Integral dan Aplikasinya dalam...

Achmad Fahrurozi

Universitas Gunadarma

Integral dan Aplikasinyadalam Ekonomi

1Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma

Anti Turunan/Integral Tak Tentu

• Diketahui fungsi F (x) dan turunannya sebagai berikut:

• Secara umum jika F (x) = x2 + C , dengan C ∈ R, berlaku F’(x) = 2x


Pada bagian ini akan dipelajari proses kebalikan dari turunan. Diberikan F’(x) = 2x, tentukan aturan F (x).

• Dugaan kita: F (x) = x2 + C dengan C sebarang bilangan real.

• Apakah ada jawaban lain ?

• Gunakan sifat berikut ini untuk menjawabnya:

Misalkan F dan G dua buah fungsi dengan sifat F’(x) = G’(x). Maka terdapat konstanta C sehingga F(x) = G(x)+ C.

Jadi, Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f, dinotasikan A(f ) atau ∫ f (x) dx jika F’(x) = f(x).


Sifat-sifat ant turunan:

1. Misal r ∈ Q, r ≠ -1. Maka

2. Misal r ∈ Q, r ≠ -1. Maka

3. dan

4.


Cxr

dxx rr

1

1

1

Cur

dxxuu rr

1

1

1)('.

Cxxdx cossin Cxxdx sincos

dxxfkdxxkf )()(

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

• Latihan Soal:

Tentukan anti turunan berikut:

1. 4.

2. 5.

3. 6.


dx

xx 45

34

dx

x

xx5

56 834

dxxx 273 15.85

dttt3 2 128

xdxx cos.sin10

dxx

Aplikasi Integral Tak Tentu DalamBidang Ekonomi• Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari

fungsi-fungsi ekonomiyang merupakan fungsi primitif (fungsiasal) dari fungsi marginalnya, diantaranya mencari:

1. Fungsi biaya total dari fungsi biaya marginal,

2. Fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal,

3. Fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,

4. Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal serta

5. Fungsi kapital dari fungsi investasi.

• Fungsi marginal merupakan turunan dari fungsi total, makaproses sebaliknya merupakan proses integrasi (integral).


Fungsi Biaya Total (TC)

• Fungsi Biaya Total TC = f(Q)

• Telah dipelajari sebelumnya bahwa Biaya Marginal (MC) adalah turunan pertama dari TC, ditulis:

• Dengan demikian, Biaya total merupakan integral dari biayamarginalnya, disimbolkan:

)(' QTCdQ

dTCMC

dQMCTC


• CONTOH:

Biaya Marginal suatu perusahaan adalah:

Hitung persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya ?

• Jawab:

• Biaya total

• Biaya Rata-rata

dimana k = besarnya biaya tetap ( fix cost )

463 2 QQMC

MCdQTC)(

kQQQdQQQTC 43)463( 232

Q

kQQQ

Q

TCAC

43)(

23

Q

kQQAC 432


Fungsi Penerimaan Total (TR)

• Fungsi Penerimaan total TR = f(Q)

• Telah dipelajari sebelumnya bahwa Fungsi PenerimaanMarginal (MR) adalah turunan pertama dari TC, ditulis:

• Dengan demikian, Biaya total merupakan integral dari biayamarginalnya, disimbolkan:

)(' QTRdQ

dTRMR

dQMRTR


• CONTOH:

Carilah penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatuperusahaan jika penerimaan marginalnya

• Jawab:

• Penerimaan total

• Biaya Rata-rata

Dalam persamaan penerimaan, sebab penerimaan tidak adajika tidak ada barang yang dihasilkan / dijual.

