5.1 Pengertian Integral Tertentu · PDF fileIntegral Tertentu Thobirin, Kalkulus Integral ....
Transcript of 5.1 Pengertian Integral Tertentu · PDF fileIntegral Tertentu Thobirin, Kalkulus Integral ....
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 77
INTEGRAL TERTENTU
5.1 Pengertian Integral Tertentu Definisi 5.1.1
Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, , xn} dari
[a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < < xn = b.
Jika P = {x0, x1, x2, , xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P , didefinisikan
sebagai P = max{xi xi-11 = 1, 2, 3, , n}.
a = x0 x1 x2 xn = b. Contoh 1:
Pada interval [3, 3], suatu partisi P = {3, 211 , 21 , 31 , 2, 3}mempunyai norm:
P = max{ 211 (3), 21 ( 211 ), 31 ( 21 ), 2 31 , 3 2}
= max{ 23 , 1, 65 , 35 , 1}
= 35 .
Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, , xn} suatu partisi pada
[a,b], wi [xi-1, xi], dan xi = xi xi-1, maka disebut Jumlah Riemann f pada
[a,b].
=
n
iii xwf
1
)(
w1 w2 w3 w4 wi wn x0 = a x1 x2 x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1
y = f(x)
5
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 78
Contoh 2: Fungsi f pada [3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 1 dan P = {3, 211 , 21 , 31 , 2, 3} partisi
pada [3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = 2, w2 = 21 , w3 = 0, w4 = 211 , w5 = 322 .
w1 = 2 f(w1) = 3 x1 = 23 f(w1).x1 = 29
w2 = 21 f(w2) = 43 x2 = 1 f(w2).x2 = 43
w3 = 0 f(w3) = 1 x3 = 65 f(w3).x3 = 65
w4 = 211 f(w4) = 45 x4 = 35 f(w4).x4 = 1225
w5 = 322 f(w5) = 955 x5 = 1 f(w5).x5 = 955
Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas
adalah = =
5
1
)(i
ii xwf 9100 .
Jika P = {3, 211 , 1, 21 , 31 , 2, 2 21 , 3} partisi pada [3, 3] dan w1 = 2, w2 = 1, w3 = 21 , w4 = 0, w5
= 211 , w6 = 31 , serta w7 =2 43 tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [3, 3]
bersesuaian dengan partisi P ini. 2
Definisi 5.1.2
1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: Lxwfn
iiiP=
= 10
)(lim jika dan hanya jika
untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan positif sehingga untuk setiap partisi
P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b] dengan P < , berlaku =
n
iii Lxwf
1)( < .
2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan =
n
iiiP
xwf10
)(lim ini ada, maka limit tersebut
dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f
dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis . b
a
dxxf )(
Jadi = b
a
dxxf )( =
n
iiiP
xwf10
)(lim
3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a. = a
b
dxxf )( b
a
dxxf )(
b. Jika a = b maka = = 0 b
a
dxxf )( a
a
dxxf )(
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 79
Dari definisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika , maka
=
0)( >xf
b
a
dxxf )( =
n
iiiP
xwf10
)(lim secara geometris menyatakan luas daerah di bawah kurva
, di atas sumbu X, di antara garis x = a dan x = b. )(xfy = Contoh 3:
Jika f(x) = x + 3, tentukan .
+3
2
)3( dxx
Penyelesaian: -3 -2 -1 0 1 2 3
Y f(x) = x + 3
3
Buat partisi pada [2, 3] dengan menggunakan n interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang
setiap interval bagian adalah x = n5 .
Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi tersebut diambil wi = xi.
Akan dicari nilai =
n
iiiP
xwf10
)(lim .
X x0 = 2
x1 = 2 + x = 2 + n5
x2 = 2 + 2x = 2 + 2(n5 )
x3 = 2 + 3x = 2 + 3( n5 )
. :
xi = 2 + i.x = 2 + i( n5 )
. :
xn = 2 + n.x = 2 + n(n5 ) = 3
Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, , n dipilih wi = xi maka wi = 2 + i( n5 )= 2 +
ni5 , sehingga
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 80
f(wi) = wi + 3
= (2 + ni5 ) + 3
= 1 + ni5
Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah
=
n
iii xwf
1
)( = =
+
n
i nni
1
551
= =
+
n
i ni
n 1515
= ==
+n
i
n
i ni
nn 115515
= ==
+n
i
n
i
inn 1212515
= )}1({25)(5 212 ++ nnnn
n
= 5 +
+
n11
225
Jika P 0 maka n , sehingga:
=
n
iiiP
xwf10
)(lim =
++
nn11
2255lim
= 2117
Jadi =
+3
2
)3( dxx 2117 .
