Integral AntiTurunan...

Integral

Diberikan PadaPelatihan Guru-Guru Aceh Jaya

5 September 2013Oleh: Ridha Ferdhiana, M.Sc

AntiTurunan (Antiderivative)

AntiTurunan dari sebuah fungsi f adl sebuah fungsi F sedemikian hingga

F f

Ex.2( ) 3 2F x x

AntiTurunan dari ( ) 6f x x

krn ( ) ( ).F x f x adl

( )f x dxArtinya adl mendapatkan semua antiturunan dari f.

Pernyataan:

dibaca “integral tak tentu dari f terhadap x,”

( )f x dx

Tanda Integral Integrand

Integral Tak Tentu

x disebut peubah integrasi

Setiap antiturunan F dari f harus dalam bentuk F(x) = G(x) + C, dimana C adl sebuah konstanta.

Perhatikan 26 3xdx x C

Konstanta dari Integrasi

Mewakili semua antiturunan yang mungkin dari 6x.

Aturan Pangkat dari Integral TakTentu, Bagian I

1

if 11

nn x

x dx C nn

Ex.4

3

4

xx dx C

Aturan Pangkat dari Integral TakTentu, Bagian II

1 1lnx dx dx x C

x

x xe dx e C Integral TakTentu dari ex dan bx

ln

xx b

b dx Cb

Aturan Jumlah dan Kurang

( ) ( )kf x dx k f x dx

f g dx fdx gdx Ex.

( constant)k

4 43 32 2 2

4 2

x xx dx x dx C C

2 2x x dx x dx xdx 3 2

3 2

x xC

Aturan Perkalian dengan Konstan

Ex.

Contoh:

Ex. Dapatkan integral tak tentu dari:

273 2 6ue u du

u

213 7 2 6ue du du u du du

u

323 7 ln 6

3ue u u u C

Integrasi dengan Substitusi

Metode integrasi yang berhubungan dengan aturan rantai. Jika u adl fungsi dalam x, maka kita bisa mengunakan formula/persamaan

/

ffdx du

du dx

Integrasi dengan Substitusi

Ex. Dapatkan integral:

10

10

uC 9u du 103 5

10

xC

Subtitusi Integralkan Substitusi ulang

23

dudx

x

dxxduxu 23 3 maka ,5 Ambil

∫3x2(x3+5)9dx

2Let 5 7 then 10

duu x dx

x

Ex. Dapatkan

3 / 21

10 3/ 2

uC

3/ 225 7

15

xC

25 7x x dx

2 1/ 215 7

10x x dx u du

Tentukan u, dptkan du

Substitusi

Substitusi

Integralkan

3ln

dx

x xLet ln then u x xdu dx

Ex. Dapatkan

3

3ln

dxu du

x x

2

2

uC

2ln

2

xC

3

3 2

t

t

e dt

e 3

3Let +2 then

3t

t

duu e dt

e

Ex. Dapatkan

3

3

1 1

32

t

t

e dtdu

ue

ln

3

uC

3ln 2

3

teC

Ekspresi Integral yang mengandung ax + b

Aturan

1

1( 1)

nn ax b

ax b dx C na n

1 1lnax b dx ax b C

a

1ax b ax be dx e Ca

1

lnax b ax bc dx c C

a c

15

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

2

cos sin

sin cos

sec tan

xdx x C

xdx x C

xdx x C

Ex. 3cos 2sinx x dx3sin 2cosx x C

Integral Fungsi Trigonometri

16

Ex. Substitusi

dxxxx 6sin3Dapatkan 2

u=x2+6x

Jadi dudx

=2x+6=2 ( x+3 ) atau dx=du2 ( x+3 )

Penyelesaian:

CxxCuudu 62

1

2

1

2

1 2coscossin

dux

uxdxxxx32

1sin36sin3

shg integral, kedalamkan Substitusi

2

17

Substitusi

Ex. 2 3sinx x dx3

2Let then

3

duu x dx

x

1cos

3u C 31

cos3

x C

duudxxx sinsin3

132

18

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

tan ln cos

cot ln sin

sec ln sec tan

csc ln csc cot

xdx x C

xdx x C

xdx x x C

xdx x x C

19

Mengapa ? Cxxdx coslntan

Tuliskan tan x sbg (sin x)/(cos x) dan tetapkanu = cos x, shg:

x

dudx

xdx

du

xu

sindan

sin Jadi

cos

Cx

Cuu

du

x

du

u

x

dxx

xxdx

cosln

ln

sin

sincos

sintan

20

Integral mengandung (ax + b)

