Aplikasi Integral Volume Benda Putar

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN

Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Matematika SMA/MAKelas XII IPA Semester 1

Berdasarkan Kurikulum Berbasis

Kompetensi (KBK)

9

2xy

Author Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Nama KASTOLAN, S.Pd.

Tempat Lahir Lamongan, 20 April 1970

Nama Sekolah MAN INSAN CENDEKIA SERPONG

Alamat Rumah

Jl. Cendekia BSD sektor XI

Serpong

Tangerang – Banten 15310

HP : 08128404280

E-mail : [email protected]

Alamat Sekolah

Jl. Cendekia BSD sektor XI

Serpong

Tangerang – Banten 15310

Telp. (021) 7563578

Fax. (021) 7563582

Jabatan Guru Matematika

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Kompetensi Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Menggunakan integral untuk menghitung

luas daerah dan volume benda putar.

Kompetensi Dasar

Setelah pembelajaran siswa diharapkan

dapat :

1. menggambarkan suatu daerah yang

dibatasi oleh beberapa kurva.

2. menentukan luas daerah dengan

menggunakan limit jumlah.

3. merumuskan integral tentu untuk luas

daerah dan menghitungnya.

4. merumuskan integral tentu untuk volume

benda putar dari daerah yang diputar

terhadap sumbu koordinat dan

menghitungnya.

Indikator Hasil Belajar

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Referensi Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Abdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang, 2005

Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1,

Erlangga, Jakarta 1996

Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII

Program IPA Jilid 3A, Yudhistira, Jakarta 2005

_______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun 2004,

Depdiknas, Jakarta 2004

________, Tutorial Maple 9.5

________, Encarta Encyclopedia

www. mathdemos.gcsu.edu

www. curvebank.calstatela.edu

www. clem.mscd.edu

www.mathlearning.net

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home

http://mathdemos.gcsu.edu/

http://mathdemos.gcsu.edu/

http://curvebank.calstatela.edu/

http://clem.mscd.edu/

http://www.mathlearning.net/

Readme Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Media Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk

membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan kulit tabung.

Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka

pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar. Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa.

Untuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri

agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara berurutan.

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington

Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di

buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian

jembatan tersebut runtuh karena badai yang

berkekuatan 68 km/jam.

NextBack

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home


Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas

membentuk partisi-partisi yang akan kita

temukan dalam pokok bahasan menghitung

luas daerah dengan menggunakan integral.

NextBack

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home


Bola lampu di samping

dapat dipandang

sebagai benda putar

jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan

dipelajari juga

penggunaan integral

untuk menghitung

volume benda putar.

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu

sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar.

Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda

putar dengan integral adalah:

partisi, aproksimasi,

penjumlahan, pengambilan

limit, dan menyatakan dalam

integral tentu.

Gb. 4

Home NextBack

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus

diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika

diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode

yang digunakan untuk menentukan volume benda putar

dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabungy

0 x

y

x

0x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

NextBack Home

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume mentimun

dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk

cakram.

NextBack Home


Bentuk cakram di samping

dapat dianggap sebagai tabung

dengan jari-jari r = f(x), tinggi h

= x. Sehingga volumenya dapat

diaproksimasi sebagai V r2h

atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

integral diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 xdxxf

a0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfr

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan

nyatakan dalam

bentuk integral.

y

2x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

Jawab

NextBack Home


y

h=x

x

x

12 xr

V r2h

V (x2 + 1)2 x

V (x2 + 1)2 x

V = lim (x2 + 1)2

x dxxV 2

0

22 )1(

dxxxV 2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh

360º.

Contoh 8.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

2

yy

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

Jawab

NextBack Home


V r2h

V (y)2 y

V y y

V = lim y y

dyyV 2

0

2

02

21 yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV 2

0

2V

NextBack Home

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan memotong-

motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

NextBack Home


Menghitung volume benda

putar dengan menggunakan

metode cincin dilakukan

dengan memanfaatkan

rumus volume cincin seperti

gambar di samping, yaitu V=

(R2 – r2)h

hr

R

Gb. 5

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan

nyatakan dalam

bentuk integral.

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

Jawab

NextBack Home


y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

V (R2 – r2) h

V [ (2x)2 – (x2)2 ] x

V (4x2 – x4) x

V (4x2 – x4) x

V = lim (4x2 – x4) x

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)( 532

332 V

)( 1596160V

1564V

NextBack Home

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan

volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar

disamping.

NextBack Home


rr

h

h

2rΔr

V = 2rhΔr

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar

mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 10.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi.

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

Jawab

NextBack Home


0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = xx

h = x2

0

x

1 21 2

y

1

2

3

4

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = lim 2x3x

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

NextBack Home


Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara

horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,

maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda

putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai

berikut.

0

x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

V (R2 – r2)y

V (4 - x2)y

V (4 – y)y

V = lim (4 – y)y

dxyV 4

04

4

0

2214 yyV

)816( V

8V

0

x

1 2x

2xy y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

Home NextBack


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat

dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....



0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

Soal 1.

A

B

C

D

E

Home Back Next






Soal 1.

0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Benar

Home NextBack






Soal 1.

dxx2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

0X

Y 2xy

2

4

x

x

4 - x2

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Benar

Home NextBack



A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

2-2

x

x

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Salah

Home NextBack



A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

L (8 – x2 -2x)

x dxxx )28(L2

0

2 ( Jawaban D )

319L

3

28

20

23318L xxx

416L 38

0X

Y

28 xy

xy 2

2

Jawaban Anda Benar

Home NextBack



A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

2

L (8 – x2 -2x)

x dxxx )28(L2

0

2 ( Jawaban D )

319L

3

28

20

23318L xxx

416L 38

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2

adalah ….


adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

Home Back Next



adalah ….


adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,4

29

L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21

0X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Benar

Home NextBack


( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,4

29

L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21


adalah ….


adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas 0X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....




adalah ....A

B

C

D

E

Soal 5.

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next





adalah ....




adalah ....A

B

C

D

E

Soal 5.

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V

Jawaban Anda Benar

Home NextBack


( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V




adalah ....




adalah ....A

B

C

D

E

Soal 5.

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home NextBack



sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….



A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next






A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40

221V x

8V

Jawaban Anda Benar

Home Back Next


( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40

221V x

8V





A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home Back Next

Media Presentasi Pembelajaran

Penggunaan Integral

Matematika SMA/MA kelas XII IPA Semester 1 Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi

Powered by : Kastolan, S.Pd.

Terima Kasih

Aplikasi Integral Volume Benda Putar

Documents

Transcript of Aplikasi Integral Volume Benda Putar