Matematika SMA 73

HITUNG INTEGRAL

1.Integral tak tentu (tanpa batas)

a. Rumus-rumus

1) 11, 1

1

n nx dx x c nn

3) adx ax c

2) 1. , 11

n naa x dx x c n

n

4) 1 1

lnx dx dx x cx

b. Sifat-sifat Integral

1) . ( ) . ( )k f x dx k f x dx 2) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Contoh :

1. 27(7 5) 5

2x dx x x c

2. 2 2 2 2( 2) ( 4 4)x x dx x x x dx = 4 3 2 5 4 31 4( 4 ) 4

5 3x x x dx x x x c

3. 3

12

1 3 5

2 2 21 2

.3 5

12

x xdx x x dx x dx x c x c

A. Pemakaian Integral tak tentu

Contoh :

Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F

f(x) = 4x + 1

2( ) ( ) (4 1) 2F x f x dx x dx x x c

F(2)=17 22(2) 2 17c

10 17 7c c Jadi F(x)= 22 7x x

b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui dy

dx dan sebuah titik pada kurva.

Contoh :

Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x)

melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut.

Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti

2 4 atau (2 4)dy

x dy x dxdx

didapat bahwa y = f(x) = (2 4)dy x dx = 2 4x x C

grafik melalui titik (1,5) maka 25 1 4(1) 8C C

Jadi fungsi tersebut adalah 2 4 8y x x

BAB 14

Matematika SMA 74

c. Penerapan pada Fisika

Jika diketahui persamaan kecepatan yang merupakanfungsi dari waktu (v(t)), maka

persamaan jaraknya (s) diperoleh dengan : ds

v s vdtdt

Jika diketahui persamaan percepatan merupakan fugsi waktu (a(t)) maka persamaan

kecepatannya (v(t)) diperoeh dengan : dv

a v a dtdt

Contoh :

Sebuah partikel bergerak sepanjang s meter setelah t detikdan v adalah kecepatan partikel

pada t detik. Jika v = 3 – t dan s = 0 untuk t = 4. Tentukan panjang lintasan partikel itu.

21(3 ) 3

2

dsv s vdt t dt t t c

dt

s = 0 untuk t = 4 210 3.4 .4

2c

c = - 4 Jadi , 213 4

2s t t

II. Integral Tertentu

Contoh :

Hitung integral tertentu 4

0

xdx

32

4

0

42

03xdx x

3 232

2 2 1(4 0 ) (8 0) 5

3 3 3

Jika diperhatikan bentuk ( ) ( )

b

a

bf x dx F x

a = F(b) – F(a)

= - F(a) – F(b) = ( )

a

b

f x dx

Untuk ( ) ( ) ( ) 0

a

a

f x dx F a F a

Sifat-sifat :

1. [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

2. ( ) ( ) , k=konstanta

a a

b b

kf x dx k f x dx

3. ( ) ( ) ( ) , dengan a<c<b

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

Matematika SMA 75

y=f(x)

4. b

a

dx b a

Luas sebagai limit suatu jumlah

Secara umum Penggunaan integral sebagai berikut:

1. Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x0 dan sumbu X

a. Diatas sumbu X

b. Dibawah sumbu X

c. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) ; pada interval x = a dan x =

b

Contoh :

Luas daerah dibatasi oleh parabola 2 2 dan 4y x y x adalah …

A. 8 2 B. 16 2

3 C. 4 2 D.

8 2

3 E. 2

Jawab :

Titik potong kedua parabola Cara cerdik :

2 2 24 2 4x x x 2

2; 4

6

D DL D b ac

a

2 2 2x x 2 24 2 4x x x

( )

b

a

L f x dx

a b

a b

y=f(x)

a

b

( ) atau L= ( )

b

a

L f x dx f x dx

a

1 ( )y f x

1 ( )y f x

2 ( )y g x

b

b

1 2

a

( ) atau L= { ( ) ( )}

b

a

L y y dx f x g x dx

Matematika SMA 76

22

2 323 2

2

(4 2 ) 4L x dx x x

D = 32 2

32 32 162

6.2 3L

8 163 3

8 2 2 2

Untuk bentuk :

4. .

