1

6. INTEGRAL

2

6. 1 Integral Tak Tentu F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila

Contoh

dan adalah anti turunan dari

karena F’(x) = f(x).

Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya berupa suatu bilangan konstan.

Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu.

Notasi :

IxxfxF )()('

3

3

1)( xxF

2)( xxf

CxxF 3

3

1)(

f x dx F x C( ) ( )

3

6.2 Sifat-sifat integral tak tentu

A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan

Cr

xdxx

rr

1.1

1

Cxdxx cossin.2

, r -1

Cxdxx sincos.3

Cxdxx tansec.4 2

Cxdxx cotcsc.5 2

4

B. Sifat Kelinieran

C. Integral dengan substitusi Misal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f, maka

Contoh : Hitung

Misal u = 2x + 1 sehingga

a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((

sin 2 1x dx

dxxgdu )('

dxdu 2 dudx 21

duudxx sin2

112sin

CxCu 12cos2

1cos

2

1

5

Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsi yang diintegralkan) hanya fungsi dari u

Contoh : Hitung

13 xu 23xdx

du

23x

dudx Jawab : Misal

Maka

dxxx 5103 )1(

dxxx 5103 )1(

3x

duxux

duxu 310

2510

3

1

3

Integranfungsi dru dan x

3x

Ctt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta

substitusi dengan menggunakan hubungan 13 xu 13 uxsehingga

duuuduuudxxx 1011105103 3/1)1(3/1)1( Cuu 1133112

361

Cxx 113331123

361 )1()1(

6

Soal Latihan

A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila

5103)( 2 xxxf

)6720()( 572 xxxxf

f xx x

( ) 1 63 7

f xx x

x( )

2 3 13 2

2

f x x( ) 3

4

1.

2.

3.

4.

5.

7

x x dx2 34 2

x x x dx2 23 2 2 3

3 3 72x x dx

5 1 5 3 22 3x x x dx 3

2 52

y

ydy

cos sin4 2 2 2x x dx

Selesaikan integral tak tentu berikut

6.

7.

8.

9.

10.

11.

dxxx 352 25212.

8

6.3 Notasi Sigma ( )Notasi sigma ( jumlah ) :

Sifat dan rumus sigma

dan...211

n

n

ii aaaa

k k k k nkn sukui

n

...

1

n

i

n

i

n

iiiii blaklbak

1 1 1

.1

n

i

nni

1 2

)1(.2

n

i

nnni

1

2

6

)12)(1(.3

n

i

nni

1

23

2

)1(.4

Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan induksi matematika

9

6.4 Integral TentuIntegral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang

menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada

selang tutup [ a,b ].

bxxxa n ...10

a b

Langkah :

1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian

},...,,,{ 210 nxbxxxaP disebut partisi dari [a,b].

2. Definisikan panjang partisi P, sebagai

11

|,||||| kkkk

nkxxxxMaksP

],[ 1 kkk xxc 3. Pilih k = 1, 2, ..., n

1x 1kx kx

kx

kc

10

a b2x 1kx kx

kx

kc

4. Bentuk jumlah Riemann

n

kkk xcf

1

)(

0|||| P

n

P kkk xcf

10||||

)(lim

Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann

n

k kxkcfn

b

a

n

k kxkcfPdxxf

1)(lim

1)(

0|||lim)(

Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg

)( kcf

11

Contoh Hitung 2

0

2 dxx

Jawab : Langkah

(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjangn

x 2

0 2x xxx

1x 2x 1ix ix 1nx

sehingga

00 x

nxx 2

1 0

n.xx 22

2 20

ni

i xix 20

………………………………………………

12

(ii) Pilih ii xc

(iii) Bentuk jumlah reiman

n

i

n

inn

iii xcf

1 1

22 2

n

inn

i

1

442

n

i

n

i ni

n 112

144

nn

n

)n(n

n

22

4

2

142

(iv) Jika n

2

0

2 222nn

limdxx

13

Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b] maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x antara garis x = a dan x = b

Sifat integral tentu

p f x q g x dx p f x dx q g x dxa

b

a

b

a

b( ) ( ) ( ) ( )

1. Sifat linear

2. Jika a < b < c, maka

f x dx f x dx f x dxa

c

a

b

b

c( ) ( ) ( )

14

f x dxa

a( ) 0 f x dx f x dx

a

b

b

a

( )3. dan

4. Bila f(x) ganjil , maka

a

a

dxxf 0)(

5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dxa

a

a( ) ( )

2

0

Contoh Hitung

3

3

24 7 dxxxx

Jawab

7)()()( 24 xxxxf )(724 xfxxx f(x) ganjil

073

3

24

dxxxx

15

Latihan

Jika diketahui: 2)(2

1

dxxg 4)(0

1

dxxg 3)(2

0

dxxf

g(x) fungsi ganjil, sedangkan f(x) fungsi genapHitung:

2

0

)( dxxg

2

2

)( dxxg

2

0

)](5)(3[ dxxfxg

2

2

)( dxxf

0

2

)( dxxf

2

2

)](8)(6[ dxxfxg

16

6.6 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)

6.6.1 TDK IMisal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).

Maka

Contoh Selesaikan integral tentu

Jawab : Misal u = 2x du = 2 dx. Maka

Sehingga

f x dx F b F aa

b( ) ( ) ( )

sin 2

2

x dx

1cos2cos2

12cos

2

12sin

2/2

xdxx

cxdxx 2cos2

12sin

17

Contoh hitung

5

1

|2| dxx

Jawab :

22

222

x,)x(

x,x|x|)x(f

5

1

2

1

5

2222 dxxdxxdx|x|

5

2

221

2

1

221 22 xxxx

= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )

= ½+9/2 = 5

18

6.6.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu) Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],

maka

Secara umum

)('))(()()(

xuxufdttfDxu

a

x

)()( xfdttfDx

a

x

)('))(()('))(()()(

)(

xuxufxvxvfdttfDxv

xu

x

19

2

4

31)(x

dttxG

x

dttxG1

31)(

.

Contoh Hitung G’(x) dari

a. b.

Jawab

a. 31)( ttf 31)(' xxG

b. 31)( ttf 2)( xxu

)()(1)(' 232 xDxxxG

612 xx

20

B. Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx( )0

5

f xx x

x x( )

,

,

2 0 2

6 2 5

f x

x x

x

x x

( )

,

,

,

0 1

1 1 3

4 3 5

1.

2.

3. f(x) = |x -1|

3

1

3

4

2)( xxxf 4.

21

Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut

3 12 3

1

0x x dx

8 7 2 2

3

3t t dt

x

x xdx

2

31

3 1

3

sin cos/

2

0

23 3x x dx

2

0sin dxx

dxxx 8

08625.

6.

7.

8.

9.

10.

22

Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari)(' xG

G xt

dtx

( )

1

121

G xt

dtx

x( )

1

12

2

G x t dtx

( ) sin 22

12

x

dssxG

)2tan()(

dtt

xGx

3

031

1)(

11.

12.

13.

14.

15.

23

16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dtt

txf

x

0

21

1)(

Jika f kontinu pada tentukan f(4). 2

0

)1(cos)(dan],0[x

xxdttf 17.

dtt

xxf

x

2

42

2

31)(dan ],2[ )2('fJika f kontinu pada , tentukan

.

18.

Hitung

x

xdt

t

t

x 04

2

30 16

1lim19.