QMC 416

MRdQTR

2216)416( QQdQQTR

Q

QQ

Q

TRAR

2216

QAR 216


Fungsi Konsumsi (C)

• Fungsi Konsumsi C = f(y)

• Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsimarginalnya (MPC), dan sebaliknya konsumsi merupakanturunan pertama dari fungsi konsumsi. Secara matematisditulis:

dan

)(' yCdy

dCMPC

dyMPCC


Fungsi Tabungan (S)

• Fungsi Tabungan S = f(y)

• Fungsi tabungan merupakan integral dari tabunganmarginalnya (MPS), dan sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan. Secaramatematis ditulis:

dan

)(' ySdy

dSMPS

dyMPSS


Fungsi Modal/Kapital (K)

• Fungsi Modal K = f(t)

• Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan integral dari (aliran) investasi bersih (I) dansebaliknya investasi bersih merupakan turunan pertama darifungsi kapital. Secara matematis ditulis:

dan

)(' tKdt

dKI

dttIK )(


Achmad Fahrurozi


Integral Tentu


Luas Daerah di Bidang

• Archimedes (sekitar 2000 tahun lalu)

• A(Pn) ≤ L (Luas Lingkaran)

• Sehingga LPA nn

)(lim



• L ≤ A(Tn)

• Sehingga

• Diperoleh kesimpulan: (luas lingkarandengan jari-jari 1 adalah )

)(lim nn

TAL

L


Luas Daerah di Bidang• Perhatikan sebuah keping tipis di bidang.

Bagaimana cara menentukan luas keping tersebut?

• Pola yang dilakukan Archimedes ditiru dengan caramenghampiri keping tersebut dengan persegipanjang-persegi panjang.


Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

Perhatikan daerah yang dibatasi oleh f (x) = x2, sumbu-x, garis x = 1 dan garis x = 3. Misalkan luasdaerah ini adalah K. Luas ini akan dihampiri denganpoligon-poligon luar seperti pada gambar di bawah.


• Partisikan interval [1, 3] atas n bagian, sama lebar.

• Lebar tiap subinterval: ∆x =

• P : 1 = x0 < x1 < ··· < xn-1 < xn = 3

dengan xi = 1 + i.∆x =

• Perhatikan interval ke-i, yaitu [xi-1, xi].

• Bentuk persegi panjang dengan lebar ∆x dan tinggif(xi)

• Luas persegi panjang ini: L(∆Rn) = f (xi).∆x.

• Lakukan proses ini untuk i = 1, 2, ··· , n.

• Luas seluruh persegi panjang adalah:

L(Rn) = f (x1) ∆x + f (x2) ∆x + f (x3) ∆x + ··· + f (xn) ∆x

nn

213

n

i21


• Jelas , sehingga:

3

26

n

nRLLim

3

26

n

nRLLimK nRLK


Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Perhatikan daerah yang dibatasi oleh f (x) = x2, sumbu-x, garis x = 1 dan garis x = 3. Misalkan luasdaerah ini adalah K. Luas ini akan dihampiri denganpoligon-poligon dalam seperti pada gambar dibawah.


• Partisikan interval [1, 3] atas n bagian, sama lebar.

• Lebar tiap subinterval: ∆x =

• P : 1 = x0 < x1 < ··· < xn-1 < xn = 3

dengan xi = 1 + i.∆x =

• Perhatikan interval ke-i, yaitu [xi-1, xi].

• Bentuk persegi panjang dengan lebar ∆x dan tinggif(xi)

• Luas persegi panjang ini: L(∆Tn) = f (xi-1).∆x.

• Lakukan proses ini untuk i = 1, 2, ··· , n.

• Luas seluruh persegi panjang adalah:

L(Tn) = f (x0) ∆x + f (x1) ∆x + f (x2) ∆x + ··· + f (xn-1) ∆x

nn

213

n

i21


• Jelas , sehingga:

3

26

n

nTLLim

KRLLim nn

3

26 KTL n


Dari hasil terakhir ini, diperoleh:

Jadi K =

Fenomena ini menunjukan bahwa perhitungan luastidak bergantung pada jenis poligon yang dipakai. Untuk n → ∞ keduanya memberikan hasil yang sama.

