BAB 7. Integral€¦ · Integral Figure:Anti turunan Secara umum jika y0= dy dx atau dy = y0dx maka...
Transcript of BAB 7. Integral€¦ · Integral Figure:Anti turunan Secara umum jika y0= dy dx atau dy = y0dx maka...
Outline
BAB 7. Integral
Program Studi Teknik Mesin
Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember
June 18, 2019
Outline
1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral
Integral
Pengertian
MATEMATIKA LANJUT
1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral
Integral
Pengertian
Integral
Y Y ′ Y”
Turunan Turunan
Integral
Figure: Anti turunan
Secara umumjika y ′ = dy
dx atau dy = y ′dx maka∫
dy = y =∫
y ′
Dapat ditulisUntuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulis∫
F ′(x)dx = F (x) + c
Integral
Pengertian
Integral
Y Y ′ Y”
Turunan Turunan
Integral
Figure: Anti turunan
Secara umumjika y ′ = dy
dx atau dy = y ′dx maka∫
dy = y =∫
y ′
Dapat ditulisUntuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulis∫
F ′(x)dx = F (x) + c
Integral
Rumus dasar
MATEMATIKA LANJUT
1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a
n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1
x =∫
x−1dx = lnx + c
2. Integral fungsi trigonometri
1∫
cosx dx = sinx + c2
∫sinx dx = −cosx + c
3∫
sec2x dx = tanx + c4
∫cosec2x dx = −cotx + c
5∫
secxtanx dx = secx + c6
∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c
3. Bentuk exponen∫ax dx = ax
ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1
xln a + c
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x2 − 4x) dx =
2∫(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x2 − 4x) dx =
2∫(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =
Integral
Rumus dasar
Rumus dasar
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x2 − 4x) dx =
2∫(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =
Integral
Sifat
MATEMATIKA LANJUT
1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral
Integral
Sifat
Sifat
Sifat1
∫{f (x)± g(x) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2∫
k f (x) dx = k∫
f (x) dx
3∫ b−a f (x) dx = −
∫ ab f (x) dx
4∫ b−a f (x) dx +
∫ cb f (x) dx =
∫ c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2∫ 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat1
∫{f (x)± g(x) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2∫
k f (x) dx = k∫
f (x) dx
3∫ b−a f (x) dx = −
∫ ab f (x) dx
4∫ b−a f (x) dx +
∫ cb f (x) dx =
∫ c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2∫ 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat1
∫{f (x)± g(x) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2∫
k f (x) dx = k∫
f (x) dx
3∫ b−a f (x) dx = −
∫ ab f (x) dx
4∫ b−a f (x) dx +
∫ cb f (x) dx =
∫ c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2∫ 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat1
∫{f (x)± g(x) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2∫
k f (x) dx = k∫
f (x) dx
3∫ b−a f (x) dx = −
∫ ab f (x) dx
4∫ b−a f (x) dx +
∫ cb f (x) dx =
∫ c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2∫ 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat1
∫{f (x)± g(x) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2∫
k f (x) dx = k∫
f (x) dx
3∫ b−a f (x) dx = −
∫ ab f (x) dx
4∫ b−a f (x) dx +
∫ cb f (x) dx =
∫ c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2∫ 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat1
∫{f (x)± g(x) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2∫
k f (x) dx = k∫
f (x) dx
3∫ b−a f (x) dx = −
∫ ab f (x) dx
4∫ b−a f (x) dx +
∫ cb f (x) dx =
∫ c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2∫ 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat1
∫{f (x)± g(x) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2∫
k f (x) dx = k∫
f (x) dx
3∫ b−a f (x) dx = −
∫ ab f (x) dx
4∫ b−a f (x) dx +
∫ cb f (x) dx =
∫ c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2∫ 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Sifat
Sifat
Sifat1
∫{f (x)± g(x) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2∫
k f (x) dx = k∫
f (x) dx
3∫ b−a f (x) dx = −
∫ ab f (x) dx
4∫ b−a f (x) dx +
∫ cb f (x) dx =
∫ c−a f (x) dx
ContohTentukan integral dari soal berikut
1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =
2∫ 3
1 (9x + 6) dx =
Integral
Teknik pengintegralan
MATEMATIKA LANJUT
1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa1
∫x(3x − 1) dx =
2∫(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusiBentuk linier
∫(ax + b)n dx = 1
a .1
n+1 .(ax + b)n+1 + c