3L p q

2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi : y = f(x) , sumbu X , x = a dan

x = b yang diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y

(i) Diputar mengelilingi sumbu X

(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y

2

d

c

V x dy

2( ( ))

d

a

g y dy

3. Volume benda putar yang terjadi jika yang dibatasi oleh kurva 1 ( )y f x dan 2 ( )y g x

diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y

(i) Diputar mengelilingi sumbu X

y

(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y

a b

X

c

b

1 ( )y f x

2 ( )y g x

X

2 2

1 2( )

b

a

V y y dx 2 2{( ( )) ( ( ) }

b

a

V f x g x dx

2 2

1 2( )

d

c

V x x dy 2 ( )x g y

1 ( )x f y

= 2 2(( ( )) ( ( ))

d

c

f y g y dy

2

b

a

V y dx

2( ( ))

b

a

f x dx

(p,q)

Matematika SMA 77

Contoh :

2 3y x diputar 360 o mengelilingi Tentukan volume benda putar jika

sumbu X

Cara cerdik : 3

. .

30.

D DV

a

2

3

.9 . 9 81

1030.1V

III. Aturan Rantai untuk mencari Turunan Fungsi

Ingat kembali rumus Deferensial fungsi

1. 1( ) '( )n nf x ax f x anx 5. ( ) sin '( ) cosf x x f x x

2. ( ) ( ). ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x f x u x v x u x V x 6. ( ) cos '( ) sinf x x f x x

3.2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) '( )

( ) ( ( ))

u x u x v x u x v xf x f x

v x v x

7.

2

1( ) tan '( )

cosf x x f x

x

4. ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x

Untuk mencari turunan/deferensial untuk fungsi yang lebih rumit (majemuk) tetapi dapat

dipandang sebagai hasil dari komposisi beberapa fungsi digunakan aturan rantai turunan

fungsi.

1. Jika F(x)=(fog)(x) dengan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan , berlaku

F'(x)=f'(g(x)).g'(x)

2. Jika F(x)= (fogoho….), berlaku F'(x)=f'(h(h…..)).g'(h(..)).h'(…).

3. a. dalam notasi Leibniz:

Jika y = F(x)=fog)(x) dengan v = g(x); berlaku : .dy dy dv

dx dv dx

b. y = F(x) = (fogoho…), maka : ...

' . . .........

dy dy dv dwy

dx dv dw dx ( Dalil Rantai)

Pengertian fungsi komposisi ( majemuk ).

Jika fungsi f : A B dan g : B C maka fungsi F: A C yang melalui dua fungsi f dan g

dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi F : a ( )( ) ( ( ))g f a g f a

Contoh : 2( ) 3 2 dan ( ) cosf x x g x x maka :

2 2: ( )( ) ( ( )) (3 2) cos(3 2)F g f x g f x g f x g x x

X

g(f(a))

a F(a

)

A B C

Matematika SMA 78

Contoh :

Tentukan F'(x) jika diketahui F(x) = 31((2 3) )

2 3x

x

Jika F(x) = f(g(h(x))) = 3 31((2 3) ) maka ( )

2 3x f x x

x

,

1( )g x x

x , dan

( ) 2 3h x x

Sehingga F'(x) = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x)

= 2

2

1 13((2 3) ) .(1 .(2)

2 3 (2 3) ).x

x x

= 2

2

1 16((2 3) ) .(1

2 3 (2 3) )x

x x

Catatan :

Dalil rantai sering digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.

Nilai stasioner y = F(x) dicari dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut:

F(a) adalah nilai balik maksimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0

F(a) adalah nilai balik minimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0

F(a) adalah nilai balik horizontal jika F'(a) = 0 dan F''(a) = 0, dan F''(a) 0

Contoh :

Tentukan nilai stasioner dari 3( ) (2 1) 3 (2 1)f x x x dan sifatnya.

3 1

2 2( ) (2 1) 3(2 1)f x x x

1 1

2 23 1

'( ) (2 1) .2 3. (2 1) .22 2

f x x x

= 1 1

2 23(2 1) 3(2 1)x x

= 1

2

3(2 1) 3

(2 1)

x

x

f" (x) = 1 1

2 21 1

3. (2 1) .2 3( )(2 1) .22 2

x x

= 12

1

23(2 1) 3(2 1)x x

Syarat stasioner f'(x) = 0

Jadi , 3(2 2)

0 2 2 0(2 1)

xx

x

1x

Untuk x =1 maka :

F(1) = -2

F"(x) = 6 (positip)