3

26

3

26 K

3

26


Latihan: Ikutilah prosedur seperti contoh sebelumnyauntuk menghitung luas daerah yang dibatasi olehgrafik-grafik berikut:

(a) y = x2 + 1; x = 0; x = 2.

(b) y = x3; x = 1; x = 4.


Jumlah Riemann

• Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval tutup[a, b].


• Partisikan interval [a, b] atas n bagian (tidak perlu samalebar)

P : a = x0 < x1 < ··· < xn-1 < xn = b dan sebut ∆xi = xi−xi-1

• Pada setiap subinterval [xi-1, xi], pilih titik wakil , i =1, 2,··,n

Jumlahan disebut Jumlah Riemann dari f.

ix

i

n

i

iP xxfR

.1 29Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma

Perhatian !1. Nilai sebuah jumlah Riemann tidak tunggal, tergantungpada pemilihan: ’banyaknya interval’, ’lebar tiap interval’ dan ’titik wakil yang digunakan’.

2. Suku f (xi).∆Xi pada jumlah Riemann dapat bernilainegatif sehingga RP hasilnya juga dapat negatif.

Contoh:1. Tentukan suatu jumlah Riemann dari f(x)=x3 + 2x pada[1,5].2. Tentukan suatu jumlah Riemann dari f(x)=x2 + 1 pada[−1,2] memakai 6 subinterval sama lebar dan titikwakilnya adalah ujung kanan tiap subinterval.


Integral Tentu

Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilaivariable bebasnya memiliki batas-batas tertentu.Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area suatufungsi.

Misalkan f terdefinisi pada interval [a, b] dengan P , ∆xi danmempunyai arti seperti pada pembahasan sebelumnya. Tetapkan|P |, dibaca P Norm, sebagai panjang dari subinterval yang paling lebar.Jika ada maka disebut integral tentu/

Riemann dari f pada [a, b], dinotasikan:

i

n

i

iP

xxfLim

.

10

i

n

i

iP

b

a

xxfLimdxxf

.)(

10

ix


Diskusi:• Benarkah : jika n →∞ maka |P | → 0• Benarkah : jika |P | → 0 maka n →∞

Kesimpulan:

Jika .................... maka i

n

i

in

b

a

xxfLimdxxf

.)(

1


Arti Geometris Integral Tentu

bawahatas

b

a

AAdxxf )(


Sifat-Sifat Integral Tentu

1.

2. Sifat linier. Misalkan k sembarang konstanta, maka:

3. Sifat Penambahan Selang.Misalkan f terintegralkanpada interval yang memuat titik a, b dan c, maka:

a

b

b

a

a

a

dxxfdxxfdxxf )()(dan 0)(

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfkdxxgxkf )()()()(

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(


Sifat-Sifat Integral Tentu

4. Jika maka:

5. Misalkan N, M konstanta danmaka:

Ilustrasikan sifat ke 3 s/d 5 dengan grafik !

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

)()()( abMdxxfabN

b

a

],[ )()( baxxgxf

MxfN )(


• Fungsi-fungsi berikut terintegralkan sepanjang [a, b]:1. Polinom2. fungsi rasional (syarat penyebut tidak nol sepanjang [a,

b])3. fungsi sinus dan cosinus.

Contoh Soal:1. Dengan konsep limit jumlah Riemann, hitunglah:

a. b.

2. Nyatakan limit berikut sebagai bentuk suatu integral tentu:

a. b.

2

1

2 82 dxx

2

1

dxx

n

in nn

iLim

1

44

n

in nn

iLim

1

331


Teorema Dasar Kalkulus 2

Misalkan f kontinu di [a, b] dan F suatu anti turunandari f, maka:

• Contoh:

1.

2. (substitusikan: )

b

a

aFbFdxxf )()()(

2

1

2 )82( dxx

622 xxu

1

0

2 62

1dx

xx

x


Perhitungan Luas Daerah/Keping

Perhatikan daerah/keping yang dibatasi oleh fungsi positiff(x), garis x = a, garis x = b dan sumbu-x. Akan dihitung luasdaerah/keping tersebut memakai konsep integral.