1∫(3x + 4)4 dx =
2∫(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:
∫4x(x2 + 9)5 dx= dan
∫sin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa1
∫x(3x − 1) dx =
2∫(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusiBentuk linier
∫(ax + b)n dx = 1
a .1
n+1 .(ax + b)n+1 + c
1∫(3x + 4)4 dx =
2∫(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:
∫4x(x2 + 9)5 dx= dan
∫sin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa1
∫x(3x − 1) dx =
2∫(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusiBentuk linier
∫(ax + b)n dx = 1
a .1
n+1 .(ax + b)n+1 + c
1∫(3x + 4)4 dx =
2∫(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:
∫4x(x2 + 9)5 dx= dan
∫sin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa1
∫x(3x − 1) dx =
2∫(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusiBentuk linier
∫(ax + b)n dx = 1
a .1
n+1 .(ax + b)n+1 + c
1∫(3x + 4)4 dx =
2∫(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:
∫4x(x2 + 9)5 dx= dan
∫sin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa1
∫x(3x − 1) dx =
2∫(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusiBentuk linier
∫(ax + b)n dx = 1
a .1
n+1 .(ax + b)n+1 + c
1∫(3x + 4)4 dx =
2∫(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:
∫4x(x2 + 9)5 dx= dan
∫sin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
a. Cara biasa1
∫x(3x − 1) dx =
2∫(x + 1)(3x − 5) dx =
b. Cara subtitusiBentuk linier
∫(ax + b)n dx = 1
a .1
n+1 .(ax + b)n+1 + c
1∫(3x + 4)4 dx =
2∫(sin2x + cos5x) dx =
Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:
∫4x(x2 + 9)5 dx= dan
∫sin3xcosx dx =
Integral
Teknik pengintegralan
Teknik pengintegralan
c. Integral parsial (pertemuan minggu depan)Bentuk umum integral parsial:
∫u dv = uv −
∫v du. Contoh:∫
3x .cos2x dx =
Integral
Penerapan integral
MATEMATIKA LANJUT
1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
L2
x = a x = b x = c
L1
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)
1 L1 =∫ b
a y dx
2 L2 = −∫ c
b y dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
L2
x = a x = b x = c
L1
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)
1 L1 =∫ b
a y dx
2 L2 = −∫ c
b y dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
L2
x = a x = b x = c
L1
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)
1 L1 =∫ b
a y dx
2 L2 = −∫ c
b y dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
y = c
L1
L2
y = a
y = b
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y )
1 L1 =∫ b
a x dy
2 L2 = −∫ c
b x dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
y = c
L1
L2
y = a
y = b
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y )
1 L1 =∫ b
a x dy
2 L2 = −∫ c
b x dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
y = c
L1
L2
y = a
y = b
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y )
1 L1 =∫ b
a x dy
2 L2 = −∫ c
b x dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y1 = f (x)
x = a x = b
Y2 = g(x)
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva
1 L =∫ b
a (y1 − y2) dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y1 = f (x)
x = a x = b
Y2 = g(x)
Figure: Menghitung luas daerah
a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva
1 L =∫ b
a (y1 − y2) dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y = f (x)
x = a x = b
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x
1 v =∏∫ b
a y2 dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Y = f (x)
x = a x = b
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x
1 v =∏∫ b
a y2 dx
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
X
y = b
y = a
X = f (y)
Y
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y
1 v =∏∫ b
a x2 dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
X
y = b
y = a
X = f (y)
Y
Figure: Menghitung volume benda putar
b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y
1 v =∏∫ b
a x2 dy
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Contoh1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,
x = 1 dan x = 3 !2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garis
y = 3x + 4 !
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Contoh1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,
x = 1 dan x = 3 !2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garis
y = 3x + 4 !
Integral
Penerapan integral
Penerapan integral
Contoh1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,
x = 1 dan x = 3 !2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garis
y = 3x + 4 !
Integral
Penerapan integral
Thank You