Jadi , f(1) = -2 adalah nilai balik minimum

Matematika SMA 79

IV. Integral Fungsi Trigonometri

Rumus Integral Trigonometri

1. sin cosxdx x c

1sin( ) cos( )ax b dx ax b c

a

2. cos sinxdx x c 4. 2cos cotec xdx anx c

1cos( ) sin( )ax b dx ax b c

a 2 1

cos ( ) cot( )ec ax b dx ax b ca

3. 2sec tanxdx x c 5. tan sec secx xdx x c

2 1sec ( ) tan( )ax b dx ax b c

a 6. cot cos cosx ecxdx ecx c

Contoh :

3sin .cosx xdx

A. 414sin x c B. 41

2sin x c C. 21

4cos x c D. 1

3sin x c E. 41

3sin x c

Jawab :

3sin .cosx xdx 3cos (sin )x x dx Cara cerdik :

Misal : y = sin x 3 3sin .cos sin (sin )x xdx xd x

coscos

dy dy

dx xx dx 41

4sin x c

3

coscos ( )

dy

xx y

3 4 41 14 4

siny dy y c x c

V. Integral Substtitusi dan Integral parsial.

a. Integral Substitusi

a. 11

1

n nx dx x cn

11 dengan u=f(x),n -1

1

n nu du u cn

11( ) ( ) , 1

( 1)

n nax b dx ax b c na n

b. cos sinxdx x c

cos sin dengan ( )udu u c u f x

c. 11. .

' 1

n nvv u dx u c

u n

, u = f(x)

d. sin cos'

vv udx u c

u

cos ( ( )) ( ( ))'

nvv udx f x d f x

u

Matematika SMA 80

= 11( ( ))

1

nf x cn

Contoh :

Tentukan 2 5

dx

x

……misal u = 2x + 5 2

du

dx du = 2 dx dx =

1

2du

2 5

dx

x

12

1 112 2 2

1 1.2.

2 2

cduu du u

u

= 1

2 2 5u c x c

Catatan : Ciri suatu integral substitusi adalah jika integral tersebut merupakan integral hasil

kali dua fungsi yang satu merupakan kelipatan/turunan dari fungsi yang lain.

Contoh :

2 3 32 (4 1)x x dx

A. 3 412(4 1)x c B. 3 21

8(4 1)x c C. 3 31

4(4 1)x c D. 51

16(4 1)x c E. 3 41

24(4 1)x c

Jawab :

Misal : 34 1y x Cara cerdik :

2

212

12

dy dyx dx

dx x 1( ) , 1

'( )( 1)

n naaf x dx f syarat n

f x n

2 3 3 2 3

22 (4 1) 2 ( )

12

dyx x dx x y

x 2 32 , ( ) 4 1, 3a x f x x n

= 3 41 1

6 24y dy y c Hasil = 3 41

(4 1)24

x c

23 4

2

3 4

2(4 1)

12 (3 1)

1(4 1)

24

xx c

x

x c

1( ) ln ( )'( )

aaf x f x c

f x

b. Integral Substitusi Trigonometri.

Suatu integral yang variabelnya memuat bentuk 2 2 2 2 2 2, atau a x a x x a diselesaikan

dengan merasionalkan dengan menggunakan substitusi variable trigonometri.

FUNGSI INTEGRAN SUBSTITUSI DENGAN HASIL SUBSTITUSI

2 2a x x = a sin t 21 sin cosa t a t

2 2a x x = a tan t 21 seca tg t a t

2 2x a x = a sec t 2sec 1 tana t a t

Matematika SMA 81

Contoh :

216 x

Misal x = 4 sin t 2 216sinx t

Jadi 2 2 2 216 16 16sin 16(1 sin ) 4 cos 4cosx t t t t

4sin 4cosx t dx tdt

2 2 1 116 4cos .4cos 16 cos 16 ( cos2 ) 8 8 cos2

2 2x t tdt tdt t dt dt tdt

= (2 )

8 8 cos2 8 4sin 2 8 8sin cos2

d tt t t t c t t t c

c. Integral Parsial

Jika dalam mengintegralkan dengan substitusi tidak membuahkan hasil maka digunakanlah

integral ganda/bagian demi bagian atau integral Parsial.