Ilustrasi:


• Bentuk partisi P : a = x0 < x1 < ··· < xn-1 < xn = bPerhatikan elemen partisi ke i, yaitu [xi-1, xi]

• Pilih titik wakil ∈ [xi-1, xi]

• Bentuk persegipanjang dengan lebar ∆xi = xi − xi-1 danpanjang• Luas elemen ke i adalah

• Luas seluruh n persegipanjang adalah:

• Luas daerah seluruhnya adalah:

n

i

ii

n

i

i xxfL11

).(

b

a

n

i

iiP

dxxfxxfLimL )().(1

0

iii xxfL ).(

)( ixf

ix


Perhatikan bahwa:

• Tanda berubah menjadi

• Nilai fungsi berubah menjadi f(x).

• Besaran ∆xi berubah menjadi dx.

• Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) = x3+3x2, garis x = 1, garis x = 3 dan sumbu-x !

n

iPLim

10

b

a

)( ixf


Luas Daerah/Keping di Bawah Sumbu-x

Bagaimana bila fungsi f memuat bagian negatif (lihatilustrasi). Prinsip menghitung luas daerahnya samasaja dengan ilustrasi sebelumnya, hanya nilai fungsi f harus dihitung positif.

Ilustrasi:


• Jadi luasnya L =

• Untuk menghindari tanda mutlak biasanya dihitungdengan cara sebagai berikut:

b

a

dxxf )(

b

d

d

c

c

a

IIIIII

dxxfdxxfdxxf

LLLL

)()()(


Luas Daerah/Keping Dibatasi Dua Kurva

Perhatikan bentuk keping yang lebih umum denganbatas-batas: fungsi f (x), fungsi g(x), garis x = a dan garis x = b. Prinsip dasar: gambarkan elemen luasnya lalutentukan panjang dan lebar dari elemen tersebut.Ilustrasi:


Luas elemen integrasi:

Luas daerah seluruhnya:

iiii xxgxfL .)()(

dxxgxfL

b

a

)()(


Luas Daerah/Keping Atas Sumbu-Y

Alternatif lain dari keping di bidang adalah seperti padagambar di bawah ini. Keping ini dibatasi oleh grafik x = f (y), garis y = c, garis y = d, dan sumbu-y. Pada kasus inipartisi dibuat pada sumbu-y sepanjang interval [c, d].

P : c = y0 < y1 < ··· < yn-1 < yn = d

Luas elemen integrasi:

Luas daerah seluruhnya:iii yyfL ).(

d

c

dyyfL )(45Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma

Contoh Soal:Pada gambar-gambar di halaman berikutnya, lakukanlahsebagai berikut:• Nyatakanlah batas-batas daerah yang dimaksud• Gambarkan elemen integrasi untuk menghitung luas

daerahnya.• Tuliskan rumus elemen luasnya.• Tuliskan rumus luasnya sebagai integral tentu.


(a) (c)

(b) (d)


Soal Latihan:1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik-grafik

y=x+6, y = x3, dan 2y + x = 0 !

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = √x, sumbu-y, garis y = 0 dan garis y = 1 !

3. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengankecepatan v(t) = 3t2 − 24t + 36. Tentukan perpindahandan jarak tempuh keseluruhan selama interval waktu−1 ≤ t ≤ 9.


Soal Latihan:4. Misalkan ; untuk 1 ≤ x ≤ 6

a. Hitung luas daerah di bawah kurva tersebut.

b. Tentukan c sehingga garis x = c membagi daerahtersebut atas dua bagian dengan luas sama.

c. Tentukan d sehingga garis y = d membagi daerahtersebut atas dua bagian dengan luas sama

2

1)(

xxf


Fungsi Transenden

Achmad Fahrurozi



• Fungsi real secara umum dibagi atas duakelas yaitu:

1. fungsi aljabar (polinom, fungsi rasional, akar, harga mutlak).

