Slide 1

MATEMATIKA 2APLIKASI INTEGRALAhmad Wahyu Dani, ST, MT04TEKNIKTeknik ElektroModul ke:FakultasProgram StudiIntegral TerTentuIntegral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu.Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh : Dimana :

f(x): integrana: batas bawahb: batas atas

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

MATEMATIKA 25APLIKASI INTEGRALMATEMATIKA 261 Menghitung Luas Daeraha.Misalkan daerah

abf(x)D

Luas D = ?

Langkah :Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar)

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

Luas D = A =MATEMATIKA 27Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva sumbu x, dan x = 2.

2

Luas irisan

Luas daerah 7MATEMATIKA 28b) Misalkan daerah

h(x)g(x)ab

Luas D = ?Langkah :Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar)

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: Luas D = A =

Dh(x)-g(x)MATEMATIKA 29Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola

Titik potong antara garis dan parabolay=x+4-23

x = -2, x = 3

Luas irisan

MATEMATIKA 210

Sehingga luas daerah :Ctt :Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisanadalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubahuntuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua ataulebihMATEMATIKA 211Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,

dan y = -x + 2JawabTitik potong

2

x = -2, x = 1y=-x+21

Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harusdibagi menjadi dua bagian

Luas irisan ILuas irisan IIMATEMATIKA 212

Luas daerah ILuas daerah II

Sehingga luas daerah

MATEMATIKA 213c). Misalkan daerah

h(y)g(y)cd

DLuas D = ?Langkah :Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar)

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

Luas D = A =h(y)-g(y)MATEMATIKA 214

Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh dan

Jawab :Titik potong antara garis danparabola

y = -2 dan y = 1

-21

Luas irisan

MATEMATIKA 215Sehingga luas daerah :

Ctt :Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri.Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebihMATEMATIKA 2162 Menghitung volume benda putar2.1 Metoda Cakram

a. Daerah diputar terhadap sumbu xabf(x)D

Benda putarDaerah D? Volume benda putarMATEMATIKA 217abf(x)D

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danjari-jari f(x).

sehingga

f(x)MATEMATIKA 218Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x

2

Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari dan tebal

Sehingga

Volume benda putar

MATEMATIKA 219

b. Daerahdiputar terhadap sumbu ycdx=g(y)

DDaerah DBenda putar? Volume benda putarcdMATEMATIKA 220Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. cdx=g(y)D

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi g(y) dan alas diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danJari-jari g(y).

sehingga

MATEMATIKA 221Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y

4

Jika irisan dengan tinggi dan tebal diputar terhadap sumbu y akan diperolehcakram dengan jari-jari dan tebal

Sehingga

Volume benda putar

MATEMATIKA 2227.2.2 Metoda Cincin

a. Daerah diputar terhadap sumbu xh(x)g(x)abD

Daerah DBenda putar? Volume benda putarMATEMATIKA 223h(x)g(x)ab

DUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucincin dengan tebal dan jari jari luar h(x)dan jari-jari dalam g(x).

sehingga

h(x)g(x)MATEMATIKA 224Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1

2y=-11

DJika irisan diputar terhadap garis y=1Akan diperoleh suatu cincin denganJari-jari dalam 1 dan jari-jari luar

Sehingga

Volume benda putar :MATEMATIKA 225

7.2.3 Metoda Kulit TabungDiketahuif(x)abDJika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putarDaerah DBenda putarVolume benda putar ?MATEMATIKA 226Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. f(x)abD

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas serta berjarakx dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal xf(x)x

sehingga

MATEMATIKA 227Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y

2

Dx

Jika irisan dengan tinggi ,tebal dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi , tebal dan jarijari x

Sehingga

Volume benda putar

MATEMATIKA 228Catatan :Metoda cakram/cincinIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar- Metoda kulit tabungIrisan dibuat sejajar dengan sumbu putarJika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang samaContoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap Garis y = 4b. Garis x = 3

MATEMATIKA 229a. Sumbu putar y = 4(i) Metoda cincin

2

Dy=4

Jika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam =

Jari-jari luar =4

Sehingga

Volume benda putar

MATEMATIKA 230(ii) Metoda kulit tabung

2

Dy=4

yJika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh kulit tabung denganJari-jari = r =

Tinggi = h =

Tebal =

Sehingga

Volume benda putar

MATEMATIKA 231b. Sumbu putar x=3(i) Metoda cincin

2

D

x=3Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam =1

Jari-jari luar =3

Sehingga

Volume benda putar

MATEMATIKA 232(ii) Metoda kulit tabung

2

D

x=3xJika irisan diputar terhadap garis x=3diperoleh kulit tabung denganTinggi = h =

Jari-jari = r =33-x3-xTebal =

Sehingga

Volume benda putar

MATEMATIKA 233Soal LatihanA. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh

1.

2.3. y = x , y = 4x , y = -x +2B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x1.

2.

3.

MATEMATIKA 234C. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

(1) sumbu x(4) sumbu y (2) garis x = -1(5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4D. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

(1) sumbu x (3) sumbu y(2) garis x = 6 (4) garis y = -1 Terima Kasih

MENUAKHIRI