Dengan memisalkan bahwa u = f(x) dan v = g(x)

Didapat du = f'(x) dx dan dv = g'(x) dx

Sehingga didapat rumus integral Parsial : .udv uv vdu

Atau : ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( )f x g x d x f x g x g x f x dx

Jika f(x) mempunyai turunan ke-n=0, maka beraku :

( ). ( ) ( ) integral I ( )f x g x dx f x g x turunan I f(x) x integral II g(x) turunan II f(x) x

integral III g(x) …… (tanda selalu berselang-seling)

Contoh :

cos2 ...x x dx

u x du dx

1 12 2

cos2 sin 2 sin 2x x dx x x xdx

= 1 12 4

sin2 cos2x x x c

contoh :

Tentukan 2 cos2 ..x xdx

Turunan integral

2x cos 2x

2x 12sin 2x

2 1

cos24

x

1

sin 28

x

2 2 1 1 12 4 8

cos2 . sin 2 (2 . cos2 ) 2( sin 2 )x xdx x x x x x c

1cos2 sin 2

2dv xdx v x

Matematika SMA 82

= 21 1 12 2 4

sin 2 cos2 sin 2x x x x x c

Soal Latihan :

1.

2

4

( 2)xdx

x

adalah …

a. 43

2 3

1 2x x x

c d. 43

2 3

1 2x x x

c

b. 42

2 3

1 2x x x

c e. 43

2 3

1 2x x x

c

c. 43

2 3

1 2x x x

c

2. 21

2

2

x x xdx

x x

a. ln x x c d. ln 2x x c

b. ln x x c e. ln x x c

c. lnx x c

3. Persamaan kurva yang memenuhi persyaratan 2

26

d y

dx kurva melalui ( 1 , 2 ) san sejajar

8x – y + 10 = 0 adalah …

a. 2( ) 3 14 9f x x x d. 2( ) 4 3f x x x x

b. 2( ) 3 3 1f x x x e. 3( ) 2 4f x x

c. 2( ) 2f x x x x

4. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik 29y x dan y = x + 3 adalah …

a. 9 b. 8 c. 34

d. 92

e. 83

5. 4

2

1

1...

xdx

x

a. 3 4 b. 1 4 c. 1 2 d. 4 5 e. 4 6

6. Luas daerah yang dibatasi oeh grafik 4 2 24 dan 5y x x y x adalah

a. 34

64 b. 54

21 c. 56

20 d. 56

50 e. 65

56

7. Volume daerah yang dibatasi oleh 2 2 dan 2y x y x diputar pada sumbu x adalah

a. 12

25 b. 34

20 c. 25

23 d. 35

6 e. 13

5

8. Gradien garis singgung kurva dititik (x,y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva melalui ( 4 , 7 )

memotong sumbu y di :

a. ( 0 , 11 ) b. ( 0 , 10 ) c. ( 0 , 9 ) d. ( 0 , 8 ) e. ( 0 , 7 )