1sin cos

1cos sin

ax b dx ax b Ca

ax b dx ax b Ca

Ex. 7sin 3 5x dx

7cos 3 5

3x C

21

Integral mengandung (ax + b)

1tan ln cos

1cot ln sin

1sec ln sec tan

1csc ln csc cot

ax b dx ax b Ca

ax b dx ax b Ca

ax b dx ax b ax b Ca

ax b dx ax b ax b Ca

Integration by Parts

(Pengintegralan Perbagian)

TEKNIK PENGINTEGRALAN

• Setiap aturan turunan pasti mempunyai aturan integral yang berhubungan

– Contoh: Aturan Substitusi berhubungan dengan aturan rantai untuk turunan.


• Aturan integrasi yang berhubungan dengan aturan kali para turunan adalah aturan pengintegralan perbagian.


• Aturan Perkalian mengatakan, jika f dan g adalah fungsi yang bisa diturunkan, maka

PENGINTEGRALAN PERBAGIAN

( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )d

f x g x f x g x g x f xdx

• Penulisan integral tak tentu dari persamaan tsb menjadi

• atau

( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x g x f x dx f x g x

( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x dx g x f x dx f x g x


• Persamaan diatas bisa kita atur kembali spt:

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x g x dx f x g x g x f x dx

Rumus 1


• Jika u = f(x) dan v = g(x).

–Maka, turunannya adl:

du = f’(x) dx and dv = g’(x) dx


• Shg, dgn aturan substitusi, maka rumus integral perbagian menjadi:

u dv uv v du

Rumus 2


• Dapatkan ∫ x sin x dx

– Misal f(x) = x dan g’(x) = sin x dx.

– Maka, f’(x) = 1 dan g(x) = –cos x.

Contoh 1


• Menggunakan rumus 1:

– Coba turunkan fungsinya.

sin ( ) ( ) ( ) '( )

( cos ) ( cos )

cos cos

cos sin

x x dx f x g x g x f x dx

x x x dx

x x x dx

x x x C

Contoh 1


• Tujuan kita menggunakan pengintegralan perbagian adl untuk mendapatkan bentuk integral yg sederhana, jadi jika bentuknya lebih rumit (sulit) untuk diselesaikan maka pengintegralan kurang benar.

PERHATIKAN

• Dari contoh 1• Jika kita pilih u = sin x dan

dv = x dx , maka du = cos x dx dan v = x2/2.• Jadi, pengintegralan perbagian menjadi:

– Walapun benar namun x2cos x dx lebih susah diintegalkan.

221

sin (sin ) cos2 2

xx x dx x x dx

PERHATIKAN

• Jadi, dalam memilih u dan dv, sehrsnya u = f(x) dipilih sdh sehingga menjadi fungsi yg lebih sederhana ketika diturunkan.

– Namun, pastikan juga bahwa dv = g’(x) dx bisa diintegralkan dengan mudah.

PERHATIKAN

• Dapatkan ∫ ln x dx

Contoh 2

lnu x dv dx

1du dx v x

x


ln ln

ln

ln

dxx dx x x x

x

x x dx

x x x C

Contoh 2


MERASIONALKAN SUBSTITUSI

INTEGRAND MENGANDUNG

Substitusi dengan

Selesaikan

n√ax+b

Selesaikan

INTEGRAND MENGANDUNG

Substitusi dengan

Shg akan kita dapatkan

Selesaikan

Substitusi

Shg

Selesaikan

Substitusi

Shgdan

MELENGKAPKAN KUADRAT

Selesaikan

Jumlahan Riemann Jika f adl sbh fungsi yg kontinu, maka jumlahan Riemann dari n bagian yang sama untuk f sepanjang selang [a, b] didefinisikan sbg:

0 1 1( ) ( ) ... ( )nf x x f x x f x x

1

0

n

kk

f x x

0 1 1( ) ( ) ... ( )nf x f x f x x bagian adl dimana 10 bxxxa n

nabx /)(

Integral Tentu

Jika f adl fungsi yg kontinu, integral tentu f dari a ke b didefinisikan sbg

1

0

( ) limb n

kn

ka

f x dx f x x

fungsi f disebut integrand, angka a dan b disebut limits dari integrasi, dan peubah x disebut peubah dari integrasi.

Pendekatan Integral Tentu

Ex. Hitung jumlahan Riemann utk

integral menggunakan n = 10.2

2

0

x dx

1 9

2

0 0

1

5

n

k kk k

f x x x

2 2 2(1/ 5) (2 / 5) ... (9 / 5) (1/ 5)

2.28

Integral Tentu

dibaca “integral dari a ke b dari f(x)dx.”

