INTEGRAL GANDA -...
18
INTEGRAL GANDA Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δx k , k = 1, 2, 3, ….n Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A 1 , A 2 , A 3 …… An n k b a dx x f 1 k k n x ) f(x lim ) (
Transcript of INTEGRAL GANDA -...
INTEGRAL GANDA
Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, ….n
Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable.
Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An
n
k
b
a
dxxf1
kkn
x )f(xlim )(
Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk )
dan bentuklah jumlah :
Jika jumlah sub daerah makin besar (n→∞), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :
AyxfAyxfAyxfAyxf nnn
n
k
kkk
),(.......),(),(),( 222
1
111
n
k
kkkn
R
AyxfdAyxf1
),(lim),(
Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :
a.
dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variabel y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.
),( ),( RR
dxdyyxfdAyxf
b
a
yfy
yfy
dydxyxf
)(
)(
2
1
),(
b.
dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.
Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.
RR
dydxyxfdAyxf ),(),(
b
a
yfy
yfy
dxdyyxf
)(
)(
2
1
),(
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG
Bentuk umum :
dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }
a,b,c dan d adalah konstanta
d
R
c
a b
dxdyyxfdAyxfR
),(),(
Contoh :
1.
2.
3.
4.
1
0
2
1
dxdy
4
2
2
1
22 )( dxdyyx
4
2
2
1
2 )3( dydxyxy
4
2
2
0
)2cos(sin
drdr
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG
dimana :
R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }
)(f
)(
2
1
dx ),( ),( .
x
xfy
b
axR
dyyxfdAyxfa
dimana :
R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }
)(f
)(
2
1
dy ),( ),( .
y
yfx
d
cyR
dxyxfdAyxfb
Contoh
1 1
0
2
2
x
x
dydxxy
2
1
3
)( .2
y
y
dxdyyx
1
0 2
2
2
.3
xx
x
dydxx
2 2sin
2cos
2 .4
drd
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :
dapat dijelaskan sbb :
1. LUAS
Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi :
R
dAyxf ),(
RR
dydx dxdy A atau R
dAA
Dalam koordinat polar :
contoh :
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = 0, x + y = 2
dan 2y = x + 4
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh
parabola-parabola : y2 = 4 – x dan y2 = 4 – 4x
3. Hitung :
dengan R adalah daerah dikuadran pertama yang
berada diluar lingkaran r=2 dan di dalam
kardioda r = 2(1+cos ѳ)
2
1
2
1
d d
R
dAA
R
dAA
2. VOLUME
Jika z=f(x,y) adalah persamaan permukaan , maka:
adalah volume benda antara permukaan dan bidang xoy.
Contoh :
Hitung volume benda yang dibatasi oleh selinder
x2 + y2 = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0
R
dxdyyxfV ),(
3. Massa Jika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis (massa
persatuan luas ), maka :
merupakan massa dari benda itu.
contoh :
Sebuah lamina (pelat tipis) dengan kerapatan f(x,y)=xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 2 dan kurva y=x3
Tentukan massa totalnya.
R
dxdyyxf ),(
4. Pusat Massa Jika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina (pelat
tipis), maka pusat massanya : (x,y) adalah sbb :
,
Contoh :
Tentukan pusat massa dari lamina yang mempunyai
Kerapatan f(x,y) = xy dan dibatasi oleh sumbu x , garis
x = 2 dan kurva y = x3
S
SY
dAyxf
dAyxfx
M
Mx
),(
),(
S
SX
dAyxf
dAyxfy
M
My
),(
),(
5. Momen Inersia Momen Inersia dari pelat tipis yang mempunyai
Kerapatan f(x,y) terhadap sumbu x dan sumbu y
adalah :
,
Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z ( titik
asal ) :
Contoh :
Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z
Untuk lamina yang mempunyai kerapatan xy dan
dibatasi sumbu x , garis = 2 dan kurva y = x3
R
x dAyxfyI )..,(2
R
y dAyxfxI )..,(2
R
yxZ dAyxfyxIII )..,()( 22
INTEGRAL LIPAT TIGA Integral lipat tiga dari suatu fungsi tiga
variabel bebas thd. daerah R, dimana fungsi bernilai
tunggal dan kontinu, merupakan suatu pengembangan
dari integral tunggal dan integral lipat dua.
Jika f(x,y,z) = 1, maka integral menjadi :
dapat diartikan pengukuran
volume daerah R
R
dVzyxf ),,(
dVdVzyxfR
),,(
Dalam koordinat tegak lurus , integral tersebut dapat
dinyatakan dalam bentuk :
dimana :
x1 ≤ x ≤ x2
y1 (x) ≤ y ≤ y2(x)
z1 (x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)
2
1
2
1
2
1
)(
)(y
),(
),(
z)dzdydxy,f(x, ),,(
x
x
xy
x
yxz
yxzR
dVzyxf
Contoh :
2
1
3
2
4
3
dzdydx xyz .1
1
0 x 02
dzdydx 2z .2
x xy
1
0 2-x 0
2
dzdydx 2xz .3
x yx
1
0
2
x
2
0
dzdydx 2z)(x .4
x yx