9. 8cos(2 )x dx

a. 8 (2 )tg x c d. 4sin(2 )x c

b. 8cos(2 )x c e. 4cos(2 )x c

Matematika SMA 83

c. 8sin(4 )x c

10. 3 sec3 cot(2 )cos (2 ) ..tg x x x ec x dx

a. 4

cot(3 ) sin(2 )3

x x c d. 1 1

(3 ) ( ) (2 )3 2

tg x tg x c

b. 1 1

cos 3 ( )cos (2 )3 2

ec x ec x c e. 2 1

sec(3 ) ( )cos (2 )3 2

x x ec x c

c. 1 1

sec(3 ) ( )cos(2 )3 2

x x c

11. 28sin 7 .sin ...x xdx

a. 1 2

sin8 sin 64 3

x x c d. 1 2

sin8 sin 62 3

x x c

b. 1 2

sin8 sin 62 3

x x c e. 1 2

sin8 sin 62 3

x x c

c. 1 2

sin8 sin 62 3

x x c

12. 6sin cos ,x xdx adalah

a. 1

sin 78

x c b. 1

sin 76

x c c. 1

cos77

x c d. 1

sin 77

x c e. 1

sin 75

x c

13. 2/3(2 1) , ...x dx adalah

a. 33(2 1) 2 1

10x x c d. 32

(2 1) 2 110

x x c

b. 32(2 1) 2 1

10x x c e. 32

(2 1) 2 110

x x c c. 33(2 1) 2 1

10x x c

14. sin ...x xdx

a. –x cos x + sin x + c d. –x tg x - sin x + c

b. x sin x - sin x + c e. –x cos x + tg x + c

c. –x cos x + sin x + c

15. 1 ...x x dx

a. 22 4( 1) 1 ( 1) 1

3 15x x x x x c

b. 23 4( 1) 1 ( 1) 1

2 15x x x x x c

c. 22 4( 1) 1 ( 1) 1

3 15x x x x x c

d. 22 4( 1) 1 ( 1) 1

3 15x x x x x c

e. 22 4( 1) 1 ( 1) 1

3 15x x x x x c

Matematika SMA 84

Soal – soal Integral Ujian Nasional

Materi pokok : Integral tentu dan Teknik pengintegralan

1. Diketahui

3

2 .25)123(a

dxxx Nilai a2

1

=…. a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2

2. Nilai

0

.... dx cos.2sin xx

a. 3

4

b. 3

1

c. 3

1

d. 3

2

e. 3

4

3. Hasil dari

1

0

2 .... dx 13.3 xx

a. 2

7

b. 3

8

c. 3

7

d. 3

4

e. 3

2

4. Hasil dari ....cos5 xdx

a. Cxx sin.cos6

1 6

b. Cxx sin.cos6

1 6

c. Cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

d. Cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

e. Cxxx 53 sin5

1sin

3

2sin

5. Hasil dari ....cos).1( 2 xdxx

a. x2 sin x + 2x cos x + C b. ( x2 – 1 )sin x + 2x cos x + C c. ( x2 + 3 )sin x – 2x cos x + C d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C e. 2x sin x – ( x2 – 1 )cos x + C

6. Diketahui

3

2 .40)223(p

dxxx Nilai p2

1

=…. a. 2 b. 1 c. – 1

d. – 2 e. – 4

7. Hasil dari 2

0

....5cos.3sin

xdxx

a. 16

10

b. 16

8

c. 16

5

d. 16

4

e. 0

8.

0

....sin. xdxx

a. 4

b. 3

c. 2

d.

e. 2

3

9. Nilai

2

1

0

.....sin2 dxxx

a. 14

1 2

b. 2

4

1

c. 14

1 2

d. 12

1 2

e. 12

1 2

10. Nilai ....)1sin(. 2 dxxx

a. – cos ( x2 + 1 ) + C b. cos ( x2 + 1 ) + C c. –½ cos ( x2 + 1 ) + C d. ½ cos ( x2 + 1 ) + C e. – 2cos ( x2 + 1 ) + C

11. ....2sin. xdxx

a. Cxxx 2cos2

12sin

4

1

b. Cxxx 2cos2

12sin

4

1

c. Cxx 2cos2

12sin

4

1

d. Cxxx 2sin2

12cos

4

1

e. Cxxx 2sin2

12cos

4

1

Matematika SMA 90

12. 2

0

22 ....)cos(sin

dxxx

a. –½

b. 2

1

c. 0 d. ½

e. 2

1

13. Hasil ....2

1cos.2 xdxx

a. 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C b. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C c. 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C d. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C e. 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C

14. Hasil ....9 2 dxxx

a. Cxx 22 9)9(3

1

b. Cxx 22 9)9(3

2

c. Cxx 22 9)9(3

2

d. Cxxxx 2222 9)9(9

29)9(

3

2

e. Cxxx 222 99

19)9(

3

1

15. Nilai

1

0

6 ....)1(5 dxxx

a. 56

75

b. 56

10

c. 56

5

d. 56

7

e. 56

10

16. Hasil dari .....4cos.cos dxxx

a. Cxx 3sin3

15sin

5

1

b. Cxx 3sin6

15sin

10

1

c. Cxx 3sin3

25sin

5

2

d. Cxx 3cos2

15cos

2

1

e. Cxx 3sin2

15sin

2

1

Materi pokok : Luas Daerah 17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2

dan garis x + y = 6 adalah …satuan luas. a. 54 b. 32

c. 6

520

d. 18

e. 3

210

18. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

a. 2/3 b. 3

c. 3

15

d. 3

26

e. 9 19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah

…satuan luas.

a.