2. fungsi transenden, yaitu yang bukan fungsialjabar (contoh sin x).

• Pada bagian ini akan dipelajari berbagaimacam fungsi transenden disertai sifat-sifatnya.

Pendahuluan


• Fungsi Logaritma Natural/ Asli

Perhatikan fungsi dengan x > 0, k ∈ Z, k = 1.

Fungsi tersebut merupakan fungsi aljabar:

Untuk k =1, fungsi di atas berbentuk . Fungsi ini

tidak dapat ditentukan secara eksplisit seperti di atas.

Logaritma Natural/ Asli


x

kdt

t1

1

1

1

1

111

1

k

x

k xkdt

t

x

dtt

1

1

• Fungsi logaritma natural, ditulis ln didefinisikan sebagai

berikut:

• Secara geometri, fungsi ln x dapat diilustrasikan sebagai

berikut: Perhatikan daerah yang dibatasi ,

sumbu-x, t = 1, dan t = x

untuk x>1, untuk x<1,


x

dtt

x1

1ln

ttf

1)(

R 1

1

luasdtt

x

R 1

1

luasdtt

x

• Berdasarkan teorema dasar Kalkulus 1, maka:

• Latihan:

1. Tentukan

2. Tunjukkan , jadi diperoleh:

3. Tentukan

Logaritma Natural


Cuduu

ln1

x

xDx

1ln

xDx ln

x

xDx

1ln

3

1

210dx

x

x

• Misalkan a dan b bilangan-bilangan positif dan r∈Q, maka:

ln 1 = 0

ln(ab) = ln a + ln b

ln(a/b) = ln a − ln b

ln(ar ) = r.ln a

Sifat-Sifat ln


Misalkan f (x) = ln x. Maka:

Domainnya adalah {x|x > 0}.

Grafik memotong sumbu-x pada x = 1

Kemonotonan grafik: f’(x) = 1/x, selalu positif untuk x∈Df . Sehingga

grafik selalu monoton naik.

Kecekungan grafik: f’’ (x) = −1/x2, selalu negatif untuk x∈Df . Sehingga

grafik selalu cekung ke bawah.

Grafik Fungsi ln


)(lim

)(lim0

xf

xf

x

x

• Perhatikan kembali fungsi logaritma natural/asli f(x)=ln x, x > 0. Karna

f’ (x) = 1/x > 0, maka grafik fungsi f(x) monoton naik, sehingga

mempunyai invers.

• Fungsi inversnya disebut fungsi exponen natural/asli dan dinotasikan

sebagai berikut:

• Perhatikan bahwa dan .

• Sifat: dan .

Fungsi Exponen Natural/ Asli


xxfyyyfx ln)(exp)(1

RRD ff1

,01 ffDR

0,lnexp xxx Ryyy ,expln

• Pada gambar di bawah disajikan grafik fungsi y=expx

yang diperoleh dari pencerminan grafik y=lnx terhadap

garis y= x.

58

Grafik Fungsi Exponen Natural/ Asli

Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma

• Untuk mengamati sifat-sifat lanjut dari fungsi exponen, kita

definisikan bilangan baru, yaitu e yang bersifat

(lihat ilustrasi).

e = 2.71828182845904…

• Misalkan , maka:

• Dari sifat fungsi invers: eln x = x, x > 0 dan ln(ey) = y, y ∈ R

• Sifat-Sifat:

1. ea.eb = ea+b dan ea/eb = ea-b

2. Dx[ex] = ex , sehingga


Cedue uu

Rx

xx eeexx lnexpln.expexp

1ln e

• LATIHAN SOAL:

1. Tentukan dan

2. Tentukan dan

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi fungsi

dan garis yang melalui dua titik: A=(0,1) dan B=(1,1/e) !