Contoh 4:
Tentukan . b
a
dx
Penyelesaian:
Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, , xn}
pada [a,b] dan sembarang titik wi [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, , n, maka
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 81
=
n
iii xwf
1)( = dan xi = xi xi-1
=
n
iix
1.1
= =
n
iii xx
11 )(
= (x1 x0) + (x2 x1) + (x3 x2) + + (xn xn-1)
= xn x0
= b a
Jadi =
n
iiiP
xwf10
)(lim = )(lim0
abP
= b a
Dengan demikian = b a. b
a
dx
Teorema 5.1.3 (Teorema Fundamental Kalkulus)
Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b]
(atau F(x) = f(x) untuk setiap x [a,b]), maka : = F(b) F(a) b
a
dxxf )(
F(b) F(a) biasa ditulis [ ]baxF )( Bukti:
Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b]. Karena F(x) = f(x) untuk setiap
x [a,b] maka F(x) = f(x) untuk setiap x [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, , n. Berdasarkan teorema
nilai rata-rata maka terdapat wi [xi-1, xi] sehingga
F(xi) F (xi-1) = F(wi) (xi xi-1)
= f(wi) (xi xi-1) i = 1, 2, 3, , n
Diperoleh:
=
n
iii xwf
1)( =
=
n
iiii xxwf
11 ))((
= =
n
iii xFxF
11 )}()({
= {F(x1) F(x0)} + {F(x2) F(x1)} + {F(x3) F(x2)} + + {F(xn) F(xn-1)}
= F(xn) F(x0)
= F(b) F(a)
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 82
=
n
iiiP
xwf10
)(lim = )}()({lim0
aFbFP
= F(b) F(a).
Jadi = F(b) F(a) b
a
dxxf )(
Contoh 5
+3
2
)3( dxx = [ ]3 2221 3 + xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 221221 ++ = 2117 . Contoh 6
Tentukan integral berikut.
1.
2
2
3dxx
2.
dxxsin
Teorema 5.1.4
Jika f integrable pada [a,b] dan c (a,b) maka = + b
a
dxxf )( c
a
dxxf )( b
c
dxxf )(
Teorema 5.1.5
1. k konstanta =b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
2. +=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({
3. Jika f(x) 0 untuk setiap x [a,b] maka 0. b
a
dxxf )(
4. Jika f(x) g(x) untuk setiap x [a,b] maka b
a
dxxf )( b
a
dxxg )(
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 83
5.2 Aplikasi Integral
5.2.1 Luas Daerah
Berdasarkan pengertian integral tertentu (Integral Riemann) pada definisi 5.1.2 dan
uraian di atas dapat dipahami bahwa jika , maka secara geometris
menyatakan luas daerah di antara kurva
0)( >xf
)(x
b
a
dxxf )(
fy = dan sumbu X serta dibatasi oleh garis-garis
x = a dan x = b. Jadi
=b
a
dxxfA )(
Contoh 7
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, sumbu X, garis x = 2 dan
garis x = 3.
Penyelesaian:
A = =
+3
2
)3( dxx [ ]3 2221 3 + xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 221221 ++ = 2117 .
Contoh 8
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, garis x = 2 dan garis
x = 2.
3xy =
Penyelesaian:
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 84
Y
)(xfy =
)(xgy =
a b X
Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(xfy = dan serta
garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di atas, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut
)(xgy =
{ } =b
a
dxxgxfA )()(
b
Contoh 9
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan . 4xy = 22 xxy =
Penyelesaian:
Menentukan batas-batas dicari dengan menentukan akar-akar persamaan
yang dapat kita temukan akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1.
24 2 xxx =
sehingga luasnya adalah A = = 1
0
42 )2( dxxxx1