( )b

a

f x dx

Peubah x bisa dirubah menjadi peubah apa saja, contoh

( ) ( )b b

a a

f x dx f t dt

Area dibawah Kurva

a b

Ide: Mendapatkan area sebenarnya (tepat/persis) dibawah kurva sbh fungsi.

( )y f x

Metode: Menggunakan tak hingga persegipanjang dgn lebar yg sama dan menghitung area dgn limit.

Lebar: b ax

n

(n persegi panjang.)

Memperkirakan Area

Perkirakan area dibawah kurva

Menggunakan n = 4.

2( ) 2 on 0,2f x x

0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )A x f x f x f x f x

1 1 30 1

2 2 2A f f f f

1 1 9 7

0 22 2 2 2

A

Area Dibawah Kurva

a b

( )y f x

f kontinu, taknegatif pada [a, b]. Area adl

1

0

Area limn

kn

k

f x x

( )b

af x dx

Teorema Dasar Kalkulus

Jika f adl fungsi yg kontinu pada [a, b].

2. Jika F adl sebarang antiturunan yang kontinu dari f dan bisa didefinisikan pada [a, b], maka

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a

1. If ( ) ( ) , then ( ) ( ). x

a

A x f t dt A x f x

Ex. 3 4 If ( ) 5 , find ( ). x

a

A x t tdt A x 3 4 ( ) 5A x x x

Teorema Dasar Kalkulus

Mengevaluasi Integral Tentu

Ex. Hitung5

1

12 1x dx

x

55 2

1 1

12 1 lnx dx x x x

x

2 25 ln 5 5 1 ln1 1

28 ln 5 26.39056

Substitusi untuk Integral Tentu

Ex. Hitung 1 1/ 22

02 3x x dx

2let 3u x x

then 2

dudx

x

1 41/ 22 1/ 2

0 02 3x x x dx u du

43/ 2

0

2

3u

16

3

Perhatikan bhw limit integrasi berubah

Menghitung Area

Ex. Dapatkan area yg dibatasi oleh sumbu x, garis vertikal x = 0, x = 2 dan kurva

23

02x dx

2x3 adl tak negatif pada [0, 2].

22 3 4

00

12

2x dx x 4 41 1

2 02 2

8

Antiturunan Teorema Dasar Kalkulus

22 .y x

Penggunaan Integral : Luas Kurva

Dapatkan area dibawah kurva y=x2+2

Dari x = 1 ke x = 2

Area=∫1

2

(x2+2)dx

=[x3

3+2x ]

1

2

=133

Penggunaan Integral : Luas Kurva

Dapatkan area dibawah kurva y=√x−1Sumbu y, y = 1 dan y= 5

Area=∫1

5

( y2+1)dy

=[ y3

3+ y ]

1

5

=4513

y2=x−1

x= y2+1

Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva

Area=Luas=∫a

b

[ f (x2)−f (x1)]dx=∫a

b

( y2− y1)dx


Area=∫c

d

f ( y)dy

Dapatkan area yang dibatasi oleh y=x3 , x=0,dan y=3

y=x3 , jadi x= y1 /3


Area=∫c

d

f ( y)dy

=∫0

3

( y1 /3)dy

=[34 y4 /3]0

3

=3.245


Dapatkan area yang dibatasi oleh y=x2+5x , dan y=3−x2

Area=∫a

b

( y2− y1)dy

kurva y=3−x2

diatas y=x2+5x


Titik perpotongan terjadi pada

x2+5x=3−x2→x=−3, atau x=0.5

Area=∫a

b

( y2− y1)dy

=∫−3

0.5

[(3−x2)−(x2+5x) ]dx

=∫−3

0.5

[3−5x−2x2 ]dx

=[3x−5x2

2−

2x3

3 ]−3

0.5

=14.29

Penggunaan Integral :Volume Benda Putar

Diberikan area yang dibatasi oleh y = 3x, sumbu x dan x=1

Diputar mengelilingi sumbu-x, 360 derajad


V=π r2 h

V=π y2 dx

Menurut integral Riemann

V=π∫a

b

y2dx V=π∫a

b

f 2(x)dx


V=π∫a

b

y2dx

=π∫0

1

(3x)2dx

=π∫0

1

9x2dx

=π [3x3 ]01=3π

Integral AntiTurunan...

Documents

Transcript of Integral AntiTurunan...