2

14

b. 6

15

c. 6

55

d. 6

113

e. 6

130

20. Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.

a. 5

Matematika SMA 91

b. 3

27

c. 8

d. 3

19

e. 3

110

21. Jika f(x) = ( x – 2 )2 – 4 dan g(x) = –f (x) , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan luas.

a. 3

210

b. 3

121

c. 3

222

d. 3

242

e. 3

145

22. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4 adalah …satuan luas

a. 6

14

b. 5 c. 6

d. 6

16

e. 2

17

23. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – 1, sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan luas.

a. 4

3

b. 2

c. 4

32

d. 4

13

e. 4

34

Materi pokok : Volume Benda Putar 24. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi

kurva y = – x2 + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume. a. 8

b. 2

13

c. 4

d. 3

8

e. 4

5

25. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum.

a. 5

67

b. 5

107

c. 5

117

d. 5

133

e. 5

183

26. Volume benda putar yang terjadi jika daerah

yang dibatasi oleh kurva y = 2

1

2x , garis y =

x2

1 dan garis x = 4 diputar 3600 terhadap

sumbu x adalah ….satuan volume.

a. 3

123

b. 3

224

c. 3

226

d. 3

127

e. 3

227

27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum.

a. 3

215

b. 5

215

c. 5

314

d. 5

214

e. 5

310

28. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 1, x = 1 , sumbu x, dan sumbu y diputar 3600 mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

a. 15

12

b. 2

c. 15

27

d. 15

47

e. 4

29. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2 dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah …. a. 4

b. 3

16

c. 8

d. 16

e. 3

92

Matematika SMA 92

30. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan sumbu x dari x=1, x = –1, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah ….

a. 15

4

b. 15

8

c. 15

16

d. 15

24

e. 15

32

31. Volume benda putar yang terjadi bila daerah pada kuadran pertama yang

dibatasi oleh kurva 4

12x

y , sumbu x,

sumbu y diputar mengelilingi sumbu x adalah … satuan volume.

a. 15

52

b. 12

16

c. 15

16

d.

e. 15

12

Kunci Jawaban Integral

1. D 2. E 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 8. D 9. C 10. C 11. A 12. A

13. A 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D 19. C 20. D 21. B 22. A 23. E 24. D

25. B 26. C 27. D 28. D 29. D 30. C 31. C

Matematika SMA 90

1. Diketahui

3

2 25123a

dxxx , nilai a2

1

3

23

2

2

3

3

a

xxx

=25

252

2

3

333

2

23

3

3 2323

aaa

253927 23 aaa

2539 23 aaa

1423 aaa

01423 aaa

2 1 1 1 -14 2a

2 6 14 1

2

1a

1 3 7 0 ( D )

2. Nilai

2

0

cos.2sin xx dx=

=

0

sin3sin2

1xx dx

0

cos2

13cos

6

1

xx

0cos

2

103cos

6

1cos

2

13cos

6

1

0000 0cos

2

10cos

6

1180cos

2

1540cos

6

1

1

2

11

6

11

2

11

6

1

2

1

6

1

2

1

6

1

3

4

6

8

6

3131

( E )

3. Hasil x5cos dx

= 4cos.cos x dx

= 22cos.cos xx dx

= 22sin1.cos xx dx

= dxxxx sinsin21cos 2

= xxxxx 42 sincossincos2cos

= xxx 53 sin5

1sin

3

2sin C

Matematika SMA 91

= xxx 53 sin5

1sin

3

2sin C ( D )

4. xx cos12 dx

)(

2 1 x xcos

x2 xsin

2(+) xcos

0 xsin

= xxxxxx sin2cos2sinsin2 +C

= Cxxxxx cos2sinsin2

= Cxxxx cos2sin12 ( B )

5.

3

2 40223p

dxxx

4022332 dxxx p

4022

2

3

33

23

dxxxx

p

40232332323

ppp

4026927 23 ppp

40224 23 ppp

016223 ppp

-2 -1 1 -2 -16 2 p

2 -6 16

-1 3 -8 0 12

1p

( C )

6.

