π≈ 1,37
Dengan Derive:
Dengan Derive: Int(x
x 42 −, x, 2, 4) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Untuk gambar: Plotint(x
x 42 −, x, 2, 4)
107
Soal-Soal Latihan
Dalam soal-soal 1-10, hitunglah integral tak-tentu yang ditunjukkan.
1. ∫ + dxxx 1
2. ∫+
dtt
t
43
3. ∫+ 4t
dt
4. ∫ + dxtt 2/3)23(
5. ∫−
dxx
x24
6. ∫ + 2/32 )4(x
dt
7. ∫−
dtt
t3
2 1
8. ∫−
−dz
z
z
21
32
9. ∫−
dxx
x
2
2
16
10. ∫−
dtt
t
21
Dalam soal-soal 11 -15, hitunglah integral tentu yang ditunjukkan.
11. ∫+
2
1 4t
dt
108
12. ∫ +
1
01
dtt
t
13. ∫−
3
222 1tt
dt
14. dtt
t∫−
−
−3
2
3
2 1
15. dxx
x∫
+
−π
π
π
022
1
109
8.4. Integrasi Parsial
Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, dimungkinkan menggunakan
substitusi ganda, yang disebut dengan integral parsial. Metode ini didasarkan pada
integrasi rumus untuk turunan hasilkali dua fungsi.
Andaikan u = u(x) dan v = v(x), maka
Dx[u(x).v(x)] = u(x).v’(x) + u’(x).v(x), atau
u(x)v’(x) = Dx[u(x).v(x)] - u’(x).v(x)
dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan diperoleh:
∫∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx, maka dapat ditulis,
∫∫ −= duvvudvu . (integral tak tentu)
∫∫ −=b
a
b
a
b
a
duvvudvu ].[ (integral tertentu)
Contoh 1:
Carilah ∫ dxxx )cos(
Jawab:
Misalkan, u = x, maka du = dx
dv = cos(x) dx, maka v = sin(x)
sehingga,
∫ dxxx )cos( = x.sin(x) - ∫ dxx)sin( = x.sin(x) + cos(x) +C
110
Dengan Derive:
Int_parts(u(x), v(x), x) adalah integrasi parsial u = u(x) dan v = v(x) yang
mengandung variabel x.
1. Tulislah: Int_parts(x, cos(x), x) enter, sama dengan.
2. Klik F4, tulis + c enter.
Jadi, ∫ dxxx )cos( = cos(x) + x.sin(x) + C
Contoh 2:
Carilah ∫ dxxx )sin(2
Jawab:
Misalkan, u = x2, maka du = 2x dx
dv = sin(x) dx, maka v = -cos(x)
111
sehingga,
∫ dxxx )sin(2 = -x2.cos(x) - 2 ∫ dxx cos
= -x2.cos(x) – 2(x.sin(x) +cos(x) +C)
= -x2.cos(x) – 2x.sin(x) + 2cos(x) + K
Pengerjaan dengan Derive:
1. Tulislah: Int_parts(x2, sin(x), x) enter, sama dengan.
2. Klik F4, tulis + c enter.
Jadi, ∫ dxxx )sin(2 = (2 -x2).cos(x) – 2x.sin(x) + K
112
Soal-Soal Latihan
Dalam soal-soal 1-5, Gunakan integrasi parsial untuk menentukan integral
berikut.
1. ∫ dxxe x
2. ∫ dxxx )cos(
3. ∫ + dttt 1
4. ∫ dxx)arctan(
5. ∫ dxx
x2
)ln(
Dalam soal-soal 6-8, Hitunglah integral tentu berikut.
6. dttt
e
)ln(1
∫
7. dxxecx∫2/
6/
2 )(cos
π
π
8. dxxx∫4/
6/
2 )(sec
π
π
Dalam soal-soal 9-12, Gunakanlah integrasi parsial dua kali untuk menghitung
integral berikut.
9. ∫ dxex x2
10. ∫ dtte t )cos(
11. ∫ dxxex x))sin(ln(
12. ∫ dxx 3))(ln(
113
DAFTAR PUSTAKA
Dudley, U. (1993). Reading for Calculus: Resources for Calculus collection
volume 5. USA: MAA
Freese, S.F; Stegenga, D.A (1999). Calculus Concepts Using Derive for Windows.
University of HawaiiL R & D Publishing.
Kutzler, B. (2003). Introduction for Derive 6.0. Texas USA: Texas Instruments.
Sanchis, G.R. (2004). A Calculus Laboratory Manual Using Derve. Eric Digest
Schiavone, P. (1997. Calculus Solutions. Scarborough, Ontario: Prentice Canada
Inc.
Schoenfeld, A.H. (1995). Student Assessment in Calculus: A Report of the NSF
orking Group on Assessment in Calculus. USA: MAA
Thomas, G.B. (1985). Calculus and Analytic Geometri (terjemahan oleh Akhmad
Sundjaya). Bandung: M2S.
Varberg, D; Purcell, E,J; Rigdon, S.E. (2003). Calculus 8th
Edition (Terjemahan
oleh I Nyoman Susila). Erlangga Bandung.