5.1 Pengertian Integral Tertentu · PDF fileIntegral Tertentu Thobirin, Kalkulus Integral ....

download 5.1 Pengertian Integral Tertentu · PDF fileIntegral Tertentu Thobirin, Kalkulus Integral . 83. 5.2 Aplikasi Integral . 5.2.1 Luas Daerah . Berdasarkan pengertian integral tertentu

If you can't read please download the document

Transcript of 5.1 Pengertian Integral Tertentu · PDF fileIntegral Tertentu Thobirin, Kalkulus Integral ....

  • Integral Tertentu

    Thobirin, Kalkulus Integral 77

    INTEGRAL TERTENTU

    5.1 Pengertian Integral Tertentu Definisi 5.1.1

    Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, , xn} dari

    [a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < < xn = b.

    Jika P = {x0, x1, x2, , xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P , didefinisikan

    sebagai P = max{xi xi-11 = 1, 2, 3, , n}.

    a = x0 x1 x2 xn = b. Contoh 1:

    Pada interval [3, 3], suatu partisi P = {3, 211 , 21 , 31 , 2, 3}mempunyai norm:

    P = max{ 211 (3), 21 ( 211 ), 31 ( 21 ), 2 31 , 3 2}

    = max{ 23 , 1, 65 , 35 , 1}

    = 35 .

    Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, , xn} suatu partisi pada

    [a,b], wi [xi-1, xi], dan xi = xi xi-1, maka disebut Jumlah Riemann f pada

    [a,b].

    =

    n

    iii xwf

    1

    )(

    w1 w2 w3 w4 wi wn x0 = a x1 x2 x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1

    y = f(x)

    5

  • Integral Tertentu

    Thobirin, Kalkulus Integral 78

    Contoh 2: Fungsi f pada [3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 1 dan P = {3, 211 , 21 , 31 , 2, 3} partisi

    pada [3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = 2, w2 = 21 , w3 = 0, w4 = 211 , w5 = 322 .

    w1 = 2 f(w1) = 3 x1 = 23 f(w1).x1 = 29

    w2 = 21 f(w2) = 43 x2 = 1 f(w2).x2 = 43

    w3 = 0 f(w3) = 1 x3 = 65 f(w3).x3 = 65

    w4 = 211 f(w4) = 45 x4 = 35 f(w4).x4 = 1225

    w5 = 322 f(w5) = 955 x5 = 1 f(w5).x5 = 955

    Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas

    adalah = =

    5

    1

    )(i

    ii xwf 9100 .

    Jika P = {3, 211 , 1, 21 , 31 , 2, 2 21 , 3} partisi pada [3, 3] dan w1 = 2, w2 = 1, w3 = 21 , w4 = 0, w5

    = 211 , w6 = 31 , serta w7 =2 43 tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [3, 3]

    bersesuaian dengan partisi P ini. 2

    Definisi 5.1.2

    1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: Lxwfn

    iiiP=

    = 10

    )(lim jika dan hanya jika

    untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan positif sehingga untuk setiap partisi

    P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b] dengan P < , berlaku =

    n

    iii Lxwf

    1)( < .

    2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan =

    n

    iiiP

    xwf10

    )(lim ini ada, maka limit tersebut

    dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f

    dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis . b

    a

    dxxf )(

    Jadi = b

    a

    dxxf )( =

    n

    iiiP

    xwf10

    )(lim

    3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a. = a

    b

    dxxf )( b

    a

    dxxf )(

    b. Jika a = b maka = = 0 b

    a

    dxxf )( a

    a

    dxxf )(

  • Integral Tertentu

    Thobirin, Kalkulus Integral 79

    Dari definisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika , maka

    =

    0)( >xf

    b

    a

    dxxf )( =

    n

    iiiP

    xwf10

    )(lim secara geometris menyatakan luas daerah di bawah kurva

    , di atas sumbu X, di antara garis x = a dan x = b. )(xfy = Contoh 3:

    Jika f(x) = x + 3, tentukan .

    +3

    2

    )3( dxx

    Penyelesaian: -3 -2 -1 0 1 2 3

    Y f(x) = x + 3

    3

    Buat partisi pada [2, 3] dengan menggunakan n interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang

    setiap interval bagian adalah x = n5 .

    Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi tersebut diambil wi = xi.

    Akan dicari nilai =

    n

    iiiP

    xwf10

    )(lim .

    X x0 = 2

    x1 = 2 + x = 2 + n5

    x2 = 2 + 2x = 2 + 2(n5 )

    x3 = 2 + 3x = 2 + 3( n5 )

    . :

    xi = 2 + i.x = 2 + i( n5 )

    . :

    xn = 2 + n.x = 2 + n(n5 ) = 3

    Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, , n dipilih wi = xi maka wi = 2 + i( n5 )= 2 +

    ni5 , sehingga

  • Integral Tertentu

    Thobirin, Kalkulus Integral 80

    f(wi) = wi + 3

    = (2 + ni5 ) + 3

    = 1 + ni5

    Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah

    =

    n

    iii xwf

    1

    )( = =

    +

    n

    i nni

    1

    551

    = =

    +

    n

    i ni

    n 1515

    = ==

    +n

    i

    n

    i ni

    nn 115515

    = ==

    +n

    i

    n

    i

    inn 1212515

    = )}1({25)(5 212 ++ nnnn

    n

    = 5 +

    +

    n11

    225

    Jika P 0 maka n , sehingga:

    =

    n

    iiiP

    xwf10

    )(lim =

    ++

    nn11

    2255lim

    = 2117

    Jadi =

    +3

    2

    )3( dxx 2117 .