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi grafik fungsi y=ln (x-

1), garis x=3, dan garis y=1 !


x

x eD xxDx ln2

xey

dxe x4

dxex x32

• Jawaban:

1. (a) Misalkan u = , maka berdasarkan aturan rantai:

2. (a) Misalkan u = -4x, maka dengan tehnik integral

substitusi, diperoleh:


x

e

xe

xDeDeD

xu

x

u

u

x

x

22

1.

.

Ce

Cedue

duedxe

x

uu

ux

4

4

4

1

4

1

4

1

4

x

4

4 Maka

4 Karna

dudx

dx

du

xu

Aplikasi Integral Tentu Dalam BidangEkonomi

• Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari luasdaerah yang merupakan interpretasi untuk dua hal berikut, yaitu:

1. Surplus Konsumen

2. Surplus Produsen


Surplus Konsumen

• Surplus konsumen adalah keuntungan lebih yang dinikmatioleh konsumen tertentu, pada tingkat harga pasar suatubarang.

0

Pe

P

Q

Qe

Surplus Konsumen (Cs)

),( ee PQE

)0,ˆ(Q

)ˆ,0( P

)( dQfP


• Surplus konsumen

• Besarnya surplus konsumen

• Bentuk fungsi permintaan ; maka besarnyasurplus konsumen dinyatakan dengan:

EDPeCS ..)(

Qe

O

PeQedQQfCS .)(

dPPfQd )(

P

Pe

dPPfCS

)(


• CONTOH:

Diketahui Fungsi permintaan dalam suatu pasar adalah

. Berapakah surplus konsumen jika hargapasar (ordinat dari titik Equilibrium) Pe = 30 !

• Jawab: Pertama, tentukan dahulu , dan E.

203,048 PQd

48)0(03,0480

03,048

2

2

QPjika

PQ

203,04800 PQjika

4803,0 2 P

40160003,0

482 PP

21)30(03,04830 2 QePeJika

QP ˆ ,ˆ


• Kurva permintaan dan titik Equilibrium dinyatakan padagambar berikut:

E

Q0

P

40ˆ P

30eP

21eQ 48ˆ Q


• Maka surplus konsumen:

• Sehingga diperoleh:

p

Pe

dPPfCs

)(

40

30

2 )03,048( dPP

40

30

301,048 PPCs

33 )30(01,0)30(48)40(01,0)40(48

110Cs


Surplus Produsen

• Surplus Produsen adalah keuntungan lebih yang dinikmatiprodusen tertentu pada tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan.

),( ee PQE

)0,ˆ(Q

)ˆ,0( P

)( sQfP

Pe

Surplus Produsen

0 Q

P


• Surplus produsen

• Besarnya surplus produsen

• Bentuk fungsi penawaran ; maka besarnyasurplus produsen dinyatakan dengan:

dPPfQs )(

EDPePS ..

Qe

o

dQQfQePePS )(.

Pe

P

dPPfPS

)(


• CONTOH:

Diketahui Fungsi penawaran dalam suatu pasar adalah

. Berapakah surplus produsen jika harga pasar(ordinat dari titik Equilibrium) Pe = 10 !

• Jawab: Pertama, tentukan dahulu , dan E.

635,00

35,0

QQPjika

QP

30 PQjika

QP ˆ ,ˆ

35,0 sQP

1410 Jika QePe


• Kurva penawaran dan titik Equilibrium dinyatakan padagambar berikut:

3ˆ P

10eP

14eQ0

P

Q

Surplus

Podusen

)(35,0 QfQP


• Maka surplus produsen:

• Sehingga diperoleh:

Qe

O

dQQfPeQePs )(.

14

0

)35,0()10)(14( dQQ

14

0

2 325,0140 QQ

)0(3)0(25,0)14(3)14(25,0140 22

49Ps


Integral dan Aplikasinya dalam...

Documents

Transcript of Integral dan Aplikasinya dalam...