Hasil dari 2

5cos.3sin

o

xdxx …

2

0

53sin53sin2

1dx

2

0

2sin8sin2

1dxxx

2

0

2sin2

18sin

2

1xdxx

90

0

2cos4

18cos

16

1xx

0cos

4

10cos

16

1180cos

4

1720cos

16

1

1

4

11

16

11

4

11

16

1

16

41

16

41

16

55

Matematika SMA 92

16

10 ( A )

7. Nilai

21

0

...sin2 xdxx

2

1

2

1

0 0

sin2 xdxxdx

xx cos0

2 21

0cos090cos2

1 2

2

14

1 2 ( C )

8. Nilai ...1sin 2 dxxx

x

xdxx

2

11sin

22

11sin2

1 22 xdx

cx 1cos2

1 2 ( C )

9. ...2sin xdxx

x

x

xx

2sin4

10

2cos2

11

2sin

cxxxjadi 2cos2

12sin

4

1 ( C )

10.

2

0

22 ...cossin dxxx

2

0

2cos xdx

2

02

)2(2cos

xdx

2

0

)2(2cos2

1xxd

90

0

2sin2

1

x

0.2sin

2

190.2sin

2

1

0

0.2

10.

2

1

( C )

Matematika SMA 93

11. Hasil ...

2

1cos2 xdxx

x2 x

2

1cos

2 x

2

1sin2

0 x

2

1cos4

cxxx

2

1cos8

2

1sin4 ( A )

12. Hasil ...9 2 dxxx

dxxx 2

129

x

xdxx

2

99

22 2

1

22 992

12

1

xdx

2

329

3

2.

2

1x

cxx 22 993

1 ( A )

13. Nilai

1

0

6...15 dxxx

5x 61 x

5 717

1x

0 81

56

1x

1

0

871

56

51

7

5

xxx

878701

56

5010

7

511

56

5111

7

5

6

5000

56

5 ( C )

14. Hasil dari ...4coscos xdxx

dxxx 3cos5cos2

1

xdxx 3cos2

15cos

2

1

cxx 3sin6

15sin

10

1 ( B )

15. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva2xy dan garis 6 yx adalah . . satuan

luas.

Jawab:

Matematika SMA 94

xyyx 66

2xy

26 xx

6,1,1

60 2

cba

xx

25

6.1.41

4

2

2

D

D

acbD

6

520

6

125

6

5.25

1.6

2525

6 2

L

L

L

L

a

DDL

( C )

16. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

x=3

Jawab:

dxxxxx

3

1

22 3456

3

1

2 8102 dxxx

31853

2 23

xxx

8)1(5

3

224)9(5)27.(

3

2

85

3

2244518

3

233

3

26 ( D )

562 xxy

342 xxy

Matematika SMA 95

17. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola

y= x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis

y = 4 adalah …satuan luas.

Jawab:

xy

xy

xy

2

2

2

12

120

20 2

atauxx

xx

xx

6

14

6

25

6

116

6

)2163(6

2

14

3

88

2

12

3

14

3

880

2

12

3

14

2

12

4)2(4

1

0

2

1

0

2

1

2

L

L

L

L

L

L

xxL

dxxdxxL

( A ) 18. Volume benda putar bila daerah yang

dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4

diputar 360o mengelilingi sumbu y

adalah….satuan volume.

Jawab:

y = -x2 + 4 y = -2x + 4

x2 = 4 – y 2x = 4 – y

x = 2 – ½y

y

y

4

2

42

y-4 2

)y 8y - (16 2

yyy 416816 2

40

0)4(

042

atauyy

yy

yy

Matematika SMA 96

3

8

3

168

12

648

12

1

2

1

4

1

4

1244

4

1244

2

124

4

0

32

4

0

2

4

0

2

4

0

2

4

0

2

V

V

V

yyV

dyyyV

dyyyyV

dyyyyV

dyyyV

( D )

19. Volume benda putar yang terjadi jika

daerah yang dibatasi oleh kurva 2

1

2xy ,

garis xy2

1 dan garis x = 4 diputar 360

o

terhadap sumbu x adalah …satuan volume.

Jawab:

xy 2 xy2

1

xx

xx

xx

44

10

4

14

2

12

2

160

44

10

atauxx

xx

3

226

12

1632

12

12

4

14

2

12

4

0

32

4

0

2

4

0

22

V

V

xxV

dxxxV

dxxxV

Matematika SMA 97

( C )

20. Volume benda putar yang terjadi bila darah

yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan

sumbu x dari x = 1, x = -1, diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah…

Jawab:

15

16

13

2

5

11

3

2

5

1

13

2

5

11

3

2

5

1

3

2

5

1

12

1

1

1

35

1

1

24

1

1

22

V

V

V

xxxV

dxxxV

dxxV

( C )