    Contoh 4:

    Tentukan . b

    a

    dx

    Penyelesaian:

    Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, , xn}

    pada [a,b] dan sembarang titik wi [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, , n, maka

  • Integral Tertentu

    Thobirin, Kalkulus Integral 81

    =

    n

    iii xwf

    1)( = dan xi = xi xi-1

    =

    n

    iix

    1.1

    = =

    n

    iii xx

    11 )(

    = (x1 x0) + (x2 x1) + (x3 x2) + + (xn xn-1)

    = xn x0

    = b a

    Jadi =

    n

    iiiP

    xwf10

    )(lim = )(lim0

    abP

    = b a

    Dengan demikian = b a. b

    a

    dx

    Teorema 5.1.3 (Teorema Fundamental Kalkulus)

    Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b]

    (atau F(x) = f(x) untuk setiap x [a,b]), maka : = F(b) F(a) b

    a

    dxxf )(

    F(b) F(a) biasa ditulis [ ]baxF )( Bukti:

    Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, , xn} pada [a,b]. Karena F(x) = f(x) untuk setiap

    x [a,b] maka F(x) = f(x) untuk setiap x [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, , n. Berdasarkan teorema

    nilai rata-rata maka terdapat wi [xi-1, xi] sehingga

    F(xi) F (xi-1) = F(wi) (xi xi-1)

    = f(wi) (xi xi-1) i = 1, 2, 3, , n

    Diperoleh:

    =

    n

    iii xwf

    1)( =

    =

    n

    iiii xxwf

    11 ))((

    = =

    n

    iii xFxF

    11 )}()({

    = {F(x1) F(x0)} + {F(x2) F(x1)} + {F(x3) F(x2)} + + {F(xn) F(xn-1)}

    = F(xn) F(x0)

    = F(b) F(a)

  • Integral Tertentu

    Thobirin, Kalkulus Integral 82

    =

    n

    iiiP

    xwf10

    )(lim = )}()({lim0

    aFbFP

    = F(b) F(a).

    Jadi = F(b) F(a) b

    a

    dxxf )(

    Contoh 5

    +3

    2

    )3( dxx = [ ]3 2221 3 + xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 221221 ++ = 2117 . Contoh 6

    Tentukan integral berikut.

    1.

    2

    2

    3dxx

    2.

    dxxsin

    Teorema 5.1.4

    Jika f integrable pada [a,b] dan c (a,b) maka = + b

    a

    dxxf )( c

    a

    dxxf )( b

    c

    dxxf )(

    Teorema 5.1.5

    1. k konstanta =b

    a

    b

    a

    dxxfkdxxkf )()(

    2. +=+b

    a

    b

    a

    b

    a

    dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({

    3. Jika f(x) 0 untuk setiap x [a,b] maka 0. b

    a

    dxxf )(

    4. Jika f(x) g(x) untuk setiap x [a,b] maka b

    a

    dxxf )( b

    a

    dxxg )(

  • Integral Tertentu

    Thobirin, Kalkulus Integral 83

    5.2 Aplikasi Integral

    5.2.1 Luas Daerah

    Berdasarkan pengertian integral tertentu (Integral Riemann) pada definisi 5.1.2 dan

    uraian di atas dapat dipahami bahwa jika , maka secara geometris

    menyatakan luas daerah di antara kurva

    0)( >xf

    )(x

    b

    a

    dxxf )(

    fy = dan sumbu X serta dibatasi oleh garis-garis

    x = a dan x = b. Jadi

    =b

    a

    dxxfA )(

    Contoh 7

    Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, sumbu X, garis x = 2 dan

    garis x = 3.

    Penyelesaian:

    A = =

    +3

    2

    )3( dxx [ ]3 2221 3 + xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 221221 ++ = 2117 .

    Contoh 8

    Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, garis x = 2 dan garis

    x = 2.

    3xy =

    Penyelesaian:

  • Integral Tertentu

    Thobirin, Kalkulus Integral 84

    Y

    )(xfy =

    )(xgy =

    a b X

    Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(xfy = dan serta

    garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di atas, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut

    )(xgy =

    { } =b

    a

    dxxgxfA )()(

    b

    Contoh 9

    Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan . 4xy = 22 xxy =

    Penyelesaian:

    Menentukan batas-batas dicari dengan menentukan akar-akar persamaan

    yang dapat kita temukan akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1.

    24 2 xxx =

    sehingga luasnya adalah A = = 1

    0

    42 )2( dxxxx1